2023年中考數(shù)學考前第19講：線段的最值問題（附答案解析）

2023年中考數(shù)學考前沖刺第19講：線段的最值問題

【難點突破】著眼思路，方法點撥，疑難突破；

兩條動線段的和的最小值問題，常見的是典型的“牛喝水"問題，關鍵是指出一條對稱軸

"河流”(如圖1)?

三條動線段的和的最小值問題，常見的是典型的"臺球兩次碰壁"或"光的兩次反射”問題,

關鍵是指出兩條對稱軸"反射鏡面"(如圖2).

兩條線段差的最大值問題，一般根據(jù)三角形的兩邊之差小于第三邊，當三點共線時，兩

條線段差的最大值就是第三邊的長.如圖3,PA與PB的差的最大值就是AB,此時點P在

AB的延長線上，即P-

解決線段和差的最值問題，有時候求函數(shù)的最值更方便，本講不涉及函數(shù)最值問題.

【例題1】如圖1,菱形Z8C。中，AB=2,NZ=I20。,點尸、。、K分別為線段8C、CD、

8。上的任意一點，求尸K+0K的最小值.

圖1

【例題2】如圖1,已知A(0,2)、8(6,4)、E(α,0)、F(α+1,0),求a為何值時，四邊形ABEF

周長最小？請說明理由.

第1頁共24頁

【例題3】在平面直角坐標系中，。為原點，點A(-2,0),點B(0,2),點E,點F分別

為OA,OB的中點.若正方形OEDF繞點0順時針旋轉，得正方形。ERF,記旋轉角為α.

(I)如圖①，當a=90。時，求AE',BF的長；

(II)如圖②，當a=135°時，求證AE'=BF',且AE'J_BF'；

(III)若直線AE，與直線BF相交于點P,求點P的縱坐標的最大值(直接寫出結果即可).

第2頁共24頁

1.如圖1,菱形ABC。中，NA=60。，48=3,G)A、。8的半徑分別為2和1,P、E、F分

別是邊CD、。8和。A上的動點，則PE+PF的最小值是,

圖1

2.如圖，在RtZiABC中，ZB=90o,AB=4,BC>AB,點D在BC上，以AC為對角線的

DE的最小值是

3.如圖，M、N是正方形ABCD的邊CD上的兩個動點，滿足AM=BN,連接AC交BN于點

E,連接DE交AM于點F,連接CF,若正方形的邊長為4,則線段CF的最小值是.

4.如圖1,Z?A8C中，NACB=90。，AC=2,BC=I.點A、C分別在X軸和y軸的正半軸上,

當點A在X軸上運動時，點C也隨之在y軸上運動.在整個運動過程中，則點B到原點的最

大距離是,

5.如圖，RtaABC中，AB±BC,AB=6,BC=4,P是AABC內(nèi)部的一個動點，且滿足

ZPAB=ZPBC,則線段CP長的最小值為

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A

6.如圖，在Rtz^ABC中，AB=3,BC=5,P為邊BC上一動點，PElAB2FE,PF_LAC于F,

Q為EF中點，則AQ的最小值為.

7.如圖，將一副直角三角形拼放在一起得到四邊形ABCD,其中NBAC=45。，/ACD=

30°,點E為CD邊上的中點，連接AE,將AADE沿AE所在直線翻折得到4ADE,D'E

交AC于F點.若AB=6丘cm.

(I)AE的長為」、G_cm；

(2)試在線段AC上確定一點P,使得DP+EP的值最小，并求出這個最小值；

(3)求點D，到BC的距離.

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8.幾何模型：

條件：如下圖，A、B是直線1同旁的兩個定點.

問題：在直線1上確定一點P,使PA+PB的值最小.

方法：作點A關于直線1的對稱點A，，連接A，B交I于點P,則PA+PB=AB的

值最小(不必證明).

