2023年中考數(shù)學(xué)考前第19講：線段的最值問(wèn)題（附答案解析）

2023年中考數(shù)學(xué)考前沖刺第19講：線段的最值問(wèn)題

【難點(diǎn)突破】著眼思路，方法點(diǎn)撥，疑難突破；

兩條動(dòng)線段的和的最小值問(wèn)題，常見的是典型的“牛喝水"問(wèn)題，關(guān)鍵是指出一條對(duì)稱軸

"河流”(如圖1)?

三條動(dòng)線段的和的最小值問(wèn)題，常見的是典型的"臺(tái)球兩次碰壁"或"光的兩次反射”問(wèn)題,

關(guān)鍵是指出兩條對(duì)稱軸"反射鏡面"(如圖2).

兩條線段差的最大值問(wèn)題，一般根據(jù)三角形的兩邊之差小于第三邊，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，兩

條線段差的最大值就是第三邊的長(zhǎng).如圖3,PA與PB的差的最大值就是AB,此時(shí)點(diǎn)P在

AB的延長(zhǎng)線上，即P-

解決線段和差的最值問(wèn)題，有時(shí)候求函數(shù)的最值更方便，本講不涉及函數(shù)最值問(wèn)題.

【例題1】如圖1,菱形Z8C。中，AB=2,NZ=I20。,點(diǎn)尸、。、K分別為線段8C、CD、

8。上的任意一點(diǎn)，求尸K+0K的最小值.

圖1

【例題2】如圖1,已知A(0,2)、8(6,4)、E(α,0)、F(α+1,0),求a為何值時(shí)，四邊形ABEF

周長(zhǎng)最??？請(qǐng)說(shuō)明理由.

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【例題3】在平面直角坐標(biāo)系中，。為原點(diǎn)，點(diǎn)A(-2,0),點(diǎn)B(0,2),點(diǎn)E,點(diǎn)F分別

為OA,OB的中點(diǎn).若正方形OEDF繞點(diǎn)0順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得正方形。ERF,記旋轉(zhuǎn)角為α.

(I)如圖①，當(dāng)a=90。時(shí)，求AE',BF的長(zhǎng)；

(II)如圖②，當(dāng)a=135°時(shí)，求證AE'=BF',且AE'J_BF'；

(III)若直線AE，與直線BF相交于點(diǎn)P,求點(diǎn)P的縱坐標(biāo)的最大值(直接寫出結(jié)果即可).

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1.如圖1,菱形ABC。中，NA=60。，48=3,G)A、。8的半徑分別為2和1,P、E、F分

別是邊CD、。8和。A上的動(dòng)點(diǎn)，則PE+PF的最小值是,

圖1

2.如圖，在RtZiABC中，ZB=90o,AB=4,BC>AB,點(diǎn)D在BC上，以AC為對(duì)角線的

DE的最小值是

3.如圖，M、N是正方形ABCD的邊CD上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足AM=BN,連接AC交BN于點(diǎn)

E,連接DE交AM于點(diǎn)F,連接CF,若正方形的邊長(zhǎng)為4,則線段CF的最小值是.

4.如圖1,Z?A8C中，NACB=90。，AC=2,BC=I.點(diǎn)A、C分別在X軸和y軸的正半軸上,

當(dāng)點(diǎn)A在X軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)C也隨之在y軸上運(yùn)動(dòng).在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，則點(diǎn)B到原點(diǎn)的最

大距離是,

5.如圖，RtaABC中，AB±BC,AB=6,BC=4,P是AABC內(nèi)部的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足

ZPAB=ZPBC,則線段CP長(zhǎng)的最小值為

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A

6.如圖，在Rtz^ABC中，AB=3,BC=5,P為邊BC上一動(dòng)點(diǎn)，PElAB2FE,PF_LAC于F,

Q為EF中點(diǎn)，則AQ的最小值為.

7.如圖，將一副直角三角形拼放在一起得到四邊形ABCD,其中NBAC=45。，/ACD=

30°,點(diǎn)E為CD邊上的中點(diǎn)，連接AE,將AADE沿AE所在直線翻折得到4ADE,D'E

交AC于F點(diǎn).若AB=6丘cm.

