2023-2024學(xué)年蘇科版九年級上冊開學(xué)考試數(shù)學(xué)試卷

2023-2024學(xué)年蘇科版九年級上學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試卷

（時間：120分鐘滿分：150分）

一.選擇題（每小題3分共30分）

1.下列式子中，最簡二次根式是（）_

A?√θ7δB.√a2+b2C.√gD.Il

2.若關(guān)于X的一元二次方程（a+l）x'+x+a?-1=0的一個根是0,則a的值，為（）

A.1B.-1C.1或-1D.工

2

3.把水勻速滴進(jìn)如圖所示玻璃容器，那么水的高度隨著時間變化的圖象大致是（）

4.一次演講比賽中，評委將從演講內(nèi)容、演講能力、演講效果三個方面為選手打分，并按

得分的1：4：3的比例確定選手個人總分，已知某位選手三方面的得分分別為88,72,

50,則這位選手個人總分為（）

A.68.24B.64.56C.65.75D.67.32

5.一元二次方程/+7/_=0,配方后可化為()

4

222

A.(j+A)=1B.(y-A)=1C.(j+A)=AD.(y-A)2=3

222224

6.如圖，已知長方形ABCD,R,P分別是DC,BC上的點，E,F分別是AP,RP的中點，當(dāng)

點P在BC上從點B向點C移動,而點R不動時，那么下列結(jié)論成立的是（)

A.線段EF的長逐漸增大B.線段EF的長逐漸減少

C.線段EF的長不變

7.如圖，反比例函數(shù)yι二七Lf口正比例函數(shù)丫2—k2x的圖象交于A（-2,-3）,B⑵3）

X

兩點.若上L〉kX,則X的取值范圍是（）

X2

A.-2<x<0B.-2<x<2C.x<-2或0<x<2D.-2<x<0或x>2

8.正方形ABCD,正方形BEFG和正方形RKPF的位置如圖所示，點G在線段DK上，且G為

BC的三等分點，R為EF中點，正方形BEFG的邊長為4,則ADEK的面積為（）

A.10B.12C.14D.16

9.將6X6的正方形網(wǎng)格如圖所示的放置在平面直角坐標(biāo)系中，每個小正方形的頂點稱為

格點，每個小正方形的邊長都是1,正方形力靦的頂點都在格點上，若直線y=4x（4W0）

與正方形4?⑦有公共點，則在的值不可能是（）

Λ.?B.1C.3D..?

222

10.已知實數(shù)πι,n同時滿足1^+/-12=0,m2-5n-6=0,則n的值為（A）

A.1B.1,-6C.-1D.-6

二.題空題（每小題3分共30分）

11.把長方形力靦沿著直線所對折，折痕為能對折后的圖形而'切的邊R?恰好經(jīng)過

點C,若//F=55°,則/湖=

12.如圖，在四邊形4%/中，AB=Ag4,/1=60°,BC^4√5)面=8,則四邊形46G9

的面積為.

13.如圖，平行四邊形加州中，對角線交于點長雙曲線y="（k>0）經(jīng)過小￡兩點，若

X

平行四邊形力次的面積為30,則A=.

14.如圖，點A在雙曲線y=右上，且0A=4,過A作AC,X軸，垂足為C,OA的垂直平分線

X

交OC于B,aABC的周長為24，則k=

15.若關(guān)于X的分式方程一??+jE二2有增根，則m的值是—

16.己知菱形ABCD的邊長為6,NA=60。，如果點P是菱形內(nèi)一點，且

PB=PD=2√3，那么AP的長為.