模型應用：

(1)如圖1,正方形ABCD的邊長為2,E為AB的中點，P是AC上一動點.連

接BD,由正方形對稱性可知，B與D關于直線AC對稱.連接ED交AC于P,

則PB+PE的最小值是；

(2)如圖2,。。的半徑為2,點A、B、C在。O上，OALOB,ZAOC=60o,

P是OB上一動點，求PA+PC的最小值；

(3)如圖3,ZAOB=45o,P是NAOB內(nèi)一點，PO=IO,Q、R分別是0A、OB

上的動點，求APQR周長的最小值.

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9.如圖，在矩形紙片ABCD中，AB=4,AD=12,將矩形紙片折疊，使點C落在AD邊

上的點M處，折痕為PE,此時PD=3.

(1)求MP的值；

(2)在AB邊上有一個動點F,且不與點A,B重合，當AF等于多少時，AMEF的周長最??？

(3)若點G,Q是AB邊上的兩個動點，且不與點A,B重合，GQ=2,當四邊形MEQG周

長最小時，求最小周長值.(計算結果保留根號)

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10.如圖，拋物線y=-χ2+bx+c與直線AB交于A(-4,-4),B(0,4)兩點，直線AC：

y=-?Lχ-6交y軸于點C.點E是直線AB上的動點，過點E作EF_LX軸交AC于點F,交拋

2

物線于點G.

(1)求拋物線y=-×2+bx+c的表達式;

(2)連接GB,EO,當四邊形GEOB是平行四邊形時，求點G的坐標；

(3)①在y軸上存在一點H,連接EH,HF,當點E運動到什么位置時，以A,E,F,H為

頂點的四邊形是矩形？求出此時點E,H的坐標；

②在①的前提下，以點E為圓心，EH長為半徑作圓，點M為。E上一動點，求,AM+CM

2

它的最小值.

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2023年中考數(shù)學考前沖刺第19講：線段的最值問題答案解

析

【難點突破】著眼思路，方法點撥，疑難突破；

兩條動線段的和的最小值問題，常見的是典型的“牛喝水"問題，關鍵是指出一條對稱軸

“河流”（如圖1）.

三條動線段的和的最小值問題，常見的是典型的"臺球兩次碰壁"或"光的兩次反射”問題,

關鍵是指出兩條對稱軸"反射鏡面"（如圖2）.

兩條線段差的最大值問題，一般根據(jù)三角形的兩邊之差小于第三邊，當三點共線時，兩

條線段差的最大值就是第三邊的長.如圖3,RA與PB的差的最大值就是AB,此時點P在

AB的延長線上，即7.

解決線段和差的最值問題，有時候求函數(shù)的最值更方便，本講不涉及函數(shù)最值問題.

【例題1】如圖1,菱形中，AB=I,/4=120。，點尸、。、K分別為線段BC、CD、

8。上的任意一點，求尸K+0K的最小值.

圖1

【解析】如圖2,點Q關于直線BD的對稱點為Q',在aKPQ,中，PK+QK總是大于PQ，的.如

圖3,當點K落在PQ，上時，PK+QK的最小值為PQ，.如圖4,PCT的最小值為QH,Q歸就

是菱形ABC。的高,QTV=G

這道題目應用了兩個典型的最值結論：兩點之間，線段最短；垂線段最短.

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圖2圖3圖4

【例題2】如圖1,已知4(0,2)、8(6,4)、￡(。,0)、F(a+1,0),求。為何值時,四邊形A8EF

周長最小？請說明理由.

【解析】在四邊形ABEF中，AB、EF為定值，求AE+BF的最小值，先把這兩條線段經(jīng)過平

移，使得兩條線段有公共端點.

如圖2,將線段BF向左平移兩個單位，得到線段ME.

如圖3,作點A關于X軸的對稱點A,/WA與X軸的交點E,滿足AE+ME最小.

由AAOES48HF,得(止.解方程B得“L

【例題3】在平面直角坐標系中，。為原點，點A(-2,0),點B(0,2),點E,點F分別

為OA,OB的中點.若正方形OEDF繞點O順時針旋轉，得正方形OEUF,記旋轉角為α.

