2023-2024學(xué)年百校聯(lián)盟高考全國(guó)統(tǒng)考預(yù)測(cè)密卷數(shù)學(xué)試卷含解析

2023-2024學(xué)年百校聯(lián)盟高考全國(guó)統(tǒng)考預(yù)測(cè)密卷數(shù)學(xué)試卷

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再

選涂其它答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.設(shè)正項(xiàng)等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S”，且滿足S6-2§3=2,則，的最小值為

A.8B.16C.24D.36

2.在一個(gè)數(shù)列中，如果V“eN*，都有。/“+必,+2=左（攵為常數(shù)），那么這個(gè)數(shù)列叫做等積數(shù)列，攵叫做這個(gè)數(shù)列的

公積.已知數(shù)列｛4｝是等積數(shù)列，且q=l,g=2,公積為8,則6+4+…+%20=（）

A.4711B.4712C.4713D.4715

3.設(shè)函數(shù)〃x）=ln（l+W）—不二，則使得成立的x的取值范圍是（）.

L十X

A.（1,+℃）B.（^?,-l）U（l,+co）

C.（-1,1）D.（-l,0）U（0,l）

4.點(diǎn)O在AABC所在的平面內(nèi)，===,q=l,AO=2AB+MC（/L,//GR）,且

42-〃=2（〃w0）,則陷=（）

A.-B.EC.7D.J7

32

5.已知加，〃是兩條不重合的直線，?,夕是兩個(gè)不重合的平面，則下列命題中錯(cuò)誤的是（）

A.若e〃/，則M〃/或加<=4

B.若加〃孔,mHa,nczia9則幾〃a

C.若m_Ln,m.La,nL/39則c_L/?

D.若加mVa,則〃〃a

22

6.已知雙曲線C:三-斗=l（a>0,6>0）的右焦點(diǎn)為F,過(guò)右頂點(diǎn)A且與x軸垂直的直線交雙曲線的一條漸近線于M

ab

點(diǎn)，M尸的中點(diǎn)恰好在雙曲線C上，則C的離心率為（）

A.75-1B.y/2C.6D.75

7.有一圓柱狀有蓋鐵皮桶(鐵皮厚度忽略不計(jì))，底面直徑為20cm,高度為100cm,現(xiàn)往里面裝直徑為10cm的球,

在能蓋住蓋子的情況下，最多能裝()

(附：1.414,73?1.732,75?2.236)

A.22個(gè)B.24個(gè)C.26個(gè)D.28個(gè)

8.已知向量若(a+“J_(a—",則實(shí)數(shù)機(jī)的值為()

A.-B.且C.±-D.+—

222~2

Ilo2；oxl,x>0

9.已知函數(shù)/(x)=F2，方程/(%)-口=0有四個(gè)不同的根，記最大的根的所有取值為集合。，貝!1“函

x2+2x+2,x<0

數(shù)/⑺=/(x)-依("￡>)有兩個(gè)零點(diǎn)”是，V>L，的().

2

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

7T

10.已知函數(shù)/(X)=sin2x+sin2(x+—),則/(x)的最小值為()

A.-B.-C.—D.—

2442

11.波羅尼斯(古希臘數(shù)學(xué)家，的公元前262-190年)的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學(xué)成果，它將圓錐

曲線的性質(zhì)網(wǎng)羅殆盡，幾乎使后人沒(méi)有插足的余地.他證明過(guò)這樣一個(gè)命題：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)距離的比為常數(shù)k(k>

0,且kKD的點(diǎn)的軌跡是圓，后人將這個(gè)圓稱為阿波羅尼斯圓.現(xiàn)有橢圓3+X=1(a>b>0),A,B為橢圓的長(zhǎng)

IMAI

軸端點(diǎn)，c,D為橢圓的短軸端點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M滿足匕島=2,△MAB面積的最大值為8,AMCD面積的最小值為1,

|MB|

則橢圓的離心率為()

A叵R6「也A/3

?-------15??--------N\J?

