解直角三角形及應(yīng)用-2023年中考數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)練習(xí)（江蘇）（解析版）

2023年中考數(shù)學(xué)【熱點(diǎn)?重點(diǎn)?難點(diǎn)】專(zhuān)練（江蘇專(zhuān)用）

熱點(diǎn)06.解直角三角形及應(yīng)用

【考綱解讀】

1.了解：銳角三角函數(shù)；仰角、俯角、坡度、坡角、方向角的概念。

2.理解：特殊角的三角函數(shù)值。

3.會(huì)：知道什么是正弦、余弦、正切。4.掌握：解直角三角形的應(yīng)用步驟。

5.能：熟記特殊角的三角函數(shù)值，并能準(zhǔn)確運(yùn)算.審題、畫(huà)圖、解直角三角形。

【命題形式】

1.從考查的題型來(lái)看，涉及本知識(shí)點(diǎn)的主要以填空題或選擇題的形式考查，屬于中低檔題，較為

簡(jiǎn)單，個(gè)別省市也以解答題形式考查，屬于中檔題，難度一般。

2.從考查內(nèi)容來(lái)看，涉及本知識(shí)點(diǎn)的主要有：銳角三角函數(shù)；特殊角的三角函數(shù)值；方位角、俯

角仰角、坡角（坡度）；解直角三角形的應(yīng)用。

3.從考查熱點(diǎn)來(lái)看，涉及本知識(shí)點(diǎn)的主要有：銳角三角函數(shù)；求網(wǎng)格中的三角函數(shù)值：解直角三

角形的實(shí)際生活應(yīng)用。

【限時(shí)檢測(cè)】

A卷（真題過(guò)關(guān)卷）

備注：本套試卷所選題目多數(shù)為近三年江蘇省各地區(qū)中考真題，針對(duì)性強(qiáng)，可作為一輪、二

輪復(fù)習(xí)必刷真題過(guò)關(guān)訓(xùn)練.

一、單選題

1.（2020?江蘇無(wú)錫?統(tǒng)考中考真題）下列選項(xiàng)錯(cuò)誤的是（）

A.cos60o=?B.a2-a3=a5C.^j==~D.2（x—2y）=2x—2y

【答案】D

【分析】分別根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值，同底數(shù)基的乘法法則，二次根式的除法法則以及去括號(hào)法則逐一

判斷即可.

【詳解】解：A.cos60o=?,本選項(xiàng)不合題意；

B.a2-a3=a5,本選項(xiàng)不合題意；

C.盍=爭(zhēng)，本選項(xiàng)不合題意；

D.2（χ-2y）—2x-4y,故本選項(xiàng)符合題意；

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值，同底數(shù)暴的乘法，二次根式的除法以及去括號(hào)與添括號(hào)，

熟記相關(guān)運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵.

2.（2023秋?河北石家莊?九年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，在一塊直角三角板4BC中，乙4=30°,則SinA的值是（）

【答案】A

【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求解即可.

【詳解】解：；乙4=30。，

.?.sin4=sin30o=

2

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查特殊角的三角函數(shù)值，熟記特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵.

3.（2021?江蘇連云港?統(tǒng)考中考真題）如圖，?∕1BCΦ,BDLAB,B。、AC相交于點(diǎn)。，4。=±4C,AB=2,

7

44BC=150。，則ADBC的面積是（）

【答案】A

【分析】過(guò)點(diǎn)C作CEJ.48的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,由等高三角形的面積性質(zhì)得到SAoBC：SAABC=3:7,再證明△

ADB~^ACE,解得笠=J分別求得AE、CE長(zhǎng)，最后根據(jù)△ACE的面積公式解題.

AE7

【詳解】解：過(guò)點(diǎn)C作CE_L48的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,

,?,ΔDBC與AADB是等局J二角形，

43

^LADB'?S>DBC=A0：DC——ACi-AC=4:3

ΛS&DBC：SAABC=3：7

???BD1AB

二△ADBACE

4“

S>ADBADjAC16

SAACEvACjkACj49

AB4

Λ----=一

AE7

VAB=2

7

，?/E=—

73

.??BE=——2=—

22

V?ABC=150°,

???乙CBE=180°-150°=30°

√3

?CE—tan30o?BE=—

設(shè)SUDB=4x,SziDBc=3%

49

λSRACE=

4917√3

?????.—X=-×-×—

4222

√3

?X^14

?_3√3

,?3x―,

14

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)、正切等知識(shí)，是重要考點(diǎn)，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵.

4.（2010.江蘇南通?中考真題）如圖，在菱形ABC。中，DE±AB,cos?=∣,BE=2,則S"NQBE的值是

A.-B.2C.—D.—

225

【答案】B

【分析】在直角三角形ADE中，cos4="與=與詈，求得AD,AE.再求得DE,即可得到tan/DBE.

5ADAD

【詳解】設(shè)菱形ABCD邊長(zhǎng)為t.

BE=2,

AE=t-2.

.3AEAB-BE

cosA=-=——=-------

5ADAD

3t-2

—=--

5t

t=5.

AE=5-2=3.

DE=√AD2-AE2=√52-32=4.

DE4

tanZDBE=-=-=2.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形中三角函數(shù)的應(yīng)用，要熟練掌握邊角之間的關(guān)系.