(I)AE的長(zhǎng)為」、G_cm；

(2)試在線段AC上確定一點(diǎn)P,使得DP+EP的值最小，并求出這個(gè)最小值；

(3)求點(diǎn)D，到BC的距離.

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8.幾何模型：

條件：如下圖，A、B是直線1同旁的兩個(gè)定點(diǎn).

問(wèn)題：在直線1上確定一點(diǎn)P,使PA+PB的值最小.

方法：作點(diǎn)A關(guān)于直線1的對(duì)稱點(diǎn)A，，連接A，B交I于點(diǎn)P,則PA+PB=AB的

值最小(不必證明).

模型應(yīng)用：

(1)如圖1,正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2,E為AB的中點(diǎn)，P是AC上一動(dòng)點(diǎn).連

接BD,由正方形對(duì)稱性可知，B與D關(guān)于直線AC對(duì)稱.連接ED交AC于P,

則PB+PE的最小值是；

(2)如圖2,。。的半徑為2,點(diǎn)A、B、C在。O上，OALOB,ZAOC=60o,

P是OB上一動(dòng)點(diǎn)，求PA+PC的最小值；

(3)如圖3,ZAOB=45o,P是NAOB內(nèi)一點(diǎn)，PO=IO,Q、R分別是0A、OB

上的動(dòng)點(diǎn)，求APQR周長(zhǎng)的最小值.

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9.如圖，在矩形紙片ABCD中，AB=4,AD=12,將矩形紙片折疊，使點(diǎn)C落在AD邊

上的點(diǎn)M處，折痕為PE,此時(shí)PD=3.

(1)求MP的值；

(2)在AB邊上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)F,且不與點(diǎn)A,B重合，當(dāng)AF等于多少時(shí)，AMEF的周長(zhǎng)最?。?/p>

(3)若點(diǎn)G,Q是AB邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且不與點(diǎn)A,B重合，GQ=2,當(dāng)四邊形MEQG周

長(zhǎng)最小時(shí)，求最小周長(zhǎng)值.(計(jì)算結(jié)果保留根號(hào))

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10.如圖，拋物線y=-χ2+bx+c與直線AB交于A(-4,-4),B(0,4)兩點(diǎn)，直線AC：

y=-?Lχ-6交y軸于點(diǎn)C.點(diǎn)E是直線AB上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作EF_LX軸交AC于點(diǎn)F,交拋

2

物線于點(diǎn)G.

(1)求拋物線y=-×2+bx+c的表達(dá)式;

(2)連接GB,EO,當(dāng)四邊形GEOB是平行四邊形時(shí)，求點(diǎn)G的坐標(biāo)；

(3)①在y軸上存在一點(diǎn)H,連接EH,HF,當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，以A,E,F,H為

頂點(diǎn)的四邊形是矩形？求出此時(shí)點(diǎn)E,H的坐標(biāo)；

②在①的前提下，以點(diǎn)E為圓心，EH長(zhǎng)為半徑作圓，點(diǎn)M為。E上一動(dòng)點(diǎn)，求,AM+CM

2

它的最小值.

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2023年中考數(shù)學(xué)考前沖刺第19講：線段的最值問(wèn)題答案解

析

【難點(diǎn)突破】著眼思路，方法點(diǎn)撥，疑難突破；

兩條動(dòng)線段的和的最小值問(wèn)題，常見的是典型的“牛喝水"問(wèn)題，關(guān)鍵是指出一條對(duì)稱軸

“河流”（如圖1）.

三條動(dòng)線段的和的最小值問(wèn)題，常見的是典型的"臺(tái)球兩次碰壁"或"光的兩次反射”問(wèn)題,

關(guān)鍵是指出兩條對(duì)稱軸"反射鏡面"（如圖2）.

兩條線段差的最大值問(wèn)題，一般根據(jù)三角形的兩邊之差小于第三邊，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，兩

條線段差的最大值就是第三邊的長(zhǎng).如圖3,RA與PB的差的最大值就是AB,此時(shí)點(diǎn)P在

AB的延長(zhǎng)線上，即7.

