2023高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)練42　計數(shù)原理與概率

板塊六概率與統(tǒng)計

微專題42計數(shù)原理與概率

高考定位1.主要考查兩個計數(shù)原理、排列、組合的簡單應(yīng)用，時常與概率相結(jié)

合，以選擇題、填空題為主；2.二項式定理主要考查通項公式、二項式系數(shù)等知

識，有時也與函數(shù)、不等式、數(shù)列交匯考查；3.概率重點(diǎn)考查古典概型、條件概

率的基本應(yīng)用.

真題演練感悟高考練真題明方向

1.(2022?全國甲卷)從分別寫有1,2,3,4,5,6的6張卡片中無放回地隨機(jī)抽

取2張，則抽到的2張卡片上的數(shù)字之積是4的倍數(shù)的概率為()

A?5β?3

八22

c?5D3

答案C

解析從寫有1,2,3,4,5,6的6張卡片中無放回地抽取2張，共有15種取

法，

它們分別是(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,

6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6),

其中卡片上的數(shù)字之積是4的倍數(shù)的有(1,4),(2,4),(2,6),(3,4),(4,5),

(4,6),共6種取法，

所以所求概率是P=*|.故選C.

2.(2022?新高考∏卷)甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)站成一排參加文藝匯演，若甲

不站在兩端，丙和丁相鄰，則不同的排列方式共有()

A.12種B.24種

C.36種D.48種

答案B

解析先將丙和丁捆在一起有A3種排列方式，然后將其與乙、戊排列，有AW種

排列方式，最后將甲插入中間兩空，有Cj種排列方式，所以不同的排列方式共有

ASA洌=24（種）,故選B.

3.（2022?新高考I卷）從2至8的7個整數(shù)中隨機(jī)取2個不同的數(shù)，則這2個數(shù)互

質(zhì)的概率為（）

11

B-

?6-3

C，2D.§

答案D

解析從7個整數(shù)中隨機(jī)取2個不同的數(shù)，共有C3=21（種）取法，取得的這2個

數(shù)互質(zhì)的情況有{2,3},{2,5},{2,7},{3,4},{3,5},{3,7},{3,8},

{415},{4,7},{5,6},{5,7},{5,8},{6,7},{7,8},共14種，根據(jù)古

典概型的概率公式，得這2個數(shù)互質(zhì)的概率為P=棄14=爭2故選D.

4.（2021?新高考I卷）有6個相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6,從中

有放回的隨機(jī)取兩次,每次取1個球.甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1"，

乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字

之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7"，則（）

A.甲與丙相互獨(dú)立B.甲與丁相互獨(dú)立

C.乙與丙相互獨(dú)立D.丙與丁相互獨(dú)立

答案B

解析易知P（甲）=1,尸（乙）=t，P（丙）=?,解?。?卷=.

.?.P（甲丙）=O≠P（甲）P（丙），

產(chǎn)（甲?。?表=尸（甲）尸（?。?/p>

產(chǎn)（乙丙）=表≠P（乙）產(chǎn)（丙），

P（丙?。?0≠P（丙）P（丁），

因此事件甲與丁相互獨(dú)立.

5.（2021?北京卷）（丁一：『的展開式中常數(shù)項是

答案一4

解析二項展開式的通項為C∕（χ3）"（-1）AXI2F（O≤%W4,左∈N）.

令12—4左=0,得左=3,

故展開式中的常數(shù)項為ca(-i)3=-4.

熱點(diǎn)聚焦分類突破研熱點(diǎn)析考向

熱點(diǎn)一排列與組合

I核心歸納

解決排列、組合問題的一般步驟

(1)認(rèn)真審題弄清楚要做什么事情；

(2)要做的事情是分步還是分類，還是分步分類同時進(jìn)行，確定分多少步及多少類；

(3)確定每一步或每一類是排列(有序)問題還是組合(無序)問題，元素總數(shù)是多少及

取出多少元素.