5.（2020.江蘇鎮(zhèn)江.統(tǒng)考中考真題）如圖①，AB=5,射線AM〃BM點(diǎn)C在射線BN上，將AABC沿AC所

在直線翻折，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)。落在射線8N上，點(diǎn)P,Q分別在射線AM、BN上,PQ//AB.設(shè)AP=x,QD

=y.若y關(guān)于X的函數(shù)圖象（如圖②）經(jīng)過(guò)點(diǎn)E（9,2）,則cos8的值等于（）

sωISa)

2137

A.-B.-C.-D.-

S2S10

【答案】D

【分析】由題意可得四邊形ABQP是平行四邊形，可得A尸=BQ=X,由圖象②可得當(dāng)x=9時(shí)，y=2,此時(shí)

點(diǎn)。在點(diǎn)。下方，且BQ=X=9時(shí)，y=2,如圖①所示，可求8D=7,由折疊的性質(zhì)可求BC的長(zhǎng)，由銳角

三角函數(shù)可求解.

【詳解】解：?.?AM"8N,PQ//AB,

二四邊形ABQP是平行四邊形，

：.AP=BQ^x,

由圖②可得當(dāng)x=9時(shí)，y=2,

此時(shí)點(diǎn)Q在點(diǎn)。下方，且BQ=x=9時(shí)，y=2,如圖①所示，

圖①

.'.BD=BQ-QD=X-y=l,

：將448C沿AC所在直線翻折，點(diǎn)8的對(duì)應(yīng)點(diǎn)。落在射線BN上,

ΛβC=CD=∣BD=∣,ACA-BD,

7

BC7

...cosnB=—=衛(wèi)2=一,

AB510

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)等知識(shí).理解函數(shù)圖象上的點(diǎn)

的具體含義是解題的關(guān)鍵.

6.（2020?江蘇揚(yáng)州?中考真題）如圖，由邊長(zhǎng)為1的小正方形構(gòu)成的網(wǎng)格中，點(diǎn)A,B,C都在格點(diǎn)上，以

AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)C、D,則SinNADC的值為（）

AwB.逅Crd

13133?1

【答案】A

【分析】首先根據(jù)圓周角定理可知，NABC=ZADC,在RtAACB中，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求出NABC

的正弦值.

【詳解】：/4DC和NABC所對(duì)的弧長(zhǎng)都是AC,

,根據(jù)圓周角定理知，NABC=乙4DC,

；.在Rt?ACB中，AB-√ΛC2+BC2=√22+32=√13

根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義知，sin/ABC=笠=備=穿，

ABV1313

/.SinzJ4。C=亞豆，

13

故選A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查銳角三角函數(shù)的定義和圓周角的知識(shí)點(diǎn)，解答本題的關(guān)鍵是利用圓周角定理把求

44DC的正弦值轉(zhuǎn)化成求/ABC的正弦值，本題是一道比較不錯(cuò)的習(xí)題.

7.（2020?江蘇無(wú)錫?統(tǒng)考中考真題）如圖，等邊ZlABC的邊長(zhǎng)為3,點(diǎn)。在邊AC上，4。=|,線段PQ在邊BA上

運(yùn)動(dòng)，PQ.有下列結(jié)論：

①CP與QO可能相等；②ZMQD與ZBCP可能相似；③四邊形PCDQ面積的最大值為第；④四邊形PCOQ周長(zhǎng)

Io

的最小值為3+”.其中，正確結(jié)論的序號(hào)為（）

A.①④B.②④C.①③D.②③

【答案】D

【分析】①通過(guò)分析圖形，由線段PQ在邊BA上運(yùn)動(dòng)，可得出QDVIP≤CP,即可判斷出CP與QD不可能相

等；

②假設(shè)44Q。與/BCP相似，設(shè)AQ=X,利用相似三角形的性質(zhì)得出AQ=X的值，再與AQ的取值范圍進(jìn)行比

較，即可判斷相似是否成立：

③過(guò)P作PE_LBC于E,過(guò)F作DF_LAB于F,利用函數(shù)求四邊形PCDQ面積的最大值，設(shè)AQ=X,可表示

出PE=曰（3_（_工）,°F=；X苧=M可用函數(shù)表不出5心8<;，S11DAQ,再根據(jù)SMBC-SAPBC-SAW

依據(jù)0≤x≤2.5,即可得到四邊形PCOQ面積的最大值；

④作點(diǎn)D關(guān)于直線AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)D∣,作DID2〃PQ,連接CD2交AB于點(diǎn)F,在射線FA上取PQ，=PQ,此

時(shí)四邊形P'CDQ，的周長(zhǎng)為：CP'+DQ'+CD+P'Q'=CD2+CD+PQ,其值最小，再由DQ，=DQ，=D2P',

oo

TlD1=D1D2=AD=γaZAD∣D2=120,ZD2AC=90,可得+以>+PQ的最小值，即可得解.

【詳解】解：①?；線段PQ在邊BA上運(yùn)動(dòng)，PQ=I，

.?.QD<AP≤CP,

.?.CP與QD不可能相等，

則①錯(cuò)誤；

②設(shè)AQ=X,

?：PQ=∣,AB=3,

?θ<ΛQ≤3-∣=2.5,即O≤xW2.5,

假設(shè)4AQ。與ZBCP相似，

VZA=ZB=60o,

從而得到2/-5x+3=0,解得X=1或％=1.5（經(jīng)檢驗(yàn)是原方程的根）,

又O≤x≤2.5,

解得的X=1或X=1.5符合題意,

即AAQD與ABCP可能相似，

則②正確：

③如圖，過(guò)P作PEj_BC于E,過(guò)D作DF_LAB于F,

設(shè)ZQ=X,

由PQ=}AB=3,得O≤ZQ≤3彳=2.5,即0≤x≤2.5,

?*?PB—3----X>

2

VZB=60o,

ΛPF=y(3-i-x),

'：AD=i,∕A=60°,

2

ΛDF=1×√≡=?

