新教材同步系列2024春高中數(shù)學第八章立體幾何初步8.6空間直線平面的垂直8.6.3平面與平面垂直第2課時平面與平面垂直的性質(zhì)定理課后提能訓練新人教A版必修第二冊

第八章8.68.6.3第2課時A級——基礎過關練1．已知平面α⊥平面β，直線l⊥平面α，則l與β的位置關系是()A．垂直 B．平行C．l?β D．平行或l?β【答案】D【解析】如圖，l∥β或l?β．故選D．2．若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，則()A．α∥γ B．α⊥γC．α與γ相交但不垂直 D．以上都有可能【答案】D【解析】α與γ可能平行、相交但不垂直、垂直．故選D．3．（多選）如圖，P為四邊形ABCD外一點，平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD，E為AD的中點，則下列結論成立的有()A．PE⊥AC B．PE⊥BCC．平面PBE⊥平面ABCD D．平面PBE⊥平面PAD【答案】ABC【解析】因為PA＝PD，E為AD的中點，所以PE⊥AD．又因為平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以PE⊥平面ABCD，所以PE⊥AC，PE⊥BC，所以A，B成立．又因為PE?平面PBE，所以平面PBE⊥平面ABCD，所以C成立．若平面PBE⊥平面PAD，則AD⊥平面PBE，必有AD⊥BE，此關系不一定成立．故選ABC．4．平面α⊥平面β，直線a∥平面α，則()A．a(chǎn)⊥β B．a(chǎn)∥βC．a(chǎn)與β相交 D．以上都有可能【答案】D【解析】因為a∥α，平面α⊥平面β，所以直線a與β垂直、相交、平行都有可能．5．在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，若平面AA1C1C⊥平面ABCD，且AB＝BC，AD＝CD，則BD與CC1()A．平行 B．共面C．垂直 D．不垂直【答案】C【解析】如圖所示，在四邊形ABCD中，因為AB＝BC，AD＝CD，所以BD⊥AC．因為平面AA1C1C⊥平面ABCD，平面AA1C1C∩平面ABCD＝AC，BD?平面ABCD，所以BD⊥平面AA1C1C．又因為CC1?平面AA1C1C，所以BD⊥CC1．故選C．6．已知m，n是兩條不同的直線，α，β，γ是三個不同的平面，則下列命題正確的是()A．若m∥α，n∥α，則m∥nB．若α⊥γ，β⊥γ，則α∥βC．若m∥α，n∥α，且m?β，n?β，則α∥βD．若m⊥α，n⊥β，且α⊥β，則m⊥n【答案】D【解析】A中，m與n可能相交、平行或異面，故A錯誤；B中，α與β相交或平行，故B錯誤；C中，α與β相交或平行，故C錯誤；D中，由線面垂直、面面垂直的性質(zhì)定理得m⊥n，故D正確．故選D．7．（2023年長治期末）在四面體ABCD中，平面ABC⊥平面BCD，AB＝AC＝4，BC＝CD＝BD＝2，則AD＝()A．3eq\r(2) B．2eq\r(3)C．4 D．2eq\r(5)【答案】A【解析】如圖，設BC的中點為O，連接AO，DO．因為AB＝AC＝4，BC＝CD＝BD＝2，故AO⊥BC，DO⊥BC，即∠AOD為二面角A－BC－D的平面角．因為平面ABC⊥平面BCD，故∠AOD＝90°．因為AO＝eq\r(AB2－BO2)＝eq\r(16－1)＝eq\r(15)，OD＝2×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(3)，故AD＝eq\r(AO2＋OD2)＝eq\r(15＋3)＝3eq\r(2)．故選A．8．平面α⊥平面β，α∩β＝l，n?β，n⊥l，直線m⊥α，則直線m與n的位置關系是Ｗ．【答案】平行【解析】由題意知n⊥α，又因為m⊥α，所以m∥n．9．如圖，在三棱錐P－ABC中，側面PAB⊥底面ABC，且PA＝PB＝PC，則△ABC是三角形．【答案】直角【解析】設點P在平面ABC上的射影為點O，∵平面PAB⊥底面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AB，∴O∈AB．