17.如圖1有兩張等寬的矩形紙片，矩形￡FG”不動，將矩形/WCD按如下方式纏繞：如

圖2所示，先將點8與點E重合，再先后沿尸G、E"對折，點A、點C所在的相鄰兩邊不

重疊、無空隙，最后點。剛好與點G重合，則圖1中兩張紙片的長度之比AD:EG=

第17題圖第18題圖第19題圖第20題圖

3

18.在圖中，一次函數(shù)y=x-2與反比例函數(shù)y=—的圖象交點為A、B.則一次函數(shù)值小

X

于反比例函數(shù)值時X的取值范圍是

19.已知，如上右圖，動點P在函數(shù)y=」-（x>0）的圖象上運動，PMJ_x軸于點M,PNly

2x

軸于點N,線段PM、PN分別與直線AB：y=-x+1相交于點E,F,則AF?BE的值是

20.如圖，矩形ABCD中，AD=12,AB=8,E是AB上一點，且EB=3,F是BC上一動點,

若將aEBF沿EF對折后，點B落在點P處，則點P到點D的最短距離為.

≡.解答題（90分）

21.（18分）解方程

（I）X2-2X-3=0（公式法）（2）3Y-7x+4=0（配方法）；

(3)(x-2)2=(2x+3)2(因式分解法)(4)(X-I)2=2x-2(適當(dāng)?shù)姆椒?.

（5）XJ+2X-1=0；（用配方法）（6）3XJ+5X=3X+3.（選擇適當(dāng)?shù)姆椒ǎ?/p>

22.（8分）如圖，在每個小正方形邊長為1的網(wǎng)格中，點A,B,C均在格點上.

（I）AC的長度等于____；

（H）在圖中有一點P,若連接AP,PB,PC,滿足AP平分/A,且PC=PB,請在如圖所示

的網(wǎng)格中，用無刻度的直尺，畫出點P,并簡要說明點P的位置是如何找到的（不要求證

明）.

23.（10分）一列快車從甲地勻速駛往乙地，一列慢車從乙地勻速駛往甲地.兩車行駛的

時間為xh,兩車之間的距離為ykm,圖中的折線表示y與X之間的函數(shù)關(guān)系，根據(jù)圖象解決

以下問題：

（1）慢車的速度為km/h,快車的速度為km/h；

（2）解釋圖中點C的實際意義并求出點C的坐標(biāo)；

（3）求當(dāng)X為多少時，兩車之間的距離為500km.

24.(10分)閱讀下面問題：

√2+l(√2+l)(√2-l)√3+√2

l×(^-√2)_石

(^+√2)(^-√2)W'2，

1_l×(√4-√3)_廠口沖+

"+百一("+國"-我一"-5試求：

(1)w?=-------;

1

(2)當(dāng)〃為正整數(shù)時，/------7=—________；

√∕7+1+√∕?

11111

(3)求*方+百方+京石+…+夜7夜+回+網(wǎng)的值.

25.(10分)如圖，已知直線y=Jx與雙曲線y=&(k>0)交于A,B兩點，且點A的橫

zX

坐標(biāo)為4,(1)求k的值；(2)利用圖形直接寫出不等式;x>V的解；(3)過原點0

/X

的另一條直線1交雙曲線y=L(k>0)于P,Q兩點(P點在第一象限)，若由點A,B,P,

X

Q為頂點組成的四邊形面積為24,求點P的坐標(biāo).

26.(10分)如圖鐵路上A、B兩點相距25km,C>D為兩村莊，DAJ_AB于A,CBJ_AB于B.已

知DA=15km,CB=IOkm,現(xiàn)在要在鐵路AB上建一個土特產(chǎn)品收購站E,使得：

(1)①若C、D兩村到E站的距離相等，則E站應(yīng)建立在離A站多少km處？②若E站到C、

D站的距離之和最短，則E站應(yīng)建立在離A站多少km處？

(2)受⑴小題第②問啟發(fā),你能否解決以下問題：正數(shù)a、b滿足條件a+b=5,且

≡=√a2+16+√b?'則S的最小值=--------

27.（12分）著名數(shù)學(xué)教育家波利亞曾說：“對一個數(shù)學(xué)問題，改變它的形式，變換它的

結(jié)構(gòu)，直到發(fā)現(xiàn)有價值的東西，這是數(shù)學(xué)解題的一個重要原則《見微知著》談到：從一

個簡單的經(jīng)典問題出發(fā)，從特殊到一般，由簡單到復(fù)雜；從部分到整體，由低維到高維，

知識與方法上的類比是探索發(fā)展的重要途徑，是思想閥門發(fā)現(xiàn)新問題、新結(jié)論的重要方

法.