3322

2

12.已知y=/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x>0時(shí)，f(x)=x+——3.若則/(x)V0的解集是()

x

A.[-2,-1]B.(-a),-2]o[-1,0]

C.(f—2]3—1,0)D.2)5—1,0]

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.點(diǎn)兄是曲線y=31n%+%+左(ZreR)圖象上的一個(gè)定點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)4的切線方程為4x—，-1=0,則實(shí)數(shù)左的值

為.

14.函數(shù)f(x)=￥x_sinx在0,|上的最小值和最大值分別是.

15.某種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值Z服從正態(tài)分布N(〃Q2),且P(〃-3b<Z<〃+3b)=0.9974.某用戶購(gòu)買(mǎi)了10000件

這種產(chǎn)品，則這10000件產(chǎn)品中質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間(〃-3b,〃+3b)之外的產(chǎn)品件數(shù)為.

16.某種牛肉干每袋的質(zhì)量，"(像)服從正態(tài)分布，質(zhì)檢部門(mén)的檢測(cè)數(shù)據(jù)顯示：該正態(tài)分布為NR,。?)，

尸(1.9張弧2.1)=0.98.某旅游團(tuán)游客共購(gòu)買(mǎi)這種牛肉干100袋，估計(jì)其中質(zhì)量低于1.9依的袋數(shù)大約是袋.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

37r1

17.(12分)已知在平面四邊形ABC。中，NA3C=—,/止，4。,45=1245。的面積為一.

42

(1)求AC的長(zhǎng)；

(2)已知C￡)=姮，ZADC為銳角，求幻"NADC.

2

18.(12分)某機(jī)構(gòu)組織的家庭教育活動(dòng)上有一個(gè)游戲，每次由一個(gè)小孩與其一位家長(zhǎng)參與，測(cè)試家長(zhǎng)對(duì)小孩飲食習(xí)

慣的了解程度.在每一輪游戲中，主持人給出A,B,C,。四種食物，要求小孩根據(jù)自己的喜愛(ài)程度對(duì)其排序，然后

由家長(zhǎng)猜測(cè)小孩的排序結(jié)果.設(shè)小孩對(duì)四種食物排除的序號(hào)依次為XAXBXCXD,家長(zhǎng)猜測(cè)的序號(hào)依次為其中

222

XAXBXCXD和yAVByqyo都是1,2,3,4四個(gè)數(shù)字的一種排列.定義隨機(jī)變量X=(XA-JA)+(XB-JB)+(xc-Jc)+

(切-")2,用X來(lái)衡量家長(zhǎng)對(duì)小孩飲食習(xí)慣的了解程度.

(1)若參與游戲的家長(zhǎng)對(duì)小孩的飲食習(xí)慣完全不了解.

(i)求他們?cè)谝惠営螒蛑?，?duì)四種食物排出的序號(hào)完全不同的概率；

(ii)求X的分布列(簡(jiǎn)要說(shuō)明方法，不用寫(xiě)出詳細(xì)計(jì)算過(guò)程)；

(2)若有一組小孩和家長(zhǎng)進(jìn)行來(lái)三輪游戲，三輪的結(jié)果都滿足XV4,請(qǐng)判斷這位家長(zhǎng)對(duì)小孩飲食習(xí)慣是否了解，說(shuō)

明理由.

19.(12分)已知點(diǎn)P(0,l),直線y=x+r(f<0)與拋物線/=2x交于不同兩點(diǎn)A、B,直線出、依與拋物線

的另一交點(diǎn)分別為兩點(diǎn)。、D,連接CD,點(diǎn)P關(guān)于直線CD的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)Q,連接AQ、BQ.

(1)證明：AB//CD.

(2)若AQAB的面積SN1—/,求/的取值范圍.

20.(12分)已知矩形ABC。中，AB=2BC=4,E,F分別為A5,CD的中點(diǎn).沿EF將矩形AEFD折起，使

ZAEB=135°,如圖所示.設(shè)P、。分別為線段OR,的中點(diǎn)，連接PQ.

