九年級數(shù)學上冊講義（人教版）：概率的計算（教師版）

第28課概率求解的多種類型目標導航目標導航課程標準（1）通過具體情境了解概率的意義，體會概率是描述不確定現(xiàn)象的規(guī)律的數(shù)學模型，理解概率的取值范圍的意義，能夠運用列舉法(包括列表、畫樹形圖)計算簡單事件發(fā)生的概率；（2）能夠通過實驗，獲得事件發(fā)生的頻率；利用穩(wěn)定后的頻率值來估計概率的大小，理解頻率與概率的區(qū)別與聯(lián)系.知識精講知識精講知識點01古典概型滿足下列兩個特點的概率問題稱為古典概型.(1)一次試驗中，可能出現(xiàn)的結(jié)果是有限的；(2)一次試驗中，各種結(jié)果發(fā)生的可能性相等的.古典概型可以從事件所包含的各種可能的結(jié)果在全部可能的試驗結(jié)果中所占的比例分析事件的概率.【注意】如果在一次試驗中，有n種可能的結(jié)果，并且它們發(fā)生的可能性相等，事件A包含其中的m種結(jié)果，那么事件A發(fā)生的概率為P(A)=.知識點02用列舉法求概率常用的列舉法有兩種：列表法和樹形圖法.1．列表法：當一次試驗要涉及兩個因素，并且可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)目較多時，為不重不漏地列出所有可能的結(jié)果，通常采用列表法.列表法是用表格的形式反映事件發(fā)生的各種情況出現(xiàn)的次數(shù)和方式，以及某一事件發(fā)生的可能的次數(shù)和方式，并求出概率的方法.【注意】(1)列表法適用于各種情況出現(xiàn)的總次數(shù)不是很大時，求概率的問題；(2)列表法適用于涉及兩步試驗的隨機事件發(fā)生的概率.2．樹形圖：當一次試驗要涉及3個或更多個因素時，為了不重不漏地列出所有可能的結(jié)果，通常采用樹形圖.樹形圖是用樹狀圖形的形式反映事件發(fā)生的各種情況出現(xiàn)的次數(shù)和方式，以及某一事件發(fā)生的可能的次數(shù)和方式，并求出概率的方法.【注意】(1)樹形圖法同樣適用于各種情況出現(xiàn)的總次數(shù)不是很大時，求概率的問題；(2)在用列表法或樹形圖法求可能事件的概率時，應(yīng)注意各種情況出現(xiàn)的可能性務(wù)必相同.知識點03利用頻率估計概率當試驗的可能結(jié)果不是有限個，或各種結(jié)果發(fā)生的可能性不相等時，一般用統(tǒng)計頻率的方法來估計概率.【注意】用試驗去估計隨機事件發(fā)生的概率應(yīng)盡可能多地增加試驗次數(shù)，當試驗次數(shù)很大時，結(jié)果將較為精確.能力拓展能力拓展考法01用列舉法求概率【典例1】某校組織了一場英語演講比賽，有名女生和名男生獲得學校一等獎，現(xiàn)準備從這名獲獎選手中選出名學生，代表學校參加市里組織的英語演講比賽，最后選出的結(jié)果是“一男一女”的概率是(

)A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：根據(jù)題意畫出樹狀圖，由樹狀圖可知：所有等可能的結(jié)果共有種，選出的結(jié)果是“一男一女”的情況有種，所以選出的結(jié)果是“一男一女”的概率是，故選：C．【典例2】一個不透明的口袋里裝有分別標有漢字“美”、“麗”、“油”、“城”的四個小球，除漢字不同之外，小球沒有任何區(qū)別，每次摸球前先攪拌均勻．從中任取一球，不放回，再從中任取一球，取出的兩個球上的漢字能組成“美城”的概率（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：畫樹狀圖如下：共有12種等可能的結(jié)果數(shù)，其中取出的兩個球上的漢字能組成“美城”的結(jié)果數(shù)為2，所以取出的兩個球上的漢字能組成“美城”的概率，故選：C．【典例3】有4條線段長度分別為2cm，3cm，4cm，5cm，從中任意取三條線段能組成三角形的概率是（）A． B． C． D．1【答案】A【詳解】解：共有2、4、5；2、3、4；3、4、5；2、3、5；4種情況，其中2、3、5這種情況不能組成三角形，即能組成三角形的有3種，所以P（任取三條，能構(gòu)成三角形）＝．故選：A．【典例4】第十四屆全國運動會會徽吉祥物發(fā)布，吉祥物朱朱、熊熊、羚羚、金金的設(shè)計方案是以陜西秦嶺獨有的四種國寶級動物“朱鹮、大熊貓、羚牛、金絲猴”為創(chuàng)意原型．小明和小彬各從四個吉祥物中選擇一個制作成繪畫作品，參與學校舉辦的繪畫展，則他們選中“朱朱”和“金金”的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：把吉祥物朱朱、熊熊、羚羚、金金分別記為A、B、C、D，畫樹狀圖如下：共有16種等可能的結(jié)果，小明和小彬選中“朱朱”和“金金”的結(jié)果有2種，∴小明和小彬選中“朱朱”和“金金”的概率為，故選：C．考法02利用頻率估計概率【典例5】在一個不透明的盒子里裝有若干個白球和15個紅球，這些球除顏色不同外其余均相同，每次從袋子中摸出一個球記錄下顏色后再放回，經(jīng)過多次重復試驗，發(fā)現(xiàn)摸到白球的頻率穩(wěn)定在0.4左右，則袋中白球約有（

