2023年山西省臨汾市高考數(shù)學(xué)第一次模擬試卷及答案解析

2023年山西省臨汾市高考數(shù)學(xué)第一次考前適應(yīng)性試卷

一、選擇題（共8小題，每小題5分，滿分40分）

1.（5分）已知集合A={xEN∣-5V2x-1<3},則集合A的子集的個(gè)數(shù)為（）

A.8B.7C.4D.3

2.（5分）復(fù)數(shù)z史?的虛部為（）

A.-3iB.-6iC.-3D.-6

3.（5分）拋物線C的焦點(diǎn)F關(guān)于其準(zhǔn)線對(duì)稱的點(diǎn)為（0,-9）,則C的方程為（）

A.x2=6yB.xi-I2yC.x2=18yD.xi-36y

4.（5分）1682年，英國(guó)天文學(xué)家哈雷發(fā)現(xiàn)一顆大彗星的運(yùn)行曲線和1531年、1607年的彗

星驚人地相似.他大膽斷定,這是同一天體的三次出現(xiàn),并預(yù)害它將于76年后再度回歸.這

就是著名的哈雷彗星,它的回歸周期大約是76年.請(qǐng)你預(yù)測(cè)它在本世紀(jì)回歸的年份（）

A.2042B.2062C.2082D.2092

5.（5分）已知乙Z為不共線的非零向量,AB=a+5b,BC=-2a+8b,CD=3a-3b,

則（）

A.A,B,C三點(diǎn)共線B.A,B、。三點(diǎn)共線

C.B,C,。三點(diǎn)共線D.A,C,。三點(diǎn)共線

6.（5分）（2√≡-9）6的展開式中小的系數(shù)為（）

A.-160B.-64C.64D.160

7.（5分）已知α="1.1,c=√0JL,則（）

A.a>b>cB.a>c>bC.c>b>aD.c'>a'>b

8.（5分）《九章算術(shù)?商功》提及一種稱之為“羨除”的幾何體，劉徽對(duì)此幾何體作注：“羨

除，隧道也其所穿地，上平下邪.似兩鱉腴夾一塹堵，即羨除之形.”羨除即為：三個(gè)面

為梯形或平行四邊形（至多一個(gè)側(cè)面是平行四邊形），其余兩個(gè)面為三角形的五面幾何

體.現(xiàn)有羨除48CDEF如圖所示，底面ABC。為正方形，EF=4,其余棱長(zhǎng)為2,則羨

除外接球體積與羨除體積之比為（）

A.2√2ττB.4√2πD.2?user2π

二、選擇題（共4小題，每小題5分，滿分20分）

（多選）9.（5分）某學(xué)生社團(tuán)有男生32名，女生24名，從中隨機(jī)抽取一個(gè)容量為7的樣

本，某次抽樣結(jié)果為：抽到3名男生和4名女生，則下列說法正確的是（）

A.這次抽樣可能采用的是抽簽法

B.這次抽樣不可能是按性別分層隨機(jī)抽樣

C.這次抽樣中，每個(gè)男生被抽到的概率一定小于每個(gè)女生被抽到的概率

D.這次抽樣中，每個(gè)男生被抽到的概率不可能等于每個(gè)女生被抽到的概率

（多選）10.（5分）已知函數(shù)/（乃=的（2%-9，則下列說法正確的有（）

A./（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（相，0）中心對(duì)稱

B./（x）的圖象關(guān)于直線X=髀稱

C.f（x）在落，g?］上單調(diào)遞減

Tr

D.將F（X）的圖象向左平移三個(gè)單位，可以得到g（x）=COSIX的圖象

（多選）11.（5分）如圖，在平行六面體ABCo-AIBIC1/力中，E,尸分別是AB,BC的中

點(diǎn)，以A為頂點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)都是2,ZAιΛD=ZAMB=ZBΛD=60o,則下列說法正確

的是（）

AEBF

A.EF〃平面AleI。

B.ACl_L平面ARO

C.AC1=3√2

2√2

D.ACl與AC夾角的余弦值為不~

（多選）12.（5分）定義在R上的函數(shù)f（x）=Cax-X2）（x2+?x+4）滿足/（4-x）-f

（x）=0,則下列說法正確的是（）

A.函數(shù)/（2-χ）是奇函數(shù)

B.函數(shù)/（3x+2）是偶函數(shù)

C.函數(shù)/（sin（x+2））是周期函數(shù)

9

D.若函數(shù)/（x）有4個(gè)零點(diǎn)，則函數(shù)/G）的最大值為一

4

三、填空題（共4小題，每小題5分，滿分20分）

aa3

13.（5分）已知sin—+cos—=-，則Sina=.