(1)求證：PQ〃平面DEB；

(2)求二面角A—BE—。的余弦值.

21.(12分)AABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別是。，b,c,已知(。―匕丫=c2—而.

(1)求角C;

(2)若4ccos(A+"1+6sinC=0,a=l,求AABC的面積.

22.(10分)在四棱椎尸―ABCD中，四邊形ABC。為菱形，PA=5,PB=5,A3=6,PO1AD,O,E

分別為AD,AB中點(diǎn).440=60。.

(1)求證：AC±PE；

(2)求平面POE與平面PSD所成銳二面角的余弦值.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、B

【解析】

方法一：由題意得$6-253=(56-$3)-邑=2,根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，得品-56,56-風(fēng),53成等差數(shù)列，設(shè)§3=無(wú)(尤>。)，

3a2(3a)2(fl222

而C0一「cC一〉m.1s-s-7++a9)_(S9-SJ(%+4)1616。

貝!I§6-S3=x+2,S—S=x+4,貝!j------------------------=-------=x-\----1-8>2/X------F8=16,

96%3%q+%+/S3xxAvx

當(dāng)且僅當(dāng)x=4時(shí)等號(hào)成立，從而火的最小值為16,故選B.

a2

方法二：設(shè)正項(xiàng)等差數(shù)列｛4｝的公差為d,由等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式及S6-2邑=2,化簡(jiǎn)可得

2

「6x5.3x2,,"即［=則豆=3@+64)2=雙+3；3-也十八2鼠?也+8=16,當(dāng)且

6%H———d2(3%H———d)=2,

%。2。23〃2V3a?

僅當(dāng)3%=普，即名=±時(shí)等號(hào)成立，從而年的最小值為16,故選B.

343%

2、B

【解析】

計(jì)算出名的值，推導(dǎo)出4+3=4(〃eN*),再由2020=3x673+1,結(jié)合數(shù)列的周期性可求得數(shù)列｛4｝的前2020項(xiàng)

和.

【詳解】

由題意可知4。“+避“+2=8,則對(duì)任意的〃eN*，4/0，則qa2a3=8,，%=---=4,

d-yCl?

aaaaaaG<3<

由44+14+2=8,得n+in+2n+3=8,..nn+in+2=n+ln+22z;+3，…°n+3=%，

2020=3x673+1)因此，％+的■1---Fa0o2o=673(4+4+%)+4=673x7+1=4712.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查數(shù)列求和，考查了數(shù)列的新定義，推導(dǎo)出數(shù)列的周期性是解答的關(guān)鍵，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于中等

題.

3、B

【解析】

由奇偶性定義可判斷出了(X)為偶函數(shù)，由單調(diào)性的性質(zhì)可知/(九)在［0,+8)上單調(diào)遞增，由此知〃光)在(7,0］上

單調(diào)遞減，從而將所求不等式化為國(guó)>1,解絕對(duì)值不等式求得結(jié)果.

【詳解】

由題意知：定義域?yàn)镽,

/(-x)=ln(l+|-x|)--^^=ln(l+|x|)-^-F=/(x)).?./(可為偶函數(shù)，

當(dāng)工之0時(shí)，/(x)=ln(l+x)---

y=In(1+x)在［0,+8)上單調(diào)遞增，y=9r在［0,-H?)上單調(diào)遞減，

???/(九)在［0,+8)上單調(diào)遞增，則/(九)在(-8,0］上單調(diào)遞減，

由/(%)>/()得：|尤|>1,解得：x<—1或尤>1,

\》的取值范圍為(f,—l)U(l,y).

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查利用函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性求解函數(shù)不等式的問(wèn)題；奇偶性的作用是能夠確定對(duì)稱區(qū)間的單調(diào)性，單調(diào)性的

作用是能夠?qū)⒑瘮?shù)值的大小關(guān)系轉(zhuǎn)化為自變量的大小關(guān)系，進(jìn)而化簡(jiǎn)不等式.