224

則SAPBC==BCXPE=：X3X日(3-?x)=竽(|—%),

SADAQ="QXDF=TX無(wú)Xr=2Γx,

x

：?四邊形PCDQ面積為：5ΔΛBC—SΔPBC—S4DAQ=TX3X誓—苧(|一x)一=瞪+竽羽

又：0≤x≤2.5,

.??當(dāng)％=2.5時(shí)，四邊形PCDQ面積最大，最大值為：乎+乎X2.5=喈，

o8Io

即四邊形PCDQ面積最大值為警，

16

則③正確；

④如圖,作點(diǎn)D關(guān)于直線4B的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)D∣,作DID2〃PQ,連接CD2交AB于點(diǎn)P,在射線P,A上取P,Q,=PQ,

此時(shí)四邊形P'CDQ，的周長(zhǎng)為：CP'+DQ'+CD+P'Q'=CZ)2+C0+PQ，其值最小，

,,

ΛD∣Q=DQ=D2PTAD1=D1D2=AD=|,

且NADlD2=180°-∕D∣AB=180°-ZDAB=120°,

DLA

o

：.ZD1AD2=ZD2AD1?~=30°,ZD2AC=90,

在4D∣AD?中，NDIAD2=30°,AD1=?,

.".AD=2AD-cos30o=2×i×-,

z211222

在Rt△AD2C中，

222,

由勾股定理可得，CD2=y∕AC+AD2=J32+(y)=V

.?.四邊形P，CDQ，的周長(zhǎng)為：

1

CP+DQ'+CD+P'Q'=CD2+CD+PQ

√39/1\1

=—+(3^2)+2

=3+絲

2

則④錯(cuò)誤，

所以可得②③正確，

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題綜合考查等邊三角形的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)與判定、利用函數(shù)求最值、動(dòng)點(diǎn)變化問(wèn)題等

知識(shí).解題關(guān)鍵是熟練掌握數(shù)形結(jié)合的思想方法，通過(guò)用函數(shù)求最值、作對(duì)稱(chēng)點(diǎn)求最短距離，即可得解.

8.(2020.江蘇蘇州.統(tǒng)考中考真題)如圖，小明想要測(cè)量學(xué)校操場(chǎng)上旗桿AB的高度，他作了如下操作：(1)

在點(diǎn)C處放置測(cè)角儀，測(cè)得旗桿頂?shù)难鼋荖ACE=a；(2)量得測(cè)角儀的高度CD=a；(3)量得測(cè)角儀到旗

桿的水平距離DB=b.利用銳角三角函數(shù)解直角三角形的知識(shí)，旗桿的高度可表示為()

A.a+btanaB.a÷bsinaC.aD.a+?-

tanas?nɑ

【答案】A

【分析】延長(zhǎng)CE交AB于F,得四邊形CDBF為矩形，故CF=DB=b,FB=CD=a,在直角三角形ACF中,

利用CF的長(zhǎng)和已知的角的度數(shù)，利用正切函數(shù)可求得AF的長(zhǎng)，從而可求出旗桿AB的長(zhǎng).

【詳解】延長(zhǎng)CE交AB于F,如圖，

.?.CF=DB=b,FB=CD=a,

在RtAACF中，∕ACF=α,CF=b,

tanZACF=-

CF

...AF=CFtan乙4CF=btanα,

AB=AF+BF=α+btana,

故選：A.

【點(diǎn)睛】主要考查了利用了直角三角形的邊角關(guān)系來(lái)解題，通過(guò)構(gòu)造直角三角形，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)

問(wèn)題是解答此類(lèi)題目的關(guān)鍵所在.

二、填空題

9.（2022?江蘇南通?統(tǒng)考中考真題）如圖，8為地面上一點(diǎn)，測(cè)得3到樹(shù)底部C的距離為Iom,在B處放置

Im高的測(cè)角儀BD,測(cè)得樹(shù)頂A的仰角為60。，則樹(shù)高4C為m（結(jié)果保留根號(hào)）.

A

【答案】10√3+1##1+1O√3

【分析】在RtAADE中，利用tan乙4。E=翌="=b，求出AE=Io/，再加上Im即為AC的長(zhǎng).

DE10

【詳解】解：過(guò)點(diǎn)。作。ElAC交于點(diǎn)E,如圖：

則四邊形8CE。是矩形，

：.BC=DE,BD=CE,

由題意可知：?ADE=60o,DE=BC=10m,

在Rt?AnE中，tan?ADE=—=—=√3,

DE10

：.AE=10√3,

.'.AE+EC=(10√3+l)m,

故答案為：10>∕3+1

【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形，解直角三角形的應(yīng)用一仰角俯角問(wèn)題，要求學(xué)生能借助仰角構(gòu)造直角

三角形并解直角三角形.

10.(2022.江蘇常州.統(tǒng)考中考真題)如圖，在四邊形ABCD中，NA=?ABC=90o,DB平分乙IDC.若4(=1,

CD=3,貝IJSin乙4BD=.

【答案】?

6

【分析】過(guò)點(diǎn)。作BC的垂線交于E,證明出四邊形ABED為矩形，ABCD為等腰三角形，由勾股定理算出DE=

√5,BD=y[6,即可求解.

