2024年2月赤峰市高三數(shù)學(xué)下學(xué)期考試卷附答案解析

2024年2月赤峰市高三數(shù)學(xué)下學(xué)期考試卷（試卷滿分150分；考試時間120分鐘）2024.02一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．2．復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．在某知識競賽中，共設(shè)有10道題目，每題1分，經(jīng)統(tǒng)計(jì)，10位選手的得分情況如下表：得分678910人數(shù)12421則這10位選手得分的方差為（

）A．12 B．8 C． D．4．實(shí)數(shù)滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)的最小值為（

）A． B． C． D．5．若雙曲線的實(shí)軸長為2，離心率為，則雙曲線的左焦點(diǎn)到一條漸近線的距離為（

）A． B． C．1 D．26．已知上底面半徑為，下底面半徑為的圓臺存在內(nèi)切球（與上，下底面及側(cè)面都相切的球），則該圓臺的體積為（

）A． B． C． D．7．已知實(shí)數(shù)滿足，設(shè)，則（

）A． B． C． D．8．若能被整除，則正整數(shù)的最小值為（

）A．53 B．54 C．55 D．569．將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，若在處取得極大值，則的最小值為（

）A． B． C． D．10．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，當(dāng)時，有，則（

）A． B． C． D．11．在中，為邊上一點(diǎn)，，且的面積為，則（

）A． B． C． D．12．已知定義在上的函數(shù)為奇函數(shù)，且對，都有，定義在上的函數(shù)為的導(dǎo)函數(shù)，則以下結(jié)論一定正確的是（

