山東大學(xué)《數(shù)學(xué)物理方法基礎(chǔ)》課件-第5章

數(shù)學(xué)物理方法第5章傅里葉變換1第5章傅里葉變換2數(shù)學(xué)物理方法第5章傅里葉變換2(一)周期函數(shù)的傅里葉展開考慮三角函數(shù)族數(shù)學(xué)物理方法第5章傅里葉變換3三角函數(shù)族是正交的：其中任意兩個(gè)函數(shù)的乘積在一個(gè)周數(shù)學(xué)物理方法第5章傅里葉變換4數(shù)學(xué)物理方法第5章傅里葉變換5稱為周期函數(shù)f(x)的傅里葉系數(shù)數(shù)學(xué)物理方法第5章傅里葉變換6三角函數(shù)族又是完備的。詳見教材P70注意：平均收斂于f(x)并不意味著收斂于f(x),甚至不收數(shù)學(xué)物理方法第5章傅里葉變換7狄利克雷(Dirichlet)條件：(傅里葉級(jí)數(shù)收斂條件)(1)處處連續(xù)，或在每個(gè)周期中只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)；(2)在每個(gè)周期中只有有限個(gè)極值點(diǎn)；則傅里葉級(jí)數(shù)收斂。級(jí)數(shù)和(二)奇函數(shù)與偶函數(shù)的傅里葉展開奇函數(shù)f(x)=-f(-x)傅里葉正弦級(jí)數(shù)數(shù)學(xué)物理方法8第5章傅里葉變換數(shù)學(xué)物理方法8數(shù)學(xué)物理方法第5章傅里葉變換9偶函數(shù)f(x)=f(-x)傅里葉余弦級(jí)數(shù)數(shù)學(xué)物理方法第5章傅里葉變換10本題展開所得結(jié)果中置x=0,由此驗(yàn)證數(shù)學(xué)物理方法第5章傅里葉變換12(三)定義在有限區(qū)間上的函數(shù)的傅里葉展開定義在有限區(qū)間上的函數(shù)，例如只在(0,)上有定義的函數(shù)f(x),可以采取延拓的方法，使其成為某種周期函數(shù)g(x),在(0,I)上有g(shù)(x)=f(x)。對(duì)g(x)作傅里葉展開，其級(jí)方式，從而有無數(shù)種展開式。但如果要求f(x)在邊界(區(qū)間端點(diǎn))上滿足一定的邊界條件，就要根據(jù)具體情況進(jìn)行奇延拓或偶延拓。f(O)=f(l)=0進(jìn)行奇延拓成奇的周期函數(shù)f1(O)=f(l)=0進(jìn)行偶延拓成偶的周期函數(shù)數(shù)學(xué)物理方法第5章傅里葉變換13區(qū)間的邊界上為零，據(jù)此將f(x)展開為傅里葉級(jí)數(shù)。解：進(jìn)行奇延拓成奇的周期函數(shù)第5章傅里葉變換數(shù)學(xué)物理方法第5章傅里葉變換15例3:定義在(0,D上的f(x)=x在它的定義區(qū)間的邊界上f(0)=0,f(O=0,據(jù)此，將f(解：根據(jù)邊界條件f(O)=0,應(yīng)將函數(shù)f(x)對(duì)區(qū)間(0,)的端點(diǎn)x=0處作偶延拓，又根據(jù)邊界條件f(D)=0,應(yīng)將函數(shù)f(x)對(duì)區(qū)間(0,I)的端點(diǎn)x=1處作奇延拓，延拓后的函數(shù)若設(shè)傅里葉級(jí)數(shù)展開式為數(shù)學(xué)物理方法第5章傅里葉變換數(shù)學(xué)物理方法在第二個(gè)積分中，令x=2l-y,即y=2l-x數(shù)學(xué)物理方法第5章傅里葉變換數(shù)學(xué)物理方法WangChengyouOShandongUniversit數(shù)學(xué)物理方法第5章傅里葉變換數(shù)學(xué)物理方法第5章傅里葉變換數(shù)學(xué)物理方法第5章傅里葉變換(四)復(fù)數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)取復(fù)指數(shù)函數(shù)族作為基本函數(shù)族，可將f(x)展開為復(fù)數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)復(fù)指數(shù)函數(shù)族也是正交的：其中任意一個(gè)函數(shù)與另一個(gè)函數(shù)復(fù)共軛的乘積在一個(gè)周期上的積分等于零，即數(shù)學(xué)物理方法第5章傅里葉變換22利用復(fù)指數(shù)函數(shù)族的正交性，可以求得其傅里葉系數(shù)。