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2023-2024學(xué)年蘇科版九年級(jí)上學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試卷
(時(shí)間:120分鐘滿分:150分)
一.選擇題(每小題3分共30分)
1.下列式子中,最簡(jiǎn)二次根式是()_
A?√θ7δB.√a2+b2C.√gD.Il
2.若關(guān)于X的一元二次方程(a+l)x'+x+a?-1=0的一個(gè)根是0,則a的值,為()
A.1B.-1C.1或-1D.工
2
3.把水勻速滴進(jìn)如圖所示玻璃容器,那么水的高度隨著時(shí)間變化的圖象大致是()
4.一次演講比賽中,評(píng)委將從演講內(nèi)容、演講能力、演講效果三個(gè)方面為選手打分,并按
得分的1:4:3的比例確定選手個(gè)人總分,已知某位選手三方面的得分分別為88,72,
50,則這位選手個(gè)人總分為()
A.68.24B.64.56C.65.75D.67.32
5.一元二次方程/+7/_=0,配方后可化為()
4
222
A.(j+A)=1B.(y-A)=1C.(j+A)=AD.(y-A)2=3
222224
6.如圖,已知長(zhǎng)方形ABCD,R,P分別是DC,BC上的點(diǎn),E,F分別是AP,RP的中點(diǎn),當(dāng)
點(diǎn)P在BC上從點(diǎn)B向點(diǎn)C移動(dòng),而點(diǎn)R不動(dòng)時(shí),那么下列結(jié)論成立的是()
A.線段EF的長(zhǎng)逐漸增大B.線段EF的長(zhǎng)逐漸減少
C.線段EF的長(zhǎng)不變
7.如圖,反比例函數(shù)yι二七Lf口正比例函數(shù)丫2—k2x的圖象交于A(-2,-3),B⑵3)
X
兩點(diǎn).若上L〉kX,則X的取值范圍是()
X2
A.-2<x<0B.-2<x<2C.x<-2或0<x<2D.-2<x<0或x>2
8.正方形ABCD,正方形BEFG和正方形RKPF的位置如圖所示,點(diǎn)G在線段DK上,且G為
BC的三等分點(diǎn),R為EF中點(diǎn),正方形BEFG的邊長(zhǎng)為4,則ADEK的面積為()
A.10B.12C.14D.16
9.將6X6的正方形網(wǎng)格如圖所示的放置在平面直角坐標(biāo)系中,每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為
格點(diǎn),每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1,正方形力靦的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上,若直線y=4x(4W0)
與正方形4?⑦有公共點(diǎn),則在的值不可能是()
Λ.?B.1C.3D..?
222
10.已知實(shí)數(shù)πι,n同時(shí)滿足1^+/-12=0,m2-5n-6=0,則n的值為(A)
A.1B.1,-6C.-1D.-6
二.題空題(每小題3分共30分)
11.把長(zhǎng)方形力靦沿著直線所對(duì)折,折痕為能對(duì)折后的圖形而'切的邊R?恰好經(jīng)過
點(diǎn)C,若//F=55°,則/湖=
12.如圖,在四邊形4%/中,AB=Ag4,/1=60°,BC^4√5)面=8,則四邊形46G9
的面積為.
13.如圖,平行四邊形加州中,對(duì)角線交于點(diǎn)長(zhǎng)雙曲線y="(k>0)經(jīng)過小£兩點(diǎn),若
X
平行四邊形力次的面積為30,則A=.
14.如圖,點(diǎn)A在雙曲線y=右上,且0A=4,過A作AC,X軸,垂足為C,OA的垂直平分線
X
交OC于B,aABC的周長(zhǎng)為24,則k=
15.若關(guān)于X的分式方程一??+jE二2有增根,則m的值是—
16.己知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為6,NA=60。,如果點(diǎn)P是菱形內(nèi)一點(diǎn),且
PB=PD=2√3,那么AP的長(zhǎng)為.