225-----------

14.（5分）如圖，現(xiàn)要對(duì)某公園的4個(gè)區(qū)域進(jìn)行綠化，有5種不同顏色的花卉可供選擇，

要求有公共邊的兩個(gè)區(qū)域不能用同一種顏色的花卉，共有種不同的綠化方案（用

數(shù)字作答）.

15.（5分）設(shè)A（f,0）,P是曲線），="上的動(dòng)點(diǎn)，且IP川≥2g.則f的取值范圍是.

X2y2

16.（5分）已知雙曲線C：--1T=1（a>0,b>0）的離心率為2,F?,尸2分別為C的

左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)A，B在C上且關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O對(duì)稱，過點(diǎn)A分別做C的兩條漸近線的

垂線，垂足分別為M,N,若∣A8∣=∣F∣F2∣,且四邊形AFIBF2的面積為6,則AAMN的面

積為.

四、解答題（共6小題，滿分70分）

17.（10分）已知數(shù)列｛α,∣｝,｛6"｝,滿足αι=10,an+i-a∣fl>bn-Igctn-

（1）證明｛加｝是等比數(shù)列，并求｛a｝的通項(xiàng)公式；

、.Ill1

（2）設(shè)Cn—lθg3?1+Iθg3?2+lθg3?3+?+lθg3?n+lθg3?n+l>證明：一+—+—+…+—<2.

cιc2c3cn

18.（12分）記BC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為4,b,c,己知“cosB=6（l+cos4）.

（1）證明：A=2B；

（2）若c=2b,α=√3,求44BC的面積.

19.（12分）技術(shù)員小李對(duì)自己培育的新品種蔬菜種子進(jìn)行發(fā)芽率等試驗(yàn)，每個(gè)試驗(yàn)組3個(gè)

3

坑，每個(gè)坑種2粒種子.經(jīng)過大量試驗(yàn)，每個(gè)試驗(yàn)組沒有發(fā)芽的坑數(shù)平均數(shù)為一.

4

（1）求每粒種子發(fā)芽的概率P；

（2）若一個(gè)坑內(nèi)至少有一粒種子發(fā)芽，則這個(gè)坑不需要補(bǔ)種；若一個(gè)坑內(nèi)的種子都沒有

發(fā)芽，則這個(gè)坑需要補(bǔ)種.取出一個(gè)試驗(yàn)組，對(duì)每個(gè)不發(fā)芽的坑補(bǔ)種1粒種子.設(shè)本試

驗(yàn)組種植種子數(shù)為匕求y的平均數(shù).

20.(12分)在三棱錐。-ABC中，ABLBC,CDLBC,AB=CD=五BC,取直線AB與

TT→→Jl

Co的方向向量分別為84CD,若B4與CD夾角為3

(1)求證：ACVBD-,

(2)求平面ABO與平面BC。的夾角的余弦值.

21.(12分)已知用周長(zhǎng)為36的矩形截某圓錐得到橢圓C：與+4=l(a>b>0),C與矩

ab

形的四邊都相切且焦距為2c,.

①α,b,c為等差數(shù)列；②α+Lc,k為等比數(shù)列.

O

(I)在①②中任選一個(gè)條件，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：

(2)(1)中所求C的左、右焦點(diǎn)分別為Q,Fi,過門作直線與橢圓C交于P,。兩點(diǎn)，

A為橢圓的右頂點(diǎn)，直線AP,A。分別交直線X=-竽于M,N兩點(diǎn)，求以MN為直徑的

圓是否過定點(diǎn)，若是求出該定點(diǎn)；若不是請(qǐng)說明理由.

22.(12分)已知函數(shù)/(x)=^'-ax1+2ax+b,f(X)是其導(dǎo)函數(shù).

(1)討論/(x)的單調(diào)性；

(2)對(duì)Vx∈R,(χ-2)?∕(x)20恒成立，求4的取值范圍.