解決線段和差的最值問(wèn)題，有時(shí)候求函數(shù)的最值更方便，本講不涉及函數(shù)最值問(wèn)題.

【例題1】如圖1,菱形中，AB=I,/4=120。，點(diǎn)尸、。、K分別為線段BC、CD、

8。上的任意一點(diǎn)，求尸K+0K的最小值.

圖1

【解析】如圖2,點(diǎn)Q關(guān)于直線BD的對(duì)稱點(diǎn)為Q',在aKPQ,中，PK+QK總是大于PQ，的.如

圖3,當(dāng)點(diǎn)K落在PQ，上時(shí)，PK+QK的最小值為PQ，.如圖4,PCT的最小值為QH,Q歸就

是菱形ABC。的高,QTV=G

這道題目應(yīng)用了兩個(gè)典型的最值結(jié)論：兩點(diǎn)之間，線段最短；垂線段最短.

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圖2圖3圖4

【例題2】如圖1,已知4(0,2)、8(6,4)、￡(。,0)、F(a+1,0),求。為何值時(shí),四邊形A8EF

周長(zhǎng)最??？請(qǐng)說(shuō)明理由.

【解析】在四邊形ABEF中，AB、EF為定值，求AE+BF的最小值，先把這兩條線段經(jīng)過(guò)平

移，使得兩條線段有公共端點(diǎn).

如圖2,將線段BF向左平移兩個(gè)單位，得到線段ME.

如圖3,作點(diǎn)A關(guān)于X軸的對(duì)稱點(diǎn)A,/WA與X軸的交點(diǎn)E,滿足AE+ME最小.

由AAOES48HF,得(止.解方程B得“L

【例題3】在平面直角坐標(biāo)系中，。為原點(diǎn)，點(diǎn)A(-2,0),點(diǎn)B(0,2),點(diǎn)E,點(diǎn)F分別

為OA,OB的中點(diǎn).若正方形OEDF繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得正方形OEUF,記旋轉(zhuǎn)角為α.

(H)如圖②,當(dāng)a=135。時(shí),求證AE'=BF',且AE'J_BF'；

(III)若直線AE，與直線BP相交于點(diǎn)P,求點(diǎn)P的縱坐標(biāo)的最大值(直接寫出結(jié)果即可).

【分析】(1)利用勾股定理即可求出AE-BF的長(zhǎng).

(2)運(yùn)用全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)就可解決問(wèn)題.

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(3)首先找到使點(diǎn)P的縱坐標(biāo)最大時(shí)點(diǎn)P的位置(點(diǎn)P與點(diǎn)D，重合時(shí))，然后運(yùn)用勾股定

理及30。角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半等知識(shí)即可求出點(diǎn)P的縱坐標(biāo)的最大值.

【解答】解：(I)當(dāng)α=90。時(shí)，點(diǎn)F與點(diǎn)F重合，如圖①.

；點(diǎn)A(-2,0)點(diǎn)B(0,2),

.?.0A=0B=2.

：點(diǎn)E,點(diǎn)F分別為C)A,OB的中點(diǎn)，

AOE=OF=I

；正方形OEUF是正方形OEDF繞點(diǎn)0順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到的，

AOE=OE=I,OF'=OF=L

在Rt?AE,0中，

AE-7OΛ2+OEΓ'^22+12=√5?

在Rt?BOF,φ,

BF^VOB2+OF2=Λ∕22÷12=√5?

ΛAE,,BF的長(zhǎng)都等于Jg.

(II)當(dāng)a=135。時(shí)，如圖②.

：正方形OERF是由正方形OEDF繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)135。所得，

ΛZA0E,=ZB0F,=135o.

在aAOE'和aBOF中，

rAO=BO

?ZAOEz=ZBOF'，

OEz=OF'

Λ?AOE,^?BOF,(SAS).

ΛAE,=BF,,且NOAE，=NOBF.

/ACB=NCAO+/Ae)C=NCBP+/CPB,ZCAO=ZCBP,

ΛZCPB=ZAOC=90o

ΛAE,±BF,.