17.如圖1有兩張等寬的矩形紙片,矩形£FG”不動(dòng),將矩形/WCD按如下方式纏繞:如
圖2所示,先將點(diǎn)8與點(diǎn)E重合,再先后沿尸G、E"對(duì)折,點(diǎn)A、點(diǎn)C所在的相鄰兩邊不
重疊、無空隙,最后點(diǎn)。剛好與點(diǎn)G重合,則圖1中兩張紙片的長(zhǎng)度之比AD:EG=
第17題圖第18題圖第19題圖第20題圖
3
18.在圖中,一次函數(shù)y=x-2與反比例函數(shù)y=—的圖象交點(diǎn)為A、B.則一次函數(shù)值小
X
于反比例函數(shù)值時(shí)X的取值范圍是
19.已知,如上右圖,動(dòng)點(diǎn)P在函數(shù)y=」-(x>0)的圖象上運(yùn)動(dòng),PMJ_x軸于點(diǎn)M,PNly
2x
軸于點(diǎn)N,線段PM、PN分別與直線AB:y=-x+1相交于點(diǎn)E,F,則AF?BE的值是
20.如圖,矩形ABCD中,AD=12,AB=8,E是AB上一點(diǎn),且EB=3,F是BC上一動(dòng)點(diǎn),
若將aEBF沿EF對(duì)折后,點(diǎn)B落在點(diǎn)P處,則點(diǎn)P到點(diǎn)D的最短距離為.
≡.解答題(90分)
21.(18分)解方程
(I)X2-2X-3=0(公式法)(2)3Y-7x+4=0(配方法);
(3)(x-2)2=(2x+3)2(因式分解法)(4)(X-I)2=2x-2(適當(dāng)?shù)姆椒?.
(5)XJ+2X-1=0;(用配方法)(6)3XJ+5X=3X+3.(選擇適當(dāng)?shù)姆椒ǎ?/p>
22.(8分)如圖,在每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格中,點(diǎn)A,B,C均在格點(diǎn)上.
(I)AC的長(zhǎng)度等于____;
(H)在圖中有一點(diǎn)P,若連接AP,PB,PC,滿足AP平分/A,且PC=PB,請(qǐng)?jiān)谌鐖D所示
的網(wǎng)格中,用無刻度的直尺,畫出點(diǎn)P,并簡(jiǎn)要說明點(diǎn)P的位置是如何找到的(不要求證
明).
23.(10分)一列快車從甲地勻速駛往乙地,一列慢車從乙地勻速駛往甲地.兩車行駛的
時(shí)間為xh,兩車之間的距離為ykm,圖中的折線表示y與X之間的函數(shù)關(guān)系,根據(jù)圖象解決
以下問題:
(1)慢車的速度為km/h,快車的速度為km/h;
(2)解釋圖中點(diǎn)C的實(shí)際意義并求出點(diǎn)C的坐標(biāo);
(3)求當(dāng)X為多少時(shí),兩車之間的距離為500km.
24.(10分)閱讀下面問題:
√2+l(√2+l)(√2-l)√3+√2
l×(^-√2)_石
(^+√2)(^-√2)W'2,
1_l×(√4-√3)_廠口沖+
"+百一("+國(guó)"-我一"-5試求:
(1)w?=-------;
1
(2)當(dāng)〃為正整數(shù)時(shí),/------7=—________;
√∕7+1+√∕?
11111
(3)求*方+百方+京石+…+夜7夜+回+網(wǎng)的值.
25.(10分)如圖,已知直線y=Jx與雙曲線y=&(k>0)交于A,B兩點(diǎn),且點(diǎn)A的橫
zX
坐標(biāo)為4,(1)求k的值;(2)利用圖形直接寫出不等式;x>V的解;(3)過原點(diǎn)0
/X
的另一條直線1交雙曲線y=L(k>0)于P,Q兩點(diǎn)(P點(diǎn)在第一象限),若由點(diǎn)A,B,P,
X
Q為頂點(diǎn)組成的四邊形面積為24,求點(diǎn)P的坐標(biāo).
26.(10分)如圖鐵路上A、B兩點(diǎn)相距25km,C>D為兩村莊,DAJ_AB于A,CBJ_AB于B.已
知DA=15km,CB=IOkm,現(xiàn)在要在鐵路AB上建一個(gè)土特產(chǎn)品收購站E,使得:
(1)①若C、D兩村到E站的距離相等,則E站應(yīng)建立在離A站多少km處?②若E站到C、
D站的距離之和最短,則E站應(yīng)建立在離A站多少km處?