閱讀材料：在處理分?jǐn)?shù)和分式的問題時，有時由于分子大于分母，或分子的次數(shù)高于分母

的次數(shù)，在實際運算時難度較大，這時，我們可將分?jǐn)?shù)（分式）拆分成一個整數(shù)（整式）與

一個真分?jǐn)?shù)（分式）的和（差）的形式，通過對它的簡單分析來解決問題，我們稱這種方法

為分離常數(shù)法，此法在處理分式或整除問題時頗為有效.將分式分離常數(shù)可類比假分?jǐn)?shù)變

形帶分?jǐn)?shù)的方法進(jìn)行，如：χ2-2x+3.=X（X-I）+χ-2x+3=χ+-（X-I）+2=X-

χ-lχ-lχ-l

i+N_,這樣，分式就拆分成一個分式2與一個整式x-ι的和的形式.根據(jù)以上閱讀材

料解答下列問題：

（1）假分式”可化為帶分式形式；

X+4

（2）利用分離常數(shù)法，求分式緝至的取值范圍；

x2÷l

2

（3）若分式.5X+9仁3拆分成一個整式與一個分式（分子為整數(shù)）的和（差）的形式為：

x+2

5m-11+--—,貝!]m2+n^+mn的最小值為.

n-6

28.（12分）【閱讀理解】對于任意正實數(shù)a、b,因為（F-JE）2>O,所以a-2√?+b

20,所以a+b22√豆，只有當(dāng)a=b時，等號成立._

【獲得結(jié)論】在a+b22。"^（a、b均為正實數(shù)）中，若ab為定值p,則a+b22j^,只有

當(dāng)a=b時，a+b有最小值2幾.

根據(jù)上述內(nèi)容，回答下列問題：若m>0,只有當(dāng)m=時，m+工有最小值_.

ID

【探索應(yīng)用】如圖，已知A（-3,0）,B（0,-4）,P為雙曲線產(chǎn)絲（x>0）上的任意一

X

點，過點P作PC_LX軸于點C,PD_Ly軸于點D.求四邊形ABCD面積的最小值，并說明此時

四邊形ABCD的形狀.

教師樣卷

一.選擇題（每小題3分共30分）

1.下列式子中，最簡二次根式是（B）_

A?√θ7δB.√a2+b2C.√gD.

解：4√θ7δ=∣√^＞不是最簡二次根式，故本選項不符合題意；B、Ja2+b2是最簡二

次根式，故本選項符合題意；C、√8=2√2,不是最簡二次根式，故本選項不符合題意；

A需=1√3,不是最簡二次根式，故本選項不符合題意；故選：B.

22

2.若關(guān)于X的一元二次方程（a+l）x+x+a-1=0的一個根是0,則a的值，為（A）

Λ.1B.-1C.1或-1D.工

2

解：把x=0代入方程（a+l）χ2+x+a2-1=0得：a2-1-0,解得：a=±l,?.?方程為一元二次

方程，Λa+l≠0,.*.a≠-1,Λa=l,故選：A.

3.把水勻速滴進(jìn)如圖所示玻璃容器，那么水的高度隨著時間變化的圖象大致是（D）

解：因為根據(jù)圖象可知，物體的形狀為首先大然后變小最后又變大，而水滴的速度是相同

的，

所以開始與最后上升速度慢，中間上升速度變快，故選：D.

4.一次演講比賽中，評委將從演講內(nèi)容、演講能力、演講效果三個方面為選手打分，并按

得分的1：4：3的比例確定選手個人總分，已知某位選手三方面的得分分別為88,72,

50,則這位選手個人總分為（C）

A.68.24B.64.56C.65.75D.67.32

解：這位詵豐個人總分為88X1+72X4+50X3=65.75,故選：C.