∵PA＝PB＝PC，∴OA＝OB＝OC，∴O是△ABC的外心，且是AB的中點，∴△ABC是直角三角形．10．(2023年吉安模擬)如圖，已知四棱錐P－ABCD的底面是直角梯形，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝BC＝PB＝PC＝2CD＝2，側面PBC⊥底面ABCD，E為PB的中點．求證：(1)CE∥平面ADP；(2)平面PAD⊥平面PAB．證明：(1)如圖，取棱AP中點F，連接DF，EF．∵EF為△PAB的中位線，∴EF∥AB，且EF＝eq\f(1,2)AB．∵CD∥AB，且CD＝eq\f(1,2)AB，∴EF∥CD，且EF＝CD．∴四邊形EFDC為平行四邊形．∴CE∥DF．∵DF?平面ADP，CE?平面ADP，∴CE∥平面ADP．(2)∵PC＝BC，E為PB的中點，∴CE⊥PB．∵AB⊥BC，平面PBC⊥平面ABCD，平面PBC∩平面ABCD＝BC，AB?平面ABCD，∴AB⊥平面PBC．又∵CE?平面PBC，∴AB⊥CE．又∵AB∩PB＝B，AB，PB?平面PAB，∴CE⊥平面PAB．由(1)知CE∥DF，∴DF⊥平面PAB．又∵DF?平面PAD，∴平面PAD⊥平面PAB．B級——能力提升練11．(多選)設m，n是兩條不同的直線，α，β，γ是三個不同的平面，下列命題正確的有()A．若α⊥β，α∩β＝m，n?α，n⊥m，則n⊥βB．若α⊥γ，β⊥γ，則α∥βC．若α⊥β，m⊥β，m?α，則m∥αD．若α⊥β，m∥α，則m⊥β【答案】AC【解析】根據(jù)平面與平面垂直的性質(zhì)知A正確；B中，α，β可能平行，也可能相交，不正確；C中，α⊥β，m⊥β，m?α時，只可能有m∥α，正確；D中，m與β的位置關系可能是m∥β或m?β或m與β相交，不正確．故選AC．12．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，點A∈α，A?l，直線AB∥l，直線AC⊥l，直線m∥α，m∥β，則下列四種位置關系中，不一定成立的是()A．AB∥m B．AC⊥mC．AB∥β D．AC⊥β【答案】D【解析】如圖，AB∥l∥m，AC⊥l，m∥l?AC⊥m，AB∥l?AB∥β．故選D．13．空間四邊形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，∠BAD＝90°，且AB＝AD，則AD與平面BCD所成的角是__________．【答案】45°【解析】如圖，過點A作AO⊥BD于O點．∵平面ABD⊥平面BCD，∴AO⊥平面BCD，則∠ADO即為AD與平面BCD所成的角．∵∠BAD＝90°，AB＝AD，∴∠ADO＝45°．14．如圖，平行四邊形ABCD中，AB⊥BD，沿BD將△ABD折起，使平面ABD⊥平面BCD，連接AC，則在四面體ABCD的四個面中，互相垂直的平面的對數(shù)為__________，分別為______________________．【答案】3平面ABD和平面BCD，平面ABC和平面BCD，平面ACD和平面ABD【解析】因為平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，AB⊥BD，所以AB⊥平面BCD，所以平面ABC⊥平面BCD．因為AB⊥BD，AB∥CD，所以CD⊥BD，又因為平面ABD⊥平面BCD，所以CD⊥平面ABD，所以平面ACD⊥平面ABD，共3對．15．(2023年北京房山區(qū)期中)如圖，在矩形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在線段BC和AD上，EF∥AB，將矩形ABEF沿EF折起．記折起后的矩形為MNEF，且平面MNEF⊥平面ECDF．(1)求證：CD⊥MD；(2)若EF＝EC，求證：平面NFC⊥平面NED．證明：(1)∵四邊形ABCD為矩形，EF∥AB，∴EF⊥FM，EF⊥FD．又∵FM∩FD＝F，∴EF⊥平面MFD．又∵MD?平面MFD，∴EF⊥MD．又∵EF∥CD，∴CD⊥M