）A．5個 B．10個 C．15個 D．25個【答案】B【詳解】解：經(jīng)過多次重復試驗，發(fā)現(xiàn)摸到白球的頻率穩(wěn)定在0.4左右，摸到紅球的頻率穩(wěn)定在0.6左右，袋中裝有若干個白球和15個紅球，袋中球的總數(shù)為：，袋中白球約有：（個，故選：B．【典例6】某實驗小組做“用頻率估計概率”的實驗時，統(tǒng)計了某一結(jié)果出現(xiàn)的頻率，繪制了如圖所示的折線統(tǒng)計圖，則符合這一結(jié)果的實驗最有可能的是（）A．在“石頭、剪刀、布”的游戲中，小剛隨機出的是“石頭”B．一副去掉大小王的普通撲克牌洗勻后，從中任抽取一張牌的花色是方塊C．布袋中有1個紅球和2個黃球，它們只是顏色上有區(qū)別，從中任取一球是黃球D．擲一個質(zhì)地均勻的正六面體骰子，向上的點數(shù)是4【答案】D【詳解】解：A．在“石頭、剪刀、布”的游戲中，小剛隨機出的是“剪刀”的概率是，不符合題意；B．一副去掉大小王的普通撲克牌洗勻后，從中任抽一張牌的花色是紅桃的概率是，不符合題意；C．布袋中有1個紅球和2個黃球，它們只有顏色上的區(qū)別，從中任取一球是紅球的概率是，不符合題意；D．擲一個質(zhì)地均勻的正六面體骰子，向上的面點數(shù)是4的概率是，符合題意；故選：D．【典例7】一個不透明的盒子里裝有除顏色外完全相同的球，其中有6個白球m個籃球，每次將球充分攪勻后，任意摸出1個球記下顏色然后再放回盒子里，通過如此大量重復試驗，發(fā)現(xiàn)摸到白球的頻率穩(wěn)定在0.4左右，則m的值約為（

）A．4 B．6 C．9 D．12【答案】C【詳解】解：由題意可得，，解得：．經(jīng)檢驗，是原方程的解．故選：C．【典例8】如圖，小紅在一張長為6m，寬為5m的長方形紙上畫了一個老虎圖案，他想知道該圖案的面積大小，于是想了這樣一個辦法，朝長方形的紙上扔小球，并記錄小球落在老虎圖案上的次數(shù)（球扔在界線上或長方形紙外不計試驗結(jié)果），他將若干次有效試驗的結(jié)果整理成統(tǒng)計表，由此他估計此圖案的面積大約為（

）試驗次數(shù)m60120180240300360420480小球落在圖案內(nèi)的次數(shù)n22386583102126151168小球落在圖案內(nèi)的頻率0.370.320.360.350.340.350.360.35A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：設(shè)老虎圖案的面積為，由已知條件，可知長方形紙張的面積為，根據(jù)幾何概率公式，小球落在老虎圖案上的概率為，當事件A試驗次數(shù)足夠多，即樣本足夠大時，其頻率可作為事件A發(fā)生的概率的估計值，小球落在老虎圖案上的概率大約為0.35，所以，解得．故選：B．分層提分分層提分題組A基礎(chǔ)過關(guān)練1．某班級計劃舉辦手抄報展覽，確定了“5G時代”、“北斗衛(wèi)星”、“高鐵速度”三個主題，若小明和小亮每人隨機選擇其中一個主題，則他們恰好選擇同一個主題的概率是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：把“5G時代”、“北斗衛(wèi)星”、“高鐵速度”三個主題分別記為A、B、C，畫樹狀圖如下：共有9種等可能的結(jié)果，其中小明和小剛恰好選擇同一個主題的結(jié)果有3種，∴小明和小剛恰好選擇同一個主題的概率為．故選：C．2．我縣將面向全縣中小學開展“中小學誦讀”比賽，某中學要從2名男生，2名女生中選派2名學生參賽，則選派的學生中，恰好為1名男生1名女生的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】用列表法表示所有可能出現(xiàn)的結(jié)果情況如下：共有12種可能出現(xiàn)的結(jié)果，其中“一男一女”的有8種，∴P（一男一女）=．故選：A．3．小亮3分鐘共投籃80次，進了64個球，則小亮進球的頻率是（

