2023-2024學(xué)年上海市松江區(qū)高一年級下冊期中數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測模擬試題

2023-2024學(xué)年上海市松江區(qū)高一下冊期中數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測模擬試題

一、填空題

4

1.設(shè)m為實數(shù)，點P(，〃，4)為角α的終邊上一點，且Sina=W，貝IJm=.

【正確答案】±3

【分析】利用任意角的三角函數(shù)的定義即可求解.

44

【詳解】解：點P(〃?,4)為角α的終邊上一點，且Sina=∣?g=三,

√w+43

?'?解得〃7=±3.

故土3.

兀

2.已知∣“I=3,g|=4,5]〉=2?,則人在。方向上的投影為.

【正確答案】-2

【分析】直接根據(jù)向量的投影公式計算得到答案.

【詳解】b在d方向上的投影為WeoS,&=4x(-g)=-2.

故-2

3.把函數(shù)y=sin(2x-^|圖象上每一個點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?倍，縱坐標(biāo)不變，則所得圖象的函數(shù)解

析式為.

【正確答案】y=sin(x-j

【分析】利用三角函數(shù)圖象變換可得出變換后的函數(shù)解析式.

【詳解】將函數(shù)y=sin(2x-?^)圖象上每一個點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?倍，縱坐標(biāo)不變，

所得圖象的函數(shù)解析式為y=sin"χx~)=Sin(T).

故答案為.y=sin(x-.]

4.若SinC貝IJCOS0+α)=.

【正確答案】一

【分析】由已知結(jié)合三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式求解cos(苧+4)的值.

4

【詳解】解：sin(?-ɑ)=1,

43

/5乃、.7t∕7t、

.?.cos(—+0)=cosr[?+(―+a)]=-cos(-+0)=-cos

444

故T

5.設(shè)向量aS滿足Ial=2,|切=3,〈。力〉=TT；,則∣2α-切=

【正確答案】√B

【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積公式計算|2。-6|2=(2。-6『=13,得到答案.

U詳解】|2a-Z?『=(2d-6)=4a-4a?b+b=16-4×2×3cos?^+9=13,

故12α-X=JTL

故答案為.TiI

6.若函數(shù)/(x)="sinx+cosx的圖像關(guān)于直線x=；對稱，則&=_________.

6

【正確答案】息

3

【分析】由題知/(v)=±√^w,進(jìn)而解方程即可得答案.

【詳解】解：因為函數(shù)/(x)=βsinr+cos0:的圖像關(guān)于直線X=J對稱，

所以函數(shù)/(x)=αsiιu+cosx在x=g時取得最值，

O

所以，結(jié)合輔助角公式得：∕W=±√77T,即l?α+3=±GTT,

16；22

整理得：3a2-+1=^?∣3a-1j=0?解得4=

故在

3

7.函數(shù)y=-cos2X-SinX的值域為.

【正確答案】[-?l

_4_

【分析】設(shè)SinC=r,則函數(shù)化成)，=-(l-∕)τ,其中fef-l,?].然后根據(jù)二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最

值，即可求出函數(shù)的值域.

【詳解】解：設(shè)Sina=f,則以《2￡=1—產(chǎn)，

.?.y=-cos2a-sina=-(?-t2)-t=(t--)2--

f=sinx∈[-1,1]

，當(dāng)t=-g時，>',ni,,=-|；當(dāng)1=一1時，‰=ι；

因此，函數(shù)N=-COS^a-Sina的值域是

故V，∣].

4

8.若sin。、CoSe是關(guān)于X的方程f一以+〃=0的兩個根，則“=.

【正確答案】

【分析】先通過根與系數(shù)的關(guān)系得到SinaCOSe的關(guān)系，再通過同角三角函數(shù)的基本關(guān)系即可解得.

Δ=a2-4a>0

【詳解】由題意：`sin0+cosθ=a,所以4≥4或a≤0,且Sine+cos。=SineCos。，

SineCOSe=〃

所以(Sin，+cosO)?=(SineCos=>l+2sinOcos，=(SineCoS，BPa2-2?-1=O,因為α≥4或

α≤0,所以”=1-?∣2-

故答案為.1-√Σ

9.趙爽是我國古代數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家，約公元222年，趙爽為《周髀算經(jīng)》一書作序時，介紹了“勾

股圓方程''亦稱“趙爽弦圖”，它是由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的個大正方形，如圖

是一張弦圖已知大正方形的面積為25,小正方形的面積為1,若直角三角形較小的銳角為。，則

【分析】結(jié)合已知條件設(shè)直角三角形兩直角邊分別為X、x+l,由勾股定理求出X的值，進(jìn)而可得tan。

的值，由兩角差的正切公式即可求解.

