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§3.5線(xiàn)性方程組解的結(jié)構(gòu)齊次線(xiàn)性方程組解的結(jié)構(gòu)非齊次線(xiàn)性方程組解的結(jié)構(gòu)目錄Part1齊次線(xiàn)性方程組解的結(jié)構(gòu)一、齊次線(xiàn)性方程組的矩陣形式回顧回顧:齊次線(xiàn)性方程組解的判定
包含n個(gè)未知數(shù)的齊次線(xiàn)性方程組
Ax=0
有非零解的充分必要條件是系數(shù)矩陣的秩R(A)<n.
所謂線(xiàn)性方程組解的結(jié)構(gòu),就是當(dāng)線(xiàn)性方程組有無(wú)窮多個(gè)解時(shí),解與解之間的相互關(guān)系.備注:當(dāng)方程組存在唯一解時(shí),無(wú)須討論解的結(jié)構(gòu).下面的討論都是假設(shè)線(xiàn)性方程組有解.定義:設(shè)有齊次線(xiàn)性方程組Ax=0,則方程組的解稱(chēng)為方程組的解向量.二、解向量的定義二、解向量的性質(zhì)齊次線(xiàn)性方程組解的性質(zhì)性質(zhì)1:若
x1=x1,
x2=x2是齊次線(xiàn)性方程組Ax=0的解,則
x=x1+x2
還是
Ax=0
的解.證明:A(x1+x2)=Ax1+Ax2
=0+0=0.性質(zhì)2:若x=x是齊次線(xiàn)性方程組Ax=0
的解,k為實(shí)數(shù),則
x=kx
還是
Ax=0的解.證明:
A(kx
)=k(Ax
)
=k0=0.結(jié)論結(jié)論:若x1=x1,
x2=x2,...,
xt=xt
是齊次線(xiàn)性方程組Ax=0
的解,
則
x=k1x1+k2x2+…+ktxt
還是Ax=0
的解.思考已知齊次方程組Ax=0的幾個(gè)解向量,可以通過(guò)這些解向量的線(xiàn)性組合給出更多的解.思考:能否通過(guò)有限個(gè)解向量的線(xiàn)性組合把
Ax=0的解全部表示出來(lái)?例
求齊次線(xiàn)性方程組
的通解.即例題
令x3=c1,x4=c2,得通解表達(dá)式例題回顧:向量組的極大無(wú)關(guān)組的概念定義:設(shè)有向量組A
,如果在A
中能選出r個(gè)向量a1,a2,…,ar,滿(mǎn)足①
向量組A0:a1,a2,…,ar線(xiàn)性無(wú)關(guān);②
向量組A
中任意r+1個(gè)向量(如果A
中有r+1個(gè)向量的話(huà))都線(xiàn)性相關(guān);②'
向量組A
中任意一個(gè)向量都能由向量組A0
線(xiàn)性表示;那么稱(chēng)向量組A0是向量組A
的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組.向量組的極大無(wú)關(guān)組一般是不唯一的.回顧把
Ax=0
的全體解組成的集合記作S,若求得S
的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組S0:x1=x1,
x2=x2,...,,
xt=xt
,那么Ax=0的通解可表示為x=k1x1+k2x2+…+ktxt
.齊次線(xiàn)性方程組的解集的極大無(wú)關(guān)組稱(chēng)為該齊次線(xiàn)性方程組的基礎(chǔ)解系(不唯一).結(jié)論三、基礎(chǔ)解系的概念定義:齊次線(xiàn)性方程組Ax=0的一組解向量:x1,x2,...,xr如果滿(mǎn)足①
x1,x2,...,xr線(xiàn)性無(wú)關(guān);②方程組中任意一個(gè)解都可由x1,x2,...,xr線(xiàn)性表示,那么稱(chēng)這組解是齊次線(xiàn)性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系.后n-r
列前r
列
設(shè)
R(A)=r,為敘述方便,不妨設(shè)A行最簡(jiǎn)形矩陣為對(duì)應(yīng)的齊次線(xiàn)性方程組令xr+1,…,xn
為自由變量,則方法一:先求出通解,再?gòu)耐ń馇蟮没A(chǔ)解系.方法一令xr+1=c1,xr+2=c2,…,xn=cn-r
,則齊次線(xiàn)性方程組的通解記作x=c1x1+c2x2+…+cn-rxn-r.(滿(mǎn)足基礎(chǔ)解系條件②)(x1,x2,...,xn-r
很明顯滿(mǎn)足基礎(chǔ)解系,并且這個(gè)基礎(chǔ)解系中恰含有n-r個(gè)解)
方法一n
?
