復(fù)數(shù)知識點與題型總結(jié) 高一下學期數(shù)學人教A版（2019）必修第二冊

復(fù)數(shù)：復(fù)數(shù)的概念、復(fù)數(shù)的幾何意義、復(fù)數(shù)的四則運算、復(fù)數(shù)的坐標表示、復(fù)數(shù)的三角表示一、預(yù)備知識1.正弦定理：2.余弦定理：；；3.(為內(nèi)切圓半徑)4.邊角互化注意事項（1）有余弦出現(xiàn)，則______________，沒有余弦出現(xiàn)，則______________，前提：______________；（2）一個表達式一般只能處理____個角，如果出現(xiàn)三個角，則利用進行化簡；（3）出現(xiàn)或這種形式，可利用__________公式進行化簡；（4）出現(xiàn)這種形式，可利用__________公式進行化簡；（5）出現(xiàn)，可化為_____________；（6）若，則_____________，若，則_____________；（7）若_____________；（8）要約分，需要先說明______________，要定角，需要先說明______________。5.利用三角函數(shù)的有界性求最值（1）若所求代數(shù)式可化簡為的性質(zhì)=1\*GB3①若可以取到和，則的最大值為________，最小值為________；=2\*GB3②若無法取到和，則需得到的邊際范圍，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)得到最值（2）在中，已知和:=1\*GB3①若求的范圍，可先求,從而=____________________=_______________________；=2\*GB3②若求的范圍，可先求,從而=____________________=_______________________；（3）在中，已知和，求的范圍：由正弦定理，化簡可得=___________________=___________________=___________________；（4）角度范圍：=1\*GB3①若已知，則、；=2\*GB3②若已知且為銳角三角形，則________________________________________________.=3\*GB3③若已知且為鈍角三角形，則________________________________________________.6.利用基本不等式求最值（1），；（2），；（3）在中，若已知和，求或者的最值，需先利用_____________定理寫出恒等式，再利用基本不等式；（4）使用基本不等式的步驟：=1\*GB3①_____________=2\*GB3②_____________=3\*GB3③_____________.7.角平分線定理：在中，是的角平分線，則_______________________8.中線定理：在中，是底邊的中線，則_______________________

二、課前熱身1．（2022春·廣東廣州·高一校聯(lián)考期中）在中，若，，，則此三角形解的情況為（

）A．無解 B．兩解 C．一解 D．解的個數(shù)不能確定2．（2022春·廣東廣州·高一校聯(lián)考期中）中，，則ABC的形狀為（

）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．不確定3．（2022春·廣東廣州·高一廣州市培英中學?？计谥校┰谥?，，則（

）A． B． C．6 D．54．（2022春·廣東廣州·高一華南師大附中校考期中）若三角形的三邊長分別是3，4，6，則這個三角形的形狀是（

）A．銳角三角形 B．鈍角三角形C．直角三角形 D．不能確定5．（2022春·廣東廣州·高一廣州市培英中學校考期中）在中，已知，，，角的平分線交邊于，則______.6．（2022春·廣東廣州·高一校聯(lián)考期中）在①，②這兩個條件中任選一個，補充在下列問題中，并解答．已知的角，，對邊分別為，，而且______．（1）求；（2）求周長的最大值．

三、教學內(nèi)容知識點一復(fù)數(shù)的概念與幾何意義【基礎(chǔ)知識框架】1.形如的數(shù)叫復(fù)數(shù)，其中為_________，、分別為復(fù)數(shù)的__________和__________；2.對于復(fù)數(shù)，當且僅當_________時為實數(shù)，當且僅當_________時為實數(shù)0，當_________時為虛數(shù)，當_________時為純虛數(shù)；3.平面直角坐標系可用來表示復(fù)平面，軸稱為_________，軸稱為_________。實軸上的點都表示_________，除原點外虛軸上的點都表示_________；4.復(fù)數(shù)與復(fù)平面上的點_____________一一對應(yīng)；5.復(fù)數(shù)與平面向量一一對應(yīng).的模稱為復(fù)數(shù)的?；蚪^對值，記作________或________，即；6.對于復(fù)數(shù)，____________稱為復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)，記作________.【例題分析】例1．（2023·江蘇·高一專題練習）若復(fù)數(shù)滿足，則的虛部是（