2023年山西省臨汾市高考數(shù)學(xué)第一次考前適應(yīng)性試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題（共8小題，每小題5分，滿分40分）

1.（5分）已知集合A={x∈N∣-5V2χ-1V3},則集合4的子集的個(gè)數(shù)為（）

A.8B.7C.4D.3

【解答】解：集合A={x∈N-5V2r-1V3}={O,1},

集合A的子集為0,{0},{1},{0,1},共4個(gè).

故選：C.

2.(5分)復(fù)數(shù)Z=露？的虛部為()

A.-3/B.-6/C.-3D.-6

5(4+i2)_1515(-l-2i)__15-30i

【解答】解:Z—i(2+i)=-l+2ι=(-l+2i)(-l-2i)=5虛部為-

6.

故選：D.

3.（5分）拋物線C的焦點(diǎn)廠關(guān)于其準(zhǔn)線對(duì)稱的點(diǎn)為（0,-9）,則。的方程為（）

A.∕=6yB.x2=l2yC.∕=18yD.x2=36y

【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)拋物線C的方程為∕=2py（p>0）,

則拋物線的焦點(diǎn)為（0,1）,則準(zhǔn)線為y=—多

???拋物線C的焦點(diǎn)尸關(guān)于其準(zhǔn)線對(duì)稱的點(diǎn)為（0,-9）,

~+（-9）P

---=-->解得p=6,

,C的方程為∕=12y,

故選：B.

4.（5分）1682年，英國(guó)天文學(xué)家哈雷發(fā)現(xiàn)一顆大彗星的運(yùn)行曲線和1531年、1607年的彗

星驚人地相似.他大膽斷定,這是同一天體的三次出現(xiàn),并預(yù)害它將于76年后再度回歸.這

就是著名的哈雷彗星,它的回歸周期大約是76年.請(qǐng)你預(yù)測(cè)它在本世紀(jì)回歸的年份（）

A.2042B.2062C.2082D.2092

【解答】解：由題意，可將哈雷彗星的回歸時(shí)間構(gòu)造成一個(gè)首項(xiàng)是1682,公差為76的等

差數(shù)列■"},

則等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為麗=1682+76Cn-1）=76〃+1606,

.?.。5=76X5+1606=1986,。6=76X6+1606=2062,

可預(yù)測(cè)哈雷彗星在本世紀(jì)回歸的年份為2062年.

故選：B.

5.（5分）已知之Z為不共線的非零向量，AB=a+5b,BC=-2a+8b,CD=3a-3b,

則（）

A.A,B,C三點(diǎn)共線B.A,B、￡＞三點(diǎn)共線

C.B,C,。三點(diǎn)共線D.4,C,。三點(diǎn)共線

【解答】解：?'AB=a+5b,BC=-2a+8b,

不存在入，使易=入立，

故4,B,C三點(diǎn)不共線，

故選項(xiàng)4錯(cuò)誤：

'：BDBC+CD=a+5b,

：.AB=BD,

：.A,B、。三點(diǎn)共線，

故選項(xiàng)B正確；

"：BC=-2a+8b,CD=3a-3b,

不存在入，使后＞=人院

故8,C,。三點(diǎn)不共線，

故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

'：AC=AB+BC=-a+13fa,CD=3a-3b,

不存在入，使品=入cB,

故A,D,C三點(diǎn)不共線，

故選項(xiàng)￡＞錯(cuò)誤；

故選：B.

6.（5分）（2代一4）6的展開式中小的系數(shù)為（）

VK

A.-160B.-64C.64D.160

【解答】解：(2立一與6的展開式的通項(xiàng)公式為J]=C式2立)67(_白V=重26T.

V人V人

(-l)r?x3-r,

令3-r=3,則r=0,故展開式中小的系數(shù)為C*6.(-I)O=64.

故選：C.