(2)受⑴小題第②問啟發(fā),你能否解決以下問題:正數(shù)a、b滿足條件a+b=5,且
≡=√a2+16+√b?'則S的最小值=--------
27.(12分)著名數(shù)學(xué)教育家波利亞曾說:“對(duì)一個(gè)數(shù)學(xué)問題,改變它的形式,變換它的
結(jié)構(gòu),直到發(fā)現(xiàn)有價(jià)值的東西,這是數(shù)學(xué)解題的一個(gè)重要原則《見微知著》談到:從一
個(gè)簡(jiǎn)單的經(jīng)典問題出發(fā),從特殊到一般,由簡(jiǎn)單到復(fù)雜;從部分到整體,由低維到高維,
知識(shí)與方法上的類比是探索發(fā)展的重要途徑,是思想閥門發(fā)現(xiàn)新問題、新結(jié)論的重要方
法.
閱讀材料:在處理分?jǐn)?shù)和分式的問題時(shí),有時(shí)由于分子大于分母,或分子的次數(shù)高于分母
的次數(shù),在實(shí)際運(yùn)算時(shí)難度較大,這時(shí),我們可將分?jǐn)?shù)(分式)拆分成一個(gè)整數(shù)(整式)與
一個(gè)真分?jǐn)?shù)(分式)的和(差)的形式,通過對(duì)它的簡(jiǎn)單分析來解決問題,我們稱這種方法
為分離常數(shù)法,此法在處理分式或整除問題時(shí)頗為有效.將分式分離常數(shù)可類比假分?jǐn)?shù)變
形帶分?jǐn)?shù)的方法進(jìn)行,如:χ2-2x+3.=X(X-I)+χ-2x+3=χ+-(X-I)+2=X-
χ-lχ-lχ-l
i+N_,這樣,分式就拆分成一個(gè)分式2與一個(gè)整式x-ι的和的形式.根據(jù)以上閱讀材
料解答下列問題:
(1)假分式”可化為帶分式形式;
X+4
(2)利用分離常數(shù)法,求分式緝至的取值范圍;
x2÷l
2
(3)若分式.5X+9仁3拆分成一個(gè)整式與一個(gè)分式(分子為整數(shù))的和(差)的形式為:
x+2
5m-11+--—,貝!]m2+n^+mn的最小值為.
n-6
28.(12分)【閱讀理解】對(duì)于任意正實(shí)數(shù)a、b,因?yàn)椋‵-JE)2>O,所以a-2√?+b
20,所以a+b22√豆,只有當(dāng)a=b時(shí),等號(hào)成立._
【獲得結(jié)論】在a+b22。"^(a、b均為正實(shí)數(shù))中,若ab為定值p,則a+b22j^,只有
當(dāng)a=b時(shí),a+b有最小值2幾.
根據(jù)上述內(nèi)容,回答下列問題:若m>0,只有當(dāng)m=時(shí),m+工有最小值_.
ID
【探索應(yīng)用】如圖,已知A(-3,0),B(0,-4),P為雙曲線產(chǎn)絲(x>0)上的任意一
X
點(diǎn),過點(diǎn)P作PC_LX軸于點(diǎn)C,PD_Ly軸于點(diǎn)D.求四邊形ABCD面積的最小值,并說明此時(shí)
四邊形ABCD的形狀.
教師樣卷
一.選擇題(每小題3分共30分)
1.下列式子中,最簡(jiǎn)二次根式是(B)_
A?√θ7δB.√a2+b2C.√gD.
解:4√θ7δ=∣√^>不是最簡(jiǎn)二次根式,故本選項(xiàng)不符合題意;B、Ja2+b2是最簡(jiǎn)二
次根式,故本選項(xiàng)符合題意;C、√8=2√2,不是最簡(jiǎn)二次根式,故本選項(xiàng)不符合題意;
A需=1√3,不是最簡(jiǎn)二次根式,故本選項(xiàng)不符合題意;故選:B.
22
2.若關(guān)于X的一元二次方程(a+l)x+x+a-1=0的一個(gè)根是0,則a的值,為(A)
Λ.1B.-1C.1或-1D.工
2
解:把x=0代入方程(a+l)χ2+x+a2-1=0得:a2-1-0,解得:a=±l,?.?方程為一元二次
方程,Λa+l≠0,.*.a≠-1,Λa=l,故選:A.
3.把水勻速滴進(jìn)如圖所示玻璃容器,那么水的高度隨著時(shí)間變化的圖象大致是(D)
解:因?yàn)楦鶕?jù)圖象可知,物體的形狀為首先大然后變小最后又變大,而水滴的速度是相同
的,
所以開始與最后上升速度慢,中間上升速度變快,故選:D.