1+4+3

5.一元二次方程/+歹一旦=0,配方后可化為（A）

4

2

A.（廣上）2=1B.（y-A）=1C.（產(chǎn)工）2=JLD.（y-A）2__3

222227

解：?.?∕+y超=0.?.∕+y=3,則六產(chǎn)4=&_+_1,即（?+JL）2=1,故選：A.

44'4442

6.如圖，已知長方形ABCD,R,P分別是DC,BC上的點，E,F分別是AP,RP的中點，當(dāng)

點P在BC上從點B向點C移動，而點R不動時，那么下列結(jié)論成立的是（C）

?.線段EF的長逐漸增大B.線段EF的長逐漸減少

C.線段EF的長不變D,線段EF的長先增,大后變小

解：連接AR.；E、F分別是AP、RP的中點，.?.EF為AAPR的中位線，.?.EF=?∣?AR,為定

7.如圖，反比例函數(shù)y∣=且和正比例函數(shù)y2—kzx的圖象交于A（-2,-3）,B（2,3）

兩點.若±L〉k°x，則X的取值范圍是（C）

X2

A.-2<x<0B.-2<x<2C.x<-2∏gθ<x<2D.-2VXVo或x>2

8.正方形ABCD,正方形BEFG和正方形RKPF的位置如圖所示，點G在線段DK上，且G為

BC的三等分點，R為EF中點，正方形BEFG的邊長為4,則ADEK的面積為（D）

A.10B.12C.14D.16

解：連DB,GE,FK-,則DB〃GE〃FK,在梯形GDBE中,S.B=S（同底等高）

?,?SAGDB-公共二角形二SAEDB一公共二角形即?*?SZ?ME=S^GEB,SZ?GKE=S^GFE同理S^GKE=SAGFE***S陰影二

DC

2、P

DfiE÷SΔGKEzzS?GEB÷S?GEF≈S正方形GBEF=4?=16故選：D.J

ARE

9.將6義6的正方形網(wǎng)格如圖所示的放置在平面直角坐標(biāo)系中，每個小正方形的頂點稱為

格點，每個小正方形的邊長都是1,正方形/8（力的頂點都在格點上，若直線y=M（4W0）

與正方形4?必有公共點，則在的值不可能是（D）

Λ.?B.1C.3D..?

222

解：由圖象可知力（1,2）,（7（2,1）,把/1的坐標(biāo)代入y=4x中，求得在=2,把C的坐

標(biāo)代入尸中，求得*=?∣?,根據(jù)圖象，當(dāng)?∣<k42時，直線尸履（AWo）與正方形

［時有公共點，所以，左的值不可能是〃，故選：D.

10.已知實數(shù)m,n同時滿足產(chǎn)+1?-12=0,m2-5n—6≈0,則n的值為（A）

Λ.1B.1,—6C.—1D.-6

解:兩式相減，得(m2+n2-12)—(m2-5n—6)=0,.*.mj÷n2-12—m^+5n+6=0,Λn^÷5n

—6=0,即(n+6)(n—1)=0,.?n∣=-6,∏2=1.把n=-6代入m?+!?—12=0,得m?=一

24,不合題意，舍去；把n=l代入m''+!?-12=0,得即m=±4五，.'.n=1.

題空題(每小題3分共30分)

11.把長方形力靦沿著直線)對折，折痕為防對折后的圖形旗'〃的邊尾恰好經(jīng)過

點G若N4ΛF=55°,則/初=70°.

解：如圖，在長方形4成》中，AD//BC,則/限=N"F=55°.：.NBEF=\8Q°-55°=

125°.根據(jù)折疊的性質(zhì)知：AB'EF=/BEF=125°.：.4CEB=4B'EF-/FEC=?25°

-55°=70°.故答案是：70°.

第11題圖第12題圖

12.如圖，在四邊形46G9中，AS=AD=4,N4=60°,BC=4√5,CD=8,則四邊形四徵

的面積為_12√2.