(Ill)VZBPA=ZBOA=90o,點(diǎn)P、B、A、。四點(diǎn)共圓，

二當(dāng)點(diǎn)P在劣弧OB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)隨著ZPA。的增大而增大.

?.?OE'=1,...點(diǎn)E在以點(diǎn)。為圓心，1為半徑的圓。上運(yùn)動(dòng)，

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.?.當(dāng)AP與。。相切時(shí),ZEzAO（即NPAO）最大，

此時(shí)NAE9=90。，點(diǎn)D，與點(diǎn)P重合，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)達(dá)到最大.

過(guò)點(diǎn)P作PHJ_x軸，垂足為H,如圖③所示.

VZAE,O=90o,E,O=1,A0=2,

ΛZE,AO=30°,AE,=T3?

ΛAP=5∕3+1.

VZAHP=90°,ZPAH=30",

；.PH」AP-m+1?.

22

點(diǎn)P的縱坐標(biāo)的最大值為近二.

2

1.如圖1,菱形A8CD中，ZA=60°,AB=3,0>A,OB的半徑分別為2和1,P、E、F分

別是邊CD、。8和。A上的動(dòng)點(diǎn)，則PE+PF的最小值是

【解析】E、F、P三個(gè)點(diǎn)都不確定，怎么辦？BE=I,AF=2是確定的，那么我們可以求PB

十%-3的最小值，先求P8+PA的最小值（如圖2）.

如圖3,P8+P4的最小值為AB-AB'=6.所以PE+PF的最小值等于3.

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2.如圖，在RtZ?ABC中，ZB=90o,AB=4,BOAB,點(diǎn)D在BC上，以AC為對(duì)角線的

DE的最小值是

【解析】首先證明BC〃AE,當(dāng)DEJ_BC時(shí)，DE最短,只要證明四邊形ABDE是矩形即可

解決問(wèn)題.解：：四邊形ADCE是平行四邊形,

ΛBC/7AE,

當(dāng)DEJ_Be時(shí)，DE最短,

此時(shí)?.?∕B=90°,

ΛAB±BC,

；.DE〃AB,

.?.四邊形ABDE是平行四邊形,

?/NB=90°,

四邊形ABDE是矩形,

.?.DE=AB=4,

ΛDE的最小值為4.

3.如圖，M、N是正方形ABCD的邊CD上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),滿足AM=BN,連接AC交BN于點(diǎn)

E,連接DE交AM于點(diǎn)F,連接CF,若正方形的邊長(zhǎng)為4,則線段CF的最小值是

第12頁(yè)共24頁(yè)

My

【解析】分析：根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AD=BC=CD,ZADC=ZBCD,ZDCE=ZBCE,然后利

用"HL”證明RtAADM和RtABCN全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∕ι=∕2,利用"SAS"

證明ADCE和48CE全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得N2=N3,從而得到∕1=N3,然

后求出NAFD=90。，取A。的中點(diǎn)。，連接OF、OC,根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊

的一半可得OF=AD=2,利用勾股定理列式求出OC,然后根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可知當(dāng)。、F、

C三點(diǎn)共線時(shí)，CF的長(zhǎng)度最小.

詳解：在正方形ABCD中，AD=BC=CD,ZADC=ZBCD,NDCE=NBCE.在RtZ?ADM和Rt?6CΛ∕

中，

?AD-Bk'

[JΛ∕=ΛV

，：.Rt?ΛD∕W?RtΔβCΛ∕(HL),ΛZ1=Z2.在aDCE和48CE中,

BC≈CD

CE=CE

，.,.∕?DCE^Δ,BCE(SAS),ΛZ2=Z3,ΛZ1=Z3.

VZADF+Z3=ZADC=90°,：.Zl+ZADF=90°,：.ZAFD=180°-90°=90o,取AO的中點(diǎn)0,

連接OF、OC,則。F=Do=；AD=2.在RtZkODC中，OC=2石，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系,

OF+CF>OC,，當(dāng)0、F、C三點(diǎn)共線時(shí)，CF的長(zhǎng)度最小，最小值=OC-OF=2、？-2.