例1(1)(2022?西安模擬)隨著北京冬殘奧會的開幕，吉祥物“雪容融”火遍國內(nèi)外,

現(xiàn)有3個完全相同的“雪容融”，甲、乙、丙3位運(yùn)動員要與這3個‘'雪容融”

站成一排拍照留念，則有且只有2個“雪容融”相鄰的排隊方法數(shù)為()

A.36B.72

C.120D.432

(2)(2022?煙臺模擬)“碳中和”是指企業(yè)、團(tuán)體或個人等測算在一定時間內(nèi)直接或

間接產(chǎn)生的溫室氣體排放總量，通過植樹造林、節(jié)能減排等形式，以抵消自身產(chǎn)

生的二氧化碳排放量，實現(xiàn)二氧化碳“零排放”.某“碳中和”研究中心計劃派

5名專家分別到4B,C三地指導(dǎo)“碳中和”工作，每位專家只去一個地方，且

每地至少派駐1名專家，則分派方法的種數(shù)為()

A.90B.150

C.180D.300

答案(I)B(2)B

解析(1)由于有3個完全相同的“雪容融”，則有且只有2個“雪容融”相鄰等

價為將3個分成2組，插入3個運(yùn)動員形成的4個空隙中，

則有AgA?=72(種)，故選B.

(2)5名專家的安排方法分為1+1+3或1+2+2,

若按1+1+3安排共有里日困=60(種)，

若按1+2+2安排共有yAl=90（種），

則共有60+90=150（種），故選B.

規(guī)律方法排列、組合問題的求解方法與技巧

（1）合理分類與準(zhǔn)確分步；（2）排列、組合混合問題要先選后排；（3）特殊元素優(yōu)先安

排；（4）相鄰問題捆綁處理；（5）不相鄰問題插空處理；（6）定序問題除法處理；（7）“小

集團(tuán)”排列問題先整體后局部；（8）正難則反，等價轉(zhuǎn)化.

訓(xùn)練1（1）（2022?石家莊模擬）小小的火柴棒可以拼成幾何圖形，也可以拼成數(shù)

字.如下圖所示，我們可以用火柴棒拼出1至9這9個數(shù)字如下表所示：

≡匚

火柴數(shù)字ΞH5EηB

所需火

255456376

柴根數(shù)

比如："1”需要2根火柴棒，“7”需要3根火柴棒.若用8根火柴棒以適當(dāng)?shù)姆绞?/p>

全部放入右面的表格中（沒有放入火柴棒的空位表示數(shù)字“0”），那么最多可

以表示無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為（）

A.8B.12

C.16D.20

（2）（2022?寧德質(zhì)檢）小紅同學(xué)去買糖果，現(xiàn)只有四種不同口味的糖果可供選擇，均

為一元一顆，小紅只有7元錢，要求錢全部花完且每種糖果都要買，則不同的選

購方法共有種（用數(shù)字作答）.

答案（I）D（2）20

解析（1）由題意可得，用2根火柴棒表示數(shù)字1,3根火柴棒表示數(shù)字7,4根火

柴棒表示數(shù)字4,5根火柴棒表示數(shù)字2,3或5,6根火柴棒表示數(shù)字6或9,7

根火柴棒表示數(shù)字8,

數(shù)字不重復(fù)，因此8根火柴棒只能分成兩級：2和6,3和5,組成兩個數(shù)字，還

有數(shù)字只能為0,

這樣組成的無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)個數(shù)為CJC從之+（3史以3=20.故選D.

（2）法一將7元錢分為4份，有{1,1,1,4},{1,1,2,3},{1,2,2,2}三

種情形，這三種情形買糖果的選購方法種數(shù)分別為c?,mc∣,c∣,所以不同的

選購方法共有α+C2QC∣+Cl=2O(種).

法二將7元錢分為4份，相當(dāng)于將7枚1元硬幣排成一排，用三個“隔板”隔

開，隔開的方法有Cg種，所以不同的選購方法共有CW=20(種).

熱點(diǎn)二二項式定理

I核心歸納

1.求3+3”的展開式中的特定項一般要應(yīng)用通項公式A+1=C勃f"∕=0,1,

2,…，〃).

2.求兩個因式積的特定項，一般對某個因式用通項公式，再結(jié)合因式相乘，分類

討論求解.

