線性代數(shù)（財(cái)經(jīng)類） 課件 2.5逆矩陣

2.5逆矩陣逆矩陣01020304逆矩陣概念逆矩陣性質(zhì)分塊逆矩陣總結(jié)逆矩陣的概念在數(shù)的運(yùn)算中，當(dāng)數(shù)

時(shí)，有其中

為

的倒數(shù)

（或稱

的逆）；

在矩陣的運(yùn)算中，單位陣

相當(dāng)于數(shù)的乘法運(yùn)算中的1，那么對(duì)于矩陣A

是否也存在一個(gè)矩陣

使得A（）=（）A=I

這是我們要討論的逆矩陣中的一個(gè)問題

逆矩陣的概念及性質(zhì)逆矩陣的概念及性質(zhì)定義8

對(duì)于n階矩陣A

如果存在n階矩陣B

使得

AB

BA

II是n階單位矩陣

那么矩陣A稱為可逆矩陣

簡稱A可逆

并稱B為A的逆矩陣

定理1（逆陣的唯一性）如果A可逆

則A的逆矩陣是唯一的，記作A

1

證明：

因?yàn)槿绻鸅和B1都是A的逆矩陣

則有

AB

BA

I

AB1

B1A

I于是

B

BI

B(AB1)

(BA)B1

IB1

B1即

B

B1逆矩陣的性質(zhì)例如，矩陣，存在矩陣，使得所以矩陣A可逆，且

單位矩陣的逆矩陣是其本身

逆矩陣的概念及性質(zhì)逆矩陣的性質(zhì)逆矩陣的概念及性質(zhì)補(bǔ)例設(shè)解設(shè)是的逆矩陣,則利用待定系數(shù)法逆矩陣的性質(zhì)逆矩陣的概念及性質(zhì)又因?yàn)樗阅婢仃嚨男再|(zhì)定理2

如果A可逆

則

證：A可逆，則有，使，故所以，且注：當(dāng)時(shí)，稱A為非奇異矩陣，否則稱A為奇異矩陣.例如為非奇異矩陣，為奇異矩陣.逆矩陣的概念及性質(zhì)矩陣的運(yùn)算定義9(伴隨矩陣)

由行列式|A|

|aij|的元素aij的代數(shù)余子式Aij(i

j

1

2

n)所構(gòu)成的矩陣逆矩陣的概念及性質(zhì)稱為矩陣A的伴隨矩陣

矩陣的運(yùn)算逆矩陣的概念及性質(zhì)例27求矩陣的伴隨矩陣.矩陣的運(yùn)算逆矩陣的概念及性質(zhì)定理3

矩陣

可逆的充要條件是

，且

證明若

可逆，矩陣的運(yùn)算逆矩陣的概念及性質(zhì)矩陣的運(yùn)算按逆矩陣的定義得非奇異矩陣與可逆的關(guān)系逆矩陣的概念及性質(zhì)矩陣的運(yùn)算例28判斷矩陣是否可逆，若可逆，求其逆矩陣解：因?yàn)椋钥赡?，由?7有逆矩陣的概念及性質(zhì)矩陣的運(yùn)算例29如果，其中

證明逆矩陣的概念及性質(zhì)矩陣的運(yùn)算證明：所以逆矩陣的概念及性質(zhì)矩陣的運(yùn)算推論1若A是n階矩陣

且存在n階矩陣B

使AB

I或BA

I

則A可逆

且B為A的逆矩陣

因?yàn)?/p>

設(shè)有AB

I

則

|AB|

|A|

|B|

|I|

1故|A|

0

于是A可逆

設(shè)其逆矩陣為A

1

則有

B

IB

A

1I

A

1

A

1(AB)