4、D

【解析】

54

確定點(diǎn)。為AABC外心，代入化簡(jiǎn)得到彳=:，〃=一，再根據(jù)BC=AC-計(jì)算得到答案.

63

【詳解】

由網(wǎng)=網(wǎng)=函可知,點(diǎn)。為AABC外心,

-121-21_

則=2,AC-AO=—AC=—,又AO=XAB+〃AC,

2

AO-AB=AAB+piAC-AB=42+//AC-AB-2,

所以21①

AO.AC=XAB.AC+〃AC=AAB-AC+//=—,

因?yàn)?X—〃=2,②

54

聯(lián)立方程①②可得2=二，〃=彳，ABAC=-b因?yàn)锽C=AC-AB，

63

所以BC?uAC,+AB?—2AC-AB=7，即^。卜行-

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題考查了向量模長(zhǎng)的計(jì)算，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.

5、D

【解析】

根據(jù)線面平行和面面平行的性質(zhì)，可判定A；由線面平行的判定定理，可判斷B；C中可判斷a,￡所成的二面角為

90°;D中有可能〃ua,即得解.

【詳解】

選項(xiàng)A：若根〃e,aH,根據(jù)線面平行和面面平行的性質(zhì)，有mH(3或mu/3,故A正確；

選項(xiàng)B：若加〃〃，mHa,nsa,由線面平行的判定定理，有〃〃a,故B正確；

選項(xiàng)C：若〃7」〃，m_La,nr/3,故a,￡所成的二面角為90°,則。故C正確；

選項(xiàng)D,若〃z_L〃，mLa,有可能“ua,故D不正確.

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題考查了空間中的平行垂直關(guān)系判斷，考查了學(xué)生邏輯推理，空間想象能力，屬于中檔題.

6、A

【解析】

/7+fh

設(shè)M(a,b),則知尸的中點(diǎn)坐標(biāo)為(亍,萬(wàn))，代入雙曲線的方程可得a/,c的關(guān)系，再轉(zhuǎn)化成關(guān)于的齊次方程,

求出工的值，即可得答案.

a

【詳解】

22

雙曲線C:二-斗=1(。>0,6>0)的右頂點(diǎn)為A(a,0),右焦點(diǎn)為F(c,0),

ab

M所在直線為x=a,不妨設(shè)M(a,b),

a+ch

：.MF的中點(diǎn)坐標(biāo)為(亍,5).代入方程可得

1

；?("+?=工,e2+2e—4=0???e—y/5-1(負(fù)值舍去).

4a24

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查雙曲線的離心率，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力，求解時(shí)注意

構(gòu)造。，c的齊次方程.

7、C

【解析】

計(jì)算球心連線形成的正四面體相對(duì)棱的距離為5后cm,得到最上層球面上的點(diǎn)距離桶底最遠(yuǎn)為(10+5V2(H-l))cm,

得到不等式10+5應(yīng)(〃-l)W100,計(jì)算得到答案.

【詳解】

由題意，若要裝更多的球，需要讓球和鐵皮桶側(cè)面相切，且相鄰四個(gè)球兩兩相切，

這樣，相鄰的四個(gè)球的球心連線構(gòu)成棱長(zhǎng)為10cm的正面體，

易求正四面體相對(duì)棱的距離為50cm,每裝兩個(gè)球稱為“一層”，這樣裝幾層球，

則最上層球面上的點(diǎn)距離桶底最遠(yuǎn)為(10+572(n-1))cm,

若想要蓋上蓋子，則需要滿足10+5&(”-1)<100,解得〃W1+9后。13.726，

所以最多可以裝13層球，即最多可以裝26個(gè)球.

故選：C

【點(diǎn)睛】

本題考查了圓柱和球的綜合問(wèn)題，意在考查學(xué)生的空間想象能力和計(jì)算能力.