3.求三項展開式的特定項，一般轉(zhuǎn)化為二項式求解或用定義法.

4.求解系數(shù)和問題應(yīng)用賦值法.

例2(1)卜&+9一2)的展開式中常數(shù)項為.

(2)(2022?新高考I卷)(1一§@十力8的展開式中√/的系數(shù)為(用數(shù)字作

答).

(3)(2022,杭州二模)已知x4+x8=ɑo4^^ι(x—l)+α2(x—l)2+???+(78(x—I)8,貝!jQo=

，a?+03+05+47=.

答案(1)—20(2)-28(3)2136

解析⑴法一由(也+古一2了的展開式可知：常數(shù)項為CM-2)?C卜田M+

α?(-2)3=-20.

/?

法二3古-W3=F

Xi，

/

1~~τT

則4+I=CUX曠(一1)〃'

?√

=(-ιywy,

3—r

令亍=0,則r=3,

故常數(shù)項為74=(-lM=-20.

(2)(x+y)8展開式的通項「+I=C?χ8-y,尸=0,1,…，7,8.

令r=6,得T6+ι=dx2/;

令r=5,得A+ι=C如3y5,

所以(1一方。+訓(xùn)8的展開式中刈6的系數(shù)為cS-Q=-28?

(3)在等式x4+x8=ao+βι(x—1)+42(%一I)?H-----?~a^(χ-1)8中，

令X=I可得βo-2,

令x=0,可得40—41+42-43+44-45+06-47+48=0,①

令X=2,可得ao+m+02+43+44+45+06+47+48=272,②

②一①可得m+43+α5+α7=136.

易錯提醒L二項式3+b)〃的展開式的通項公式〃+I=C∕L%"(A=0,1,2,…，

用表示的是二項展開式的第k+1項，而不是第左項.

2.要區(qū)分某項的二項式系數(shù)和系數(shù).

訓(xùn)練2(1)(2022,淄博模擬)若(1—x)8=αo+6τι(l+x)+a2(l+x)2+,β?+ɑ?(?+x)8,貝IJ

46=.

(2)已知(3x—1)"=4()+αlx+α2x2÷a3x3H----Fa,,x!?n∈N*),設(shè)(3x—1)"展開式的各項

系數(shù)和為S”T"=m+α2+α3+…+^"("WN"),則S"與T"的大小關(guān)系是()

A.SaT"

B.Sn<Tn

C."為奇數(shù)時，Sn<Tl,,〃為偶數(shù)時，Sn>Tn

=

D.SnTn

(3)(2022?天津模擬)(x2+3x-4)4的展開式中含有％3項的系數(shù)為.

答案⑴112(2)C(3)144

解析(1)(1-x)8=(x-1)8=[(1+x)—2]κ=tzo+α∣(l+x)+α2(l+x)2+?,,+as(l+?)8,

所以o6=CR?(-2)2=112.

(2)令X=1,得S"=αo+α1+α2+…+α*=2",

令X=O得的=(一1)",

所以Tn=a?÷α2÷α3∏-----?-al,=Sn-ao=Sn~(-1)”,

所以當(dāng)〃為偶數(shù)時,τn=sn-?<sn,

當(dāng)〃為奇數(shù)時，Tn=Sn+?>Sn,故選C.

(3)由題意得(x2+3χ-4)4=[(x+4)(x—l)]4=(x+4)4(χ-1)4,

r4

又由(x+4)4的展開式的通項為7;+ι=4CU?,

(x—1)4的展開式的通項為

4i

n+1=(-i)?^,

所以(f+3x—4)4展開式中χ3的系數(shù)為

4×C∣×(-l)4?0+42×Ci×(-l)3?CH43×C^×(-l)2?CH44×0×(-l)?C∣=16

-384+1536-1024=144.

熱點(diǎn)三概率

I核心歸納

1.古典概型的概率公式

事件/中包含的樣本點(diǎn)數(shù)

R')=試驗的樣本點(diǎn)總數(shù).

2.條件概率公式

設(shè)a8為隨機(jī)事件，且尸(z)>o,

P(AB)

則P(BM)=-萬?(/)一.