【詳解】解：過(guò)點(diǎn)。作8C的垂線交于E,

???4DEB=90°

VLA=?ABC=90°,

???四邊形48E。為矩形，

???DE//AB,AD=BE=1,

?Z-ABD—乙BDE,

???BO平分〃DC,

：??ADB=Z.CDB,

-AD//BE,

????ADB=?CBD,

：.ZCDB=ZCBD

???CD=CB=3,

?.?AD=BE=1,

?CE=2,

.?.DE=√DC2-CE2=√9→=√5,

?BD=√DF2+BE2=√5+1=√6

???sin?ABD=—,

6

故答案為：?.

【點(diǎn)睛】本題考查了銳角三角函數(shù)、矩形、等腰三角形形、勾股定理、平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造

直角三角形求解.

11.（2022?江蘇揚(yáng)州?統(tǒng)考中考真題）在AABC中，“=0）0。，。、b、C分別為乙4、乙B、NC的對(duì)邊，若爐=QC,

則SinA的值為_(kāi)_________.

【答案】二歲

【詳解】解：如圖所示：

B

K

Ca

在RtAZBC中，由勾股定理可知：a2+b2=c2,

2

Vac=bf

???α2+αc=c2,

Vα>0,b>0,c>0,

???號(hào)4即：（?FT

求%=二#或￡=二聲（舍去），

在RtBC中：SinA=-=

C2

故答案為：二步.

【點(diǎn)睛】本題考查了銳角三角函數(shù)的概念及勾股定理,熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解答本題的關(guān)鍵.在

.,?乙4的對(duì)邊.右4的鄰邊.._乙4的對(duì)邊

Rdt△a44BdzC中i+1，smAyl=———,CosA=———,tan/

斜邊斜邊二一的鄰邊?

12.（2022?江蘇連云港?統(tǒng)考中考真題）如圖，在6x6正方形網(wǎng)格中，AzlBC的頂點(diǎn)4、B、C都在網(wǎng)格線上,

且都是小正方形邊的中點(diǎn)，則SinA=

【答案】捌0.8

【分析】如圖所示，過(guò)點(diǎn)C作CEj于E,先求出CE,AE的長(zhǎng)，從而利用勾股定理求出AC的長(zhǎng)，由此

求解即可.

【詳解】解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)C作CELA8于E,

由題意得CE=4,AE=3,

：.AC=y∕AE2+CE2=5,

二Sinn

故答案為：

【點(diǎn)睛】本題主要考查了求正弦值，勾股定理與網(wǎng)格問(wèn)題正確作出輔助線，構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵.

13.（2021?江蘇鎮(zhèn)江?統(tǒng)考中考真題）如圖，等腰三角形ABC中，AB=AC,BC=6,COSNABC=!,點(diǎn)尸在

邊AC上運(yùn)動(dòng)（可與點(diǎn)A,C重合），將線段8P繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120。，得到線段。P,連接80，則8。長(zhǎng)

的最大值為

A

【答案】9√3

【分析】由旋轉(zhuǎn)知ABP。是頂角為120。的等腰三角形，可求得BO=√58P,當(dāng)8P最大時(shí)，BC取最大值,

即點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，BP=BA最大,求出AB的長(zhǎng)即可解決問(wèn)題.

【詳解】解：???將線段BP繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120。，得到線段QP,

：.BP=PD,

.?.ABPD是等腰三角形，

.?ZPBD=30o,

過(guò)點(diǎn)P作PHLBD于點(diǎn)、H,

.".BH=DH,

,：cos30°=-=~,

BP2

：.BH=-BP,

2

.,.BD^y∕3BP,

當(dāng)BP最大時(shí)，8。取最大值，即點(diǎn)尸與點(diǎn)A重合時(shí)，BP=BA最大,

過(guò)點(diǎn)A作AGLBC于點(diǎn)G,

'：AB=AC,AGLBC,

；.BG=（BC=3,

"：cosAABC=-,

3

?BG1

??-—,

AB3

.?.A8=9,

.?.8力最大值為：√3BP=9√3.

故答案為：9√3.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)和判定，三角函數(shù)等知識(shí)，證明出8。=百5尸是解題的關(guān)鍵.

14.（2021?江蘇常州?統(tǒng)考中考真題）如圖，在RtAaBC中，?ACB=90o,?CBA=30°,AC=1,。是4B上

一點(diǎn)（點(diǎn)。與點(diǎn)A不重合）.若在RtAABC的直角邊上存在4個(gè)不同的點(diǎn)分別和點(diǎn)A、。成為直角三角形的

三個(gè)頂點(diǎn)，則/W長(zhǎng)的取值范圍是.

B

C'-------------------iA

【答案W<ADV2

【分析】以為直徑，作。。與8C相切于點(diǎn)M,連接。M,求出此時(shí)AD的長(zhǎng)；以AD為直徑，作。0,

當(dāng)點(diǎn)。與點(diǎn)B重合時(shí)，求出AD的長(zhǎng)，進(jìn)入即可得到答案.

【詳解】解：以A。為直徑，作。。與BC相切于點(diǎn)例，連接0例，則OMJ_BC,此時(shí)，在Rt△?!BC的直角

邊上存在3個(gè)不同的點(diǎn)分別和點(diǎn)A、。成為直角三角形，如圖，

B

.?在RtMBC中，?ACB=90o,?CBA=30°,AC=1,

?AB=2,

JOMLBC,

?.sin300=器，

設(shè)OM=x,則Ao=X,

?=Γ解得：一彳

24

??AC=2X"

以A。為直徑，作O。，當(dāng)點(diǎn)。與點(diǎn)8重合時(shí)，如圖，此時(shí)40=48=2,

在Rt△?!BC的直角邊上存在4個(gè)不同的點(diǎn)分別和點(diǎn)A、。成為直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，則力。長(zhǎng)的取值范

圍是：l<AD<2.