解：連接班."：AD=AB=/4=60°,；.△/被是等邊三角形，：.BD=AD=4,

a

?：BC=4疾,CD=S,：.Be=BIhC廣,：.ABDC=W,；?Sroi彩≡a=5k胸+5k∞?=返X4，+」

42

×4×4√3=4√3+8√3=12√3.故答案為12√1

AD

13.如圖，平行四邊形”式、中，對角線交于點6,雙曲線y=&(k>0)經(jīng)過小￡兩點，若

X

平行四邊形力次的面積為30,則A=_10______.

k

解：如圖，過力作49_LcB于〃，EFIOB于F,設(shè)力(x,-),B(a,0),Y四邊形加％

X

是平行四邊形，??"后典.?.R7為△/劭的中位線，:.E六三梏七,〃佇!(a-χ),

2Ix2

。+尤za+xk、.k,α+xk

O?=OND2-------,：.E(-----,——),???《在雙曲線六一上，???----------=k9：.a=3%,

22IxX22x

kk

YSwoB*AF33：.a?-=3Λ?-=3k=30,解得：ZFIO.故答案為10.

XX

k

14.如圖，點A在雙曲線y=一上，且0A=4,過A作AC_LX軸，垂足為C,OA的垂直平分線

X

交OC于B,aABC的周長為2",則k=【答案】6解：：》的垂直平分線交

OC于B,.?.Λ9=①，.?.ZX∕8C的周長=協(xié)?∕C,...紡Me2g①，Vft4=4,4CJ軸，垂足為

C,.?.4d+M=16②，由①②可得：AC?OOf5,ΛA=6,故答案為6.

15.若關(guān)于X的分式方程一?+?^L=2有增根，則m的值是-1

解：方程兩邊都乘以(χ-3)得,2-x-m=2(x-3),??,分式方程有增根,???x-3=0,解得

x=3,2-3-m=2(3-3),解得m=-1.

16.已知菱形ABC。的邊長為6,NA=60。，如果點。是菱形內(nèi)一點，且

PB=PD=2√3，那么AP的長為_4石或2g.

解：當(dāng)P與A在BD的異側(cè)時:連接AP交BD于M,：AD=AB,DP=BP,.?.APL3D(到線段兩

端距離相等的點在垂直平分線上)，在直角AABM中，ZBAM=30o,

o,22

ΛAM=AB?cos30=3+,BM=O.5AB=3,..PM=yJpβ-BM?√3.；.AP=AM+PM=4B當(dāng)P

與A在BD的同側(cè)時：連接AP并延長AP交BD于點MAP=AM-PM=2√3；當(dāng)P與M重合時，

PD=PB=3,與PB=PD=26矛盾，舍去.AP的長為46或26.故答案為：4g或

17.如圖1有兩張等寬的矩形紙片，矩形￡FG〃不動，將矩形ABCD按如下方式纏繞：如

圖2所示，先將點3與點E重合，再先后沿FG、EH對折，點A、點C所在的相鄰兩邊不

重疊、無空隙，最后點。剛好與點G重合，則圖1中兩張紙片的長度之比AD:EG=7:5

解：由題意可知，M=AB,ZF=ZABM=90°ZABN+ZNBM=ZNBM+ZFBM=90°,

:.ZABN=AFBM,.??ΔABNMΔFBM(AAS),.?.BM=BN,由折疊過程可知，

MN=NQ=PQ,BN=MQ,:.ABMN是等邊三角形，；.ZNBM=60。,

.?.ZABN=AFBM=30o.BMMNQMPG,:.AHPG=ANBM,EH//FG,

..ABMF=ZHBM,..AHPG=ABMF,BF=HG,:.ABFMAGHP(AAS),

.-.PH=FM,設(shè)BN=a,AN=b,.?EH=2a+b,AD=3a+b,在RtΔBFM中，，

.?.a=2b,:.EH=5b,AD=7b,:.AD:EH=7:5,

3

18.在圖中,一次函數(shù)y=x-2與反比例函數(shù)y=3的圖象交點為A、B.則一次函數(shù)值小

X

于反比例函數(shù)值時X的取值范圍是—x<—1或0<x<3

y=x—2x=-l[%=3/、

解：解方程組43得《->或〈，.所以A點坐標(biāo)為(-l,-3),B點坐標(biāo)為

y=-l>,=-3ι>>=ι

(3,1),.,.當(dāng)χ<T或0<χ<3,一次函數(shù)值小于反比例函數(shù)值.