(H)如圖②,當a=135。時,求證AE'=BF',且AE'J_BF'；

(III)若直線AE，與直線BP相交于點P,求點P的縱坐標的最大值(直接寫出結果即可).

【分析】(1)利用勾股定理即可求出AE-BF的長.

(2)運用全等三角形的判定與性質、三角形的外角性質就可解決問題.

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(3)首先找到使點P的縱坐標最大時點P的位置(點P與點D，重合時)，然后運用勾股定

理及30。角所對的直角邊等于斜邊的一半等知識即可求出點P的縱坐標的最大值.

【解答】解：(I)當α=90。時，點F與點F重合，如圖①.

；點A(-2,0)點B(0,2),

.?.0A=0B=2.

：點E,點F分別為C)A,OB的中點，

AOE=OF=I

；正方形OEUF是正方形OEDF繞點0順時針旋轉90。得到的，

AOE=OE=I,OF'=OF=L

在Rt?AE,0中，

AE-7OΛ2+OEΓ'^22+12=√5?

在Rt?BOF,φ,

BF^VOB2+OF2=Λ∕22÷12=√5?

ΛAE,,BF的長都等于Jg.

(II)當a=135。時，如圖②.

：正方形OERF是由正方形OEDF繞點。順時針旋轉135。所得，

ΛZA0E,=ZB0F,=135o.

在aAOE'和aBOF中，

rAO=BO

?ZAOEz=ZBOF'，

OEz=OF'

Λ?AOE,^?BOF,(SAS).

ΛAE,=BF,,且NOAE，=NOBF.

/ACB=NCAO+/Ae)C=NCBP+/CPB,ZCAO=ZCBP,

ΛZCPB=ZAOC=90o

ΛAE,±BF,.

(Ill)VZBPA=ZBOA=90o,點P、B、A、。四點共圓，

二當點P在劣弧OB上運動時，點P的縱坐標隨著ZPA。的增大而增大.

?.?OE'=1,...點E在以點。為圓心，1為半徑的圓。上運動，

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.?.當AP與。。相切時,ZEzAO（即NPAO）最大，

此時NAE9=90。，點D，與點P重合，點P的縱坐標達到最大.

過點P作PHJ_x軸，垂足為H,如圖③所示.

VZAE,O=90o,E,O=1,A0=2,

ΛZE,AO=30°,AE,=T3?

ΛAP=5∕3+1.

VZAHP=90°,ZPAH=30",

；.PH」AP-m+1?.

22

點P的縱坐標的最大值為近二.

2

1.如圖1,菱形A8CD中，ZA=60°,AB=3,0>A,OB的半徑分別為2和1,P、E、F分

別是邊CD、。8和。A上的動點，則PE+PF的最小值是

【解析】E、F、P三個點都不確定，怎么辦？BE=I,AF=2是確定的，那么我們可以求PB

十%-3的最小值，先求P8+PA的最小值（如圖2）.

如圖3,P8+P4的最小值為AB-AB'=6.所以PE+PF的最小值等于3.

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2.如圖，在RtZ?ABC中，ZB=90o,AB=4,BOAB,點D在BC上，以AC為對角線的

DE的最小值是

【解析】首先證明BC〃AE,當DEJ_BC時，DE最短,只要證明四邊形ABDE是矩形即可

解決問題.解：：四邊形ADCE是平行四邊形,

ΛBC/7AE,

當DEJ_Be時，DE最短,

此時?.?∕B=90°,

ΛAB±BC,

；.DE〃AB,

.?.四邊形ABDE是平行四邊形,

?/NB=90°,

四邊形ABDE是矩形,

.?.DE=AB=4,

ΛDE的最小值為4.