(A

1A)B

若有BA

I

同理可得B

A

1

如果我們要驗(yàn)證矩陣B是矩陣A的逆矩陣

只要驗(yàn)證一個(gè)等式AB

I或BA

I即可

不必按定義驗(yàn)證兩個(gè)等式

逆矩陣的概念及性質(zhì)矩陣的運(yùn)算例30設(shè)n階矩陣A滿足aA2

bA

cI

O(a

b

c為常數(shù)

且c

0)

證明A為可逆矩陣

并求A

1

解

由aA2

bA

cI

O

有

aA2

bA

cI

又因c

0

故有

逆矩陣的概念及性質(zhì)矩陣的運(yùn)算逆矩陣的性質(zhì)

(1)若矩陣A可逆

則A

1也可逆

且(A

1)

1

A

逆矩陣的概念及性質(zhì)

由可逆矩陣的定義

顯然可見A與A

1是互逆的

(2)若矩陣A可逆，數(shù)

則kA也可逆，且

，因?yàn)?3)兩個(gè)同階可逆矩陣

A,B的乘積是可逆矩陣，且因?yàn)榫仃嚨倪\(yùn)算(4)若矩陣A可逆，則A的轉(zhuǎn)置矩陣

也可逆，且(5)若矩陣A可逆，則因?yàn)?，則有，所以逆矩陣的概念及性質(zhì)矩陣的運(yùn)算例32證明：如果n階矩陣A可逆，則其伴隨矩陣

也可逆，且，

證：由A可逆

有|A|

0

且若A可逆，則有逆矩陣的概念及性質(zhì)矩陣的運(yùn)算逆矩陣的概念及性質(zhì)例33若是同階矩陣，且A可逆，證明下列結(jié)論中(1)，(3)成立，舉例說明(2)，(4)不必然成立.（1）若，則（2）若，則（3）若，則（4）若，則

解

(1)若AB

AC

在等式兩邊左乘以A

1

則有

A

1AB

A

1AC因A

1A

I

于是

IB

IC即B

C矩陣的運(yùn)算逆矩陣的概念及性質(zhì)例33若是同階矩陣，且A可逆，證明下列結(jié)論中(1)，(3)成立，舉例說明(2)，(4)不必然成立.（1）若，則（2）若，則（3）若，則（4）若，則

解

顯然有AB

CB

但A

C

矩陣的運(yùn)算逆矩陣的概念及性質(zhì)例33若是同階矩陣，且A可逆，證明下列結(jié)論中(1)，(3)成立，舉例說明(2)，(4)不必然成立.（1）若，則（2）若，則（3）若，則（4）若，則

解

(3)若AB

O

在等式兩邊左乘以A

1

有

A

1AB

A

1O即IB

O于是有B

O矩陣的運(yùn)算逆矩陣的概念及性質(zhì)例33若是同階矩陣，且A可逆，證明下列結(jié)論中(1)，(3)成立，舉例說明(2)，(4)不必然成立.（1）若，則（2）若，則（3）若，則（4）若，則

解

顯然有BC

O

但B

O

矩陣的運(yùn)算逆矩陣的概念及性質(zhì)例34解線性方程組解令則方程組為因?yàn)?，所以A可逆，且所以矩陣的運(yùn)算逆矩陣的概念及性質(zhì)例35設(shè)矩陣，，，求解：而故矩陣的運(yùn)算逆矩陣的概念及性質(zhì)一般地，如果，則，從而矩陣多項(xiàng)式其中若

，則矩陣的運(yùn)算逆矩陣的概念及性質(zhì)分塊矩陣的逆矩陣若分塊對(duì)角矩陣其中均可逆，則由逆矩陣的推論1得分塊矩陣的逆矩陣?yán)?7設(shè)，求

解則所以分塊矩陣的逆矩陣?yán)?8設(shè)n階方陣A與m階方陣B均可逆，求解令則于是總結(jié)逆矩陣的概念及運(yùn)算性質(zhì).逆矩陣的計(jì)算方法逆矩陣

存在矩陣的運(yùn)算逆矩陣的性質(zhì)