江西省橫峰中學等五校2024屆數(shù)學高二年級上冊期末經(jīng)典試題含解析

江西省橫峰中學等五校2024屆數(shù)學高二上期末經(jīng)典試題

注意事項：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。

2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。

3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。

4.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1

1.已知函數(shù)/(?=￡的圖象過點(4,2),令4=----------------------------GN*.記數(shù)列｛4｝的前〃項和為Sn,則S,

/(〃+1)+/(〃)202

()

A.V2021-1B.J2021

C.J2022D.V2022-1

2.已知xcR,向量0=(羽0,1),b=(2,7,T),若則x的值為()

A.-1

C.-2D.2

?,八-risin6+3cos夕/、

3.若tan6=—2貝！I---------------=()

sin夕+cos。

A.-2B.-1

D.2

4.在空間直角坐標系中，已知點A(3,0,4),5(-1,4,2),則線段AB的中點坐標與向量AB的模長分別是()

A.(123)；5B.(123)；6

C.(―2,2,—1)；5D.(—2,2,—1)；6

5.已知隨機變量J服從正態(tài)分布N(3,02),P(J<4)=0.68,則P《22)=()

A.0.84B.0.68

C.0.32D.0.16

9

6.在等比數(shù)列｛4｝中，a6=~,公比q=石，則/=()

A.漢IB.6

3

C.—F2yD.2

3

7.已知A,3是球。的球面上兩點，ZAOB=90°,C為該球面上的動點，若三棱錐O-ABC體積的最大值為36,

則球。的表面積為()

A.367cB.647r

C.144萬D.2567r

8.ABC內(nèi)角A、B、C的對邊分別為。、b、c,若4=2,A=45°,5=60，則5=()

A.6B.26

D-V2

9.在等差數(shù)列｛4｝中,S”為數(shù)列｛4｝的前〃項和，生+46=9,55=-10,則數(shù)列｛%｝的公差為O

BT

C.4D.-1

10.圓(%—1)2+(丁+2)2=2關(guān)于直線/：%+y—2=0對稱的圓的方程為()

2222

A,.(x-4)+(y-l)=2B,(x+4)+(y+l)=2

22

(x-4)+(y+l)=2D'.(X+4)2+(3；-1)2=2

11.《周髀算經(jīng)》中有這樣一個問題，從冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小

滿、芒種這十二個節(jié)氣日影長依次成等差數(shù)列，若冬至、大寒、雨水的日影長的和為36.3尺，小寒、驚蟄、立夏的

日影長的和為18.3尺，則冬至的日影長為()

A4尺B.8.5尺

C.16.1尺D.18.1尺

12.已知命題0：,sinxvtanx,則「P()

A.V%E[0,—j,B.3x€I0,-1-1,sinx>tanx

sinx>tanx

D.Vx[0,—j,sinx>tanx

0,^j,sinx>tanx

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.若正數(shù)小y滿足％+丁=孫，則%+4y的最小值等于.

14.已知拋物線y2=2px(p>0)的焦點歹為(1,0),過點尸的直線交該拋物線的準線于點A,與該拋物線的一個交

點為8,S.FA=-3FB>貝!=

15.已知球的半徑為3,則該球的體積為

16.已知過點T（-1,2）作拋物線C：丁=2Px（p>0）的兩條切線,切點分別為A、B,直線AB經(jīng)過拋物線C的焦點F,

則+|2『=

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）在棱長為1的正方體中，求平面ACd的一個法向量

18.（12分）已知橢圓G:，■+，=1（。>6>0）的離心率為，,右焦點為（2后,0），斜率為1的直線/與橢圓G交于A,3

兩點，以A3為底邊作等腰三角形，頂點為「（-3,2）.

（1）求橢圓G的方程；

（2）求△PAB的面積.

19.（12分）A6C中，三內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知acosB+^b=c

2

（1）求角A；

（2）若c=2,角A的角平分線AO交BC于O,AD二處,求a

3

20.（12分）已知拋物線/=2夕%（0〉0）的準線方程是X=—3.

（I）求拋物線的方程；

（II）設直線y=2）（左/0）與拋物線相交于河，N兩點，。為坐標原點，證明：OM±ON.

21.（12分）已知函數(shù)y=，（xw0）的圖像為曲線C,點耳（夜,、歷）、F］卜母,-吟.