r
列前
r
行后
n
?
r
行故R(x1,
x2,…,xn-r)=n
?
r
,即x1,
x2,…,xn-r
線(xiàn)性無(wú)關(guān).(滿(mǎn)足基礎(chǔ)解系條件①)于是x1,
x2,…,xn-r
就是齊次線(xiàn)性方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系.方法一例:求齊次線(xiàn)性方程組
的基礎(chǔ)解系.方法一:先求出通解,再?gòu)耐ń馇蟮没A(chǔ)解系.即四、基礎(chǔ)解系的求解四、基礎(chǔ)解系的求解
令x3=c1,x4=c2,得通解表達(dá)式因?yàn)榉匠探M的任意一個(gè)解都可以表示為x1,x2的線(xiàn)性組合.x1,x2的四個(gè)分量不成比例,所以x1,x2線(xiàn)性無(wú)關(guān).所以x1,x2
是原方程組的基礎(chǔ)解系.此即為Ax=0
的基礎(chǔ)解系.通解為x=c1x1+c2x2+…+cn-rxn-r,則令方法二:對(duì)自由未知量賦值方法二例1:求齊次線(xiàn)性方程組
的基礎(chǔ)解系.方法二:對(duì)自由未知量賦值例題即令合起來(lái)便得到基礎(chǔ)解系,得
還能找出
其它基礎(chǔ)
解系嗎?例題問(wèn)題:是否可以把x1
選作自由變量?答:可以,因?yàn)槭欠癜严禂?shù)矩陣化為行最簡(jiǎn)形矩陣,其實(shí)并
不影響方程組的求解.當(dāng)兩個(gè)矩陣行等價(jià)時(shí),以這兩個(gè)
矩陣為系數(shù)矩陣的齊次線(xiàn)性方程組同解.思考令x1=c1,x2=c2,得通解表達(dá)式即思考從而可得另一個(gè)基礎(chǔ)解系:
和
.定理:設(shè)m×n
矩陣的秩R(A)=r,則n元齊次線(xiàn)性方程組Ax=0的解集S的秩
R(S)=n
?r.定理
解
對(duì)增廣矩陣(A|0)施以初等行變換
得即原方程組與方程組同解
其中x3
x4
x5為自由未知量
例題
讓自由未知量(x3
x4
x5)T分別取值(1
0
0)T
(0
1
0)T
(0
0
1)T
得方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系:
1
(
2
1
1
0
0)T
3
(2
1
0
0
1)T
2
(
1
3
0
1
0)T
因此
方程組的全部解為
c1(
2
1
1
0
0)T
c2(
1
3
0
1
0)T
c3(2
1
0
0
1)T其中c1
c2
c3為任意常數(shù)
例題Part2非齊次線(xiàn)性方程組解的結(jié)構(gòu)取b
0
得到的齊次線(xiàn)性方程組
Ax
0稱(chēng)為非齊次線(xiàn)性方程組Ax
b的導(dǎo)出組
一、非齊次線(xiàn)性方程組及其導(dǎo)出組回顧:非齊次線(xiàn)性方程組解的判定
包含n個(gè)未知數(shù)的非齊次線(xiàn)性方程組Ax=b
有解的充分必要條件是系數(shù)矩陣的秩r(A)=r(A,b),并且當(dāng)r(A)=r(A,b)=n時(shí),方程組有唯一解;當(dāng)r(A)=r(A,b)<n時(shí),方程組有無(wú)窮多個(gè)解.回顧非齊次線(xiàn)性方程組解的性質(zhì)性質(zhì)3:若x1=h1,
x2=h2是非齊次線(xiàn)性方程組
Ax=b
的解,則
x=h1?h2
是對(duì)應(yīng)的齊次線(xiàn)性方程組
Ax=0
(導(dǎo)出組)的解.證明:
A(h1?h2)=Ah1?Ah2=b
?b=0.性質(zhì)4:若x=h
是非齊次線(xiàn)性方程組
Ax=b
的解,x=x
是導(dǎo)出組
Ax=0
的解,則
x=x
+h
還是
Ax=b
解.證明:
A(x
+h
)=Ax
+Ah
=0+b=b
.二、性質(zhì)根據(jù)定理可知
設(shè)Ax=0
的通解為x=c1x1+c2x2+…+cn-rxn-r
.于是Ax=b
的通解為
x=c1x1+c2x2+…+cn-rxn-r+h定理
設(shè)
是非齊次線(xiàn)性方程組Ax
b的一個(gè)解
是其導(dǎo)出組Ax
0的全部解
則x
是非齊次線(xiàn)性方程組Ax
b的全部解
三、通解的結(jié)構(gòu)求非齊次線(xiàn)性方程組Ax=b通解的步驟:求非齊次方程組Ax=b
的一個(gè)特解h;求導(dǎo)出組Ax=0的通解為x=c1x1+c2x2+…+cn-rxn-r;得非齊次方程組Ax=b
的通解為
x=x
+h
=
c1x1+c2x2+…+cn-rxn-r+h
四、通解步驟例3:求線(xiàn)性方程組的通解.解:容易看出是方程組的一個(gè)特解
.其對(duì)應(yīng)的齊次線(xiàn)性方程組為例題導(dǎo)出組Ax=0的通解非齊次方程組Ax=b的特解例題
根據(jù)前面的結(jié)論,導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系為于是,原方程組的通解為
對(duì)增廣矩陣(A|b)施以初等行變換
得
解
即原方程組與方程組同解
其中x3
x4為自由未知量
例題(x3
x4為自由未知量)
讓自由未知量(x3
x4)T取值(0
0)T
得方程組的一個(gè)特解
(13/7
4/7
0
0)T
與原方程組的導(dǎo)出組同解的方程組為
對(duì)自由未知量(x3
x4)T取值(1
0)T
(0
1)T
即得導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系
1
(
3/7
2/7
1
0)T
2
(
13/7
4/7
0
1)T
因此所給方程組的全部解為
x
c1
1
c2
2(c1
c2為任意常數(shù))例題方程組有解的幾個(gè)等價(jià)關(guān)系(重點(diǎn)、難點(diǎn))
2.
設(shè)有非齊次線(xiàn)性方程組Ax=b,向量組A:a1,a2,…,an是系數(shù)矩陣A的列向量組.四個(gè)等價(jià)關(guān)系:
n元非齊次線(xiàn)性方程組Ax=b有解.向量b能由向量組A:a1,a2,…,an線(xiàn)性表示.
向量組a1,a2,…,an與向量組a1,a2,…,an,b等價(jià).
r
(A
)=r
(A,b
).回顧01小結(jié)求解線(xiàn)性方程組(第二章,利用矩陣的初等行變換)線(xiàn)性方程組的幾何意義(第三章,四種等價(jià)形式)齊次線(xiàn)性方程組的通解能由它的基礎(chǔ)解系來(lái)構(gòu)造.基礎(chǔ)解系是解集S
的極大無(wú)關(guān)組.解集S是基礎(chǔ)解系的所有可能的線(xiàn)性組合.非齊次線(xiàn)性方程組的通解與其導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系的關(guān)系.02小結(jié)(一)設(shè)有齊次線(xiàn)性方程
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