8、D

【解析】

由兩向量垂直可得(a+b>(a-b)=0,整理后可知，2-愀(=0,將已知條件代入后即可求出實(shí)數(shù)心的值.

【詳解】

解：+.,.(a+Z?).(a_Z?)=0,即,「_卜『=0,

將慟=1和+根2代入，得出加2=(,所以加=±#.

故選:D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了向量的數(shù)量積，考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算.對(duì)于向量問(wèn)題，若已知垂直，通常可得到兩個(gè)向量的數(shù)量積為0,

繼而結(jié)合條件進(jìn)行化簡(jiǎn)、整理.

9、A

【解析】

作出函數(shù)f(x)的圖象,得到D=(2,4],把函數(shù)F(x)=f(x)—kx(xeD)有零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為y=kx與y=f(x)在(2,

4]上有交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)求出切線斜率，即可求得k的取值范圍，再根據(jù)充分、必要條件的定義即可判斷.

【詳解】

作出函數(shù)f(x)=]iiog2xi,A>0的圖象如圖，

x+2^+2,x<0

由圖可知，D=(2,4],

函數(shù)F(x)=f(x)-kx(xeD)有2個(gè)零點(diǎn)，即f(x)=kx有兩個(gè)不同的根，

也就是y=入與y=f(x)在(2,4]上有2個(gè)交點(diǎn)，則k的最小值為|；

設(shè)過(guò)原點(diǎn)的直線與y=log2X的切點(diǎn)為(Xo，log2Xo),斜率為一；"彳，

則切線方程為yTog?x=-Xo),

x0ln2

把(o,o)代入，可得—log,Xo=—工，即x0=e,.?.切線斜率為工，

In2eln2

；.k的取值范圍是

12eln2)

...函數(shù)F(x)=f(x)-kx(xeD)有兩個(gè)零點(diǎn)”是“k>!”的充分不必要條件，

故選A.

本題主要考查了函數(shù)零點(diǎn)的判定，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法與數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，訓(xùn)練了利用導(dǎo)數(shù)研究過(guò)曲線上

某點(diǎn)處的切線方程，試題有一定的綜合性，屬于中檔題.

10、A

【解析】

先通過(guò)降暴公式和輔助角法將函數(shù)轉(zhuǎn)化為/(x)=l-gcos[2x+q),再求最值.

【詳解】

已知函數(shù)/(X)=sii^x+sin1(xH—),

1-cos2x

2

1I(cos2xA/3sin2x>11(

=1——----------------------=1——4cos2x+—,

2(22J2I3j

因?yàn)閏os[2x+W]e[-1,1],

所以/(x)的最小值為;.

故選:A

【點(diǎn)睛】

本題主要考查倍角公式及兩角和與差的三角函數(shù)的逆用，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.

11、D

【解析】

求得定點(diǎn)M的軌跡方程(x—陰]+>2=3式可得Lx2ax3a=8,L><2人義,4=1,解得a,b即可.

(3)92323

【詳解】

MA\

設(shè)A(-a,0),B(a,0),M(x,y).?動(dòng)點(diǎn)M滿足=2,

MB\

則J(x+a『+y2=2"a『+y2=2,化簡(jiǎn)得(x—日了+y2二牛.

■:AMAB面積的最大值為8,AMCD面積的最小值為1,

—x2ax—<2=8,—x2bx—tz=1,解得a=^/^,b=，

23232

.?.橢圓的離心率為Jl—￡=走.

\a22

故選D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了橢圓離心率，動(dòng)點(diǎn)軌跡，屬于中檔題.

12、B

【解析】

利用函數(shù)奇偶性可求得了(九)在尤<0時(shí)的解析式和/(0),進(jìn)而構(gòu)造出不等式求得結(jié)果.

【詳解】

/(%)為定義在R上的奇函數(shù)，.?./(。)=0.