）A．為偶函數(shù) B．C． D．為偶函數(shù)二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．已知單位向量滿足，則=.14．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，如果輸入的值為2，則輸出的的值為．15．已知，若，則的最大值為．16．已知拋物線的焦點(diǎn)為，直線與拋物線相切于點(diǎn)（異于坐標(biāo)原點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，若，則向量與的夾角為．三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.第17--21題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22，23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：60分.17．已知數(shù)列中，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)令，求數(shù)列的前項(xiàng)和．18．如圖，在三棱臺中，，，．(1)證明：；(2)求直線與平面所成角的正弦值．19．某數(shù)學(xué)興趣小組模擬“刮刮樂”彩票游戲，每張彩票的刮獎區(qū)印有從10個數(shù)字1，2，3，…，10中隨機(jī)抽取的3個不同數(shù)字，刮開涂層即可兌獎，中獎規(guī)則為：若3個數(shù)的積為3的倍數(shù)且不為5的倍數(shù)時，中三等獎；若3個數(shù)的積為5的倍數(shù)且不為3的倍數(shù)時，中二等獎；若3個數(shù)的積既為3的倍數(shù)，又為4的倍數(shù)，又為7的倍數(shù)時，中一等獎；其他情況不中獎.(1)隨機(jī)抽取一張彩票，求這張彩票中獎的概率；(2)假設(shè)每張彩票售價為元，且獲得三、二、一等獎的獎金分別為5元，10元，50元，從出售該彩票可獲利的角度考慮，求的最小值．20．已知橢圓的右焦點(diǎn)為，離心率為為橢圓上一點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與橢圓交于另一點(diǎn)，直線與橢圓交于另一點(diǎn)（與點(diǎn)不重合），面積的最大值為．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)點(diǎn)為直線上一點(diǎn)，記的斜率分別為，若，求點(diǎn)的坐標(biāo)．21．已知函數(shù)，．(1)討論的單調(diào)性；(2)若直線與曲線相切，試判斷函數(shù)與的圖象的交點(diǎn)個數(shù)，并說明理由．（二）選考題：共10分.請考生在第22，23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題計(jì)分【選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程】22．在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為．(1)求曲線的直角坐標(biāo)方程和直線的普通方程；(2)若為曲線上到直線的距離最小的點(diǎn)，求點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)．【選修4-5：不等式選講】23．已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，求不等式的解集；(2)對，若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．1．B【分析】首先解一元二次不等式求出集合，再解出集合，最后根據(jù)交集的定義計(jì)算可得.【詳解】由，即，解得，所以，由，可得，解得，所以，所以.故選：B2．C【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算化簡復(fù)數(shù)，再根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義判斷即可.【詳解】因?yàn)?，又，所以?fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為，位于第三象限.故選：C3．D【分析】根據(jù)平均數(shù)、方差公式計(jì)算可得.【詳解】依題意，所以方差.故選：D4．A【分析】作出平面區(qū)域，用線性規(guī)劃求解.【詳解】可行域表示的平面區(qū)域如圖所示，設(shè)，則，當(dāng)直線過點(diǎn)時，取得最小值，故選：A.5．A【分析】根據(jù)條件列方程組求出，然后利用點(diǎn)到直線的距離求解即可.【詳解】由已知得，解得，則雙曲線的左焦點(diǎn)，一條漸近線，故雙曲線的左焦點(diǎn)到一條漸近線的距離為.故選：A.6．D【分析】由題意可知圓臺的軸截面為等腰梯形，計(jì)算出梯形的高，結(jié)合圓臺的體積公式求解即可.【詳解】圓臺的軸截面為等腰梯形，上底面半徑為，下底面半徑為，則腰長為，故梯形的高為，則該圓臺的體積為.故選：D.7．D【分析】根據(jù)的單調(diào)性判斷大小，再比較大小得解.【詳解】因?yàn)?，所以，又為減函數(shù)，所以，即，又，故，所以，故選：D.8．C【分析】根據(jù)二項(xiàng)式定理可得，依題意只需能被整除，即可求出的最小值.【詳解】因?yàn)?，其中，所以，因?yàn)槟鼙徽?，則只需能被整除，所以的最小值為.故選：C9．C【分析】先化簡，然后平移得到，再根據(jù)在處取得極大值列式計(jì)算即可.【詳解】，其向左平移個單位長度得，又若在處取得極大值，則，則，解得，又，所以的最小值為.故選：C.10．B【分析】根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)及前n項(xiàng)和公式計(jì)算化簡即可求解.【詳解】，，則，，則，所以.故選：B.11．A【分析】由面積公式求出，即可得到為等腰三角形，則，在中由正弦定理求出，即可求出，最后由利用兩角差的正弦公式計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?，解得，所以為等腰三角形，則，在中由正弦定理可得，即，解得，因?yàn)?，所以為銳角，所以，所以.故選：A12．D【分析】利用奇偶對稱性、周期性以及復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則即可判斷各項(xiàng)正誤.【詳解】對于選項(xiàng)A，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，則有，故為奇函數(shù)，故A錯誤；對于選項(xiàng)B，因?yàn)?，所以，又，故，即函?shù)周期為4，則，故B錯誤；對于選項(xiàng)C，因?yàn)椋?，即，?因?yàn)?，所以，所以，故C錯誤；對于選項(xiàng)D，由選項(xiàng)C可知，，所以為偶函數(shù)，故D正確.故選：D13．5【分析】根據(jù)得到，然后求即可.【詳解】因?yàn)閱挝幌蛄?，滿足，所以，即，即，，所以.故答案為：5.14．【分析】模擬執(zhí)行程序，即可計(jì)算輸出值.【詳解】當(dāng)輸入的值為2時，第一次執(zhí)行，第二次執(zhí)行，滿足，退出循環(huán)，則，輸出的值為.故答案為：15．【分析】，分別求與的最大值得的最大值.【詳解】將視為的函數(shù)，故，其中，，所以當(dāng)時的最大值為1，設(shè)，當(dāng)時，取得最大值，所以的最大值為.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題求解關(guān)鍵是將視為的函數(shù)，使用輔助角公式轉(zhuǎn)化，再分別求與的最大值.16．##【分析】由題意可得，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求出切線方程，即可求出點(diǎn)坐標(biāo)，再由距離公式求出、，最后由向量夾角公式計(jì)算可得.【詳解】由題意可得，設(shè)，由可得，則，所以直線的斜率，則直線的方程為，令，解得，所以，所以，，解得（負(fù)值舍去），當(dāng)時，，則，所以向量與的夾角為，同理當(dāng)時向量與的夾角也為，故向量與的夾角為.故答案為：【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：涉及拋物線的切線問題，通常利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義表示出切線方程.17．(1)(2)【分析】（1）當(dāng)時求出，再由得到，從而得到數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)均是以首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，即可求出通項(xiàng)公式；（2）由（1）可得，利用分組求和法及錯位相減法計(jì)算可得.【詳解】（1）因?yàn)椋?，?dāng)時，解得，又，所以，所以數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)均是以首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以.（2）因?yàn)?，所以，所以，設(shè)，，則，所以，整理得，同理可得，所以.18．(1)證明見解析(2)【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接、、、，即可證明平面，從而得到，又即可得證；（2）過點(diǎn)作的垂線，垂足為，過點(diǎn)作垂直于，垂足為，連接，即可證明平面，再證明，過點(diǎn)作的平行線，交于點(diǎn)，所以、、三條直線兩兩垂直，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法計(jì)算可得.【詳解】（1）取的中點(diǎn)，連接、、、，因?yàn)?，所以，又，，，所以，所以，所以，因?yàn)?，平面，所以平面，又平面，所以，又，所?

