湖南省長(zhǎng)沙市雅禮教育集團(tuán)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷

雅禮教育集團(tuán)2023年下學(xué)期期末考試試卷高二數(shù)學(xué)時(shí)量：120分鐘分值：150分命題人：李云皇?陳智審題人：彭喜?李云皇?郝楠楠一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知復(fù)數(shù)，則（）A.B.C.D.2.若集合，則集合A的子集的個(gè)數(shù)為（）A.2B.3C.4D.8

3.設(shè)a，b為兩條直線，α，β為兩個(gè)平面，下列四個(gè)命題中，正確的命題是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則4.（自編作業(yè)原題）在等差數(shù)列中，，其前n項(xiàng)之和為，若，則（）.A.10B.100C.110D.120

5.（自編作業(yè)原題）中國(guó)有十二生肖，又叫十二屬相，每一個(gè)人的出生年份對(duì)應(yīng)了十二種動(dòng)物（鼠?牛?虎?兔?龍?蛇?馬?羊?猴?雞?狗?豬）中的一種.現(xiàn)有十二生肖的吉祥物各一個(gè)，三位同學(xué)依次選一個(gè)作為禮物，甲同學(xué)喜歡牛和馬，乙同學(xué)喜歡牛?狗和羊，丙同學(xué)哪個(gè)吉祥物都喜歡，如果讓三位同學(xué)選取禮物都滿(mǎn)意，則選法有（）A.30種B.50種C.60種D.90種6.（自編作業(yè)原題）已知圓，直線，l與圓C相交于A?B兩點(diǎn)，當(dāng)弦長(zhǎng)最短時(shí)，直線l的方程為（）A.B.C.D.7.若，，，則（）A.B.C.D.8.設(shè)，分別是雙曲線的左?右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)左焦點(diǎn)作直線與圓切于點(diǎn)E，與雙曲線右支交于點(diǎn)P，且滿(mǎn)足，，則雙曲線的離心率為（）A.B.C.D.2