故答案為：2√(5-2.

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MN

O

A

4.如圖1,Z?A8C中，ZACB=90Q,AC=2,BC=I.點(diǎn)A、C分別在X軸和y軸的正半軸上,

當(dāng)點(diǎn)A在X軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)C也隨之在y軸上運(yùn)動(dòng).在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，則點(diǎn)8到原點(diǎn)的最

大距離是

【解析】如果把OB放在某一個(gè)三角形中，這個(gè)三角形的另外兩條邊的大小是確定的，那么

根據(jù)兩邊之和大于第三邊，可知第三邊OB的最大值就是另兩邊的和.

顯然AOBC是不符合條件的，因?yàn)?。C邊的大小不確定.

如圖2,如果選AC的中點(diǎn)D,那么B。、。。都是定值，OD=1,BD=、5.

在aOBD中，總是有0B<0D+8D.

如圖3,當(dāng)點(diǎn)。落在OB上時(shí)，。8最大，最大值為6+∣.

5.如圖，RtZ?ABC中，AB±BC,AB=6,BC=4,P是AABC內(nèi)部的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足

ZPAB=ZPBC,則線段CP長(zhǎng)的最小值為:

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A

【分析】首先證明點(diǎn)P在以AB為直徑的。O上，連接OC與。O交于點(diǎn)P,此時(shí)PC最小,

利用勾股定理求出OC即可解決問(wèn)題.

【解答】解：：/ABC=90。，

ZABP+ZPBC=90o,

VZPAB=ZPBC,

ΛZBAP+ZABP=90o,

，ZAPB=90o,

點(diǎn)P在以AB為直徑的。O上，連接OC交。O于點(diǎn)P,此時(shí)PC最小，

在RT△BCO中，VZOBC=90o,BC=4,0B=3,

ΛOC=VBO2+BC2=5,

ΛPC=0C=0P=5-3=2.

.?.PC最小值為2.

6.如圖，在RtZ?ABC中，AB=3,BC=5,P為邊BC上一動(dòng)點(diǎn)，PE_LAB于E,PF_LAC于F,

Q為EF中點(diǎn)，則AQ的最小值為.

【解析】連結(jié)AP,在AABC中，AB=6,AC=8,BC=IO,

第15頁(yè)共24頁(yè)

，∕BAC=90°,

VPElAB,PF±AC,

.??四邊形AFPE是矩形，

/.EF=AP.

VM是EF的中點(diǎn)，

.?.AM=LAP,

-)

根據(jù)直線外一點(diǎn)到直線上任一點(diǎn)的距離，垂線段最短，

即APJ_BC時(shí)，AP最短，同樣AM也最短，

當(dāng)APJ_BC時(shí)，Z?ABPs∕?CBA,

.APAB

,?---=----，

ACBC

.AP6

??,

8IO

，AP最短時(shí)，AP=4.8

_AP

，當(dāng)AM最短時(shí),AM=--=2.4.

2

7.如圖，將一副直角三角形拼放在一起得到四邊形ABCD,其中NBAC=45。，ZACD=30o,

點(diǎn)E為CD邊上的中點(diǎn)，連接AE,將AADE沿AE所在直線翻折得到AAPE,DE交AC

于F點(diǎn).若AB=6/2cm.

(I)AE的長(zhǎng)為_4、；_cm；

(2)試在線段AC上確定一點(diǎn)P,使得DP+EP的值最小，并求出這個(gè)最小值；

⑶求點(diǎn)D'到BC的距離.

解：（1）VZBAC=45o,ZB=90o,

/.AB=BC=6,

.β.AC=?2cm,

第16頁(yè)共24頁(yè)

VZACD=30o,ZDAC=90o,AC=I2cm,

.?.CD=AC÷cos30°=12÷-=12×=873(cm),

23

：點(diǎn)E為CD邊上的中點(diǎn)，

.?.AE='DC=W‰.