）A．80 B．64 C．1.2 D．0.8【答案】D【詳解】解：∵小亮共投籃80次，進了64個球，∴小明進球的頻率為：64÷80=0.8．故選：D．4．小明和同學做“拋擲質(zhì)地均勻的硬幣試驗”獲得的數(shù)據(jù)如下表，若拋擲硬幣的次數(shù)為1000，則“正面朝上”的頻數(shù)最接近（

）拋擲次數(shù)100200300400500正面朝上的頻數(shù)5398156202244A．200 B．300 C．500 D．800【答案】C【詳解】解：觀察表格發(fā)現(xiàn)：隨著實驗次數(shù)的增加，正面朝上的頻率逐漸穩(wěn)定到附近，∴當拋擲硬幣的次數(shù)為1000時，“正面朝上”的頻數(shù)最接近次．故選：C．5．垃圾分類可以把有用的垃圾回收再利用，減少了對環(huán)境的危害．王老師教上幼兒園的兒子學習垃圾分類，將一個飲料瓶和一個用過的電池交給兒子，調(diào)皮的兒子將兩件垃圾隨意投放到兩個不同的垃圾桶中，他投放正確的概率只有（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】根據(jù)題意，樹狀圖如下：∴調(diào)皮的兒子將兩件垃圾隨意投放到兩個不同的垃圾桶中，共有12種情況，其中投放正確的情況有一種∴他投放正確的概率只有故選：C．6．某城市啟動“城市森林”綠化工程，林業(yè)部門要考查某種樹苗在一定條件下的移植成活率．在同樣條件下，對這種樹苗進行大量移植，并統(tǒng)計成活情況，數(shù)據(jù)如下表所示：移植總數(shù)10270400750150035007000900014000成活數(shù)量8235369662133532036335807312628成活頻率0.8000.8700.9230.8830.8900.9150.9050.8970.902估計樹苗移植成活的概率是（）（結(jié)果保留小數(shù)點后一位）A．0.81 B．0.8 C．0.9 D．無法計算【答案】C【詳解】解：由表格中的數(shù)據(jù)可以估計樹苗移植成活的概率是0.9，故選：C．7．一個兩位數(shù)，它的十位數(shù)字是1，個位數(shù)字是拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子（六個面分別標有數(shù)字1-6）朝上一面的數(shù)字．任意拋擲這枚骰子一次，得到的兩位數(shù)是4的倍數(shù)概率等于______．【答案】【詳解】解：根據(jù)題意，得到的兩位數(shù)有11、12、13、14、15、16這6種等可能結(jié)果，其中兩位數(shù)是4的倍數(shù)有12、16這2種結(jié)果，∴得到的兩位數(shù)是4的倍數(shù)的概率等于；故答案為：．8．烏魯木齊市林業(yè)局要考察一種樹苗移植的成活率，對該市這種樹苗移植成活情況進行了調(diào)查統(tǒng)計，并繪制了統(tǒng)計圖，根據(jù)統(tǒng)計圖提供的信息，估計該樹苗成活的概率為____________．【答案】0.9【詳解】解：由統(tǒng)計圖可知，該樹苗成活的頻率在0.9附近擺動，∴估計該樹苗成活的概率為0.9，故答案為：0.9．9．2021年我省開始實施“”高考新方案，其中語文、數(shù)學、外語三門為統(tǒng)考科目（必考），物理和歷史兩個科目中任選1門，另外在思想政治、地理、化學、生物四門科目中任選2門，共計6門科目，總分750分，假設(shè)小麗在選擇科目時不考慮主觀性．請用“畫樹狀圖”或“列表”的方法分析小麗在思想政治（A）、地理（B）、化學（C）、生物（D）四門科目中任選2門選到化學（C）、生物（D）的概率．【答案】【詳解】設(shè)思想政治為