【點(diǎn)睛】本題主要考查圓的綜合問(wèn)題，熟練掌握?qǐng)A周角定理的推論，解直角三角形，畫(huà)出圖形，分類(lèi)討論,

是解題的關(guān)鍵.

15.（2021?江蘇常州?統(tǒng)考中考真題）如圖，在△?!BC中，AC=3,BC=4,點(diǎn)。、E分別在C4、CB上，點(diǎn)F

在△4BC內(nèi).若四邊形CDFE是邊長(zhǎng)為1的正方形，貝IJSinNFBA=

【答案】（

【分析】連接AF,CF,過(guò)點(diǎn)F作&WLAB,由SMBC=SAACF+SABCF+S-BF，可得&W=1，再根據(jù)銳角

三角函數(shù)的定義，即可求解.

【詳解】解：連接4月CF,過(guò)點(diǎn)F作FM

Y四邊形CDFE是邊長(zhǎng)為1的正方形，

...∕C=90°,

ΛAB=√32+42=5,

?SAABC=SbACF+S&BCF+SAABF,

Illl

：.-×3×4=i×3×l+i×4×l+i×5×FM,

2222

.?FΛ∕=1,

VBF=√（4-1）2÷12=√10,

?*?S?Y?Z.FBA=-J==~^.

√Ioio

故答案是：噂.

【點(diǎn)睛】本題主要考查銳角三角函數(shù)的定義，勾股定理，掌握”等積法“是解題的關(guān)鍵.

16.（2022?江蘇南通?統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)。是正方形ABCD的中心，AB=3√2.RtABEF中，ABEF=

90。,EF過(guò)點(diǎn)。，BE,BF分另IJ交4。,CO于點(diǎn)G,M,連接OE,OM,EM.^BG=DF,tan?ABG=則△OEM的

【答案】3+3√5

【分析】連接2D，則8。過(guò)正方形48CD的中心點(diǎn)0,作FH_LCD于點(diǎn)H,解直角三角形可得BG=2√?,

AG=∣AB,然后證明AABG絲AHFQ(AAS),可得。"=AG=；A8=：CQ,BC=HF,進(jìn)而可證ABCM也ZkFMW

(AAS),得到例H=例C=Tcτ>,BM=FM,然后根據(jù)等腰三角形三線合一求出OF=BW,則BG=OF=FM

=BM=2瓜再根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)和三角形中位線定理分別求出0M、EM和OE即可解決問(wèn)

題.

【詳解】解：如圖，連接8力，則B力過(guò)正方形4BC。的中心點(diǎn)0,作尸”，CD于點(diǎn)”，

"JAB=3√2,tan?ABG=1,

?'?tsnZ-ABG=—=—

AB3

ΛAG=∣Λβ=√2,

.?.8G=√4G2+4/=2√5,

VZBEF=90o,ZADC=90°,

/.ZEGD+NEQG=90。，ZEDG+ZHDF=90o,

：,/EGD=/HDF

?：NAGB=NEGD,

：.AAGB=ΛHDF,

?A=乙DHF=90°

在和AKTO中,?AGB=乙HDF

BG=DF

ABG"HFD(AAS),

：.AG=DH,AB=HF,

?.?在正方形48CD中，AB=BC=CD=AD,NC=90。,

11

ΛDH=AG=-AB=-CD,BC=HF

33f

(?C=乙FHM=90o

在ABCM和A∕77M中，j乙BMC=乙FMH，

(BC=FH

"BCMAFHM(AAS),

：?MH=MC=*D,BM=FM,

3

：?DH=MH,

?：FHtCD,

,DF=FM,

：?BG=DF=FM=BM=2瓜

ΛBF=4√5,

TM是B尸中點(diǎn)，。是BO中點(diǎn)，ABEF是直角三角形,

：,OM=LDF=炳,EM=-BF=2√5,

22

?：BD=近AB=6,ABEO是直角三角形，

：.EO=LBD=3,

2

二△OEM的周長(zhǎng)=EO+OΛ∕+EM=3+√^+2√^=3+3√5,

故答案為：3+3西.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角

形的判定和性質(zhì)，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)以及三角形中位線定理，綜合性較強(qiáng)，能夠作出合適的輔助

線，構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵.

三、解答題

17.（2022?江蘇淮安?統(tǒng)考中考真題）（1）計(jì)算：∣-5∣+（3-√Σ）°-2tan45:

(2)化簡(jiǎn)：?÷(l+?)?

【答案】(1)4；⑵?

α+3

【分析】(1)根據(jù)絕對(duì)值，零指數(shù)基和特殊角三角形函數(shù)值的計(jì)算法則求解即可;

(2)根據(jù)分式的混合計(jì)算法則求解即可.

【詳解】解：(1)原式=5+l-2xl

5+1-2

(ɑ+3)(α—3)

【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式的混合計(jì)算，特殊角三角函數(shù)值，零指數(shù)幕，絕對(duì)值等等，熟知相關(guān)計(jì)算法

則是解題的關(guān)鍵.