7.(5分)已知Q=》1.1,b=yγ,c=VθΛ,則()

A.a>b>cB.a>c>bC.c>b>aD.c>a>b

【解答】解：由題知構(gòu)造f(%)=仇(1+%)-√≡,(x20),

所以r(X)=?-?=2工/宏)=；警二)：≤0，

JVJ1+X2√X2√X(1+X)2√X(1+X)

故f(x)在[0,+8)單調(diào)遞減,所以"(M)Vf(O)=0,即)(Ll)-VUGvo,BPZn(l.l)

<√0Λ,即α<c,

因?yàn)榧?.1—In-?^=—In??=-In????=~ln(l—??)>

構(gòu)造g(X)—In(1+x)-χfx∈(-1,0],

所以g'(x)=七-1=急≥0,即g(x)在(-1,0]上單調(diào)遞增，

1Ii11

所以g(-yy)<?(0)=0,即In(I-yy)+五VO,即五〈一》(1一五)，即b<4,

綜上所述，h<a<c.

故選：D.

8.（5分）《九章算術(shù)?商功》提及一種稱之為“羨除”的幾何體，劉徽對(duì)此兒何體作注：“羨

除，隧道也其所穿地，上平下邪.似兩鱉腴夾一塹堵，即羨除之形.”羨除即為：三個(gè)面

為梯形或平行四邊形（至多一個(gè)側(cè)面是平行四邊形），其余兩個(gè)面為三角形的五面幾何

體.現(xiàn)有羨除ABCDEF如圖所示，底面ABC。為正方形，EF=4,其余棱長(zhǎng)為2,則羨

除外接球體積與羨除體積之比為（）

A.2y∣2πB.4V2τrC.—^―πD.2?user2π

【解答】解：如圖，連接AC、BD交于點(diǎn)M,取EF的中點(diǎn)O,連接OM,

則OM，平面ABCD.取BC的中點(diǎn)G,

連接FG,作G，，EF,垂足為“，根據(jù)題意可得:

OA=OB=OC=OD,OE=OF=2,HF=^EF=1,FG=^-BC=√3,

：.HG=>JFG2-HF2=√2,

：.0M=HG=?[2,

又AM=辱AB=√2,

OA=y∕0M2+AM2=2,

,OA=OB=OC=OD=OE=OF=Z,

...這個(gè)羨除的外接球的球心為O,半徑為2,

這個(gè)羨除的外接球的體積為匕=τrr3=1兀X8=當(dāng)3

'：AB//EF,ABC平面CDEF,EFU平面CDEF,

.?.AB〃平面CDEF,

點(diǎn)A到平面CDEF的距離等于點(diǎn)B到平面CDEF的距離，

又易知aOED0aOCD,

.*.VA-OED=VB-OCD=VO-BCD,

???這個(gè)羨除的體積為：

?1Q√2

Vi=VA-OEZ)+3VoBCD=4VOBCD=4×?×2×2×2×√2=-?-,

，羨除外接球體積與羨除體積之比為凸=-∣-X-?==2①兀，

V238V2

二、選擇題（共4小題，每小題5分，滿分20分）

（多選）9.（5分）某學(xué)生社團(tuán)有男生32名，女生24名，從中隨機(jī)抽取一個(gè)容量為7的樣

本，某次抽樣結(jié)果為：抽到3名男生和4名女生，則下列說法正確的是（）

A.這次抽樣可能采用的是抽簽法

B.這次抽樣不可能是按性別分層隨機(jī)抽樣

C.這次抽樣中，每個(gè)男生被抽到的概率一定小于每個(gè)女生被抽到的概率

D.這次抽樣中，每個(gè)男生被抽到的概率不可能等于每個(gè)女生被抽到的概率

【解答】解：根據(jù)抽樣結(jié)果，此次抽樣可能采用的是抽簽法，故A正確；

若按分層抽樣，則抽得的男女人數(shù)應(yīng)為4人，3人，

所以這次抽樣不可能是按性別分層隨機(jī)抽樣，故B正確；

若按抽簽法，則每個(gè)男生被抽到的概率和每個(gè)女生被抽到的概率均相等，故C,。錯(cuò)誤.

故選:AB.

