線性代數(shù)（財(cái)經(jīng)類） 課件 2.7矩陣的秩

2.7矩陣的秩矩陣的秩010203矩陣秩的概念矩陣秩的求法總結(jié)矩陣秩的概念定義12(k階子式)

設(shè)A

(aij)是m

n矩陣

從A中任取k行k列(k

min(m,n))

位于這些行和列的相交處的元素

保持它們?cè)瓉淼南鄬?duì)位置所構(gòu)成的k階行列式

稱為矩陣A的一個(gè)k階子式

例如，設(shè)，矩陣A的第一、三行與第二、四列相交處的元素所構(gòu)成的二階子式為矩陣秩的概念定義13(矩陣的秩)

設(shè)A為m

n矩陣

如果A中不為零的子式最高階數(shù)為r

即存在r階子式不為零

而任何r

1階子式皆為零

則稱r為矩陣A的秩

記作R(A)

r，并規(guī)定零矩陣的秩為零

例如，，A中有二階子式

，但它的任何三階子式皆為零，即不為零的子式的最高階數(shù)

，故R(A)2.顯然，若A為

矩陣，則矩陣秩的概念

當(dāng)A為n階矩陣

且R(A)

n時(shí)

稱矩陣A為滿秩矩陣

例如，，，所以A是滿秩矩陣.

如果一個(gè)n階矩陣A是滿秩的

則|A|

0

因而A可逆

反之亦然

所以A可逆的充分必要條件是A滿秩

矩陣秩的概念定理7矩陣經(jīng)初等變換后，其秩不變.

對(duì)A每施以一次初等變換所得矩陣的秩與A的秩相同

因而對(duì)A施以有限次初等變換后所得矩陣的秩仍然等于A的秩

于是我們得到一個(gè)用初等變換求矩陣的秩的方法：矩陣秩的求法二、求矩陣的秩的初等變換法

矩陣的秩矩陣秩的求法（1）可劃出一條階梯線，線的下方全為零；（每一非零行的第一個(gè)非零元素的下方全是零）（2）每個(gè)臺(tái)階只有一行，臺(tái)階數(shù)即是非零行的行數(shù)，階梯線的豎線后面的第一個(gè)元素為非零元，即非零行的第一個(gè)非零元．矩陣秩的求法

行階梯形矩陣B還稱為行最簡(jiǎn)形矩陣，即階梯形矩陣的每一非零行的第一個(gè)非零元為1，且這些非零元1所在的列的其他元素都為0.

對(duì)A作一系列初等行變換

將A化為階梯形矩陣或行最簡(jiǎn)形

階梯形矩陣中非零行的行數(shù)r即是矩陣A的秩R(A)

矩陣秩的求法矩陣秩的求法例42求矩陣的秩.解：階梯形矩陣中非零行的行數(shù)為2

故R(A)

2

矩陣秩的求法例43設(shè)求矩陣A及矩陣

的秩.解

對(duì)B作初等行變換化為行階梯形矩陣，設(shè)B的行階梯形矩陣為，則就是A的行階梯形矩陣，故從

中可同時(shí)看出

及矩陣秩的求法因此從矩陣B的行階梯形矩陣可知，本例中的A與b所對(duì)應(yīng)的線性方程組是無解的，因?yàn)樾须A梯形矩陣的第3行表示矛盾方程0=1

.矩陣秩的求法例44設(shè)，，已知，求的值.解法一若，則，即所以矩陣秩的求法解法二用初等變換求解.矩陣秩的求法由可知，所得行階梯形矩陣中只能有兩個(gè)非零行，第一、二兩行已不可能是非零行，故第三行必須全為零，因此可得.矩陣秩的求法例45設(shè)，已知，求和的值.解：矩陣秩的求法例46設(shè)A為n階非奇異矩陣，B為矩陣.試證：.

因?yàn)锳非奇異

故可表示成若干個(gè)

初等矩陣之積即

A

P1P2

PsPi(i

1

2

s)皆為初等矩陣

AB

P1P2

PsB

即AB是B經(jīng)s次初等變換后得出的

證

因而R(AB)

R(B)

總結(jié)(2)初等