/、2

當(dāng)x<0時(shí)，一4>0,.../(—%)=—%------3,

x

2

/(X)為奇函數(shù)，.?./1(%)=-y(-x)=x+—+3(%<。),

x<0

由12得：2或—IWxvO；

XH----F3V0

綜上所述：若x<0,則/(X)W0的解集為(—8,—2][-1,0].

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，涉及到利用函數(shù)奇偶性求解對(duì)稱區(qū)間的解析式；易錯(cuò)點(diǎn)是忽略奇函數(shù)在x=0處有意義

時(shí)，/(。)=。的情況.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、1

【解析】

求出導(dǎo)函數(shù)，由切線斜率為4即導(dǎo)數(shù)為4求出切點(diǎn)4橫坐標(biāo)，再由切線方程得縱坐標(biāo)后可求得左.

【詳解】

設(shè)￡）（羽y），

33

由題意y'=—+1,，一+1=4,x=l,y=4xl—1=3,即為（1,3）,

XX

???3=31nl+l+左，k=2.

故答案為：L

【點(diǎn)睛】

本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，函數(shù)圖象某點(diǎn)處的切線的斜率就是該點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)值.本題屬于基礎(chǔ)題.

■L、-----------------1

824

【解析】

求導(dǎo)，研究函數(shù)單調(diào)性，分析，即得解

【詳解】

由題意得，/（X）=^--cosx＞

令r（x）＞0,解得f＜x,g,

42

jr

令ra）＜o(jì),解得o,,x＜一.

4

「打、（7171

丁?/（九）在。，7上遞減，在7彳遞增.

L4；142J

卜亨-冬

而〃0）=0"圖=與-1，

故了（尤）在區(qū)間10,父上的最小值和最大值分別是交71A/2屈兀

L2J8

故答案為：叵—@,&一1

824

【點(diǎn)睛】

本題考查了導(dǎo)數(shù)在函數(shù)最值的求解中的應(yīng)用，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題

15、26

【解析】

直接計(jì)算10000X(1—P(〃—3b<Z<〃+3司))，可得結(jié)果.

【詳解】

由題可知：P(〃—3CT<Z<〃+3(T)=0.9974

則質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間(〃-3b,〃+3。)之外的產(chǎn)品件數(shù)：

10000x(1—P(〃—3。<Z<〃+3為)=10000x0.0026=26

故答案為：26

【點(diǎn)睛】

本題考查正太分布中3b原則，審清題意，簡(jiǎn)單計(jì)算，屬基礎(chǔ)題.

16、1

【解析】

根據(jù)正態(tài)分布對(duì)稱性，求得質(zhì)量低于L9總的袋數(shù)的估計(jì)值.

【詳解】

1-0Q8

由于〃=2,所以p(m<1.9)=二一=0.01,所以100袋牛肉干中，質(zhì)量低于L9依的袋數(shù)大約是100x0.01=1袋.

故答案為：1

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查正態(tài)分布對(duì)稱性的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17、(1)逐；(2)4.

【解析】

(1)利用三角形的面積公式求得忸C，利用余弦定理求得|AC|.

(2)利用余弦定理求得cosNC鉆，由此求得進(jìn)而求得s沅NADC,利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式求

得tan^ADC.

【詳解】

(1)在ABC中，由面積公式：

i5i

SABC=-x\AB\x\BC\xsmZABC=^-x\BC\=-

.?.忸q=g

在ABC中，由余弦定理可得：|AC「=|A3『+忸21ABi?忸C?CQSNA3C=5

.-.|AC|=^

(2)在ABC中，由余弦定理可得：cosNCAB=四I一|如=正

2\AB\-BC\5

sinADAC=sin(NDAB-NCAB)=sinf%-ACAB)

2J5

...sinZDAC=cosZCAB=

5

在.ADC中，由正弦定理可得:

四3,?M比=辭

sinZADCsinADAC

ZADC為銳角

cosZADC=Vl-Sin2ZADC=-

17

tanZADC=4

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角形面積公式，考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，屬于中檔題.