二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.某校1500名學(xué)生參加“校園安全”知識(shí)競(jìng)賽，隨機(jī)抽取了40名學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)（單位：分），成績(jī)的頻率分布直方圖如圖所示，則（）A.頻率分布直方圖中a的值為0.005B.估計(jì)這40名學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)的第60百分位數(shù)為75C.估計(jì)這40名學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)的眾數(shù)為80D.估計(jì)總體中成績(jī)落在內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為22510.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，下列說(shuō)法正確的是（）A.函數(shù)在上單調(diào)遞增B.函數(shù)在上單調(diào)遞減C.函數(shù)在處取得極大值D.函數(shù)有最大值11.設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，下列命題正確的是（）A.若為等差數(shù)列，則，，仍為等差數(shù)列B.若為等比數(shù)列，則，，仍為等比數(shù)列C.若為等差數(shù)列，則為等差數(shù)列D.若為正項(xiàng)等比數(shù)列，則為等差數(shù)列12.已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過(guò)F作兩條互相垂直的直線，，與C相交于P?Q，與C相交于M，N，的中點(diǎn)為G，的中點(diǎn)為H，則（）A.B.C.的最大值為16D.當(dāng)最小時(shí)，直線的斜率不存在三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.（自編作業(yè)原題）函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為_(kāi)_______.14.已知，則________.15.（自編作業(yè)原題）某高中計(jì)劃2024年寒假安排甲?乙?丙?丁?戊共5名學(xué)生志愿者到A?B?C三個(gè)社區(qū)協(xié)助反詐宣傳工作，每個(gè)社區(qū)至少安排1名志愿者，每個(gè)志愿者只能安排到1個(gè)社區(qū)，則所有排法的總數(shù)為_(kāi)_______.16.若函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.17.（自編作業(yè)原題）設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù).（1）求的極值；（2）當(dāng)a在什么范圍內(nèi)取值時(shí)，曲線與x軸僅有一個(gè)交點(diǎn)？18.如圖，在四棱錐中，底面是正方形，底面，，點(diǎn)F是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)E是棱上靠近點(diǎn)D的三等分點(diǎn).（1）證明：；（2）求點(diǎn)B到平面的距離.19.（聯(lián)考復(fù)習(xí)題改編）在中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且.（1）求B；（2）若的中線長(zhǎng)為，求面積的最大值.20.記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，對(duì)任意正整數(shù)n，有，且.（1）求和的值，并猜想的通項(xiàng)公式；（2）證明第（1）問(wèn)猜想的通項(xiàng)公式；（3）設(shè)，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求證：.21.在平面直角坐標(biāo)系中?橢圓的左?右頂點(diǎn)為A，B，上頂點(diǎn)K滿(mǎn)足.（1）求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓C交于M，N兩點(diǎn).設(shè)直線和直線相交于點(diǎn)P，直線和直線相交于點(diǎn)Q，直線與x軸交于S.證明：是定值.22.已知函數(shù)，.（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若對(duì)任意的，都有恒成立，求a的取值范圍.雅禮教育集團(tuán)2023年下學(xué)期期末考試試卷高二數(shù)學(xué)時(shí)量：120分鐘分值：150分命題人：李云皇?陳智審題人：彭喜?李云皇?郝楠楠一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.【答案】B【詳解】因?yàn)椋?2.【答案】C【詳解】，所以集合的子集的個(gè)數(shù)為4.3.【答案】D【詳解】選項(xiàng)，如圖1，滿(mǎn)足，但不平行，錯(cuò)誤；錯(cuò)誤，如圖2，滿(mǎn)足，但不平行，錯(cuò)誤；選項(xiàng)，如圖3，滿(mǎn)足，但不平行，錯(cuò)誤；選項(xiàng)，若，由線面平行的判斷定理可得正確.4.【答案】B5.【答案】B【解答】解：①甲同學(xué)選擇牛，乙有2種，丙有10種，選法有種，②甲同學(xué)選擇馬，乙有3種，丙有10種，選法有種，所以總共有種.6.【答案】C【詳解】易知直線過(guò)定點(diǎn)，當(dāng)弦長(zhǎng)最短時(shí)，該弦所在直線與過(guò)點(diǎn)的直徑垂直.已知圓心，所以過(guò)點(diǎn)的直徑所在直線的斜率，故所求直線的斜率為，所以所求直線方程為，即.7.【答案】C【詳解】易知，構(gòu)造函數(shù)，則；令，解得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；可得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；又易知，所以，即.8.【答案】A【詳解】為圓上的點(diǎn)，，是的中點(diǎn)，又是的中點(diǎn)，，且，又，是圓的切線，，在Rt中，又有，，故雙曲線的離心率為.二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.【答案】AD【詳解】由，可得，故A正確；前三個(gè)矩形的面積和為，所以這40名學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)的第60百分位數(shù)為80，故B錯(cuò)誤；由成績(jī)的頻率分布直方圖易知，這40名學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)的眾數(shù)為75，故C錯(cuò)誤；總體中成績(jī)落在內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為，故D正確.10.【答案】BC【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上先減后增，故A錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，故B正確；因?yàn)樵谧髠?cè)附近導(dǎo)數(shù)為正，右側(cè)附近導(dǎo)數(shù)為負(fù)，所以函數(shù)在處取得極大值，故C正確；不確定是否有最大值，故不正確.11.【答案】ACD【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，，同理可得，所以，所以仍為等差數(shù)列，故A項(xiàng)正確；取數(shù)列為，當(dāng)為0時(shí)，不能成等比數(shù)列，故B項(xiàng)不正確；設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，于是，所以為等差數(shù)列，故C項(xiàng)正確；若設(shè)等比數(shù)列的公比為，依題意，則，D項(xiàng)正確.12.【答案】AD【詳解】選項(xiàng)，若一條直線的斜率不存在時(shí)，則另一條直線斜率為0，此時(shí)與拋物線只有1個(gè)交點(diǎn)，不合要求，故兩直線斜率均存在且不為0，由題意得，設(shè)直線方程為，聯(lián)立與得，，易知，設(shè)，則，則，則，A正確；選項(xiàng)，在選項(xiàng)基礎(chǔ)上得到，由于兩直線均過(guò)焦點(diǎn)且垂直，可得，故，B不正確；C選項(xiàng)，由B選項(xiàng)可知，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故的最小值為錯(cuò)誤；選項(xiàng)，由選項(xiàng)可知，點(diǎn)橫坐標(biāo)為，故，所以，由于兩直線均過(guò)焦點(diǎn)且垂直，可得，則，其中，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，當(dāng)時(shí)，取得最小值，此時(shí)，故當(dāng)最小時(shí)，直線的斜率不存在，正確.三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.【答案】14.【答案】【詳解】由得，所以，兩邊平方得，解得.15.15016.【答案】【詳解】，令，顯然函數(shù)單調(diào)遞增，所以函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)，等價(jià)于有兩個(gè)根，即有兩個(gè)根，設(shè)過(guò)原點(diǎn)且與曲線相切的直線方程為，切點(diǎn)為，因?yàn)?，所以，解得，得切線方程為，如下圖，作出函數(shù)的圖像及其過(guò)原點(diǎn)的切線，可知當(dāng)，即時(shí)有兩個(gè)交點(diǎn)，即有兩個(gè)根.所以實(shí)數(shù)的取值范圍為故答案為：.四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.17.【解答】解：（1）.令，則或.當(dāng)變化時(shí)，的變化情況如下表：1+00+極大值極小值所以的極大值是，極小值是.（2）函數(shù)，由此可知，取足夠大的正數(shù)時(shí)，有取足夠小的負(fù)數(shù)時(shí)，有，曲線與軸至少有一個(gè)交點(diǎn).由（1）知.曲線與軸僅有一個(gè)交點(diǎn)，或，即或或當(dāng)時(shí)，曲線與軸僅有一個(gè)交點(diǎn).18.【詳解】（1）底面底面，所以，又平面，所以平面，又平面，所以，因?yàn)?，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，所以，又平面，所以平面，又平面，所以；（2）解：如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則故，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，所以，所以點(diǎn)到平面的距離為.19.【解答】解：（1）因?yàn)?，所以由正弦定理可得，又，所以，可得，因?yàn)闉槿切蝺?nèi)角，，所以，可得，因?yàn)?，所以，可得，可得；?）因?yàn)榈闹芯€長(zhǎng)為，又，兩邊平方，可得，所以，得當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，.20.【詳解】（1）由題意：時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，即猜想：（2）證明：當(dāng)時(shí)，①②②①得：即：方法一：當(dāng)時(shí)，.也適合上式，故；方法二：當(dāng)時(shí)，也適合上式，故（3）證明：由（1）可得，故，則，故，故，由于，故，故21.【解答】解：（1）由題，，解得.所以的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）證明：設(shè)，直線的方程為.聯(lián)立直線與橢圓的方程，消得，從而由韋達(dá)定理，得.由（1）知，所以直線和的方程分別為，.聯(lián)立直線和，可得交點(diǎn)的橫坐標(biāo)滿(mǎn)足：，解得，即點(diǎn)總在直線上.同理可得點(diǎn)也在直線上，所以直線的方程為.所以，所以，其中分別為點(diǎn)，點(diǎn)的縱坐標(biāo).聯(lián)立直線和直線，得；聯(lián)立直線和