3.如圖，M、N是正方形ABCD的邊CD上的兩個動點,滿足AM=BN,連接AC交BN于點

E,連接DE交AM于點F,連接CF,若正方形的邊長為4,則線段CF的最小值是

第12頁共24頁

My

【解析】分析：根據(jù)正方形的性質可得AD=BC=CD,ZADC=ZBCD,ZDCE=ZBCE,然后利

用"HL”證明RtAADM和RtABCN全等，根據(jù)全等三角形對應角相等可得∕ι=∕2,利用"SAS"

證明ADCE和48CE全等，根據(jù)全等三角形對應角相等可得N2=N3,從而得到∕1=N3,然

后求出NAFD=90。，取A。的中點。，連接OF、OC,根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊

的一半可得OF=AD=2,利用勾股定理列式求出OC,然后根據(jù)三角形的三邊關系可知當。、F、

C三點共線時，CF的長度最小.

詳解：在正方形ABCD中，AD=BC=CD,ZADC=ZBCD,NDCE=NBCE.在RtZ?ADM和Rt?6CΛ∕

中，

?AD-Bk'

[JΛ∕=ΛV

，：.Rt?ΛD∕W?RtΔβCΛ∕(HL),ΛZ1=Z2.在aDCE和48CE中,

BC≈CD

CE=CE

，.,.∕?DCE^Δ,BCE(SAS),ΛZ2=Z3,ΛZ1=Z3.

VZADF+Z3=ZADC=90°,：.Zl+ZADF=90°,：.ZAFD=180°-90°=90o,取AO的中點0,

連接OF、OC,則。F=Do=；AD=2.在RtZkODC中，OC=2石，根據(jù)三角形的三邊關系,

OF+CF>OC,，當0、F、C三點共線時，CF的長度最小，最小值=OC-OF=2、？-2.

故答案為：2√(5-2.

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MN

O

A

4.如圖1,Z?A8C中，ZACB=90Q,AC=2,BC=I.點A、C分別在X軸和y軸的正半軸上,

當點A在X軸上運動時，點C也隨之在y軸上運動.在整個運動過程中，則點8到原點的最

大距離是

【解析】如果把OB放在某一個三角形中，這個三角形的另外兩條邊的大小是確定的，那么

根據(jù)兩邊之和大于第三邊，可知第三邊OB的最大值就是另兩邊的和.

顯然AOBC是不符合條件的，因為。C邊的大小不確定.

如圖2,如果選AC的中點D,那么B。、。。都是定值，OD=1,BD=、5.

在aOBD中，總是有0B<0D+8D.

如圖3,當點。落在OB上時，。8最大，最大值為6+∣.

5.如圖，RtZ?ABC中，AB±BC,AB=6,BC=4,P是AABC內(nèi)部的一個動點，且滿足

ZPAB=ZPBC,則線段CP長的最小值為:

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A

【分析】首先證明點P在以AB為直徑的。O上，連接OC與。O交于點P,此時PC最小,

利用勾股定理求出OC即可解決問題.

【解答】解：：/ABC=90。，

ZABP+ZPBC=90o,

VZPAB=ZPBC,

ΛZBAP+ZABP=90o,

，ZAPB=90o,

點P在以AB為直徑的。O上，連接OC交。O于點P,此時PC最小，

在RT△BCO中，VZOBC=90o,BC=4,0B=3,

ΛOC=VBO2+BC2=5,

ΛPC=0C=0P=5-3=2.

.?.PC最小值為2.

6.如圖，在RtZ?ABC中，AB=3,BC=5,P為邊BC上一動點，PE_LAB于E,PF_LAC于F,

Q為EF中點，則AQ的最小值為.

【解析】連結AP,在AABC中，AB=6,AC=8,BC=IO,

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，∕BAC=90°,

VPElAB,PF±AC,

.??四邊形AFPE是矩形，

/.EF=AP.