2

故答案為：4,∕3:

(2)?.?RfZ?ADC中，ZACD=30o,

NADC=60。.為CD邊上的中點(diǎn)，

二DE=AE,二ZXADE為等邊三角形.；將aADE沿AE所在直線翻折得AAPE,

,o

.?.A1ADE為等邊三角形，ZAED=60,

：NEAC=NEAD-NDAC=30。，ΛZEFA=90o,即AC所在的直線垂直平分線段ED，,

.?.點(diǎn)E,D，關(guān)于直線AC對(duì)稱，連接DD交AC于點(diǎn)P,

二此時(shí)DP+EP值為最小，且DP+EP=DD,

YaADE是等邊三角形，AD=AE=4、夕，

?*?DO1—2×—ADx=2x6=12,即DP+EP最小值為12cm；

(3)連接CD,BD,,過(guò)點(diǎn)D，作DG_LBe于點(diǎn)G,

YAC垂直平分線EDT.?.AE=ADTCE=CD/,

VAE=EC,.?.AD=CD=4,

??ABD,^ΔCBD,Φ,AB=BC,BD,=BD,,AD,=CD,

Λ?ABD,^ΔCBD,(SS5),Λ∕D'BG=45°,

ΛD,G=GB,設(shè)D'G長(zhǎng)為XC則CG長(zhǎng)為(66-X)C5,

在必aGDC中，X2+(6√2-X)2=(4√J)2,

解得XI=3，5—?√k,X2=3√N(yùn)+VW(不合題意舍去)，

.?.點(diǎn)D到BC邊的距離為(3√2-√6)cm.

8.幾何模型：

條件：如下圖，A、B是直線1同旁的兩個(gè)定點(diǎn).

第17頁(yè)共24頁(yè)

3

問(wèn)題：在直線1上確定一點(diǎn)P,使PA+PB的值最小.

方法：作點(diǎn)A關(guān)于直線1的對(duì)稱點(diǎn)A，，連接A，B交1于點(diǎn)P,則PA+PB=AB的

值最小(不必證明).

模型應(yīng)用：

(1)如圖1,正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2,E為AB的中點(diǎn)，P是AC上一動(dòng)點(diǎn).連

接BD,由正方形對(duì)稱性可知，B與D關(guān)于直線AC對(duì)稱.連接ED交AC于P,

則PB+PE的最小值是；

(2)如圖2,?0的半徑為2,點(diǎn)A、B、C在。0上，OA_LOB,ZAOC=60o,

P是OB上一動(dòng)點(diǎn)，求PA+PC的最小值；

(3)如圖3,ZAOB=45o,P是NAOB內(nèi)一點(diǎn)，PO=IO,Q、R分別是0A、OB

上的動(dòng)點(diǎn)，求APQR周長(zhǎng)的最小值.

解：(1)；四邊形ABCD是正方形，

ΛAC垂直平分BD,

二PB=PD,

由題意易得：PB+PE=PD+PE=DE,

在aADE中，根據(jù)勾股定理得，DE=GT―岐

(2)作A關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)N,連接A'C,交OB于P,

PA+PC的最小值即為A，C的長(zhǎng)，

：ZAOC=60o

.?.ZA,OC=120o

作OD_LA，C于D,則NA，OD=60。

V0A,=0A=2

.SD=E

.?.1C=24;

(3)分別作點(diǎn)P關(guān)于OA、OB的對(duì)稱點(diǎn)M、N,連接OM、ON、MN,MN交OA、

OB于點(diǎn)Q、R,連接PR、PQ,此時(shí)aPQR周長(zhǎng)的最小值等于MN.

由軸對(duì)稱性質(zhì)可得，OM=ON=OP=10,ZMOA=ZPOA,ZNOB=ZPOB,

ZMON=2ZAOB=2×45o=90o,

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在Rt?MON中，MN」QA/-O?」IO2-IO2=10J2.

即APQR周長(zhǎng)的最小值等于10也.

9.如圖，在矩形紙片ABCD中，AB=4,AD=12,將矩形紙片折疊，使點(diǎn)C落在AD邊

上的點(diǎn)M處，折痕為PE,此時(shí)PD=3.

