第3章33同步練習(xí)

PAGEPAGE5高中數(shù)學(xué)人教A版選2-1同步練習(xí)eq\a\vs4\al(1.)設(shè)a、b、c是任意的非零平面向量，且它們相互不共線，下列命題：①(a·b)c－(c·a)b＝0；②|a|－|b|<|a－b|；③(b·a)c－(c·a)b不與c垂直；④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|其中正確的有()A．①② B．②③C．③④ D．②④解析：選D.根據(jù)數(shù)量積的定義及性質(zhì)可知：①③錯(cuò)誤，②④正確．故選D.eq\a\vs4\al(2.)在如圖所示的正方體中，下列各對(duì)向量的夾角為135°的是()A.eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(A′C′,\s\up6(→))B.eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(C′A′,\s\up6(→))C.eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(A′D′,\s\up6(→))D.eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(B′A′,\s\up6(→))解析：選B.〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(A′C′,\s\up6(→))〉＝〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))〉＝45°；〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(C′A′,\s\up6(→))〉＝180°－〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))〉＝135°；〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(A′D′,\s\up6(→))〉＝〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))〉＝90°；〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(B′A′,\s\up6(→))〉＝180°.eq\a\vs4\al(3.)已知i、j、k是兩兩垂直的單位向量，a＝2i－j＋k，b＝i＋j－3k，則a·b等于________．解析：a·b＝(2i－j＋k)·(i＋j－3k)＝2i2－j2－3k2＝－2.答案：－2eq\a\vs4\al(4.)在棱長為1的正方體ABCD－A′B′C′D′中，eq\o(AD′,\s\up6(→))·eq\o(BC′,\s\up6(→))＝__________．解析：由正方體知BC′∥AD′，∴〈eq\o(AD′,\s\up6(→))，eq\o(BC′,\s\up6(→))〉＝0，又|eq\o(AD′,\s\up6(→))|＝|eq\o(BC′,\s\up6(→))|＝eq\r(2)，所以eq\o(AD′,\s\up6(→))·eq\o(BC′,\s\up6(→))＝eq\r(2)·eq\r(2)·1＝2.答案：2[A級(jí)基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]eq\a\vs4\al(1.)若向量m垂直于向量a和b，向量n＝λa＋μb(λ，μ∈R，且λμ≠0)，則()A．m∥n B．m⊥nC．m，n既不平行也不垂直 D．以上三種情況都可能解析：選B.因?yàn)閙·n＝m·(λa＋μb)＝λm·a＋μm·b＝0，所以m⊥n.eq\a\vs4\al(2.)已知向量a、b是平面α內(nèi)的兩個(gè)不相等的非零向量，非零向量c是直線l的一個(gè)方向向量，則c·a＝0且c·b＝0是l⊥α的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件解析：選B.當(dāng)a與b不共線時(shí)，由c·a＝0，c·b＝0，可推出l⊥α；當(dāng)a與b為共線向量時(shí)，由c·a＝0，c·b＝0，不能夠推出l⊥α；l⊥α一定有c·a＝0且c·b＝0，故選B.eq\a\vs4\al(3.)已知PA⊥平面ABC，∠ABC＝120°，PA＝AB＝BC＝6，則PC等于()A．6eq\r(2) B．6C．12 D．144解析：選C.∵eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))，∴eq\o(PC,\s\up6(→))2＝eq\o(PA,\s\up6(→))2＋eq\o(AB,\s\up6(→))2＋eq\o(BC,\s\up6(→))2＋2eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝36＋36＋36＋2×36cos60°＝144.∴PC＝12.eq\a\vs4\al(4.)已知|a|＝3eq\r(2)，|b|＝4，m＝a＋b，n＝a＋λb，〈a，b〉＝135°，且m⊥n，則實(shí)數(shù)λ等于__________．解析：∵m·n＝(a＋b)·(a＋λb)＝|a|2＋λa·b＋a·b＋λ|b|2＝18＋λ×3eq\r(2)×4×cos135°＋3eq\r(2)×4×cos135°＋λ×16＝6－12λ＋16λ＝6＋4λ，∴m·n＝0＝6＋4λ，∴λ＝－eq\f(3,2).答案：－eq\f(3,2)eq\a\vs4\al(5.)已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為a，則eq\o(A1B,\s\up6(→))·eq\o(B1C,\s\up6(→))＝__________．解析：連接向量eq\o(A1D,\s\up6(→)).eq\o(A1B,\s\up6(→))·eq\o(B1C,\s\up6(→))＝eq\o(A1B,\s\up6(→))·eq\o(A1D,\s\up6(→))＝|eq\o(A1B,\s\up6(→))|·|eq\o(A1D,\s\up6(→))|·cos〈eq\o(A1B,\s\up6(→))，eq\o(A1D,\s\up6(→))〉＝eq\r(2)a×eq\r(2)a×cos60°＝a2.答案：a2eq\a\vs4\al(6.)如圖所示，已知四面體ABCD的每條棱的長都等于1，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是棱AB，AD的中點(diǎn)，計(jì)算：(1)eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(BA,\s\up6(→))；(2)eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))；(3)eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(DC,\s\up6(→)).解：(1)eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)|eq\o(BD,\s\up6(→))||eq\o(BA,\s\up6(→))|·cos〈eq\o(BD,\s\up6(→))，eq\o(BA,\s\up6(→))〉＝eq\f(1,2)coseq\f(π,3)＝eq\f(1,4).(2)eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BD,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2).