18.(2022?江蘇淮安?統(tǒng)考中考真題)如圖，湖邊4、B兩點(diǎn)由兩段筆直的觀景棧道AC和CB相連.為了計(jì)算4、

B兩點(diǎn)之間的距離，經(jīng)測(cè)量得：ZBAC=37。，NABC=58。，AC=80米，求A、B兩點(diǎn)之間的距離.(參考

數(shù)據(jù)：sin37o≈0.60,cos37°≈0.80,tan37o≈0.75,sin58o≈0.85,cos58°≈0.53,tan58o≈1.60)

【答案】4、B兩點(diǎn)之間的距離約為94米

【分析】過(guò)點(diǎn)C作CD1AB,垂足為點(diǎn)0,分別解RtA4C0,Rt?BCD,求得4D,BD的長(zhǎng)，進(jìn)而根據(jù)48=AD+

BD即可求解.

【詳解】如圖，過(guò)點(diǎn)C作CDlAB,垂足為點(diǎn)。，

在Rt△4CD中，

:4DAC=37o,AC=80米，

.".SinZ-DAC=—,COSZ.DAC=―,

ACAC

ΛCD=AC-sin37o≈80×0.60=48（米）,

AD=AC-cos37°≈80×0.80=64（米），

在Rt△BCD中，

TNCBD=58°,CD=48米,

AtanzCBD=—,

.,.AB=∕1D+BD=64+30=94（米）.

答：4、B兩點(diǎn)之間的距離約為94米.

【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵.

19.（2022.江蘇徐州.統(tǒng)考中考真題）如圖，公園內(nèi)有一個(gè)垂直于地面的立柱AB,其旁邊有一個(gè)坡面CQ,坡

角NQeN=30。.在陽(yáng)光下，小明觀察到在地面上的影長(zhǎng)為120cm,在坡面上的影長(zhǎng)為180cm.同一時(shí)刻，

小明測(cè)得直立于地面長(zhǎng)60Cm的木桿的影長(zhǎng)為90Cm（其影子完全落在地面上）.求立柱AB的高度.

N

B

【答案】（l70+60?m

【分析】延長(zhǎng)AO交BN于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)Q作OFJ_8N于點(diǎn)凡根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出。尸，根據(jù)余弦的

定義求出CP,根據(jù)題意求出EF,再根據(jù)題意列出比例式，計(jì)算即可.

【詳解】解：延長(zhǎng)AD交BN于點(diǎn)E.過(guò)點(diǎn)D作DFLBN于點(diǎn)、F,

在Rt△(?￡>F中，ZCFD=90°,NDeF=30°,

則DF=∣CD=90(cm),CF=CD?cosZDCF=180×y=90√3(cm),

由題意得:畔嗯

解得：EF=135,

BE=BC+CF+EF=120+9()√3+l35=(255+90aCm,

(ji∣ι__絲—二竺

'255+90√390

解得：AB=170+60√3,

答：立柱AB的高度為（170+60g）cm.

【點(diǎn)睛】此題考查了解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問(wèn)題、平行投影的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，正確

作出輔助線，利用銳角三角函數(shù)和成比例線段計(jì)算.

20.（2022?江蘇南通?統(tǒng)考中考真題）如圖，矩形力BCD中，AB=4,AD=3,點(diǎn)E在折線BCO上運(yùn)動(dòng)，將AE繞

點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到AF,旋轉(zhuǎn)角等于NBaC,連接CF.

(1)當(dāng)點(diǎn)E在BC上時(shí)，作FMIAC,垂足為M,求證AM=48；

(2)當(dāng)4E=3√Σ時(shí)，求C尸的長(zhǎng);

(3)連接DF,點(diǎn)E從點(diǎn)3運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)。的過(guò)程中，試探究DF的最小值.

【答案】(1)見(jiàn)詳解

⑵百或√∏

【分析】(1)證明△4BEmAZMF即可得證.

(2)分情況討論，當(dāng)點(diǎn)E在BC上時(shí)，借助AABEWZiAM/，在RtZkCMF中求解；當(dāng)點(diǎn)E在C。上時(shí)，過(guò)

點(diǎn)E作EG,AB于點(diǎn)G,H7,AC于點(diǎn)，，借助AAGEBAAHF并利用勾股定理求解即可.

(3)分別討論當(dāng)點(diǎn)E在BC和CO上時(shí)，點(diǎn)尸所在位置不同，O尸的最小值也不同，綜合比較取最小即可.

(1)

如圖所示，

由題意可知，44MF=NB=90。，/LBAC=Z.EAF,

??BAE=?MAF,

由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)知：AE=AF,

在AABE和AZMF中，

乙B=?AMF

{?BAE=4MAG

AE=AF

??.△ABE=△AMF,

^AM=AB.

(2)

當(dāng)點(diǎn)E在BC上時(shí)，

在RtAABE中，AB=4,AE=3√2,

則BE=>JAE2-AB2=√2,

在RtZMBC中，AB=4,BC=3,

則AC=?∕AB2+BC2=5,

由（1）可得，MF=BE=√2,

在RtACM尸中，MF=√2,CM=AC-AM=5-4=1,

則CF=√MF2+CM2=√3,

當(dāng)點(diǎn)E在Co上時(shí)，如圖，

過(guò)點(diǎn)E作EGLAB于點(diǎn)G,FWLAC于點(diǎn)H,

同(1)∏TW?AGE≡Δ,AHF,

：.FH=EG=BC=3lAH=AG=3,HC=2,

由勾股定理得CF=√32+22=√13;

故CF的長(zhǎng)為g或√∏.