A，

地理為

B，

化學為

C，

生物為

D，畫出樹狀圖如下：∵共有

12

種等可能情況，選中化學、生物的有2

種∴P（選中化學、生物）==．10．“一方有難，八方支援”．2020年初，武漢發(fā)現(xiàn)多起新冠肺炎病例，牽動著全國人民的心，威寧縣人民醫(yī)院準備從甲、乙、丙三位醫(yī)生和、兩名護士中選取一位醫(yī)生和一名護士支援武漢參與疫情防控救援工作．(1)若隨機選一位醫(yī)生和一名護士，用樹狀圖（或列表法）表示所有可能出現(xiàn)的結(jié)果．(2)求恰好選中醫(yī)生甲和護士的概率．【答案】(1)見解析(2)【詳解】（1）解：用列表法或樹狀圖表示所有可能結(jié)果如下：護士醫(yī)生AB甲（甲，A）（甲，B）乙（乙，A）（乙，B）丙（丙，A）（丙，B）（2）解：因為共有6種等可能的結(jié)果，其中恰好選中醫(yī)生甲和護士A的有1種，所以P（恰好選中醫(yī)生甲和護士A）=．題組B能力提升練1．現(xiàn)有5盒同一品牌的牛奶，其中2盒已過期．隨機抽取2盒，至少有一盒過期的概率是（

）A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.7【答案】D【詳解】解：把2盒不過期的牛奶記為A、B、C，2盒已過期的牛奶記為D、E，畫樹狀圖如圖：共有20種等可能的結(jié)果，至少有一盒過期的結(jié)果有14種，∴至少有一盒過期的概率為0.7，故選：D．2．穎穎從家去體育館需要經(jīng)過兩個紅綠燈，如果每個紅綠燈可直接通過和需等待的概率相同，那么穎穎從家去體育館在這兩個紅綠燈路口都需等待的概率是（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：根據(jù)題意畫圖如下：共有4種等可能的結(jié)果，其中穎穎從家去體育館在這兩個紅綠燈路口都需等待的有1種結(jié)果，∴穎穎從家去體育館在這兩個紅綠燈路口都需等待的概率為，故選C．3．把分別畫有“冰墩墩”、“雪融融”的兩張形狀、大小相同的圖片，全部從中間剪成相同的兩段，再把這四張形狀相同的小圖片混合在一起，從這四張圖片中隨機抽出兩張，則這兩張小圖片恰好能組成一張完整的“冰墩墩”或“雪融融”圖片的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：用A、a表示“冰墩墩”圖片被剪成的兩半，用B、b表示“雪融融”圖片被剪成的兩半，列樹狀圖為：故有12種等可能結(jié)果，符合恰好能組成一張完整的“冰墩墩”或“雪融融”圖片有4種，∴．故選：A．4．只有顏色不同的個紅球和若干個白球裝在不透明的袋子里，從袋子里摸出一個球記錄下顏色后放回，經(jīng)過多次重復試驗，發(fā)現(xiàn)摸到紅球的頻率穩(wěn)定在，則袋中紅球與白球共有(

)A．個 B．個 C．個 D．個【答案】C【詳解】解：設(shè)袋中白球有個，根據(jù)題意得：，解得：，經(jīng)檢驗：是分式方程的解，故袋中白球有個，共有個球．故選：C．5．不透明袋子中裝有紅、黃小球各若干個，這些球除顏色外無其他差別．把“從袋子中隨機摸出一個小球”作為試驗，每次試驗后，將摸出的小球放回搖勻，再進行下一次試驗．試驗數(shù)據(jù)顯示：大量重復試驗后，摸出紅球的頻率越來越穩(wěn)定于0.2，則下列對于袋子中球的數(shù)量的估計，最合理的是（

）A．紅球有2個 B．黃球有10個C．黃球的數(shù)量是紅球的4倍 D．黃球和紅球的數(shù)量相等【答案】C【詳解】解：設(shè)袋子中球的總數(shù)為n，則由題意可得，紅球的個數(shù)為0.2n，黃球的個數(shù)為n-0.2n=0.8n，因為n的值不確定，所以唯一能確定的是黃球的數(shù)量是紅球的4倍，故選C6．某小組做“用頻率估計概率”的試驗時，統(tǒng)計了某結(jié)果出現(xiàn)的頻率，繪制了如圖的折線統(tǒng)計圖，則符合這一結(jié)果的試驗最有可能的是（