19.己知，如上右圖，動點P在函數(shù)y=」-(x>0)的圖象上運動，PMJ_x軸于點M,PNly

Ix

軸于點N,線段PM、PN分別與直線AB：y=-x+l相交于點E,F,貝∣JAF?BE的值是

________1___________

解:作FGLX軸，YP的坐標(biāo)為(a,—),且PN_LOB,PMLOA,.'.N的坐標(biāo)為(0,—),

laIa

M點的坐標(biāo)為(a,0),ΛBN=1-?,在直角ABNF中，ZNBF=45o,OB=OA=I,ZXOAB是

2a

等腰直角三角形，.?.NF=BN=1-—L,.?.F點的坐標(biāo)為(1-—L,1-),同理可得出E點的

2a2a2a

坐標(biāo)為(a,1-a),.?.AF=(1-1+?)2+

2a

222

.?.ΛF?BE=-?v?2a=l,即AF?BE=1.故選C.

2a^

20.如圖，矩形ABCD中，AD=12,AB=8,E是AB上一點，且EB=3,F是BC上一動點,

若將AEBF沿EF對折后，點B落在點P處，則點P到點D的最短距離為10.

解：如圖：連接PD,DE,VAD=12,AB=8,EB=3ΛΛE=AB-EB=5,Y四邊形ABCD為矩

形，ΛZA≈90o,ΛDE=√AE2+AD2=13,由翻折可得PE=EB,.?.PE=4,?.?DP3DE-

EP,.?.當(dāng)E,P,D三點共線時，DP最小，...DPQMI=DE-EP=13-3=10.選：A.

≡.解答題（90分）

21.（18分）解方程

（DX2-2X-3=O（公式法）(2)3f-7x+4=0（配方法）；

（3）（X-2）2=（2X+3）2（因式分解法）(4)(X-I)2=2x-2（適當(dāng)?shù)姆椒ǎ?

⑸d+2x-l=0;（用配方法）(6)3x"+5x=3x+3.（選擇適當(dāng)?shù)姆椒ǎ?/p>

【答案】⑴解：?*-2X-3=0,：a=↑,6=-2,c=-3,

-b±?∣b2-4ac

.?.Δ=?2-4ΛC=(-2)2-4×1×(-3)=I6>O,二χ=2±4Xl=3,

2

22274

(2)解：V3X-7X+4=O,：.3X-1X=-4,：.X~3x~~3,

2

.277?x'=+2._4

??AA十xx

33)T~τ]S"6一6’??。

(3)解：V(Λ-2)2=(2%+3)2(x-2)2-(2x+3)2=0,

1

Λ(X—2+2x+3)(x-2-2x-3)=0,Λ(3x+l)(x+5)=O,西=5，XtI=

2-

(4)解:V(X—I)=2x—2,(X—1)^—2(x—1)=O,.*.(x1—2)(x-1)=O,x1=3,

?r2=??

(5)解：X2+2X-1=0,X2+2X=1,X2+2X+1=1+1,即(x+l)2=2,.,.x+l=±√2,

.,.x∣--1+72，X2=-1-√,2.

(6)解：3x"+5x=3x+3,3X2+2X-3=0Va=3,b=2,c=-3,.?Δ=22-4×3×(-3)=40

、八.—2+2?∕Γθ—1+>∕10.-1+Λ∕10—1—?/lθ

>0,..X=----------------------------------------,..Xj=--------------------,x2≈----------------.

2x3333

22.（8分）如圖，在每個小正方形邊長為1的網(wǎng)格中，點A,B,C均在格點上.