18、(l)(i)[(ii)分布表見(jiàn)解析；(2)理由見(jiàn)解析

O

【解析】

(1)(0若家長(zhǎng)對(duì)小孩子的飲食習(xí)慣完全不了解，則家長(zhǎng)對(duì)小孩的排序是隨意猜測(cè)的，家長(zhǎng)的排序有禺=24種等可

能結(jié)果，利用列舉法求出其中滿足“家長(zhǎng)的排序與對(duì)應(yīng)位置的數(shù)字完全不同”的情況有9種，由此能求出他們?cè)谝惠営?/p>

戲中，對(duì)四種食物排出的序號(hào)完全不同的概率.

(ii)根據(jù)(i)的分析，同樣只考慮小孩排序?yàn)?234的情況，家長(zhǎng)的排序一共有24種情況，由此能求出X的分布列.

(2)假設(shè)家長(zhǎng)對(duì)小孩的飲食習(xí)慣完全不了解，在一輪游戲中，P(XV4)=P(X=0)+P(X=2)=7,三輪游戲結(jié)果

都滿足“XV4”的概率為工7<上；，這個(gè)結(jié)果發(fā)生的可能性很小，從而這位家長(zhǎng)對(duì)小孩飲食習(xí)慣比較了解.

2161000

【詳解】

(1)(i)若家長(zhǎng)對(duì)小孩子的飲食習(xí)慣完全不了解,

則家長(zhǎng)對(duì)小孩的排序是隨意猜測(cè)的，

先考慮小孩的排序?yàn)閙XB,xc,"為1234的情況，家長(zhǎng)的排序有『=24種等可能結(jié)果，

其中滿足“家長(zhǎng)的排序與對(duì)應(yīng)位置的數(shù)字完全不同”的情況有9種，分別為：

2143,2341,2413,3142,3412,3421,4123,4312,4321,

93

???家長(zhǎng)的排序與對(duì)應(yīng)位置的數(shù)字完全不同的概率P=—=~.

248

基小孩對(duì)四種食物的排序是其他情況，

只需將角標(biāo)A，B,C,O按照小孩的順序調(diào)整即可，

假設(shè)小孩的排序XA,XB,xc,切為1423的情況，四種食物按1234的排列為AC03,

再研究yAyBycyD的情況即可，其實(shí)這樣處理后與第一種情況的計(jì)算結(jié)果是一致的，

.??他們?cè)谝惠営螒蛑校瑢?duì)四種食物排出的序號(hào)完全不同的概率為9.

O

5)根據(jù)⑴的分析，同樣只考慮小孩排序?yàn)?234的情況，家長(zhǎng)的排序一共有24種情況,

列出所有情況，分別計(jì)算每種情況下的x的值，

X的分布列如下表：

X02468101214161820

1111111]_111

P

248246121212624824

(2)這位家長(zhǎng)對(duì)小孩的飲食習(xí)慣比較了解.

理由如下：

假設(shè)家長(zhǎng)對(duì)小孩的飲食習(xí)慣完全不了解，由(D可知，在一輪游戲中，

P(XV4)=P(X=0)+P(X=2)=-,

6

三輪游戲結(jié)果都滿足“X<4”的概率為(3)3=」<亮，

這個(gè)結(jié)果發(fā)生的可能性很小，

.?.這位家長(zhǎng)對(duì)小孩飲食習(xí)慣比較了解.

【點(diǎn)睛】

本題考查概率的求法，考查古典概型、排列組合、列舉法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.

19、(1)見(jiàn)解析；(2)f—°05——.

【解析】

C21yl、

(1)設(shè)點(diǎn)A+，乂、B彳,%，求出直線K4、P5的方程，與拋物線的方程聯(lián)立，求出點(diǎn)C、。的坐標(biāo)，利

I2J127

用直線A3、CD的斜率相等證明出A6〃CD；

(2)設(shè)點(diǎn)P到直線A3、CD的距離分別為4、4,求出4,利用相似得出&,可得出AQAB的邊A3上的高,

并利用弦長(zhǎng)公式計(jì)算出即可得出S關(guān)于/的表達(dá)式，結(jié)合不等式S21-7可解出實(shí)數(shù)/的取值范圍.