【詳解】設(shè)直角三角形的較小的直角邊為X,則較長的直角邊為x+l,

因為大正方形的面積為25,所以有正方形的邊長為5,

每一個直角三角形中由勾股定理可得：X2+(X+1)2=25,

即/+x-12=0,解得x=3或X=Y（舍）,

直角三角形較小的銳角為α，

X3

可得tanα=-----=—,

x+14

兀3

/、tana-tan———1?.

所以tan［ɑ-^］=---------------?-??—=---

I4)π?.7

17?1÷tanatan—l1+-×l

44

故答案為?

TTX

10.已知函數(shù)y=sin號在區(qū)間［O,a上至少取得2次最大值，則正整數(shù)f的最小值是

【正確答案】8

jrχST15

【分析】由函數(shù)y=sin胃，求得最小正周期為7=6,得到?=根據(jù)函數(shù)在區(qū)間［0,H上至少取

得2次最大值，結(jié)合圖象得f≥^,即可求解，得到答案.

【詳解】由題意，函數(shù)y=sin?,可知最小正周期為T=至=6,可得"=V

3w42

又由函數(shù)y=Sin曾TTY在區(qū)間［0,〃上至少取得2次最大值，

如圖所示，則滿足此藍(lán)，又因為reN+,所以正整數(shù)f的最小值為8.

本題主要考查了三角函數(shù)圖象與性質(zhì)的應(yīng)用，其中解答中熟記三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，結(jié)合圖象得到

實數(shù)r滿足的不等關(guān)系式是解答的關(guān)鍵，著重考查了數(shù)形結(jié)合思想，以及推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)

題.

11.對于函數(shù)y=∕(x),其中/(x)=αsin2x+btanx+3.若/(-2)=1,則/(π+2)=

【正確答案】5

【分析】代入計算得至IJaSin4+"an2=2,再計?算/(π+2)=θsin4+Aan2+3,得到答案.

【詳解】f(-2)="sin(T)+btan(-2)+3=-αsin4-6tan2+3=l,故αsin4+∕∏an2=2,

/(π+2)=αsin2(π+2)+btan(π+2)+3=αsin4+?tan2+3=5.

故5

12.函數(shù)y=2sin(5+?J在區(qū)間(萬,2萬)內(nèi)不存在零點，則正實數(shù)0的取值范圍是.

【正確答案】[o,?][∣,?

【分析】由題意利用正弦函數(shù)的零點，可得2wr+g,5,或防+2”,2防+J,,2萬，由此求得正實

OOO

數(shù)0的取值范圍.

【詳解】解：函數(shù)y=2sin(ox+J)在區(qū)間(肛2玻內(nèi)不存在零點且。＞(),所以工≥2萬一萬，即二≥2),

62ω

所以O(shè)<0≤l,

π_π\(zhòng)

因為xw("),所以Feωπ+-,2ωπ-,r-,

66)

π

ωπ+-..JF

6解得口工4或?∣≤G≤二,

2ωπ+~,,4或，

6"612

2ωπ+—?2π

6

因為。＞0,所以。VG≤:■或一≤ty≤—,

12612

故正實數(shù)0的取值范圍為(0,白]號2

I12JL612」

二、單選題

17

13.設(shè)XeR,則'飛布犬=一'’是"8$2%=—”的()

39

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【正確答案】A

【分析】利用二倍角公式及充分條件必要條件的概念即得.

71

【詳解】由COS2x=l-2si∏2χ=-,可得SinX=±—,

93

1771

所以由SinX=-可推出COS2x=—,而由CoS2x=—推不出SinX=-，

3993

17

所以“SinX=§”是“cosIx=-"的充分不必要條件.

故選：A.

14.下列等式中不恒成立的是()

A.a`b-baB.λa`b—a?{λb)

C.(tz??)2=a2?b2D.∣β∣2-∣?∣2=(6f+?)?(6Z-?)

【正確答案】C

【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積的運算公式和向量的運算律，準(zhǔn)確化簡，即可求解。

【詳解】由題意，根據(jù)向量的數(shù)量積的運算公式，可得荽=口WosGMK=I4口3(劑，所

以a?b=b?a是正確;

Il11

根據(jù)向量的數(shù)量積的運算律，可得4α?%=α?(2%)是正確;

由向量的數(shù)量積的運算公式，可得(a))?=W?Wcos2(",",J=W池2,所以不恒成立；

由(α+b)?(α-6)=J+)=∣α∣2-向2,所以是正確的。

故選：Co

本題主要考查了向量的數(shù)量積的運算公式及其運算律的應(yīng)用，其中解答中熟記向量的數(shù)量積的運算公

式和運算律是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題。

15.在/ABC中，sin2A≤sin2β+sin2C-sinBsinC.則，?∕的取值范圍是()

JTJtJTJT

A.(0,—]B.[―,乃)C.(0,1]D.[一,n)

6633

【正確答案】C

【詳解】試題分析：

,2221

由于si/AWsin?B+si∏2C-sin3sinC,根據(jù)正弦定理可知4WA?+/一歷，故COSA=——.....—≥—.又

2bc2

AG(OM),則A的范圍為(Og.故本題正確答案為C.