4.一次演講比賽中,評(píng)委將從演講內(nèi)容、演講能力、演講效果三個(gè)方面為選手打分,并按
得分的1:4:3的比例確定選手個(gè)人總分,已知某位選手三方面的得分分別為88,72,
50,則這位選手個(gè)人總分為(C)
A.68.24B.64.56C.65.75D.67.32
解:這位詵豐個(gè)人總分為88X1+72X4+50X3=65.75,故選:C.
1+4+3
5.一元二次方程/+歹一旦=0,配方后可化為(A)
4
2
A.(廣上)2=1B.(y-A)=1C.(產(chǎn)工)2=JLD.(y-A)2__3
222227
解:?.?∕+y超=0.?.∕+y=3,則六產(chǎn)4=&_+_1,即(?+JL)2=1,故選:A.
44'4442
6.如圖,已知長(zhǎng)方形ABCD,R,P分別是DC,BC上的點(diǎn),E,F分別是AP,RP的中點(diǎn),當(dāng)
點(diǎn)P在BC上從點(diǎn)B向點(diǎn)C移動(dòng),而點(diǎn)R不動(dòng)時(shí),那么下列結(jié)論成立的是(C)
?.線段EF的長(zhǎng)逐漸增大B.線段EF的長(zhǎng)逐漸減少
C.線段EF的長(zhǎng)不變D,線段EF的長(zhǎng)先增,大后變小
解:連接AR.;E、F分別是AP、RP的中點(diǎn),.?.EF為AAPR的中位線,.?.EF=?∣?AR,為定
7.如圖,反比例函數(shù)y∣=且和正比例函數(shù)y2—kzx的圖象交于A(-2,-3),B(2,3)
兩點(diǎn).若±L〉k°x,則X的取值范圍是(C)
X2
A.-2<x<0B.-2<x<2C.x<-2∏gθ<x<2D.-2VXVo或x>2
8.正方形ABCD,正方形BEFG和正方形RKPF的位置如圖所示,點(diǎn)G在線段DK上,且G為
BC的三等分點(diǎn),R為EF中點(diǎn),正方形BEFG的邊長(zhǎng)為4,則ADEK的面積為(D)
A.10B.12C.14D.16
解:連DB,GE,FK-,則DB〃GE〃FK,在梯形GDBE中,S.B=S(同底等高)
?,?SAGDB-公共二角形二SAEDB一公共二角形即?*?SZ?ME=S^GEB,SZ?GKE=S^GFE同理S^GKE=SAGFE***S陰影二
DC
2、P
DfiE÷SΔGKEzzS?GEB÷S?GEF≈S正方形GBEF=4?=16故選:D.J
ARE
9.將6義6的正方形網(wǎng)格如圖所示的放置在平面直角坐標(biāo)系中,每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為
格點(diǎn),每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1,正方形/8(力的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上,若直線y=M(4W0)
與正方形4?必有公共點(diǎn),則在的值不可能是(D)
Λ.?B.1C.3D..?
222
解:由圖象可知力(1,2),(7(2,1),把/1的坐標(biāo)代入y=4x中,求得在=2,把C的坐
標(biāo)代入尸中,求得*=?∣?,根據(jù)圖象,當(dāng)?∣<k42時(shí),直線尸履(AWo)與正方形
[時(shí)有公共點(diǎn),所以,左的值不可能是〃,故選:D.
10.已知實(shí)數(shù)m,n同時(shí)滿足產(chǎn)+1?-12=0,m2-5n—6≈0,則n的值為(A)
Λ.1B.1,—6C.—1D.-6
解:兩式相減,得(m2+n2-12)—(m2-5n—6)=0,.*.mj÷n2-12—m^+5n+6=0,Λn^÷5n
—6=0,即(n+6)(n—1)=0,.?n∣=-6,∏2=1.把n=-6代入m?+!?—12=0,得m?=一
24,不合題意,舍去;把n=l代入m''+!?-12=0,得即m=±4五,.'.n=1.
題空題(每小題3分共30分)
11.把長(zhǎng)方形力靦沿著直線)對(duì)折,折痕為防對(duì)折后的圖形旗'〃的邊尾恰好經(jīng)過
點(diǎn)G若N4ΛF=55°,則/初=70°.
解:如圖,在長(zhǎng)方形4成》中,AD//BC,則/限=N"F=55°.:.NBEF=\8Q°-55°=
125°.根據(jù)折疊的性質(zhì)知:AB'EF=/BEF=125°.:.4CEB=4B'EF-/FEC=?25°
-55°=70°.故答案是:70°.