）A．3 B．-3 C． D．例2．（2023·內(nèi)蒙古包頭·一模）設(shè)，其中a，b是實數(shù)，則（

）A． B． C． D．例3．（2022秋·上海寶山·高二上海市吳淞中學?？奸_學考試）已知復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則___________.例4．（2022·高一課時練習·多選）已知為復(fù)數(shù)，則下列說法不正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則

【變式訓練】1．（2021春·陜西榆林·高二陜西省神木中學校考階段練習）設(shè)是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)的實部與虛部互為相反數(shù)，則實數(shù)（

）A．5 B． C．3 D．2．（2022秋·福建廈門·高三廈門一中?？计谥校┮阎獜?fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），若，則實數(shù)的值為______.3．（2023春·湖南長沙·高一湖南師大附中?？茧A段練習）已知為虛數(shù)單位，下列說法正確的是（

）A．若，則 B．實部為零的復(fù)數(shù)是純虛數(shù)C．可能是實數(shù) D．復(fù)數(shù)的虛部是4．（2023春·全國·高一專題練習·多選）下列說法中正確的有（

）A．若，則是純虛數(shù)B．若是純虛數(shù)，則實數(shù)C．若，則為實數(shù)D．若，且，則

知識點二復(fù)數(shù)的四則運算【基礎(chǔ)知識框架】1.對于復(fù)數(shù)，（1），；（2）==；（3）==；2.在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解二次方程對于二次方程，，；若，則，如.3.周期性：若，則；；；.4.幾何意義：設(shè),則滿足的點的集合表示的圖形【例題分析】1．（2023·甘肅定西·?？寄M預(yù)測）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點的坐標是，則（

）A． B． C． D．2．（2023春·河南·高三滎陽市高級中學校聯(lián)考階段練習）已知復(fù)數(shù)，則的共軛復(fù)數(shù)為（

）A． B． C． D．3．（2023·陜西咸陽·校考模擬預(yù)測）若，則（

）A． B． C．3 D．4．（2023·貴州·校聯(lián)考二模）若復(fù)數(shù)z滿足，則（

）A． B． C． D．5．（2023·全國·高三專題練習）若復(fù)數(shù)是方程的一個根，則的虛部為（

）A．2 B． C． D．6．（2023·全國·高一專題練習）設(shè)復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為Z，原點為O，i為虛數(shù)單位，則下列說法正確的是（

）A．若|z|＝1，則z＝±1或z＝±IB．若點Z的坐標為（－1，l），則z＋1是純虛數(shù)C．若，則z的虛部為－2iD．若，則點Z的集合所構(gòu)成的圖形的面積為【變式訓練】1．（2023·四川瀘州·統(tǒng)考二模）若，則的虛部是（

）A． B．1 C． D．i2．（2023·寧夏銀川·銀川二中?？寄M預(yù)測）若復(fù)數(shù)滿足，則（

）A． B． C． D．3．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知復(fù)數(shù)滿足，其中是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的虛部為（

）A． B． C．1 D．4．（2022秋·湖南湘西·高二統(tǒng)考階段練習）計算（

）A．2022 B． C． D．05．（2023春·湖南長沙·高三長沙麓山國際實驗學校?？茧A段練習）若復(fù)數(shù)是方程的一個根，則的虛部為（

）A．2 B． C． D．6．（2022春·江蘇徐州·高一?？茧A段練習）下列說法正確的有（

）A．任意兩個復(fù)數(shù)都不能比大小B．若，則當且僅當時，C．若，且，則D．若復(fù)數(shù)z滿足，則的最大值為3

知識點三復(fù)數(shù)的三角表示【基礎(chǔ)知識框架】1.復(fù)數(shù)的三角表示一般地，任何一個復(fù)數(shù)都可以表示成的形式.其中，是復(fù)數(shù)的模;是以軸的非負半軸為始邊，向量所在射線(射線)為終邊的角，叫做復(fù)數(shù)之的輻角.叫做復(fù)數(shù)的三角表示式，簡稱三角形式.為了與三角形式區(qū)分開來，叫做復(fù)數(shù)的代數(shù)表示式，簡稱代數(shù)形式.（任何一個不為零的復(fù)數(shù)輻角有無數(shù)多個，且相差______的整數(shù)倍，我們規(guī)定在范圍內(nèi)的輻角的值為輻角的主值，記為）.2.復(fù)數(shù)乘、除的三角表示及其幾何意義：對于復(fù)數(shù)，（1）；（2）；（3）幾何意義：_________________________________________________.【例題分析】例1．（2023·全國·高一專題練習）以下不滿足復(fù)數(shù)的三角形式的是（