VM是EF的中點，

.?.AM=LAP,

-)

根據(jù)直線外一點到直線上任一點的距離，垂線段最短，

即APJ_BC時，AP最短，同樣AM也最短，

當APJ_BC時，Z?ABPs∕?CBA,

.APAB

,?---=----，

ACBC

.AP6

??,

8IO

，AP最短時，AP=4.8

_AP

，當AM最短時,AM=--=2.4.

2

7.如圖，將一副直角三角形拼放在一起得到四邊形ABCD,其中NBAC=45。，ZACD=30o,

點E為CD邊上的中點，連接AE,將AADE沿AE所在直線翻折得到AAPE,DE交AC

于F點.若AB=6/2cm.

(I)AE的長為_4、；_cm；

(2)試在線段AC上確定一點P,使得DP+EP的值最小，并求出這個最小值；

⑶求點D'到BC的距離.

解：（1）VZBAC=45o,ZB=90o,

/.AB=BC=6,

.β.AC=?2cm,

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VZACD=30o,ZDAC=90o,AC=I2cm,

.?.CD=AC÷cos30°=12÷-=12×=873(cm),

23

：點E為CD邊上的中點，

.?.AE='DC=W‰.

2

故答案為：4,∕3:

(2)?.?RfZ?ADC中，ZACD=30o,

NADC=60。.為CD邊上的中點，

二DE=AE,二ZXADE為等邊三角形.；將aADE沿AE所在直線翻折得AAPE,

,o

.?.A1ADE為等邊三角形，ZAED=60,

：NEAC=NEAD-NDAC=30。，ΛZEFA=90o,即AC所在的直線垂直平分線段ED，,

.?.點E,D，關于直線AC對稱，連接DD交AC于點P,

二此時DP+EP值為最小，且DP+EP=DD,

YaADE是等邊三角形，AD=AE=4、夕，

?*?DO1—2×—ADx=2x6=12,即DP+EP最小值為12cm；

(3)連接CD,BD,,過點D，作DG_LBe于點G,

YAC垂直平分線EDT.?.AE=ADTCE=CD/,

VAE=EC,.?.AD=CD=4,

??ABD,^ΔCBD,Φ,AB=BC,BD,=BD,,AD,=CD,

Λ?ABD,^ΔCBD,(SS5),Λ∕D'BG=45°,

ΛD,G=GB,設D'G長為XC則CG長為(66-X)C5,

在必aGDC中，X2+(6√2-X)2=(4√J)2,

解得XI=3，5—?√k,X2=3√N+VW(不合題意舍去)，

.?.點D到BC邊的距離為(3√2-√6)cm.

8.幾何模型：

條件：如下圖，A、B是直線1同旁的兩個定點.

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3

問題：在直線1上確定一點P,使PA+PB的值最小.

方法：作點A關于直線1的對稱點A，，連接A，B交1于點P,則PA+PB=AB的

值最小(不必證明).

模型應用：

(1)如圖1,正方形ABCD的邊長為2,E為AB的中點，P是AC上一動點.連

接BD,由正方形對稱性可知，B與D關于直線AC對稱.連接ED交AC于P,

則PB+PE的最小值是；

(2)如圖2,?0的半徑為2,點A、B、C在。0上，OA_LOB,ZAOC=60o,

P是OB上一動點，求PA+PC的最小值；

(3)如圖3,ZAOB=45o,P是NAOB內(nèi)一點，PO=IO,Q、R分別是0A、OB

上的動點，求APQR周長的最小值.

解：(1)；四邊形ABCD是正方形，

ΛAC垂直平分BD,

二PB=PD,

由題意易得：PB+PE=PD+PE=DE,

在aADE中，根據(jù)勾股定理得，DE=GT―岐

(2)作A關于OB的對稱點N,連接A'C,交OB于P,

PA+PC的最小值即為A，C的長，

：ZAOC=60o

.?.ZA,OC=120o

作OD_LA，C于D,則NA，OD=60。

V0A,=0A=2

.SD=E

.?.1C=24;

(3)分別作點P關于OA、OB的對稱點M、N,連接OM、ON、MN,MN交OA、

OB于點Q、R,連接PR、PQ,此時aPQR周長的最小值等于MN.