第11題圖第12題圖
12.如圖,在四邊形46G9中,AS=AD=4,N4=60°,BC=4√5,CD=8,則四邊形四徵
的面積為_12√2.
解:連接班.":AD=AB=/4=60°,;.△/被是等邊三角形,:.BD=AD=4,
a
?:BC=4疾,CD=S,:.Be=BIhC廣,:.ABDC=W,;?Sroi彩≡a=5k胸+5k∞?=返X4,+」
42
×4×4√3=4√3+8√3=12√3.故答案為12√1
AD
13.如圖,平行四邊形”式、中,對(duì)角線交于點(diǎn)6,雙曲線y=&(k>0)經(jīng)過小£兩點(diǎn),若
X
平行四邊形力次的面積為30,則A=_10______.
k
解:如圖,過力作49_LcB于〃,EFIOB于F,設(shè)力(x,-),B(a,0),Y四邊形加%
X
是平行四邊形,??"后典.?.R7為△/劭的中位線,:.E六三梏七,〃佇!(a-χ),
2Ix2
。+尤za+xk、.k,α+xk
O?=OND2-------,:.E(-----,——),???《在雙曲線六一上,???----------=k9:.a=3%,
22IxX22x
kk
YSwoB*AF33:.a?-=3Λ?-=3k=30,解得:ZFIO.故答案為10.
XX
k
14.如圖,點(diǎn)A在雙曲線y=一上,且0A=4,過A作AC_LX軸,垂足為C,OA的垂直平分線
X
交OC于B,aABC的周長(zhǎng)為2",則k=【答案】6解::》的垂直平分線交
OC于B,.?.Λ9=①,.?.ZX∕8C的周長(zhǎng)=協(xié)?∕C,...紡Me2g①,Vft4=4,4CJ軸,垂足為
C,.?.4d+M=16②,由①②可得:AC?OOf5,ΛA=6,故答案為6.
15.若關(guān)于X的分式方程一?+?^L=2有增根,則m的值是-1
解:方程兩邊都乘以(χ-3)得,2-x-m=2(x-3),??,分式方程有增根,???x-3=0,解得
x=3,2-3-m=2(3-3),解得m=-1.
16.已知菱形ABC。的邊長(zhǎng)為6,NA=60。,如果點(diǎn)。是菱形內(nèi)一點(diǎn),且
PB=PD=2√3,那么AP的長(zhǎng)為_4石或2g.
解:當(dāng)P與A在BD的異側(cè)時(shí):連接AP交BD于M,:AD=AB,DP=BP,.?.APL3D(到線段兩
端距離相等的點(diǎn)在垂直平分線上),在直角AABM中,ZBAM=30o,
o,22
ΛAM=AB?cos30=3+,BM=O.5AB=3,..PM=yJpβ-BM?√3.;.AP=AM+PM=4B當(dāng)P
與A在BD的同側(cè)時(shí):連接AP并延長(zhǎng)AP交BD于點(diǎn)MAP=AM-PM=2√3;當(dāng)P與M重合時(shí),
PD=PB=3,與PB=PD=26矛盾,舍去.AP的長(zhǎng)為46或26.故答案為:4g或
17.如圖1有兩張等寬的矩形紙片,矩形£FG〃不動(dòng),將矩形ABCD按如下方式纏繞:如
圖2所示,先將點(diǎn)3與點(diǎn)E重合,再先后沿FG、EH對(duì)折,點(diǎn)A、點(diǎn)C所在的相鄰兩邊不
重疊、無空隙,最后點(diǎn)。剛好與點(diǎn)G重合,則圖1中兩張紙片的長(zhǎng)度之比AD:EG=7:5
解:由題意可知,M=AB,ZF=ZABM=90°ZABN+ZNBM=ZNBM+ZFBM=90°,
:.ZABN=AFBM,.??ΔABNMΔFBM(AAS),.?.BM=BN,由折疊過程可知,
MN=NQ=PQ,BN=MQ,:.ABMN是等邊三角形,;.ZNBM=60。,
.?.ZABN=AFBM=30o.BMMNQMPG,:.AHPG=ANBM,EH//FG,
..ABMF=ZHBM,..AHPG=ABMF,BF=HG,:.ABFMAGHP(AAS),
.-.PH=FM,設(shè)BN=a,AN=b,.?EH=2a+b,AD=3a+b,在RtΔBFM中,,
.?.a=2b,:.EH=5b,AD=7b,:.AD:EH=7:5,
3
18.在圖中,一次函數(shù)y=x-2與反比例函數(shù)y=3的圖象交點(diǎn)為A、B.則一次函數(shù)值小
X
于反比例函數(shù)值時(shí)X的取值范圍是—x<—1或0<x<3
y=x—2x=-l[%=3/、
解:解方程組43得《->或〈,.所以A點(diǎn)坐標(biāo)為(-l,-3),B點(diǎn)坐標(biāo)為
y=-l>,=-3ι>>=ι
(3,1),.,.當(dāng)χ<T或0<χ<3,一次函數(shù)值小于反比例函數(shù)值.