）A．在“石頭、剪刀、布”的游戲中，小時隨機出的是“剪刀”B．袋子中有1個紅球和2個黃球，從中任取一球是黃球C．擲一個質(zhì)地均勻的正六面體骰子，向上的面點數(shù)是偶數(shù)D．一副去掉大小王的普通撲克牌洗勻后，從中任抽一張牌花色是紅桃【答案】C【詳解】解：A、在“石關(guān)、剪刀、布”的游戲中，小時隨機出的是“剪刀”為，不符合這一結(jié)果，故此選項錯誤；B、從一個裝有1個紅球2個黃球的袋子中任取一球，取到的是黃球的概率為：，不符合這一結(jié)果，故此選項錯誤；C、擲一個質(zhì)地均勻的正六面體骰子，向上的面點數(shù)是偶數(shù)的概率是=0.5，符合這一結(jié)果，故此選項正確；D、一副去掉大小王的撲克牌洗勻后，從中任抽一張牌的花色是紅桃的概率為：0.25，不符合這一結(jié)果，故此選項錯誤；故選：C．7．4張相同的卡片上分別寫有數(shù)字0，，，2022，將卡片的背面朝上，洗勻后從中任意抽取1張，將卡片上的數(shù)字記錄下來，再從余下的3張卡片中任意抽取1張，同樣將卡片上的數(shù)字記錄下來，則兩次抽取的卡片上的數(shù)字之積是0的概率為___．【答案】##0.5【詳解】解：列表如下：0202200000020220由表知，共有12種等可能結(jié)果，其中兩次抽取的卡片上的數(shù)字之積是0的有6種等可能結(jié)果，所以兩次抽取的卡片上的數(shù)字之積是0的概率為：，故答案為：．8．對一批襯衣進行抽檢，統(tǒng)計合格襯衣的件數(shù)，得到合格襯衣的頻數(shù)表如下：抽取件數(shù)（件）501001502005008001000合格頻數(shù)4288131176445724901合格頻率0.840.880.870.880.890.910.90根據(jù)上表，估計任抽一件襯衣是合格品的概率是___________．（保留小數(shù)點后兩位）【答案】0.90【詳解】解：∵抽取件數(shù)為1000時，合格的頻率趨近于0.90，∴任取一件襯衣是合格品的概率是0.90．故答案為：0.90．9．一袋中裝有形狀大小都相同的四個小球，每個小球上各標有一個數(shù)字，分別是1，3，4，7，現(xiàn)規(guī)定從袋中任取一個小球，對應(yīng)的數(shù)字作為一個兩位數(shù)的個位數(shù)；然后將小球放回袋中并攪拌均勻，再任取一個小球，對應(yīng)的數(shù)字作為這個兩位數(shù)的十位數(shù)．(1)寫出按上述規(guī)定得到所有可能的兩位數(shù)；(2)從這些兩位數(shù)中任取一個，求其算術(shù)平方根大于5且小于8的概率．【答案】(1)11、31、41、71、13、33、43、73、14、34、44、74、17、37、47、77(2)【詳解】（1）解：畫樹狀圖如下：所得兩位數(shù)為11、31、41、71、13、33、43、73、14、34、44、74、17、37、47、77這16種等可能結(jié)果；（2）由（1）知所得兩位數(shù)算術(shù)平方根大于5且小于8，即該數(shù)大于25且小于64的有8種，∴其算術(shù)平方根大于5且小于8的概率為．10．某射擊運動員在同一條件下的射擊成績記錄如下：射擊次數(shù)208010020040080010001500“射中九環(huán)以上”的頻數(shù)1549711372645346661001“射中九環(huán)以上”的頻率0.7500.6130.7100.6850.6600.6680.6660.667(1)根據(jù)上表估計這名運動員射擊一次時“射中九環(huán)以上”的概率約為______．（結(jié)果保留兩位小數(shù)）(2)小明想了解該運動員連續(xù)兩次射擊都“射中九環(huán)以上”的概率，他將這個問題進行了簡化，制作了三張不透明卡片，其中兩張卡片的正面寫有“中”，第三張卡片的正面寫有“未中”，卡片除正面文字不同外，其余均相同將這三張卡片背面向上洗勻，從中隨機抽取一張，記錄文字后放回，重新洗勻后再從中隨機抽取一張．請用畫樹狀圖（或列表）的方法，求兩次抽取的卡片上都寫有“未中”的概率．【答案】(1)0.67(2)兩次抽取的卡片上都寫有“未中”的概率是．【詳解】(1)解：從頻率的波動情況可以發(fā)現(xiàn)頻率穩(wěn)定在0.67附近，這名運動員射擊一次時“射中九環(huán)以上”的概率約為0.67．故答案為：0.67；(2)解：根據(jù)題意列表如下：共有9種等可能的情況數(shù)，其中兩次抽取的卡片上都寫有“未中”的有1種，則兩次抽取的卡片上都寫有“未中”的概率是．題組C培優(yōu)拔尖練1．將分別標有“文”“明”“寧“安”漢字的四個小球裝在一個不透明的口袋中，這些球除漢字外無其他差別，每次摸球前先攪拌均勻，隨機摸出一球，不放回；再隨機摸出一球，兩次摸出的球上的漢字組成“寧安”的概率是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：畫樹狀圖如下：共有12種等可能的結(jié)果，兩次摸出的球上的漢字組成“寧安”的結(jié)果有2種，∴兩次摸出的球上的漢字組成“寧安”的概率為，故選：B．2．現(xiàn)有3包同一品牌的餅干，其中2包已過期，隨機抽取2包，2包都過期的概率是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：把1包不過期的餅干記為A，2包已過期的餅干記為B、C，畫樹狀圖如圖：共有6種等可能的結(jié)果，兩包都過期的結(jié)果有2種，∴兩包都不過期的概率為，故選：D．3．如圖①為三等分的圓形轉(zhuǎn)盤，圖②為裝有小球（小球除顏色不同外，其他均相同）的不透明口袋，隨機轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤一次，然后再從不透明的口袋中隨機摸出一個球，則指針指向區(qū)域的顏色和摸出的球的顏色均為藍色的概率是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：根據(jù)題意，列表如下：藍球1藍球2紅球紅1（紅1，藍球1）（紅1，藍球2）（紅1，紅球）紅2（紅2，藍球1）（紅2，藍球2）（紅2，紅球）藍（藍，藍球1）（藍，藍球2）（藍，紅球）由表可知，共有9種等可能的結(jié)果，其中指針指向區(qū)域的顏色和摸出的球的顏色均為藍色的結(jié)果有2種，（指針指向區(qū)域的顏色和摸出的球的顏色均為藍色），故選：B．4．如圖，電路連接完好，且各元件工作正常．隨機閉合開關(guān)，，中的兩個，能讓兩個小燈泡同時發(fā)光的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：畫樹狀圖得：∵共有6種等可能的結(jié)果，能讓兩個小燈泡同時發(fā)光的有2種情況，∴能讓兩個小燈泡同時發(fā)光的概率為；故選：D．5．在一個不透明的盒子中裝有a個黑白顏色的球，小明又放入了5個紅球，這些球大小相同．若每次將球充分攪勻后，任意摸出1個球記下顏色再放回盒子．通過大量重復試驗后，發(fā)現(xiàn)摸到紅球的頻率穩(wěn)定在20%左右，則a的值大約為（