（多選）10.（5分）已知函數(shù)/（無）=cos（2x-芻，則下列說法正確的有（）

A.f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（言，0）中心對(duì)稱

B./（x）的圖象關(guān)于直線X=E對(duì)稱

C./（Λ）在雷，韻上單調(diào)遞減

Tt

D.將/（x）的圖象向左平移§個(gè)單位，可以得到g（X）=CoS2Λ的圖象

【解答】解：令2x—5=5+∕OT,解得X=修+竽，

二函數(shù)的對(duì)稱中心為（,+竽，0）,?∈Z,故A選項(xiàng)正確；

令2x-E=kn，解得工=看+竽，

.?.函數(shù)的對(duì)稱軸為X=I+與，kez,故8選項(xiàng)錯(cuò)誤；

oZ

.TT.712TT

令2!Cπ≤2%—?<7Γ÷2fcτr,解得一+kπ≤x≤—+kπ,

363

2TT

所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為廠+囪，+?],k∈Z,故C選項(xiàng)正確；

將f（x）的圖象向左平移W個(gè)單位得g（x）=cos（2（x+$T）=cos（2x+9,故。選項(xiàng)

錯(cuò)誤.

故選：AC.

（多選）11.（5分）如圖，在平行六面體ABCD-4B∣CIDl中，E,尸分別是48,BC的中

點(diǎn)，以A為頂點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)都是2,NAIA。=/AlAB=N540=60°,則下列說法正確

的是（）

D

BG

A.EF〃平面AIC1。

B.ACl_L平面AiBQ

C.ACl=3√2

2√2

D.4。與AC夾角的余弦值為三

【解答】解：A選項(xiàng)，連接EF,AC,A∣C∣,AiD,CiD,

因?yàn)镋,尸分別是AB,BC的中點(diǎn)，所以E尸〃AC,

根據(jù)棱柱的性質(zhì)可知AC〃4Ci,所以EF∕∕A?C?,

由于EFc平面AleIQ,AIClU平面AIClZ),

所以EF〃平面AIC1。，所以A選項(xiàng)正確.

B選項(xiàng)，∕1C1=AB+AD+AA1,A1D=AD-AA1,BD=AD-AB,

2

貝IJXC1-A^D=(AB+AD+AA1)■(AD-AA1)=AB-AD-AB-AA1+AD-AD-

TrT-?2]]]?

AAγ+AAγ?AD—AAγ=2x2X]+2x2+2x2X2—2×2×?—2x2x?^?—2×

2=0,

同理AC1-BD=(AB+AD+AA1)-(AD-AB)=2×2×^+2×2+2×2×^-2×

11

2—2x2X[—2x2X]=0,

所以Aaj_4￡>,ACilBD,

由于AIo∩8OuO,AiZ),8。U平面Al80,所以Ael，平面48。，8選項(xiàng)正確.

—?—>—?-?—>>—?2—>>>>

2222

(∕4C1)=(AB+AD+AA1)=AB+AD+AA1+2AB-AD+2AB-AA1+2AD-

T222111

∕1∕11=2+2+2+2(2×2×?+2×2×?+2×2×?)=24,

所以|4、|=2√6,即AG=2√6,C選項(xiàng)錯(cuò)誤.

。選項(xiàng)，|品1|=2^6,AC=AB+AD,(AC)2=(Λ?+AD)2=22+2×2×2×∣+22=

12,前I=2√3,

TTTTTTT[[[

AC1?AC=(√4B+AD+A.Aγ)?(^AB+AD)=2×2+2×2×2^+2×2×2~^2×2×2^+

2x2+2x2x^=16,

所以Acl與AC夾角為θ,

則皿"I告焉I=舌=挈

。正確.

故選：ABD.

(多選)12.(5分)定義在R上的函數(shù)/(x)=(αχ-χ2)(√+?+4)滿足/(4-x)-/

(X)=0,則下列說法正確的是()

A.函數(shù)f(2-χ)是奇函數(shù)

B.函數(shù)f(3x+2)是偶函數(shù)

C.函數(shù)/(sin(x+2))是周期函數(shù)

9

D.若函數(shù)f(x)有4個(gè)零點(diǎn)，則函數(shù)/(x)的最大值為1

【解答】解：對(duì)于選項(xiàng)A,?"(4-χ)-f(x)=0,即：f(4-χ)=f(x),

.,./(2-?)=f(2+x),.?./(2-x)為偶函數(shù).故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)B,,：f(4-x)-f(x)=0,BP：/(4-χ)=∕(x),