3.全概率公式

設(shè)4,A2,4是一組兩兩互斥的事件，A?UA2U-UAII=Ω,且P(4)>0,/

n

=1,2,”，則對任意的事件BU。，有P(B)=ΣP(4)P(8∣4).

z=l

例3(1)(2022?青島二模)二十四節(jié)氣歌是為了方便記憶我國古時立法中的二十四

個節(jié)氣而編成的小詩歌，體現(xiàn)著我國古代勞動人民的智慧.四句詩歌“春雨驚春

清谷天，夏滿芒夏暑相連；秋處露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒”中，每一句詩歌

的開頭一字代表著季節(jié)，每一句詩歌包含了這個季節(jié)中的6個節(jié)氣.若從24個節(jié)

氣中任選2個節(jié)氣，這2個節(jié)氣恰好在一個季節(jié)的概率為()

??Bj-

A-46B-23

C?D6

(2)(2022?濟(jì)南模擬)濟(jì)南素有“四面荷花三面柳，一城山色半城湖”的美名.現(xiàn)有

甲、乙兩位游客慕名來到濟(jì)南旅游，分別準(zhǔn)備從大明湖、千佛山、的突泉和五龍

潭4個旅游景點(diǎn)中隨機(jī)選擇其中一個景點(diǎn)游玩.記事件4甲和乙至少一人選擇

千佛山，事件8：甲和乙選擇的景點(diǎn)不同，則條件概率尸(8^)=()

77

A?T6B8

36

C.γD.y

答案(I)C(2)D

解析(1)從24個節(jié)氣中任選2個節(jié)氣，基本事件總數(shù)〃=C%,

這2個節(jié)氣恰在一個季節(jié)的事件總數(shù)為4點(diǎn)，

所以這2個節(jié)氣恰在一個季節(jié)的概率為

-4ci-AC

Po=E=萬，故選c?

(2)根據(jù)題意，事件/發(fā)生的個數(shù)〃(∕)=4><4-3X3=7,

事件48同時發(fā)生的個數(shù)”(∕8)=C3XC!=6,

“n(AB)6一、

所以1P(B⑶=〃(/)一=亍故選ILD.

規(guī)律方法求概率的方法與技巧

(1)古典概型用古典概型概率公式求解.

(2)條件概率用條件概率公式及全概率公式求解.

(3)根據(jù)事件間關(guān)系，利用概率的加法、乘法公式及對應(yīng)事件的概率公式求解.

(4)判斷出特殊的分布列類型，直接套用公式求解.

訓(xùn)練3(1)(2022?南師大附中模擬)已知某地市場上供應(yīng)的燈泡中，甲廠產(chǎn)品占70%,

乙廠產(chǎn)品占30%,甲廠產(chǎn)品的合格率是90%,乙廠產(chǎn)品的合格率是80%,則從該

地市場上買到一個合格燈泡的概率是()

A.0.63B.0.24

C.0.87D.0.21

⑵(多選)(2022?重慶診斷)一個質(zhì)地均勻的正四面體4個表面上分別標(biāo)有數(shù)字1,2,

3,4,拋擲該正四面體兩次，記事件加為“第一次向下的數(shù)字為1或2”，事件

N為“兩次向下的數(shù)字之和為奇數(shù)”，則下列說法正確的是()

A.事件M發(fā)生的概率為g

B.事件M與事件N互斥

C.事件M與事件N相互獨(dú)立

D.事件M+N發(fā)生的概率為T

答案(I)C(2)AC

解析(1)設(shè)48分別表示抽得產(chǎn)品是甲廠、乙廠生產(chǎn)的，。表示抽得產(chǎn)品為合

格燈泡，

則由已知，P(A)=7Q%,P(B)=30%,

P(D?A)=90%,P(DlB)=80%.

從該地市場上買到一個合格燈泡的概率可由全概率公式得

P(0=P(。⑷P(∕)+P(08)P(8)=7O%X9O%+3O%X8O%=O.87.

2I

(2)由題意可得，P(M)=a=],故A正確；

當(dāng)兩次拋擲的點(diǎn)數(shù)為(1,4)時，事件M與事件N同時發(fā)生，故事件M與事件N

不互斥，故B錯誤；

事件A/與事件N同時發(fā)生的情況有：(1,2),(1,4),(2,1),(2,3),共4種，

41

所以尸(MV)=M=不

Q?