【詳解】

(\/2、2(0

(1)設(shè)點(diǎn)A個(gè)，M、B咚,%，則％=

(27(27

22

直線的方程為:X-----%-----y--,

2(乂-1).2(%-1)

X=V-

由＜2(%-1)2(%-1),消去X并整理得去一y+^—=0,

X—1

y1=2x

.

由韋達(dá)定理可知，ycyA=ycyx=???先=^7,

%一1x—i

(2、

代入直線AP的方程，得％=解得C

2(%-1廣2(%T『‘必，

同理，可得。%

2(%-if'%，

%%

為-X=2=]

%—1,「I2

1

%?%(—%

2

2(%-琰2(%-1)2%—1%—1

22(%”]

k=______--

，%+%=2,二為=2—%代入得CD2-X?X-2+X2^-2

(2-％)-1Ji-1%一1

因此，AB//CD.

(2)設(shè)點(diǎn)P到直線46、CD的距離分別為4、d2,則4

4PA_PB力_陷|PB|

由(1)矩ABIICD,

4PCPD'"d；~\PC\'\PD\

...附=7^/，|PC|=#^?%，，松弋=(X-1)2，

\PB\2

同理‘得|卬—"1'=5+%)+1]

y=x+t,

由，°，整理得y2—2y+2r=0,由韋達(dá)定理得為+%=2,%%=2乙

、y=2x

(1-t2

.早=(2一)

設(shè)點(diǎn)Q到直線AB的高為h,則h=|4—24|=五;I2”僮+1|,

\AB\=TiTF-J(%+%)-%%=23?^/iT2^,

:.S=-\AB\-h=義君'藥"+1|=3僮+恒一,

211

3t3

r<0,解得/W——，因此，實(shí)數(shù)/的取值范圍是一'-q.

2I2J

【點(diǎn)睛】

本題考查直線與直線平行的證明，考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，考查拋物線、直線方程、韋達(dá)定理、弦長(zhǎng)公式、直線

的斜率等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，是難題.

20、(1)證明見(jiàn)解析(2)旦

3

【解析】

(1)取OE中點(diǎn)R,連接刊?，⑻?可知ADEF中,PR//FE且PR=-FE,^Q是BC中點(diǎn)，可得則有BQ//PR且

2

8。=/嗯，即四邊形BQPR是平行四邊形，則有PQ〃BH,即證得PQH平面DEB.

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，求得半平面的法向量：加=卜0,0』)，”=(0,0,1)然后利用空間向量的相關(guān)結(jié)論可求得二

面角A—BE—D的余弦值.

【詳解】

(1)取￡比中點(diǎn)R,連接PR,BR,

則在ADEF中，PR//FE,且PR」FE,

2

又Q是中點(diǎn)，所以BQ=工=

22

而且BQ//EF,所以BQ^PR,

所以四邊形8QPR是平行四邊形，

所以PQ//BR,

又PQ(Z平面D￡B,BRu平面DEB,

所以PQ〃平面庶B.

(2)在平面ME內(nèi)作EG，BE交AB于點(diǎn)G,以E為原點(diǎn)，EG,EB,EF分別為x,y,x軸,

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則各點(diǎn)坐標(biāo)為E(0,0,0),5(0,2,0),。(、歷,—0,2b

所以砂=(0,2,0),ED=(V2,-V2,2),

設(shè)平面BED的一個(gè)法向量為m=(%,y,z),

則<wE￡>=0,即<V2x-V2y+2z=0

m?EB-0,y=0

取Z=l,得根=卜友,0,1),

又平面ABE的一個(gè)法向量為n=(0,0,1),

/1rr\m-Yi16

所以3