,V(2-3x)=∕(3x+2),：.f(3x+2)為偶函數(shù).故選項(xiàng)8正確：

對(duì)于選項(xiàng)C,V∕(sin(x+2))=∕(sin(X+2+2?π)),Λ∈Z,Λ∕(sin(x+2))是周期函數(shù).故

選項(xiàng)C正確；

對(duì)于選項(xiàng)。，f(X)—(a-2x)(X2+?Λ+4)+(Or-Λ2)(2X+?),

V∕(4-χ)-f(x)=0,.?.∕(x)的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱，

：.f(4)=f(0)且/(2)=0,

.1(4)=(4α-16)(20+4b)=0(a=3HVfa=4

''lf(2)=(4α-12)(4+h)=0'解倚L=一5，七=一4’

當(dāng){￡二44時(shí)'f(X)=(4X-/)(/-4x+4)=X(4-X)(X-2)2,

易得函數(shù)/(x)只有3個(gè)零點(diǎn)，不符合題意.

兆二5時(shí)，

/(x)=(3x-%2)(x2-5x+4)=-χ(χ-3)(χ-1)(%-4)=(4%—x2)[(x2-4x)÷3]≤

(4%-％2)+[(%2-4%)+3]]2=2

{2?^4,

當(dāng)且僅當(dāng)4χ-∕=χ2-4x+3,即X=2土半時(shí)取等號(hào).所以/(x)的最大值為U故選項(xiàng)

44

。正確.

故選：BCD.

三、填空題(共4小題，每小題5分，滿分20分)

13.(5分)已知sin—+cos—=一，則Sina=—罷.

225—25—

【解答】解:?.?(s?ι,+cos》=1+2st畤COS)=1+sinα,sfn?+cos

，一=1÷sina,解得：sina=一您.

2525

故答案為：—要.

14.(5分)如圖，現(xiàn)要對(duì)某公園的4個(gè)區(qū)域進(jìn)行綠化，有5種不同顏色的花卉可供選擇，

要求有公共邊的兩個(gè)區(qū)域不能用同一種顏色的花卉，共有180種不同的綠化方案(用

數(shù)字作答).

【解答】解：如圖:

ABD

C

從A開始擺放花卉，A有5種顏色花卉擺放方法，

B有4種顏色花卉擺放方法，C有3種顏色花卉擺放方法；

由。區(qū)與B,C花卉顏色不一樣，與A區(qū)花卉顏色可以同色也可以不同色，

則D有3種顏色花卉擺放方法.

故共有5X4X3X3=180種涂色方法.

故答案為：180.

15.（5分）設(shè)4（30）/是曲線產(chǎn)產(chǎn)上的動(dòng)點(diǎn),且伊川≥2√5.則f的取值范圍是」竽+3,

+∞）-?

【解答】解：?.?y=e?

1x

.?y=e9

設(shè)點(diǎn)尸（加，〃），則y="在點(diǎn)尸處的切線斜率為左=小,

,：\PA\>2√3,即：當(dāng)且僅當(dāng)網(wǎng)垂直于切線時(shí)，IBAl取得最小值2√5,

m.

又???％=蕓pP

m?

:?kpAXk=pXem=—1,即e2nl=t-機(jī)①λ，

：.\PA\=√（m-t）2÷e2m≥2√3,即：Gn-t）2+0力212②，

.*?由①②得（加-/）2-（m7）-1220,解得Zn-t≤-3或〃2-/24,

又Y由①知，m-/=-e2w<0,

Λ∕n-∕≤-3,即，〃?23,解得M≥竽，

?*?t≥TH+3—~2—F3.

故答案為：3,÷∞）.

X2y2

16.（5分）已知雙曲線C：--yr=1（6/>0,∕2>0）的離心率為2,Fi,尸2分別為C的

左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)A,B在C上且關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)。對(duì)稱，過點(diǎn)A分別做C的兩條漸近線的

垂線，垂足分別為M,N,若IABl=IFIF2|,且四邊形AQB尸2的面積為6,則AAMN的面

3√3

積為?.

—16―

【解答】解：設(shè)點(diǎn)A在第一象限,

由雙曲線的性質(zhì)可得四邊形AFiBF2為平行四邊形,

又IABl=IFl尸2|,

則四邊形AFlBF2為矩形，

設(shè)IA尸ι∣=ri,∣AF2∣=r2,

在直角三角形AFIF2中有r/+萬2=4C2,

由雙曲線的性質(zhì)可得n->ι=2a,

又四邊形AFlBF2的面積為6,

則rιr2=6,

22

因?yàn)閞/+r2=(r1-r2)+2r1r2,

所以C2-a2+3,

%2y2

又雙曲線C—7-==1(α>0,?>0)的離心率為2,

a2b2

則￡=2,

a

叱量，

則雙曲線方程為/一1=1,

則雙曲線的漸近線方程為y=±√3x,

設(shè)A(加，〃)，

1

則一×4×n=3,

2

即九=2?