又尸(M=m=]

P(MN)=P(MyP(N)=3乂'=不

故事件M與事件N相互獨(dú)立，故C正確；

1113

P(Λf+TV)=P(A√)+P(N)-P(AfiV)=,+/―1=不故D錯誤.

故選AC

高分訓(xùn)練對接高考重落實迎高考

一'基本技能練

1.甲、乙、丙三人踢翅子，互相傳遞，每人每次只能踢一下，由甲開始踢，經(jīng)過

4次傳遞后，毯子又被踢回給甲，則不同的傳遞方式共有()

A.4種B.6種

C.10種D.16種

答案B

解析分兩類：當(dāng)甲先踢給乙時，滿足條件的傳遞方式有3種(如圖)，

丙一乙一甲

甲~乙/7一甲

甲

\丙一甲

同理，當(dāng)甲先踢給丙時，滿足條件的傳遞方式也有3種.

由分類加法計數(shù)原理可知，滿足條件的傳遞方式共有3+3=6（種）.故選B.

2.（2022?豫北重點(diǎn)高中質(zhì)檢）連續(xù)擲兩次骰子，則兩次所擲點(diǎn)數(shù)之和為奇數(shù)的概率

為（）

11

A，2B.1

21

C3Dw

答案A

解析根據(jù)題意，連續(xù)擲一枚骰子兩次，

基本事件總數(shù)w=6×6=36,

兩次骰子正面向上點(diǎn)數(shù)之和為奇數(shù)包含基本事件共有2CJC4=18個，

1Q1

故所求概率

P=7J∑O=52?

3.（2022?長沙二模）為紀(jì)念2022北京冬奧會成功舉辦，中國郵政發(fā)行了一組紀(jì)念

郵票，圖案分別為冬奧會會徽“冬夢”、冬殘奧會會徽“飛躍”、冬奧會吉祥物“冰

墩墩”、冬殘奧會吉祥物“雪容融”及“志愿者標(biāo)志”，現(xiàn)從這套5枚紀(jì)念郵票中

任取3枚，則恰有1枚吉祥物郵票的概率為（）

31

A?IOB，2

c7

IDIO

答案c

解析從這套5枚紀(jì)念郵票中任取3枚，有Cg=Io種取法，

而其中恰有1枚吉祥物郵票的取法有

C??C5=6種，

故從這套5枚紀(jì)念郵票中任取3枚，則恰有1枚吉祥物郵票的概率為P=&=|,

故選C.

4.（2022?北京海淀區(qū)模擬）在（衽一x）4的展開式中，一的系數(shù)為（）

A.B.1

C.-4D.4

答案B

4÷r

解析(市一X)4的展開式的通項公式為「+I=Ci(3)4丁(一X)，=(—1)(52,令

4+r

-y-=2,得r=0,

即X2的系數(shù)為(一1)°C*=1,故選B.

5.北京第24屆冬奧會奧運(yùn)村設(shè)有智能餐廳4人工餐廳8共兩個餐廳，運(yùn)動員

甲第一天隨機(jī)地選擇一餐廳用餐.如果第一天去/餐廳，那么第二天去/餐廳的

概率為0.7；如果第一天去8餐廳，那么第二天去〃餐廳的概率為0.8,運(yùn)動員甲

第二天去/餐廳用餐的概率為()

A.0.75B.0.7

C.0.56D.0.38

答案A

解析設(shè)4表示第i天運(yùn)動員甲去〃餐廳用餐(i=l,2),

設(shè)表示該運(yùn)動員第一天去B餐廳用餐，則。=ZlU囪，且小，互斥.

由題意得P(I)=P(3)=0.5,P(Z200=0.7,尸(/2囪)=0.8,

.?.運(yùn)動員甲第二天去幺餐廳用餐的概率為

。(血)=P(Zl)P(∕2M∣)+P(3)P(42∣8∣)=O.5><0.7+0.5X0.8=0.75.故選A.