由軸對稱性質可得，OM=ON=OP=10,ZMOA=ZPOA,ZNOB=ZPOB,

ZMON=2ZAOB=2×45o=90o,

第18頁共24頁

在Rt?MON中，MN」QA/-O?」IO2-IO2=10J2.

即APQR周長的最小值等于10也.

9.如圖，在矩形紙片ABCD中，AB=4,AD=12,將矩形紙片折疊，使點C落在AD邊

上的點M處，折痕為PE,此時PD=3.

(1)求MP的值；

(2)在AB邊上有一個動點F,且不與點A,B重合，當AF等于多少時，AMEF的周長最?。?/p>

(3)若點G,Q是AB邊上的兩個動點，且不與點A,B重合，GQ=2,當四邊形MEQG周

長最小時，求最小周長值.(計算結果保留根號)

解：(I)MP==5；(2)如圖1,作點M關于AB的對稱點M，，連接M，E交AB于點F,則點

F即為所求，

過點E作ENlAD,垂足為N.YAM=AD-MP-PD=I5—5—3=4,

.?.AM=ANr=4.?.?矩形ABCD折疊，使點C落在AD邊上的點M處，折痕為PE,

ΛZCEP≈ZMEP,而/CEP=NMPE,

.?.NMEP=NMPE,.?.ME=MP=5,在RfZXENM中，MN===3,

NM'=11.：AF〃NE,?AFM,^ΔNEM,,

M,AAF4AF1616

ΛM,N=EN,即11=4,解得AF=Il,即AF=II時?Z?MEF的周長最?。?/p>

(3)如圖2,由(2)知點M，是點M關于AB的對稱點，連接MG,

在EN上截取ER=2,連接MR交AB于點G,再過點E作EQ〃RG,交AB于點Q,

圖2

?；EQ〃RG,ER〃GQ,二四邊形ERGQ是平行四邊形，

QE=GR.:GM=GMlΛMG+QE=GM,+GR=M,R,

此時MG+EQ最小，四邊形MEQG的周長最小，

在RaMRN中，NR=4-2=2,M,R==5,VME=5,GQ=2,

二四邊形MEQG的最小周長值是7+5.

第19頁共24頁

10.如圖，拋物線y=-χ2+bx+c與直線AB交于A(-4,-4),B(0,4)兩點，直線AC：

y=-；x-6交y軸于點C.點E是直線AB上的動點，過點E作EF_LX軸交AC于點F,交拋

物線于點G.

(1)求拋物線y=-×2+bx+c的表達式;

(2)連接GB,E。，當四邊形GEoB是平行四邊形時，求點G的坐標；

(3)①在y軸上存在一點H,連接EH,HF,當點E運動到什么位置時，以A,E,F,H為

頂點的四邊形是矩形？求出此時點E,H的坐標；

②在①的前提下，以點E為圓心，EH長為半徑作圓，點M為。E上一動點，求：AM+CM

它的最小值.

【分析】(1)利用待定系數(shù)法求出拋物線解析式；

(2)先利用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式，進而利用平行四邊形的對邊相等建立方程

求解即可；

(3)①先判斷出要以點A,E,F,H為頂點的四邊形是矩形，只有EF為對角線，利用中點

坐標公式建立方程即可：

②先取EG的中點P進而判斷出aPEMs^MEA即可得出PM=LAM,連接CP交圓E于M,

2

再求出點P的坐標即可得出結論.

【解答】解：(1)：點人(-4,-4),B(0,4)在拋物線y=-χ2+bx+c上，

?-16-4h+C=-4

.Ic=4

第20頁共24頁

(b=-2

.(c=4

??，

???拋物線的解析式為y=-X2-2x+4；

(2)設直線AB的解析式為y=kx+n過點A,B,

(n=4

?1-4fc+n=-4

??，

(