（1）設點〃（演，兒）為曲線。上在第一象限內(nèi)的任意一點，求線段P耳的長（用與表示）；

（2）設點。為曲線C上任意一點，求證：||。用-依用為常數(shù)；

（3）由（2）可知，曲線。為雙曲線，請研究雙曲線C的性質(zhì)（從對稱性、頂點、漸近線、離心率四個角度進行研究）.

22.（10分）已知圓G：（x+4）2+y2=16,點A是圓G上一動點，點以4,0）,點C是線段A3的中點.

（1）求點C的軌跡方程；

（2）直線/過點（1,1）且與點。的軌跡交于A,3兩點，若|A耳=2百，求直線/的方程.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1、D

【解析】由已知條件推導出4=標斤-6，nwN*.由此利用裂項求和法能求出S2021

【詳解】解：由/(4)=2,可得半=2,解得a=g，則〃x)=W.

a”=---------------=/1----；==-Jn+1-G,

/(?+1)+于(底)Jn+1+4n

S2021=V2-l+^-V2+V4-V3+...+72022-72021=72022-1

故選：。

【點睛】本題考查了函數(shù)的性質(zhì)、數(shù)列的“裂項求和”，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題

2、D

【解析】根據(jù)給定條件利用空間向量垂直的坐標表示計算作答.

【詳解】因向量a=(羽0,1),匕=(2,7,T),a_L6,貝Ua.6=2x-4=0，解得x=2,

所以x的值為2.

故選：D

3、B

【解析】分子分母同除以cos。，化弦為切，代入即得結(jié)果.

.、乂b-n.八?八mI~1rr人八一rzi=tSill0+3COS0tUH6+3—2+3.

【詳解】由題意，分子分母同除以COS。，可得一^-----=——==-1.

sin0+cos0tan6+1-2+1

故選:B.

4、B

【解析】根據(jù)給定條件利用中點坐標公式及空間向量模長的坐標表示計算作答.

【詳解】因點4(3,0,4),5(-1,4,2),所以線段因5的中點坐標為(L2,3),

|AB|=J(-L-3A+(4-0)2+(2-4)2=6.

故選：B

5、B

【解析】直接利用正態(tài)分布的應用和密度曲線的對稱性的應用求出結(jié)果

【詳解】根據(jù)隨機變量J服從正態(tài)分布N。,。?)，所以密度曲線關(guān)于直線％=3對稱,

由于W4)=0.68,所以尸(424)=1-0.68=0.32,

所以P("2)=0.32,

則尸(2WJW4)=1-0.32-0.32=0.36,

所以尸(422)=0.36+0.32=0.68

故選：B.

【點睛】本題考查的知識要點：正態(tài)分布的應用，主要考查學生的運算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于基礎題

6、D

【解析】利用等比數(shù)列的通項公式求解

【詳解】由等比數(shù)列的通項公式得：4=4勺2=$32.

故選：D

7、C

【解析】當。平面。時，三棱錐O-ABC體積最大，根據(jù)棱長與球半徑關(guān)系即可求出球半徑，從而求出表面

積.

【詳解】當。平面。時，三棱錐O—ABC體積最大.

11*

又NAQB=90。，則三棱錐體積％=36,解得r=6；

故表面積S-41r2=144萬.

故選：C.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查三棱錐與球的組合體的綜合問題，本題的關(guān)鍵是判斷當OCL平面。3時，三棱錐

O—ABC體積最大.

8、C

【解析】利用正弦定理可求得邊b的長.

■、斗岫、占十力』ebaasinB2sin60斤

【詳解】由正弦定理----=-----得匕7=---------=-----------=16.

sin3sinAsinAsin45

故選：C.

9、A

【解析】由已知條件列方程組求解即可

【詳解】設等差數(shù)列｛%｝的公差為d,

因為的+4二鄉(xiāng)，S5=-10,

CL+2d++156?=94——4

所以,解得W

5《+10d=-10d—\

故選：A

10、A

【解析】首先求出圓（X—1）2+3+2）2=2的圓心坐標與半徑，再設圓心（L—2）關(guān)于直線/:無+y-2=。對稱的點的

坐標為（a,?,即可得到方程組，求出。、b,即可得到圓心坐標，從而求出對稱圓的方程;

【詳解】解：圓（x—iy+（y+2）2=2的圓心為（1,—2）,半徑r=后，設圓心（1,—2）關(guān)于直線/:x+y—2=。對稱的

點的坐標為（。涉）,

b+2/

“(T=T1

Q^34

則,解得b~1,即圓（X—1了+（尹2）2=2關(guān)于直線/：x+y-2=0對稱的圓的圓心為（4,1）,

工工2=0

122

半徑r=后,

所以對稱圓的方程為（％—4）2+（y—仔=2；

故選：A

11、C

【解析】設等差數(shù)列{4},用基本量代換列方程組，即可求解.