6.從1,2,3,4,5中不放回地抽取2個數(shù)，則在第1次抽到偶數(shù)的條件下，第

2次抽到奇數(shù)的概率是()

21

AqB?2

3

c5DW

答案D

解析設(shè)事件4為第，?次抽到偶數(shù)，z=l,2,

,2×42233

則rl尸(4)=κ=g,尸⑷4)=/『正

.?.在第一次抽到偶數(shù)的條件下，第2次抽到奇數(shù)的概率為

_?

一,、P(AA)103遼、.

P(Z2∣z∣)=p(4i2)-=^y=w?故選uD.

5

7.(2022?佛山模擬)小明上學(xué)可以乘坐公共汽車，也可以乘坐地鐵.已知小明上學(xué)

乘坐公共汽車的概率為0.4,乘坐地鐵的概率為0.6,而且乘坐公共汽車與地鐵時，

小明遲到的概率分別為0.05和0.04,則小明準(zhǔn)時到校的概率為()

A.0.954B.0.956

C.0.958D.0.959

答案B

解析設(shè)4="小明準(zhǔn)時到校"，BI=“乘坐汽車”，B2=“乘坐地鐵”，

由已知得P(Bl)=O.4,P(B2)=0.6,

P(A∣Bι)=1-0.05=0.95,P(NI82)=1-0.04=0.96.

由全概率公式，得

P(Z)=P(NIBi)P(Bi)+尸(/|&)P(82)=0.95X0.4+0.96X0.6=0.956.

8.(2022?衡陽三模)將《三國演義》、《西游記》、《水滸傳》、《紅樓夢》4本名著全

部隨機(jī)分給甲、乙、丙三名同學(xué)，每名同學(xué)至少分得1本，/表示事件：“《三

國演義》分給同學(xué)甲”；8表示事件：“《西游記》分給同學(xué)甲”；C表示事件:

“《西游記》分給同學(xué)乙”，則下列結(jié)論正確的是()

A.事件/與3相互獨(dú)立B.事件Z與C相互獨(dú)立

55

C.P(CM)=wD.P(8⑷=五

答案C

解析將這4本名著分別給甲、乙、丙三名同學(xué)，每名同學(xué)至少分得1本有C2AW

=36個樣本點(diǎn)，事件4含有樣本點(diǎn)數(shù)為A1+C9A3=12,

121

則p^=36=y

同理尸(8)=P(0=;,

事件AB含有的樣本點(diǎn)數(shù)為A專=2,

事件NC含有的樣本點(diǎn)數(shù)為α+αα=5,

215

則P(ZB)=數(shù)=至P(NC)=為

對于A,尸(Z)?尸(8)=t≠P(∕8),

即事件Z與5不相互獨(dú)立，A錯誤；

對于B,P⑷P(C)=TWPQ4C),

即事件Z與C不相互獨(dú)立，B錯誤；

p(Zc)5

對于C,PQ)=p(∕)=T^故選項C正確；

對于D,尸(8⑷=尸(/)=,故選項D錯誤.

故選C.

9.(多選X2022?鹽城模擬)從甲袋中摸出一個紅球的概率是:，從乙袋中摸出一個

紅球的概率是去從兩袋各摸出一個球，下列結(jié)論正確的是()

A.2個球都是紅球的概率為上

B.2個球不都是紅球的概率為:

-2

C.至少有1個紅球的概率為1

D.2個球中恰有1個紅球的概率為g

答案ACD

解析由題可知，從甲袋中摸出一個紅球的概率是去從乙袋中摸出一個紅球的概

率是看

則從甲袋中摸出一個不是紅球的概率是2宗從乙袋中摸出一個不是紅球的概率是宏1

對于A選項，2個球都是紅球的概率為;Xi=；,A選項正確；

對于B選項，2個球不都是紅球的概率為1一;xg=?∣,B選項錯誤；

212

對于C選項，至少有1個紅球的概率為1-]X∕=g,C選項正確；

對于D選項，2個球中恰有1個紅球的概率gxg+∣?χg=g,D選項正確.

故選ACD.