則m=?,

則∣4MIIBNl

又乙MoN=?

則NMaN=

r,,,一，113√33√3

則AAMN的面積為一XMMll力NlXSin乙MAN=一x-x—=-----,

224216

故答案為：-?".

16

四、解答題（共6小題，滿分70分）

17.（10分）已知數(shù)列｛?！ǎ?｛6〃｝,滿足41=10,bn=IgCln.

（1）證明｛加｝是等比數(shù)列，并求｛加｝的通項(xiàng)公式;

、、Ill1

（2）設(shè)Cn=lθg3?1+lθg3?2+lOg3?3÷,,+Iθg3?w+lθg3?n+1,證明：一+—+—+…+—<2.

clc2c3cn

【解答】證明：（1）因?yàn)閍7l+ι=成，αι=10>0,

所以Zgan+1=IgC^I，即Igan+ι=3Igai即bn+?=3bn,

又因?yàn)榧?1,所以｛加｝是首項(xiàng)為1,公比為3的等比數(shù)列，

所以｛加｝的通項(xiàng)公式為%=3n-1.

(2)因?yàn)镃n=lθg3?l+lθg3fe2+lθg3?3+??+lθg3fo∕7+lθg3?∏+?,

所以Cn=0+1+2H------1-(n-1)+n=也畀2,

所以A=n(n2+l)11

=2（丁向，

“，1111Illll11

所以—+-÷—+???+-=2x(1——÷———+———+???÷—------),

c

CIlCC2CQ3n22334nn+1

rill11

即—÷—+—+…+—=2(1—------)<2,

c1C2c3cnn+1

“，1Il1

所以—+—+—+???+—<2.

clc2c3cn

18.(12分)記AABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為mb,c,已知〃COS8=6(1+cosA).

(1)證明：A=2&

(2)若c=2b,a=V3,求448C的面積.

【解答】證明：(1)由αcosB=b(1+cosA)及正弦定理得：SinACoSB=SinB(1+cosA),

整理得Sin(A-B)=Sin8,.

因?yàn)锳,BE(0,π),

所以A-BE(-π,π),

所以A-8=8或(A-B)+B=π,

所以A=28或A=π(舍)，

所以A=23;

222222

.π.R人..mz_a(a+c-b)b+c-a

(2)解：由acosB=h(1+cosA)及余弦TE理得：------------=h(l+---------------),

2ac2bc7

整理得a2-B=be,

又因?yàn)閏=2b,a=√3,可解得b=l,c=2,

則/+b2=d,所以aA3C是直角三角形，

1√3

所以443C的面積為二αb=一.

22

19.(12分)技術(shù)員小李對(duì)自己培育的新品種蔬菜種子進(jìn)行發(fā)芽率等試驗(yàn)，每個(gè)試驗(yàn)組3個(gè)

3

坑，每個(gè)坑種2粒種子.經(jīng)過大量試驗(yàn)，每個(gè)試驗(yàn)組沒有發(fā)芽的坑數(shù)平均數(shù)為一.

4

(1)求每粒種子發(fā)芽的概率P；

(2)若一個(gè)坑內(nèi)至少有一粒種子發(fā)芽，則這個(gè)坑不需要補(bǔ)種；若一個(gè)坑內(nèi)的種子都沒有

發(fā)芽，則這個(gè)坑需要補(bǔ)種.取出一個(gè)試驗(yàn)組，對(duì)每個(gè)不發(fā)芽的坑補(bǔ)種1粒種子.設(shè)本試

驗(yàn)組種植種子數(shù)為匕求y的平均數(shù).