19.己知,如上右圖,動(dòng)點(diǎn)P在函數(shù)y=」-(x>0)的圖象上運(yùn)動(dòng),PMJ_x軸于點(diǎn)M,PNly
Ix
軸于點(diǎn)N,線段PM、PN分別與直線AB:y=-x+l相交于點(diǎn)E,F,貝∣JAF?BE的值是
________1___________
解:作FGLX軸,YP的坐標(biāo)為(a,—),且PN_LOB,PMLOA,.'.N的坐標(biāo)為(0,—),
laIa
M點(diǎn)的坐標(biāo)為(a,0),ΛBN=1-?,在直角ABNF中,ZNBF=45o,OB=OA=I,ZXOAB是
2a
等腰直角三角形,.?.NF=BN=1-—L,.?.F點(diǎn)的坐標(biāo)為(1-—L,1-),同理可得出E點(diǎn)的
2a2a2a
坐標(biāo)為(a,1-a),.?.AF=(1-1+?)2+
2a
222
.?.ΛF?BE=-?v?2a=l,即AF?BE=1.故選C.
2a^
20.如圖,矩形ABCD中,AD=12,AB=8,E是AB上一點(diǎn),且EB=3,F是BC上一動(dòng)點(diǎn),
若將AEBF沿EF對(duì)折后,點(diǎn)B落在點(diǎn)P處,則點(diǎn)P到點(diǎn)D的最短距離為10.
解:如圖:連接PD,DE,VAD=12,AB=8,EB=3ΛΛE=AB-EB=5,Y四邊形ABCD為矩
形,ΛZA≈90o,ΛDE=√AE2+AD2=13,由翻折可得PE=EB,.?.PE=4,?.?DP3DE-
EP,.?.當(dāng)E,P,D三點(diǎn)共線時(shí),DP最小,...DPQMI=DE-EP=13-3=10.選:A.
≡.解答題(90分)
21.(18分)解方程
(DX2-2X-3=O(公式法)(2)3f-7x+4=0(配方法);
(3)(X-2)2=(2X+3)2(因式分解法)(4)(X-I)2=2x-2(適當(dāng)?shù)姆椒ǎ?
⑸d+2x-l=0;(用配方法)(6)3x"+5x=3x+3.(選擇適當(dāng)?shù)姆椒ǎ?/p>
【答案】⑴解:?*-2X-3=0,:a=↑,6=-2,c=-3,
-b±?∣b2-4ac
.?.Δ=?2-4ΛC=(-2)2-4×1×(-3)=I6>O,二χ=2±4Xl=3,
2
22274
(2)解:V3X-7X+4=O,:.3X-1X=-4,:.X~3x~~3,
2
.277?x'=+2._4
??AA十xx
33)T~τ]S"6一6’??。
(3)解:V(Λ-2)2=(2%+3)2(x-2)2-(2x+3)2=0,
1
Λ(X—2+2x+3)(x-2-2x-3)=0,Λ(3x+l)(x+5)=O,西=5,XtI=
2-
(4)解:V(X—I)=2x—2,(X—1)^—2(x—1)=O,.*.(x1—2)(x-1)=O,x1=3,
?r2=??
(5)解:X2+2X-1=0,X2+2X=1,X2+2X+1=1+1,即(x+l)2=2,.,.x+l=±√2,
.,.x∣--1+72,X2=-1-√,2.
(6)解:3x"+5x=3x+3,3X2+2X-3=0Va=3,b=2,c=-3,.?Δ=22-4×3×(-3)=40
、八.—2+2?∕Γθ—1+>∕10.-1+Λ∕10—1—?/lθ
>0,..X=----------------------------------------,..Xj=--------------------,x2≈----------------.
2x3333
22.(8分)如圖,在每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格中,點(diǎn)A,B,C均在格點(diǎn)上.