(3)

如圖1所示，當(dāng)點(diǎn)E在8C邊上時(shí)，過(guò)點(diǎn)￡＞作。HJ.FM于點(diǎn)H,

由(1)知，/.AMF=90°,

故點(diǎn)尸在射線M尸上運(yùn)動(dòng)，且點(diǎn)產(chǎn)與點(diǎn)H重合時(shí)，￡＞，的值最小.

在^CMJ與ACD4中，

乙CMJ=?ADC

^-?MCJ=?ACD,

：.Rt△CMJ~Rt△CDAt

.CM_MJ_CJ

??記一布一族，

即.?一=生=旦，

435

DJ=CD-CJ=4-^=B

在ACMJ與ADHJ中,

乙CMJ=乙DHJ

nCJM=4DJH'

???RtACMJ?RtADHJ,

CM_CJ

?*-=—，

DHDJ

ap?=?

4

DH=γ,

故DF的最小值號(hào);

圖1

如圖2所示，當(dāng)點(diǎn)E在線段CD上時(shí)，將線段43繞點(diǎn)4順時(shí)針旋轉(zhuǎn)乙BaC的度數(shù)，得到線段AR,連接尸R,

過(guò)點(diǎn)。作。Q_LAR,DK1FR,

由題意可知，?DAE=?RAF,

在ZMRF與A4DE中，

AD=AR

{?DAE=/.RAF,

AE=AF

ADE=△ARFt

???URF=乙ADE=90°,

故點(diǎn)F在RF上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)K重合時(shí)，CF的值最??；

由于DQIAR,DK1FR,NARF=90。，

故四邊形。。RK是矩形；

.?.DK=QR,

412

ΛAQ=AD-cos?BAC=3×∣=γ,

VAR=AD=3,

123

：.DK=QR=AR-AQ=3=

故此時(shí)OF的最小值為去

由于1<￡，故力尸的最小值為：

【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)和判定、勾股定理、解直角

三角形，解決本題的關(guān)鍵是各性質(zhì)定理的綜合應(yīng)用.

21?（2022?江蘇鹽城?統(tǒng)考中考真題）2022年6月5日，“神舟十四號(hào)”載人航天飛船搭載“明星”機(jī)械臂成功

發(fā)射.如圖是處于工作狀態(tài)的某型號(hào)手臂機(jī)器人示意圖，。力是垂直于工作臺(tái)的移動(dòng)基座，AB、BC為機(jī)械臂，

OA=lm,AB=5m,BC=2m,?ABC=143°.機(jī)械臂端點(diǎn)C到工作臺(tái)的距離CD=6m.

（1）求4、C兩點(diǎn)之間的距離；

（2）求OO長(zhǎng).

（結(jié)果精確到0.1處參考數(shù)據(jù)：sin37o≈0.60,cos37o≈0.80,tan370≈0.75,√5≈2.24）

【答案】（l）6.7m

(2)4.5m

【分析】（1）連接AC,過(guò)點(diǎn)4作AH_LBC,交CB的延長(zhǎng)線于H,根據(jù)銳角三角函數(shù)定義和勾股定理即可解決

問(wèn)題.

（2）過(guò)點(diǎn)4作4G_LDC,垂足為G,根據(jù)銳角三角函數(shù)定義和勾股定理即可解決問(wèn)題.

【詳解】（1）解：如圖2,連接4C,過(guò)點(diǎn)A作4H1BC,交CB的延長(zhǎng)線于H.

圖2

在Rt△4BH中，?ABH=180o-?ABC=37°,

sin37o=—,所以AH=AB?sin37°B3m,

AB

cos37o=―,所以BH=4B?cos37o*4m,

AB

在Rt△4CH中，AH=3m,CH=BC+BH=6m,

根據(jù)勾股定理得4C=>∕CH2+AH2=3√5≈6.7m,

答：4、C兩點(diǎn)之間的距離約6.7m.

(2)如圖2,過(guò)點(diǎn)4作AGJ.DC,垂足為G,

圖2

則四邊形AGD。為矩形，GC=AO=lm,AG=OD,

所以CG=CD-GD=Sm,

在Rt△4CG中，AG=3V5m,CG=5m.

根據(jù)勾股定理得4G=y∕AC2-CG2=2√5≈4.5m.

.?.OD=AG=4.5m.

答:。。的長(zhǎng)為4.5m.

【點(diǎn)睛】求角的三角畫(huà)數(shù)值或者求線段的長(zhǎng)時(shí)，我們經(jīng)常通過(guò)觀察圖形將所求的角成者線段轉(zhuǎn)化到直角三

角形中（如果沒(méi)有直角三角形，設(shè)法構(gòu)造直角三角形），再利用銳角三角畫(huà)數(shù)求解

22.（2022?江蘇無(wú)錫?統(tǒng)考中考真題）如圖，已知四邊形ABCQ為矩形4B=2√Σ,BC=4,點(diǎn)E在BC上，

CE=AE,將AABC沿AC翻折至IJAAFC,連接EF.

⑴求EF的長(zhǎng)；

⑵求SinNCEF的值.

【答案】（1）√I7

（2浩向

【分析】（1）先由RtAABE可求得AE的長(zhǎng)度，再由角度關(guān)系可得NFAE=90。，即可求得EF的長(zhǎng)；

（2）過(guò)尸作FM_LCETM,利用勾股定理列方程，即可求出EM的長(zhǎng)度，同時(shí)求出FM的長(zhǎng)度，得出答案.