）A．15 B．20 C．25 D．30【答案】B【詳解】由題意可得，摸到紅球的概率為0.2，則有，，∴，∴；故選：B．6．投擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣m次，正面向上n次，下列表達正確的是（

）A．的值一定是B．的值一定不是C．m越大，的值越接近D．隨著m的增加，的值會在附近擺動，呈現(xiàn)出一定的穩(wěn)定性【答案】D【詳解】投擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣正面向上的概率是，而投擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣正面向上是隨機事件，是它的頻率，隨著m的增加，的值會在附近擺動，呈現(xiàn)出一定的穩(wěn)定性；故選：D7．某疫苗接種點有北京生物，科興中維，武漢生物三個廠家可供市民隨機選擇，若張先生和李小姐對這三種疫苗都不了解，那么張先生和李小姐選擇同一廠家的概率為_______．【答案】【詳解】解：將北京生物、科興中維，武漢生物三廠家的疫苗分別記作A、B、C，畫樹狀圖如下：所有可能出現(xiàn)的結(jié)果共有9種，即AA、AB、AC、BA、BB、BC、CA、CB、CC；共有9種等可能的結(jié)果，其中張先生和李小姐選擇同一廠家的疫苗的結(jié)果有3種，∴張先生和李小姐選擇同一廠家的概率為，故答案為：．8．在一個不透明的袋子里裝有4張數(shù)字卡片，數(shù)字分別是1，-3，0，2，它們