10.（多選）已知函數(shù)4X）=[3χ-j,則下列關(guān)于段）的展開式的命題中，正確的

是（）

A.當(dāng)〃=11時，加）的展開式共有11項

B.當(dāng)〃=8時，√（x）的展開式第3項與第6項的二項式系數(shù)之比為1:2

C.當(dāng)”=7時，/（x）的展開式中，各項系數(shù)之和為一1

D.若第4項和第5項的二項式系數(shù)同時最大，則〃=7

答案BD

解析對于A,易知當(dāng)〃=11時，危）的展開式共有12項，故A錯誤；

對于B,當(dāng)〃=8時0）的展開式第3項與第6項的二項式系數(shù)之比為惹=靛=；，

故B正確；

對于C,當(dāng)〃=7時，/（x）=（3x—|）,令x=l,得/（1）=1,故C錯誤；

對于D,在二項式系數(shù)中，G和CM相等且最大，所以〃=7,故D正確.

11.甲、乙、丙、丁4人坐成一排拍照，要求甲、乙兩人位于丙的同側(cè)，則共有

種不同的坐法.

答案16

解析甲、乙、丙、丁4人就坐，不妨設(shè)為1,2,3,4號位置，

因為甲、乙兩人位于丙的同側(cè)，

當(dāng)丙在1號位置有A§=6種排法，

當(dāng)丙在2號位置有A3=2種排法，

當(dāng)丙在3號位置有A3=2種排法，

當(dāng)丙在4號位置有A3=6種排法，共有6÷2+2+6=16種排法.

12.（2022?濱州二模）某社區(qū)對在抗擊疫情工作中表現(xiàn)突出的3位醫(yī)生、2位護(hù)士

和1位社區(qū)工作人員進(jìn)行表彰并合影留念.現(xiàn)將這6個人隨機(jī)排成一排，則3位

醫(yī)生中有且只有2位相鄰的概率為.

3

答案5

解析由題意，先將2位護(hù)士和1位社區(qū)工作人員排成一排，有A芬中排法，

然后將3位醫(yī)生分成兩組，一組2人，一組1人，有CS種分組方法，

然后插入到2位護(hù)士和1位社區(qū)工作人員所排成的4個空中的2個空，有A?種插

空方法，

最后交換相鄰2位醫(yī)生的位置有A芬中方法，所以3位醫(yī)生中有且只有2位相鄰共

有AiaAaA3=432個樣本點(diǎn)，

又6人隨機(jī)排成一排共有Ag個樣本點(diǎn)，

叱Z匕匕下?r%-LAWC以執(zhí)彳3

所以所求概率為P=-&-=亍

二'創(chuàng)新拓展練

13.（多選）已知（1—2x>°23=Qo+α]χ+α2%2+a3X3H--------Fa202U2023?則（）

A.展開式中所有項的二項式系數(shù)和為22。23

■52023_I

B.展開式中所有奇數(shù)項系數(shù)和為一2—

y023_1

C.展開式中所有偶數(shù)項系數(shù)和為一2一

^a?aιaτ,..a2023,

Dτ+I+-1

?T2?----------H^2023=-1

答案ABD

解析A項，二項式系數(shù)之和為C%23+C‰23+…+G序=22023,故A正確；

（1—2x）2023=αo+αιx÷∏2X2+…+4202U2023,

當(dāng)X=11時，32θ23=ao-?1+02-6+"42023,①

當(dāng)X=I時，（-l）2°23=αo+αι+α2+α3H----------?^aι023,②

32023_]

223

B項，①+②可得，3°—1=2（αo+42+…+42022）=α0+α2+…+。2022=2，

故B正確；

C項，①一②可得，32°23+1=—2（αι+s+…+。2023）OaI+s+…+。2023=一

32023+1

—2—，故C錯誤；

D項，（1—2x）2023=αo÷<2ix÷α2X2H---------?^aι023x2023,

令X=O則αo=l,

令X=（則O=OO-.+號+…+舞,

3+翁H----------—1,故D正確.

14.（多選）（2022?南京三模）連續(xù)拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣3次，每次結(jié)果要么正

面向上，要么反面向上，且兩種結(jié)果等可能.記事件/表示“3次結(jié)果中有正面