（I）AC的長度等于5:

（II）在圖中有一點P,若連接AP,PB,PC,滿足AP平分NA,且PC=PB,請在如圖所示

的網(wǎng)格中，用無刻度的直尺，畫出點P,并簡要說明點P的位置是如何找到的（不要求證明）

取格點0、E、F,M,N,作射線AO,連接EF,MN交網(wǎng)格線于H,Q,HQ與射線AO的交點于

點P,點P即為所求.

（2）如圖所示：點P即為所求：故答案為：取格點0、E、F,M,N,作射線AO,連接EF,

MN交網(wǎng)格線于H,Q,HQ與射線AO的交點于點P,點P即為所求.

23.(10分)一列快車從甲地勻速駛往乙地，一列慢車從乙地勻速駛往甲地.兩車行駛的

時間為xh,兩車之間的距離為ykm,圖中的折線表示y與X之間的函數(shù)關(guān)系，根據(jù)圖象解決

以下問題：

(1)慢車的速度為80km/h,快車的速度為120km/h：

(2)解釋圖中點C的實際意義并求出點C的坐標(biāo)；

解：(1)設(shè)慢車的速度為akm∕h,快車的速度為bkm∕h,根據(jù)題意，得儼6(a+b)=720,

15.4a=3.6b

解得［a=80,故答案為80,120；(2)圖中點C的實際意義是：快車到達(dá)乙地；Y快車走

Ib=120

完全程所需時間為720÷120=6(h),.?.點C的橫坐標(biāo)為6,縱坐標(biāo)為(80+120)X(6-

3.6)=480,即點C(6,480)；(3)由題意，可知兩車行駛的過程中有2次兩車之間的

距離為500km.即相遇前:(80+120)x=720-500,解得X=I.1,相遇后:'?,C(6,

480)慢車行駛20km兩車之間的距離為50Okm,：慢車行駛20km需要的時間是空=

80

0.25(h),Λx=6+0.25=6.25(h),故X=LIh或6.25h,兩車之間的距離為500km.

24.(10分)閱讀下面問題：

√2+l(√2+l)(√2-l)√3+√2

l×(√3-√2)_z-K

73v25

(√3+√2)(√3-√2)^^

?l×(√4-√3)_r-_r-Tf

1

(1)

1

(2)當(dāng)?shù)稙檎麛?shù)時,

+1+y[n

(3)求帛方+石國+京石+…+回+μ+/+鬧的值.

解：(1)-LIL=LL=幣任，故答案為：√7-√6;

√7+√6(√7+√6)(√7-√6)

(2)~/故答案為：

√n+l+√n(√n+l+√n)(√n+l-√")

Λ∕Π+1-y∕n;

(3)

1]]]]

l+√2√2+√3√3+√4?…√98+√99√99+√lθδ

=√2-l÷√3-√2÷√4-√3+...+√99-√98+√lθδ-√99

=JIOo—1=10—1=9.

25.（10分）如圖，已知直線y=Jx與雙曲線y=&（k>0）交于A,B兩點，且點A的橫

zX

坐標(biāo)為4,（1）求k的值；（2）利用圖形直接寫出不等式;x>V的解；（3）過原點0

/X

的另一條直線1交雙曲線y=L（k>0）于P,Q兩點（P點在第一象限），若由點A,B,P,

X

Q為頂點組成的四邊形面積為24,求點P的坐標(biāo).