【解答】解：(1)由題意知，每組中各個(gè)坑是否發(fā)芽相互獨(dú)立，每個(gè)坑不發(fā)芽的概率為

(I-P)2,

設(shè)每組不發(fā)芽的坑數(shù)為X,

則X~B(3,(I-P)2),

所以每組沒有發(fā)芽的坑數(shù)的平均數(shù)為3X(1-p)2=解得P=?,

所以每個(gè)種子的發(fā)芽率為Ti

(2)由(1)知每個(gè)坑不發(fā)芽的概率為(1一分2=%

設(shè)W為補(bǔ)種種子的個(gè)數(shù)，

1

則f~B(3,今，

1Q77

所以即)=3×i=J,E(Y)=EG)+6=*

20.(12分)在三棱錐Z)-ABC中，ABI.BC,CDLBC,AB=CD=√2BC,取直線AB與

TTTTJl

CZ)的方向向量分別為B4CD,若84與CD夾角為F

(1)求證：ACA.BD；

(2)求平面A8。與平面BCC的夾角的余弦值.

【解答】解：(1)證明：過C作CE〃BA,且CE=84,連接4E,DE,

取EC的中點(diǎn)0,連接。0,BO,A0,

貝此ECD為后與c3的夾角，即NECD=*

設(shè)BC=1,貝∣J4B=CD=√2,

?：EC=DC=近,...△￡)EC為等邊三角形，

則D0.LCE,DO=坐，BD=√3.

VAB±BC,.?.平行四邊形ABCE為矩形，

Bo=VOCTTBC7=苧，.,.DO2+BO2=BD2,

J.DOLBO,又BOCCE=0,CE,8。U平面ABCE,

：.DOmABCE,

取AB的中點(diǎn)凡連接0F,分別以O(shè)F,0C,OD為X,y,Z軸，建立空間直角坐標(biāo)系.

則4(1,—>0)>B(l>-γ?>0)>C(O,-?>0),D(0,01-?)?

：.AC=(-1,√2,0),BD=(-1,-?,苧)，

TT6

：.AC-BD=(-1)X(-1)+√2×(-^)+0=0,

.".ACLBD;

(2)'：AB=(0,√2,0),BC=(-1,0,0),BD=(-1,-?,?),

設(shè)平面AB。的法向量為U=(X,y,z),

(m?AB=√2y-0一L

則IrT√2√6，取小=(遍，ο-2),

設(shè)平面BCD的法向量為ri=(α,b,c),

→T.Q=O

nβ

f=°,Λ√2,,√6n,‰=(O,√3,1),

{n-BD=0l-a-^b+c=O

τ

~?~?I

.?.平面ABD與平面Ba)夾角的余弦值為ICOS說n)∣=??=z^2=點(diǎn)

∣m∣?∣n∣√6+4×√3+l10

21.(12分)已知用周長(zhǎng)為36的矩形截某圓錐得到橢圓C：務(wù)苴=l(α>b>O),C與矩

形的四邊都相切且焦距為2c,.

①4,b,C為等差數(shù)列；②α+l,c,Ib為等比數(shù)列.

O

(I)在①②中任選一個(gè)條件，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)(1)中所求C的左、右焦點(diǎn)分別為Fι,F2,過人作直線與橢圓C交于P,Q兩點(diǎn)，

A為橢圓的右頂點(diǎn)，直線AP,AQ分別交直線工=一竽于M,N兩點(diǎn)，求以MN為直徑的

圓是否過定點(diǎn)，若是求出該定點(diǎn)；若不是請(qǐng)說明理由.

【解答】解：(1)選①，由題意可得4a+46=36,20=2α+c,又2=序+3,解得。=5,

b=4,c=3,

X2V2

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為二÷7-=1.

2516

選②，由題意可得4α+46=36,c2=(tz+l)×∣?,又￡=?+2,解得α=5,?=4,C=

3,

X2y2

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為不+77=1.

(2)①當(dāng)直線尸。的斜率不存在時(shí)，/PQ的方程為工=-3,

不妨設(shè)P在X軸上方，則P(-3,韻，Q(-3,-韻，的方程為y=-|。一5),令

25殂16

X=—?",得y="?->

所以M(—孕，竽)，同理N(-孕，-?),

所以以MN為直徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(X+給2+y2=等.

②當(dāng)直線PQ的斜率存在時(shí)，設(shè)/PQ的方程為y=k(x+3),P(xι,yι),Q(x2,y2),

y=fc(x+3),

丫2v2得(25必+16)/+150&+225必-400=0，

{25+fe=1,