(I)AC的長(zhǎng)度等于5:
(II)在圖中有一點(diǎn)P,若連接AP,PB,PC,滿足AP平分NA,且PC=PB,請(qǐng)?jiān)谌鐖D所示
的網(wǎng)格中,用無刻度的直尺,畫出點(diǎn)P,并簡(jiǎn)要說明點(diǎn)P的位置是如何找到的(不要求證明)
取格點(diǎn)0、E、F,M,N,作射線AO,連接EF,MN交網(wǎng)格線于H,Q,HQ與射線AO的交點(diǎn)于
點(diǎn)P,點(diǎn)P即為所求.
(2)如圖所示:點(diǎn)P即為所求:故答案為:取格點(diǎn)0、E、F,M,N,作射線AO,連接EF,
MN交網(wǎng)格線于H,Q,HQ與射線AO的交點(diǎn)于點(diǎn)P,點(diǎn)P即為所求.
23.(10分)一列快車從甲地勻速駛往乙地,一列慢車從乙地勻速駛往甲地.兩車行駛的
時(shí)間為xh,兩車之間的距離為ykm,圖中的折線表示y與X之間的函數(shù)關(guān)系,根據(jù)圖象解決
以下問題:
(1)慢車的速度為80km/h,快車的速度為120km/h:
(2)解釋圖中點(diǎn)C的實(shí)際意義并求出點(diǎn)C的坐標(biāo);
解:(1)設(shè)慢車的速度為akm∕h,快車的速度為bkm∕h,根據(jù)題意,得儼6(a+b)=720,
15.4a=3.6b
解得[a=80,故答案為80,120;(2)圖中點(diǎn)C的實(shí)際意義是:快車到達(dá)乙地;Y快車走
Ib=120
完全程所需時(shí)間為720÷120=6(h),.?.點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為6,縱坐標(biāo)為(80+120)X(6-
3.6)=480,即點(diǎn)C(6,480);(3)由題意,可知兩車行駛的過程中有2次兩車之間的
距離為500km.即相遇前:(80+120)x=720-500,解得X=I.1,相遇后:'?,C(6,
480)慢車行駛20km兩車之間的距離為50Okm,:慢車行駛20km需要的時(shí)間是空=
80
0.25(h),Λx=6+0.25=6.25(h),故X=LIh或6.25h,兩車之間的距離為500km.
24.(10分)閱讀下面問題:
√2+l(√2+l)(√2-l)√3+√2
l×(√3-√2)_z-K
73v25
(√3+√2)(√3-√2)^^
?l×(√4-√3)_r-_r-Tf
1
(1)
1
(2)當(dāng)?shù)稙檎麛?shù)時(shí),
+1+y[n
(3)求帛方+石國(guó)+京石+…+回+μ+/+鬧的值.
解:(1)-LIL=LL=幣任,故答案為:√7-√6;
√7+√6(√7+√6)(√7-√6)
(2)~/故答案為:
√n+l+√n(√n+l+√n)(√n+l-√")
Λ∕Π+1-y∕n;
(3)
1]]]]
l+√2√2+√3√3+√4?…√98+√99√99+√lθδ
=√2-l÷√3-√2÷√4-√3+...+√99-√98+√lθδ-√99
=JIOo—1=10—1=9.
25.(10分)如圖,已知直線y=Jx與雙曲線y=&(k>0)交于A,B兩點(diǎn),且點(diǎn)A的橫
zX
坐標(biāo)為4,(1)求k的值;(2)利用圖形直接寫出不等式;x>V的解;(3)過原點(diǎn)0
/X
的另一條直線1交雙曲線y=L(k>0)于P,Q兩點(diǎn)(P點(diǎn)在第一象限),若由點(diǎn)A,B,P,
X
Q為頂點(diǎn)組成的四邊形面積為24,求點(diǎn)P的坐標(biāo).