【詳解】由題意，從冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個

節(jié)氣的日影長依次成等差數(shù)列，記為數(shù)列{4},公差為d,

q+%+%=36.3即產(chǎn)+6[=36.3a=16.1

則有＜解得:}

%+%+4。=18.33%+15d=18.3d=-2

即冬至的日影長為16.1尺.

故選：C

12、C

【解析】由全稱命題的否定：將任意改存在并否定結(jié)論，即可寫出原命題?的否定力.

【詳解】由全稱命題的否定為特稱命題，

:.力是0,-|,sinx>tanxw

故選：C.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、9

(1］、

【解析】把要求的式子變形為(x+4y)-+-,利用基本不等式即可得結(jié)果.

Uy)

11,

【詳解】因為％+y=孫，所以一+—=1

xy

(11'

%+4y=(1+4y)—+—

5y)

=1+-+^+4>5+2A/4=9,

y犬

x4y-

當且僅當一=一時取等號，故答案為9.

【點睛】本題主要考查利用基本不等式求最值，屬于難題.利用基本不等式求最值時，一定要正確理解和掌握“一正，

二定，三相等”的內(nèi)涵：一正是，首先要判斷參數(shù)是否為正；二定是，其次要看和或積是否為定值(和定積最大，積

定和最小)；三相等是，最后一定要驗證等號能否成立(主要注意兩點，一是相等時參數(shù)否在定義域內(nèi)，二是多次用之

或w時等號能否同時成立).

32

14、—

3

【解析】作3。垂直于準線，垂足為。，準線與％軸交于點E,根據(jù)已知條件，利用幾何方法，結(jié)合拋物線的定義得

到答案.

【詳解】拋物線/=4x的焦點坐標b(1,0),準線方程x=-1,

作瓦)垂直于準線于。，準線與*軸交于點E,則EF/AD6,...二A即?qAD5.

'-'FA=-3FB，A|BD|=-|EF|=j,

Q

由拋物線的定義得忸刊=\BD\=j,

：.\AB\=4\BF\=-.

32

故答案為：—.

3

15、367c

【解析】根據(jù)球的體積公式計算可得;

44

【詳解】解：因為球的半徑H=3,所以球的體積V=—%&=—乃*33=36

33

故答案為：36〃

16、64

【解析】用字母進行一般化研究，先求出切點弦方程，再聯(lián)立化簡，最后代入數(shù)據(jù)計算

設點A處的切線方程為.y-必=左（》-占）

所以點A處的切線方程為y-x=￡（x-xj,整理得%y=M%+x）

同理，點B處的切線方程為y2y=P(%2+X)設T(x0,為)為兩切線的交點，則

%%=。(玉+%)

%%=。(%2+不)

所以4(%,X),5(9,%)在直線為y=P(%+%)上

即直線AB的方程為為>=。(/+%)

又直線A3經(jīng)過焦點

所以0=P，+，即°=-2x0

”2

y=-4xx

聯(lián)立《0n

[y0y=-2x0(x0+x)

2232

得y2_2%y_4*=0,4x0%+(8x0-4x0j0)尤+4尤;=0

2

所以另+%=2%，X%=無i=—-2X0,^X2=XQ

x°

所以|7A『+|=|2=&—%)2+(%一%)2+(々—飛了+但―y。)2

=片+宕一2巳(%+/)+y；+￡—2%(%+%)+2焉+24

=(%+x2)2—一2%(玉+/)+(%+%了一2%%—2%(弘+%)+2%：+2y；

(2、24

=--2x0-2x：=吟+16%：+8%

、/Jxo

本題中小=-1,%=2

4

所以|K4|2+|7?|2=4+16,+8y：=16+16+32=64

%

故答案為：64

【點睛】結(jié)論點睛:過點T(x0,為)作拋物線C:丁=2px[p>0)的兩條切線，切點弦的方程為%〉=P(%+力

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、n=(1,1,1)

【解析】建立空間直角坐標系，由向量法求法向量即可.

【詳解】如圖，建立空間直角坐標系，則A(LO,O),C(O,L0),〃(0,0,1)

設平面ACDi的法向量n=(x,y,z).

AC=(-1,1,OXADj=(-1,0,1),又“為平面AC/%的一個法向量

n-AC=0fx=y

，化簡得

n-AD,=0x=z

I1I

令x=l,得y=z=L

???平面ACDi的一個法向量n=(1,1,1).