(3)eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BD,\s\up6(→))·eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)|eq\o(BD,\s\up6(→))||eq\o(DC,\s\up6(→))|·cos〈eq\o(BD,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))〉＝eq\f(1,2)coseq\f(2π,3)＝－eq\f(1,4).[B級(jí)能力提升]eq\a\vs4\al(7.)已知a、b是異面直線，A、B∈a，C、D∈b，AC⊥b，BD⊥b，且AB＝2，CD＝1，則a與b所成的角是()A．30° B．45°C．60° D．90°解析：選C.eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DB,\s\up6(→))，∴eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＝(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DB,\s\up6(→)))·eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))2＋eq\o(DB,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＝0＋12＋0＝1，又|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝2，|eq\o(CD,\s\up6(→))|＝1.∴cos〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(AB,\s\up6(→))·\o(CD,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))||\o(CD,\s\up6(→))|)＝eq\f(1,2×1)＝eq\f(1,2).∴a與b所成的角是60°.eq\a\vs4\al(8.)設(shè)A、B、C、D是空間不共面的四點(diǎn)，且滿足eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝0，eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝0，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝0，則△BCD是()A．鈍角三角形 B．銳角三角形C．直角三角形 D．不確定解析：選B.eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BD,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝(eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))·(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＋|eq\o(AB,\s\up6(→))|2＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|2>0，∴cos∠CBD＝cos〈eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(BD,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(BC,\s\up6(→))·\o(BD,\s\up6(→)),|\o(BC,\s\up6(→))|·|\o(BD,\s\up6(→))|)>0.∴∠CBD為銳角，同理，∠BCD與∠BDC均為銳角，∴△BCD為銳角三角形．eq\a\vs4\al(9.)空間四邊形OABC中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝eq\f(π,3)，則cos〈eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))〉的值為__________．解析：cos〈eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(OA,\s\up6(→))·\o(BC,\s\up6(→)),|\o(OA,\s\up6(→))||\o(BC,\s\up6(→))|)＝eq\f(\o(OA,\s\up6(→))·（\o(OC,\s\up6(→))－\o(OB,\s\up6(→))）,|\o(OA,\s\up6(→))||\o(BC,\s\up6(→))|)＝eq\f(|\o(OA,\s\up6(→))||\o(OC,\s\up6(→))|cos\f(π,3)－|\o(OA,\s\up6(→))||\o(OB,\s\up6(→))|cos\f(π,3),|\o(OA,\s\up6(→))||\o(BC,\s\up6(→))|)＝0.答案：0eq\a\vs4\al(10.)直三棱柱ABC－A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，D、E分別為AB、BB′的中點(diǎn)．(1)求證：CE⊥A′D；(2)求異面直線CE與AC′所成角的余弦值．解：(1)證明：設(shè)eq\o(CA,\s\up6(→))＝a，eq\o(CB,\s\up6(→))＝b，eq\o(CC′,\s\up6(→))＝c，根據(jù)題意，|a|＝|b|＝|c|且a·b＝b·c＝c·a＝0，∴eq\o(CE,\s\up6(→))＝b＋eq\f(1,2)c，eq\o(A′D,\s\up6(→))＝－c＋eq\f(1,2)b－eq\f(1,2)a.∴eq\o(CE,\s\up6(→))·eq\o(A′D,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)c2＋eq\f(1,2)b2＝0.∴eq\o(CE,\s\up6(→))⊥eq\o(A′D,\s\up6(→))，即CE⊥A′D.(2)eq\o(AC′,\s\up6(→))＝－a＋c，∴|eq\o(AC′,\s\up6(→))|＝eq\r(2)|a|，又|eq\o(CE,\s\up6(→))|＝eq\f(\r(5),2)|a|，eq\o(AC′,\s\up6(→))·eq\o(CE,\s\up6(→))＝(－a＋c)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b＋\f(1,2)c))＝eq\f(1,2)c2＝eq\f(1,2)|a|2，∴cos〈eq\o(AC′,\s\up6(→))，eq\o(CE,\s\up6(→))〉＝eq\f(\f(1,2)|a|2,\r(2)·\f(\r(5),2)|a|2)＝eq\f(\r(10),10).即異面直線CE與AC′所成角的余弦值為eq\f(\r(10),10).eq\a\vs4\al(11.)(創(chuàng)新題)如圖所示，已知空間四邊形ABCD的各邊和對(duì)角線的長都等于a，點(diǎn)M、N分別是AB、CD的中點(diǎn)．(1)求證：MN⊥AB，MN⊥CD；(2)求MN的長．解：(1)證明：連接AN(圖略)．設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝p，eq\o(AC,\s\up6(→))＝q，eq\o(AD,\s\up6(