【詳解】（1）設(shè)BE=X,則EC=4—x,

??AE=EC=4—%,

在RtΔ4BE中，AB2+BE2=AE2,

：.（2√2）2+X2=（4-X）2,

/.X=1,

：?BE=1,AE=CE=3,

9JAE=EC,

Λzl=Z2,

Vz4BC=90o,

ΛzCΛF=90o-z2,

.??CAB=90o-Zl,

由折疊可知AFACMABAC,

；?乙FAC=乙CAB=90o-Zl,AF=AB=2√2,

ΛzFi4C÷zl=90°,

:,(FAE=90°,

=√Γ7.

(2)過(guò)尸作尸MJ_8C于

JNFME=∕FMC=900,

設(shè)EM=凡則EC=3-小

在AtZkFME中，F(xiàn)M2=FE2-EM2,

222

在Rt△FMC中，F(xiàn)M=FC-MCi

：.FE2-EM2=FC2-MC2,

J(√17)2-α2=42-(3-α)2,

?5

..a=一,

.?.EM∕

：.FM=J(√17)2-(∣)2=

I也

?.,「口口FM§88/?-r

..SinzCFF=—=?==-√34.

EF√1751

【點(diǎn)睛】此題考查了銳角三角函數(shù)，勾股定理，矩形的性質(zhì)，通過(guò)添加輔助線構(gòu)建直角三角形是解題的關(guān)

鍵.

23.（2022?江蘇蘇州?統(tǒng)考中考真題）（1）如圖1,在AABC中，/.ACB=2?B,CZ）平分44CB,交AB于點(diǎn)

D,DEHAC,交BC于點(diǎn)、E.

圖1

①若OE=1,BD=|,求BC的長(zhǎng)；

②試探究竟-差是否為定值.如果是，請(qǐng)求出這個(gè)定值；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

ADDE

（2）如圖2,4CBG和Z?BC尸是△A8C的2個(gè)外角，乙BCF=2乙CBG,C。平分4BCF,交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)

D,DEIIAC,交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.記^ACD的面積為S「△CDE的面積為S2,△BDE的面積為S3.若Si?S3=

-Sl，求CoSNCBZ）的值.

16”

圖2

【答案】⑴①BC=：；②*一案是定值，定值為1；⑵CoS“BD=:

4ADDE8

【分析】(1)①證明ACE。SACOB,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求解即可；

②由CEllAC,可得W=絡(luò)由①同理可得CE=Z)E,計(jì)算器—器=L

ADDEADDE

⑵根據(jù)平行線的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)可得3=W=能又第=絡(luò)則警=骼可得器=?,設(shè)BC=

S2DEBES2CESSCECE16

9x,則CE=16x.證明△CDBCED,可得CD=12x,過(guò)點(diǎn)。作DH1BC于H.分別求得BD,BH,進(jìn)

而根據(jù)余弦的定義即可求解.

【詳解】(1)①平分NaCB,

/.ZTlCD=乙DCB=-?ACB.

2

9Cz-ACB=2(B,

ΛZ.ACD=Z.DCB—乙B.

3

ΛCD=BD=-.

2

DEWACt

：.?ACD=乙EDC.

Λ?EDC=?DCB=Z.B.

：.CE=OE=L

?*?ΔCEDCDB.

.CE_CD

??—?

CDCB

9

：.BC=-.

4

②:DEIIAC,

?ABBC

??-=----.

ADCE

由①可得CE=DE,

.ABBC

??-=----.

ADDE

...-A-B-----B-E-=-B-C-----B-E--=—CE=1Y.

ADDEDEDEDE

?潦一黃是定值，定值為1?

(2),：DEWAC,

???△BDES匕BAC

BC_AB_AC

''~BE~~BD~~DE

.S1_AC_BC

**S2~DE~BE?

??S3_BE

S2CE

.S]?SsBC

Sl~~CE'

又?.?S1?S3=Q2

.≤C__9_

**CE-16,

設(shè)BC=9x,則CE=16x.

TC。平分NBCF,

1

."ECD=乙FCD=-Z-BCF.

2

?:(BCF=2乙CBG,

."ECD=乙FCD=乙CBD.

：.BD=CD.

VDEIMC,

:?乙EDC=?FCD.

：.Z.EDC=Z-CBD=?ECD.

：.CE=DE.

ZDCB=(ECD,

△CDB?&CED.

???—CD=—CB.

CECD

：.CD2=CBCE=144X2.

ΛCD=12x.

如圖，過(guò)點(diǎn)力作。H■!BC于H.

C

9：BD=CD=12x,

19

:?BH=iBC=-x.

22

.,.cos?CBD=—=?=-.

BD12X8

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，求余弦，掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵.

24.（2022.江蘇鎮(zhèn)江.統(tǒng)考中考真題）如圖1是一張圓凳的造型，已知這張圓凳的上、下底面圓的直徑都是30cm,

高為42.9cm?它被平行于上、下底面的平面所截得的橫截面都是圓.小明畫(huà)出了它的主視圖，是由上、下

底面圓的直徑AB、CD以及新、距組成的軸對(duì)稱(chēng)圖形，直線，為對(duì)稱(chēng)軸，點(diǎn)M、N分別是前、的的中點(diǎn)，如

圖2,他又畫(huà)出了他所在的扇形并度量出扇形的圓心角4AEC=66。，發(fā)現(xiàn)并證明了點(diǎn)E在MN上.請(qǐng)你繼續(xù)

完成MN