【點睛】本題主要考查了求平面的法向量，屬于中檔題.

Y2y29

18、(1)—+^=1.(2)-

1242

【解析】(1)根據(jù)橢圓的簡單幾何性質(zhì)知。=2有，又02=4,寫出橢圓的方程；(2)先斜截式設出直線

y^x+m,聯(lián)立方程組，根據(jù)直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，可得出A5中點為E(x。，為)的坐標，再根據(jù)為等

m

2---

腰三角形知？ELAB,從而得PE的斜率為左=——在=-1，求出力=2,寫出A3：x—y+2=。，并計算

-3+細

4

\AB\=342,再根據(jù)點到直線距離公式求高，即可計算出面積

【詳解】(1)由已知得°=2狡，，解得。=26,又02=4,

a3

22

所以橢圓G的方程為土+工=1

124

(2)設直線/的方程為V=》+，",

y=x+m,

由Idy2^4x2+6mx+3m2—12=0,①

---1---二L

124

設A、3的坐標分別為(%,%),(%,>2)(王<尤2),AB中點為￡(%,%)),

7，%=%+”2=工

因為AB是等腰A八43的底邊，所以？

解得罰=—3,x2=0,所以％=—1,%=2,所以|A3|=30,

|-3-2+2|_3V2

此時，點P(—3,2)到直線A3：x—y+2=0距離d=

所以△上鉆的面積=2

2112

考點：1、橢圓的簡單幾何性質(zhì)；2、直線和橢圓的位置關(guān)系；3、橢圓的標準方程；4、點到直線的距離.

【思路點晴】本題主要考查的是橢圓的方程，橢圓的簡單幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，點到直線的距離，屬于

難題.解決本類問題時，注意使用橢圓的幾何性質(zhì)，求得橢圓的標準方程；求三角形的面積需要求出底和高，在求解

過程中要充分利用三角形是等腰三角形，進而知道定點與弦中點的連線垂直，這是解決問題的關(guān)鍵

19、(1)A=—

3

(2)a=2y/3

【解析】(1)根據(jù)正弦定理統(tǒng)一三角函數(shù)化簡即可求解；

(2)根據(jù)角平分線建立三角形面積方程求出瓦再由余弦定理求解即可.

【小問1詳解】

由acosB+L/?=c及正弦定理，得sinAcosi3+Lsin3=sinC

22

VsinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsin5,

:.—sinB=cosAsinB

2

「sin8w0,

:.cosA=

,:A￡（0,?）,

【小問2詳解】

」2辦正」(2+。＞0,

22232

解得6=4

由余弦定理，得/=/+<?-2&ccosA=42+22-2x4x2cos—=12,

3

a=2^3?

20、（I）y2=2x（II）詳見解析

【解析】（I）利用排趨性的準線方程求出p,即可求解拋物線的方程；（II）直線y=k（x-2）（k/0）與拋物線聯(lián)立,

通過韋達定理求解直線的斜率關(guān)系即可證明OM1.ON

試題解析：（I）解：因為拋物線丁=2內(nèi)5〉0）的準線方程為工=-5，

所以—￥=—1，解得。=1，

所以拋物線的方程為y2=2x.

（II）證明：設〃■（%%）,N（蒼,％）.

將y=k（x—2）代入y2=2%,

消去V整理得k2x2-2（2k2+V）x+4k2=Q.

所以看々=4.

由yi=2無],%=2X[,兩式相乘，得y；%=4玉%，

注意到為,異號，所以%%=-4.

所以直線加與直線附的斜率之積為±￡=-1,

即OMLON.

考點：直線與拋物線的位置關(guān)系；拋物線的標準方程

21、(1)\PFi\=\x0+--j2\.

xo

（2）具體見解析；（3）具體見解析.

【解析】（1）由兩點間的距離公式求出距離，進而將式子化簡即可;

（2）求出|。耳|,|。鳥I,進而討論x>O,x<。兩種情況，然后結(jié)合基本不等式即可證明問題;

(3)根據(jù)耳，鳥為雙曲線。的焦點，結(jié)合雙曲線的圖形特征即可求得該雙曲線的相關(guān)性質(zhì).

【小問1詳解】

由題意,

1因1=

H—；—2A/2XQH--+4=~A/2=|x0H-------V2|?

X。)不

【小問2詳解】

x+1_回,|Qg|=J(%+0)

設Q(X?),由(I)\QF.\=\

若x>0,則x+L〉2jx-L=2