解：（1）；直線y=4x與雙曲線y=K（k>0）交于A,B兩點，且點A的橫坐標(biāo)為4,

2X

.?.1×4=2,即：A點的坐標(biāo)為（4,2）,.?.k=4X2=8,即：k的值為8.（2）;點A與

點B關(guān)于原點。對稱，.?.點B的坐標(biāo)為（-4,-2）,又Y不等式當(dāng)>回的解，是函數(shù)圖

象上直線位于雙曲線上方的部分對應(yīng)的X的取值，；.由圖象可知：不等式4x>K的解

2X

是：-4（xV0和x>4.（3）作AM_Lx軸于點M,PNJ_x軸于點N.設(shè)P點的坐標(biāo)為（a,

-）.VP.Q關(guān)于0點對稱，A、B關(guān)于0點對稱，.?.四邊形APBQ為平行四邊形，

a

Λ4SΔ0AP=24ΛSΔ0AP=6.①當(dāng)點P在直線AB的下方時，如圖1所示，

SΔOΛP=?×4×2+??（-+2）（a-4）-熹區(qū)6,.?.a2-6a-16=0,解得：aρ-2,42=8,

z2a2a

.?.此時點P的坐標(biāo)為（8,1）；②當(dāng)點P在直線AB的上方時，如圖2所示，

2

SΔOAP??-+?（—+2）（4-a）-?×4×2=6,Λa+6a-16=0,解得：al=2,a2=-8,

2a2a2

.?.此時點P的坐標(biāo)為（2,4）.綜上所述：點P的坐標(biāo)為（8,1）或（2,4）.

26.（10分）如圖鐵路上A、B兩點相距25km,C、D為兩村莊，DALAB于A,CBLAB于B.已

知DA=15km,CB=IOkm,現(xiàn)在要在鐵路AB上建一個土特產(chǎn)品收購站E,使得：

（1）①若C、D兩村到E站的距離相等，則E站應(yīng)建立在離A站多少k?n處？②若E站至IJC、

D站的距離之和最短，則E站應(yīng)建立在離Λ站多少km處？

解：(1)①設(shè)AE=Xkm,則BE=(25-x)km,在RtaDAE中，DE2=DΛ2+ΛE2=225+x?Rt

△CBE中，CEZ=BE2+BCZ=(25-x)2+100,VDE2=CE2,Λx=10,ΛAE=IOkm.答：E站應(yīng)

建立在離A站IOkm處；

②“將軍飲馬”問題，作點D關(guān)于AB的對稱點D',連接CD'交AB于點E',即E'站到

C、D站的距離之和最短，過點D'作D'F_LCB的延長線于點F,貝∣J/F=90°,D'F=AB=

,,z

25,CF=CB+BF=CB+AD'=CB+AD=25,ΛDF=CF,ΛCD52+252=25√2?E

C+E,D的最小值即為CD',此時NBCE'=45°,CNAE'D,=ZCE,B=45o,

ΛZΛDzE,=ZADE,=45°,ΛΛE,=ΛD=15km.答：E站應(yīng)建立在離A站15km處；

222222,

（2）同（1）②的方法：s=√a+16+√b+9=√（a-0）+（0-4）+√（a-5）+（0-3）

則S表示點（a,0）到（0,4）和（5,3）距離之和的最小值，，s的最小值=<52+72=

√74?故答案為：√74?

27.（12分）著名數(shù)學(xué)教育家波利亞曾說：“對一個數(shù)學(xué)問題，改變它的形式，變換它的

結(jié)構(gòu)，直到發(fā)現(xiàn)有價值的東西，這是數(shù)學(xué)解題的一個重要原則《見微知著》談到：從一

個簡單的經(jīng)典問題出發(fā)，從特殊到一般，由簡單到復(fù)雜；從部分到整體，由低維到高維，

知識與方法上的類比是探索發(fā)展的重要途徑，是思想閥門發(fā)現(xiàn)新問題、新結(jié)論的重要方

法.

閱讀材料：在處理分?jǐn)?shù)和分式的問題時，有時由于分子大于分母，或分子的次數(shù)高于分母

的次數(shù)，在實際運算時難度較大，這時，我們可將分?jǐn)?shù)（分式）拆分成一個整數(shù)（整式）與

一個真分?jǐn)?shù)（分式）的和（差）的形式，通過對它的簡單分析來解決問題，我們稱這種方法

為分離常數(shù)法，此法在處理分式或整除問題時頗為有效.將分式分離常數(shù)可類比假分?jǐn)?shù)變

形帶分?jǐn)?shù)的方法進(jìn)行，如：χ2-2x+3.=X（X-1）+X-2X+3=χ+-（x-1）+2=χ_

χ-