三角形中正余弦定理的運用.

ha≤h

16.定義運算：a*b=?,,對于函數(shù)/(χ)和g(x),把函數(shù)l∕(x)-g(x)l在閉區(qū)間3,勿上的最大

aa>b

inc

值稱為F(X)與g(x)在閉區(qū)間3句上的“絕對差”，記為"金”(x),g(x)),則OSAS.(SX*°sχ,D=

A.I-也B.qC.1D.1+也

222

【正確答案】A

根據(jù)題意將M^/sinx*CoSX,1)寫成分段函數(shù)的形式,再分段討論求解即可.

COSΛ,0≤X≤-I-CoSX,0≤x≤?

【詳解】由題意冼化簡SinX*cosx=，,則卜inX*cos工一”=<

πππ

smx,-<x≤-1-sinx-<x<,4—

42942

?0<∣sinx*Cosx-11≤Δ(sinx*cosx,l)=

112o≤χ≤o?5ι2

故Y

本題主要考查了新定義與三角函數(shù)值域的問題,需要根據(jù)題意分段討論三角函數(shù)的范圍,再根據(jù)新定義

的問題進(jìn)行分析即可.屬于中等題型.

三、解答題

17.已知向量〃、6是同一平面內(nèi)的兩個向量，其中∣4∣=石.

(1)若|。I=正，且α+b與〃垂直，求4與〃的夾角

2

(2)若|匕I=J向量C滿足G+b+3=O,且Iel=JΣ,求G?A+/??c+c?α的值.

【正確答案】(I)TE

⑵一5

【分析】(1)根據(jù)垂直得到(。+?！?1。5。+：=0,得到答案.

(2)計算(4+b+c)2=O得至∣J5+3+2+2(α?b+b?c+c?α)=0,得到答案.

【詳解】(1)α+人與〃垂直，貝∣J(4+/?)?〃=02+b=pz∣,∣^∣cos0+∣?∣=—cos0+-=0,

故COSe=—J,^∈[o,π],故

(2)&+/?+C=0，故(〃+〃+c,=0,BPtZ2÷?2+c2+2(67?/?+/??c+d?^)=0,

即5+3+2+2(a?/?+/??c'+Go)=。，故Q∕+8?C+C?Q=-5.

18.設(shè)函數(shù)/(x)=cos(2x+?)+sin2X

(I)求函數(shù)/(X)的最小正周期；

TTTtI

(U)設(shè)函數(shù)g(x)對任意XeR，有g(shù)(x+])=g(x),且當(dāng)xe[0,"時，g(x)=--∕(x);求函數(shù)g(x)

在[-肛0]上的解析式.

1.71

——sin2x(——≤%<0)

【正確答案】(DT="；(∏)g(x)={J2

—sin2x(-π<x<-—)

22

【詳解】f(x)=-?cos(2x+?^)+sin2x=~COS2x-??sin2x+；(1-cos2x)=g-；sin2x

(I)函數(shù)∕*)的最小正周期T=夸="

π?1

(2)當(dāng)X€［0,耳］時，g(x)=--f(x)=-sin2x

當(dāng)XeI-?。］時，(％+/)e§虱力=式X+?)??sin2(X+?)?-?sinIx

?x∈［-^?,-y)時，(x+乃)e［θ,?)g(x)=g(x+萬)=?sin2(x+π)=gsin2x

-?sin2x(-—≤x≤0)

得：函數(shù)g(x)在［-％。］上的解析式為g*)={J2

—sin2x(-%≤x<

22

19.在數(shù)學(xué)建模課上，老師給大家?guī)砹艘粍t新聞：“2019年8月16日上午，高423米的東莞第一高

樓民盈?國貿(mào)中心2號樓(以下簡稱“國留中心’)正式封頂，隨著最后一方混凝土澆筑到位，標(biāo)志著東

堇最高樓紀(jì)錄誕生，由東莞本地航母級企業(yè)民盈集團(tuán)刷新了東莞天際線，比之前的東莞第一高樓臺商

大廈高出134米，“在同學(xué)們的嘆中，老師提出了問盈：國貿(mào)中心真有這么高我我們能否運用所學(xué)知

識測量臉證一下？一周后，兩個興趣小組分享了他們各自的測量方案.