（2）過點(diǎn)作的垂線，垂足為，過點(diǎn)作垂直于，垂足為，連接，由（1）平面，平面，所以平面平面，平面平面，平面，所以平面，平面，所以，又，平面，所以平面，平面，所以，由，，可得，，，，過點(diǎn)作的平行線，交于點(diǎn)，所以、、三條直線兩兩垂直，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，取，設(shè)直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為.

19．(1)(2)【分析】（1）利用古典概型的概率公式分別求出獲得三、二、一等獎的概率，從而相加即可；（2）首先得到一張彩票的獎金的分布列與數(shù)學(xué)期望，即可判斷.【詳解】（1）若獲得三等獎則可能是出現(xiàn)：①、、；②、、中出現(xiàn)個，、、、、五個中出現(xiàn)個；③、中出現(xiàn)個，、中出現(xiàn)個，還有一個；④、、；⑤、、中出現(xiàn)個，、、、四個中出現(xiàn)個；則獲得三等獎的概率，若獲得二等獎則可能是出現(xiàn)：①、中出現(xiàn)個，、、、、五個中出現(xiàn)個；②、中出現(xiàn)個，、、、、五個中出現(xiàn)個；則獲得二等獎的概率，若獲得一等獎則可能是出現(xiàn)：①一個，、中出現(xiàn)個，、中出現(xiàn)個；②一個，一個，、、、四個中出現(xiàn)個；則獲得一等獎的概率，所以隨機(jī)抽取一張彩票，則這張彩票中獎的概率.（2）一張彩票的獎金的取值可能為、、、元，其分布列為：所以，所以若盈利，則，又，所以的最小值為.20．(1)(2)【分析】（1）直接根據(jù)題目條件列方程組求解即可；（2）當(dāng)斜率為零時，可直接求出點(diǎn)的坐標(biāo)，當(dāng)斜率不為零時，設(shè)，和橢圓聯(lián)立，然后利用點(diǎn)的坐標(biāo)表示出，列式，利用韋達(dá)定理代入計(jì)算可求得點(diǎn)的坐標(biāo)．【詳解】（1）由已知得，解得，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）當(dāng)斜率為零時，，設(shè)，則，解得，此時，當(dāng)斜率不為零時，設(shè)，，聯(lián)立，消去得，則，，因?yàn)?，所以得得所以，，所以，即點(diǎn)的坐標(biāo)為.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對于直線和圓錐曲線相交，經(jīng)常聯(lián)立后利用韋達(dá)定理代入計(jì)算，當(dāng)計(jì)算非常復(fù)雜的時候，要堅(jiān)持算下去，相關(guān)量會逐漸消去，最后達(dá)到計(jì)算出結(jié)果的目的.21．(1)答案見解析(2)無交點(diǎn)，理由見解析【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，再分、兩種情況討論，分別求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)切點(diǎn)為，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出，即可得到解析式，再令，即，令，利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的零點(diǎn)，即可判斷.【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，且，?dāng)時恒成立，所以在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，令，解得，所以當(dāng)時，當(dāng)時，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，綜上可得：當(dāng)時在上單調(diào)遞減；當(dāng)時的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）由，設(shè)切點(diǎn)為，則，易知，所以，又，即，即，設(shè)，則，所以當(dāng)時，則單調(diào)遞增，當(dāng)時，則單調(diào)遞減，所以，所以，則，令，即，令，則，令，則，所以當(dāng)時，則單調(diào)遞減，當(dāng)時，則單調(diào)遞增，又，，當(dāng)時，所以當(dāng)時，則單調(diào)遞減，當(dāng)時，則單調(diào)遞增，所以，所以方程無實(shí)根，所以函數(shù)與的圖象無交點(diǎn).【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪栴}．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點(diǎn)、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理．22．(1)；(2)【分析】（1）消去參數(shù)可得直線的普通方程，利用可得曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)與直線平行的直線方程為，與橢圓方程聯(lián)立，令可得點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】（1）對于直線的參數(shù)方程（為參數(shù)），消去參數(shù)得，即直線的普通方程為；對于曲線的極坐標(biāo)方程為，利用變形得，即曲線的直角坐標(biāo)方程為；（2）設(shè)與直線平行的直線方