(1)求MP的值；

(2)在AB邊上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)F,且不與點(diǎn)A,B重合，當(dāng)AF等于多少時(shí)，AMEF的周長(zhǎng)最小？

(3)若點(diǎn)G,Q是AB邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且不與點(diǎn)A,B重合，GQ=2,當(dāng)四邊形MEQG周

長(zhǎng)最小時(shí)，求最小周長(zhǎng)值.(計(jì)算結(jié)果保留根號(hào))

解：(I)MP==5；(2)如圖1,作點(diǎn)M關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)M，，連接M，E交AB于點(diǎn)F,則點(diǎn)

F即為所求，

過(guò)點(diǎn)E作ENlAD,垂足為N.YAM=AD-MP-PD=I5—5—3=4,

.?.AM=ANr=4.?.?矩形ABCD折疊，使點(diǎn)C落在AD邊上的點(diǎn)M處，折痕為PE,

ΛZCEP≈ZMEP,而/CEP=NMPE,

.?.NMEP=NMPE,.?.ME=MP=5,在RfZXENM中，MN===3,

NM'=11.：AF〃NE,?AFM,^ΔNEM,,

M,AAF4AF1616

ΛM,N=EN,即11=4,解得AF=Il,即AF=II時(shí)?Z?MEF的周長(zhǎng)最??；

(3)如圖2,由(2)知點(diǎn)M，是點(diǎn)M關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)，連接MG,

在EN上截取ER=2,連接MR交AB于點(diǎn)G,再過(guò)點(diǎn)E作EQ〃RG,交AB于點(diǎn)Q,

圖2

?；EQ〃RG,ER〃GQ,二四邊形ERGQ是平行四邊形，

QE=GR.:GM=GMlΛMG+QE=GM,+GR=M,R,

此時(shí)MG+EQ最小，四邊形MEQG的周長(zhǎng)最小，

在RaMRN中，NR=4-2=2,M,R==5,VME=5,GQ=2,

二四邊形MEQG的最小周長(zhǎng)值是7+5.

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10.如圖，拋物線y=-χ2+bx+c與直線AB交于A(-4,-4),B(0,4)兩點(diǎn)，直線AC：

y=-；x-6交y軸于點(diǎn)C.點(diǎn)E是直線AB上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作EF_LX軸交AC于點(diǎn)F,交拋

物線于點(diǎn)G.

(1)求拋物線y=-×2+bx+c的表達(dá)式;

(2)連接GB,E。，當(dāng)四邊形GEoB是平行四邊形時(shí)，求點(diǎn)G的坐標(biāo)；

(3)①在y軸上存在一點(diǎn)H,連接EH,HF,當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，以A,E,F,H為

頂點(diǎn)的四邊形是矩形？求出此時(shí)點(diǎn)E,H的坐標(biāo)；

②在①的前提下，以點(diǎn)E為圓心，EH長(zhǎng)為半徑作圓，點(diǎn)M為。E上一動(dòng)點(diǎn)，求：AM+CM

它的最小值.

【分析】(1)利用待定系數(shù)法求出拋物線解析式；

(2)先利用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式，進(jìn)而利用平行四邊形的對(duì)邊相等建立方程

求解即可；

(3)①先判斷出要以點(diǎn)A,E,F,H為頂點(diǎn)的四邊形是矩形，只有EF為對(duì)角線，利用中點(diǎn)

坐標(biāo)公式建立方程即可：

②先取EG的中點(diǎn)P進(jìn)而判斷出aPEMs^MEA即可得出PM=LAM,連接CP交圓E于M,

2

再求出點(diǎn)P的坐標(biāo)即可得出結(jié)論.

【解答】解：(1)：點(diǎn)人(-4,-4),B(0,4)在拋物線y=-χ2+bx+c上，

?-16-4h+C=-4

.Ic=4

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(b=-2

.(c=4

??，

???拋物線的解析式為y=-X2-2x+4；

(2)設(shè)直線AB的解析式為y=kx+n過(guò)點(diǎn)A,B,

(n=4

?1-4fc+n=-4

??，

(