第一小組采用的是“兩次測角法”，他們在國貿(mào)中心隔壁的會展中心廣場上的A點測得國貿(mào)中心頂部的

仰角為ɑ,正對國貿(mào)中心前進(jìn)了S米后，到達(dá)B點，在8點測得國貿(mào)中心頂部的仰角為戶，然后計算

出國貿(mào)中心的高度(如圖1).

第二小組采用的是“鏡面反射法”，在國貿(mào)中心后面的新世紀(jì)豪園一幢11層樓(與國貿(mào)中心于同一水

平面，每層約3米)樓頂天臺上，進(jìn)行兩個操作步驟：

①將平面鏡置于天臺地面上，人后退至從鏡中能看到國貿(mào)大廈的頂部位置，測量出人與鏡子的距離為

《米；

②正對國貿(mào)中心，將鏡子前移。米，重復(fù)①中的操作，測量出人與鏡子的距離為生米，然后計算出國

貿(mào)中心的高度(如圖2).

實際操作中，第一小組測得s=310米，α=30。,夕=45。，最終算得國貿(mào)中心的高度為?。坏诙〗M

測得4=1.45米，4=12米，%=l?40米，最終算得國貿(mào)中心的高度為凡假設(shè)測量者的身高力都為1.60

米.

DP

圖1圖2

(1)請你用所學(xué)知識后兩個小組完成計算(參考數(shù)據(jù)：√2≈1,4,√3≈1.7,結(jié)果保留整數(shù));

(2)你認(rèn)為哪個小組的方案更好？請說明理由.

【正確答案】⑴“產(chǎn)444；H2=417

(2)第一組方案更好，理由見解析

【分析】⑴根據(jù)三角函數(shù)知識得到"'=F~+'",根據(jù)相似得至IJ也=*-+33,代入數(shù)

a

tan-a-----t-a-n--βn?~a,

據(jù)計算得到答案.

(2)第一組方案測量方法容易理解，普適性強，計算思路簡潔，操作性強，故更好.

ACqCDCD

【詳解】(1)第一小組:BC=-S=AC-BC=

tanatanβtantztanβ

CD=

故441

tanatanβ

H.^CD+h=~~~-——+A=4H-+l.60≈444

_J______L√3-ι

tanatanβ

第二小組：LMKEXPQE,EQ=PQ'KE-=^~^-

MKh

∕?NTF?PβF,FQ=PQTF=PQq

NTh

故EQ-FQ==故PQ=^-,

hha?~a2

f,z12x16

??2=PQ+33=---+33=--+33≈417.

"ι—"21.45—1.40

(2)第一組方案更好：

①：測量方法容易理解，普適性強;

②：計算思路簡潔；

③：操作性強；

20.設(shè)函數(shù)y=f(x)定義域為￡>,對于區(qū)間/U。，如果存在布與e/,X產(chǎn)々，使得/(Λ1)+∕(Λ2)=2,

則稱區(qū)間/為函數(shù)y=/(X)的“P區(qū)間

⑴求證：(0,+8)是函數(shù)y=IgX的“P區(qū)間”；

⑵判斷(-∞,+∞)是否是函數(shù)y=sin(x+雪)+3的“P區(qū)間”，并說明理由；

(3)設(shè)0為正實數(shù)，若［兀,2兀］是函數(shù)y=8S°x的“p區(qū)間”，求0的取值范圍.

【正確答案】(1)證明見解析

(2)不是，理由見解析

⑶<y∈{2}[3,-κo)

【分析】(1)取特殊值驗證得到答案.

(2)根據(jù)三角函數(shù)的有界性得到g(xj+g(w)≥4,得到答案.

(3)代入計算得到區(qū)間[。,2例至少上有兩個不同的偶數(shù)，考慮<υ=2,2<o<3,3≤<y<4,o≥4四

種情況，計算得到答案.

【詳解】(1)y=∕(x)=lgx,取為=2,x2=50,則/(辦)+/(々)=吆2+他5。=IgloO=2,

故(0,+8)是函數(shù)y=IgX的“P區(qū)間”；

(2)y=g(x)=sin(x+昌+3,

則g(x∣)+g(x2)=sin(x∣+^)+3+sin(x2+]j+32-4+3-1+3=4,

故(-00,+00)不是函數(shù)y=sin(x+∕)+3的“P區(qū)間”，

(3)y=Cos6t>x∈[-1,1],y=Λ(x)=Cos<yχ,

則?(Λ?)+A(x2)=cos6Λτl+cos叫=2,故c0s3χ∣=cosωx1=1,

fωx,=2k?Tt

故〈?,,k?,lc1wZ,不妨設(shè)?！堞?lt;%≤2兀，

?ωx2=2κ2π

則πω<2?1π≤2πω,πω<2k2π≤2πω,故g≤2年<2k1<2ω,

即在區(qū)間［他2句至少上有兩個不同的偶數(shù)，20-3≥2,即322,

當(dāng)0