解:(1);直線y=4x與雙曲線y=K(k>0)交于A,B兩點(diǎn),且點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為4,
2X
.?.1×4=2,即:A點(diǎn)的坐標(biāo)為(4,2),.?.k=4X2=8,即:k的值為8.(2);點(diǎn)A與
點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)。對(duì)稱,.?.點(diǎn)B的坐標(biāo)為(-4,-2),又Y不等式當(dāng)>回的解,是函數(shù)圖
象上直線位于雙曲線上方的部分對(duì)應(yīng)的X的取值,;.由圖象可知:不等式4x>K的解
2X
是:-4(xV0和x>4.(3)作AM_Lx軸于點(diǎn)M,PNJ_x軸于點(diǎn)N.設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(a,
-).VP.Q關(guān)于0點(diǎn)對(duì)稱,A、B關(guān)于0點(diǎn)對(duì)稱,.?.四邊形APBQ為平行四邊形,
a
Λ4SΔ0AP=24ΛSΔ0AP=6.①當(dāng)點(diǎn)P在直線AB的下方時(shí),如圖1所示,
SΔOΛP=?×4×2+??(-+2)(a-4)-熹區(qū)6,.?.a2-6a-16=0,解得:aρ-2,42=8,
z2a2a
.?.此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(8,1);②當(dāng)點(diǎn)P在直線AB的上方時(shí),如圖2所示,
2
SΔOAP??-+?(—+2)(4-a)-?×4×2=6,Λa+6a-16=0,解得:al=2,a2=-8,
2a2a2
.?.此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,4).綜上所述:點(diǎn)P的坐標(biāo)為(8,1)或(2,4).
26.(10分)如圖鐵路上A、B兩點(diǎn)相距25km,C、D為兩村莊,DALAB于A,CBLAB于B.已
知DA=15km,CB=IOkm,現(xiàn)在要在鐵路AB上建一個(gè)土特產(chǎn)品收購站E,使得:
(1)①若C、D兩村到E站的距離相等,則E站應(yīng)建立在離A站多少k?n處?②若E站至IJC、
D站的距離之和最短,則E站應(yīng)建立在離Λ站多少km處?
解:(1)①設(shè)AE=Xkm,則BE=(25-x)km,在RtaDAE中,DE2=DΛ2+ΛE2=225+x?Rt
△CBE中,CEZ=BE2+BCZ=(25-x)2+100,VDE2=CE2,Λx=10,ΛAE=IOkm.答:E站應(yīng)
建立在離A站IOkm處;
②“將軍飲馬”問題,作點(diǎn)D關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)D',連接CD'交AB于點(diǎn)E',即E'站到
C、D站的距離之和最短,過點(diǎn)D'作D'F_LCB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,貝∣J/F=90°,D'F=AB=
,,z
25,CF=CB+BF=CB+AD'=CB+AD=25,ΛDF=CF,ΛCD52+252=25√2?E
C+E,D的最小值即為CD',此時(shí)NBCE'=45°,CNAE'D,=ZCE,B=45o,
ΛZΛDzE,=ZADE,=45°,ΛΛE,=ΛD=15km.答:E站應(yīng)建立在離A站15km處;
222222,
(2)同(1)②的方法:s=√a+16+√b+9=√(a-0)+(0-4)+√(a-5)+(0-3)
則S表示點(diǎn)(a,0)到(0,4)和(5,3)距離之和的最小值,,s的最小值=<52+72=
√74?故答案為:√74?
27.(12分)著名數(shù)學(xué)教育家波利亞曾說:“對(duì)一個(gè)數(shù)學(xué)問題,改變它的形式,變換它的
結(jié)構(gòu),直到發(fā)現(xiàn)有價(jià)值的東西,這是數(shù)學(xué)解題的一個(gè)重要原則《見微知著》談到:從一
個(gè)簡(jiǎn)單的經(jīng)典問題出發(fā),從特殊到一般,由簡(jiǎn)單到復(fù)雜;從部分到整體,由低維到高維,
知識(shí)與方法上的類比是探索發(fā)展的重要途徑,是思想閥門發(fā)現(xiàn)新問題、新結(jié)論的重要方
法.
閱讀材料:在處理分?jǐn)?shù)和分式的問題時(shí),有時(shí)由于分子大于分母,或分子的次數(shù)高于分母
的次數(shù),在實(shí)際運(yùn)算時(shí)難度較大,這時(shí),我們可將分?jǐn)?shù)(分式)拆分成一個(gè)整數(shù)(整式)與
一個(gè)真分?jǐn)?shù)(分式)的和(差)的形式,通過對(duì)它的簡(jiǎn)單分析來解決問題,我們稱這種方法
為分離常數(shù)法,此法在處理分式或整除問題時(shí)頗為有效.將分式分離常數(shù)可類比假分?jǐn)?shù)變
形帶分?jǐn)?shù)的方法進(jìn)行,如:χ2-2x+3.=X(X-1)+X-2X+3=χ+-(x-1)+2=χ_
χ-
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