）．A． B．C． D．例2．（2023·江蘇·高一專題練習）復(fù)數(shù)化成三角形式，正確的是（

）A． B．C． D．例3．（2022秋·內(nèi)蒙古赤峰·高二?？计谀W拉公式（其中為虛數(shù)單位，）將指數(shù)函數(shù)的定義域擴大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關(guān)聯(lián)，在復(fù)變函數(shù)論中占有非常重要的地位，被譽為數(shù)學中的天橋.依據(jù)歐拉公式，則（

）A．=0 B．為實數(shù)C． D．復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于第三象限例4．（2023春·全國·高一專題練習）計算：．【變式訓練】1．（2021·高二課時練習）復(fù)數(shù)－i的三角形式是（

）A． B． C． D．2．（2022春·江西南昌·高一?？计谥校?fù)數(shù)的三角形式是（

）A． B．C． D．3．（2023春·全國·高三校聯(lián)考階段練習）任何一個復(fù)數(shù)都可以表示成的形式，通常稱之為復(fù)數(shù)的三角形式．法國數(shù)學家棣莫弗發(fā)現(xiàn)：，我們稱這個結(jié)論為棣莫弗定理．則（

）A．1 B． C． D．i4．（2023春·全國·高一專題練習）計算：(1)；(2).

日期：時間：30分鐘分數(shù)：70分1．（2022春·廣東廣州·高一校聯(lián)考期中）已知復(fù)數(shù)z滿足，則z=（

）A． B． C． D．2．（2022春·廣東廣州·高一校聯(lián)考期中）若復(fù)數(shù)對應(yīng)的點是，則（

）A． B． C．-1 D．13．（2022春·廣東廣州·高一廣東實驗中學?？计谥校┤魪?fù)數(shù)z滿足z·|1＋i|＝2－4i，則復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．（2022春·廣東廣州·高一廣東實驗中學校考期中）復(fù)數(shù)的輻角主值為（

）A． B． C． D．5．（2022春·廣東廣州·高一廣州市培英中學?？计谥校┮阎獜?fù)數(shù)，則的虛部為（

）A． B． C． D．6．（2022春·廣東廣州·高一華南師大附中?？计谥校?fù)數(shù)滿足，則等于（

）A． B．7 C． D．57．（2022春·廣東廣州·高一廣州市育才中學?？计谥校?fù)數(shù)滿足，為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的虛部為（

）A． B． C． D．8．（2022春·廣東廣州·高一西關(guān)外國語學校?？计谥校┤魪?fù)數(shù)z滿足（i為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)（

）A． B． C． D．9．（2022春·廣東廣州·高一校聯(lián)考期中·多選）已知為虛數(shù)單位，則以下四個說法中正確的是（

）A． B．復(fù)數(shù)的虛部為C．若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則 D．若為復(fù)數(shù)，則為實數(shù)10．（2022春·廣東廣州·高一廣東實驗中學校考期中·多選）設(shè)復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上對應(yīng)的點為Z，i為虛數(shù)單位，則下列說法正確的是（

）A．滿足|z|＝1，且的點Z有且僅有一個B．若|z－1|＝1，則z＝2或0或1＋i或1－iC．，則點Z構(gòu)成的圖形面積為D．非零復(fù)數(shù)，，對應(yīng)的點分別為，，O為坐標原點，若，則為等腰直角三角形11．（2022春·廣東廣州·高一廣州市培英中學?？计谥小ざ噙x）已知復(fù)數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．若，則共軛復(fù)數(shù) B．若復(fù)數(shù)，則C．若復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)，則 D．