盡管f(x)是實(shí)函數(shù)，但其傅里葉系數(shù)卻可能是復(fù)數(shù)。對(duì)于水第5章傅里葉變換數(shù)學(xué)物理方法第5章傅里葉變換1.掌握三角函數(shù)形式和復(fù)數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)展開；2.掌握奇函數(shù)和偶函數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)展開系數(shù)的特點(diǎn)；3.會(huì)將周期函數(shù)展開為傅里葉級(jí)數(shù)。數(shù)學(xué)物理方法第5章傅里葉變換24(一)實(shí)數(shù)形式的傅里葉變換設(shè)f(x)為定義在-o<x<o上的非周期函數(shù)，不能展為傅里葉級(jí)數(shù)。為研究此類函數(shù)的傅里葉展開問題，將f(x)看作將g(x)展開為傅里葉級(jí)數(shù)數(shù)學(xué)物理方法第5章傅里葉變換26余弦項(xiàng)不連續(xù)參量o,變成連續(xù)參量o數(shù)學(xué)物理方法第5章傅里葉變換數(shù)學(xué)物理方法第5章傅里葉變換28該式稱為非周期函數(shù)f(x)的傅里葉積分表達(dá)式。右邊的積分稱為傅里葉積分。關(guān)于這一結(jié)果的數(shù)學(xué)理論即為傅里葉積分定理(教材P74)。數(shù)學(xué)物理方法第5章傅里葉變換29傅里葉變換存在的充分條件：若函數(shù)f(x)在(1)f(x)在任一有限區(qū)間上滿足狄利克雷條件；則f(x)可表示成傅里葉積分，且稱為稱為f(x)的相位譜A)數(shù)學(xué)物理方法第5章傅里葉變換對(duì)于偶函數(shù)，有傅里葉余弦積分A(o)稱為f(x)的傅里葉余弦變換，f(x)和A(o)構(gòu)成傅里葉對(duì)稱寫法數(shù)學(xué)物理方法第5章傅里葉變換對(duì)于奇函數(shù)，有傅里葉正弦積分對(duì)稱寫法數(shù)學(xué)物理方法第5章傅里葉變換32例1:將如圖的單個(gè)矩形脈沖展為傅里葉積分A(o)--o曲線稱為頻譜曲線A(o)的函數(shù)圖像見教材P76圖5-2,為連續(xù)譜。數(shù)學(xué)物理方法第5章傅里葉變換33矩形脈沖中含有一切頻率(除去2π/t的整數(shù)倍頻率),若有類似脈沖電波，當(dāng)它到達(dá)無線電接收機(jī)時(shí)，無論接收機(jī)調(diào)諧在哪個(gè)頻率，都會(huì)引起噪聲。試將它展為傅里葉積分。f(x)是奇函數(shù)，可展開為傅里葉正弦積分?第5章傅里葉變換數(shù)學(xué)物理方法第5章傅里葉變換數(shù)學(xué)物理方法數(shù)學(xué)物理方法第5章傅里葉變換36第二個(gè)積分中，將o換成-o稱為f(x)的復(fù)數(shù)形式的傅里葉積分表達(dá)式。第5章傅里葉變換數(shù)學(xué)物理方法第5章傅里葉變換第5章傅里葉變換數(shù)學(xué)物理方法O<0對(duì)稱寫法第5章傅里葉變換f(x)原函數(shù)F(o)像函數(shù)f(x)<FT→F(o)第5章傅里葉變換例3:將如圖的單個(gè)矩形脈沖展為復(fù)數(shù)形式的傅里葉變換數(shù)學(xué)物理方法第5章傅里葉變換41r/2π①①例4:求函數(shù)第5章傅里葉變換例5:求函數(shù)的傅里葉變換第5章傅里葉變換數(shù)學(xué)物理方法第5章傅里葉變換數(shù)學(xué)物理方法①第5章傅里葉變換F(o)=0第5章傅里葉變換數(shù)學(xué)物理方法第5章傅里葉變換例5:求函數(shù)的傅里葉變換數(shù)學(xué)物理方法第5章傅里葉變換第5章傅里葉變換F[f'(x)]=ioF(o)F[f"(x)]=(io)2F(o)F[f(”)(x)]=(io)"F(o)數(shù)學(xué)物理方法第5章傅里葉變換數(shù)學(xué)物理方法而慮o=0,要考慮o=0時(shí)數(shù)學(xué)物理方法第5章傅里葉變換53請(qǐng)參見：鄭君里，信號(hào)與系統(tǒng)(第2版)上冊(cè)P135,或者信號(hào)與系統(tǒng)引論P(yáng)136數(shù)學(xué)物理方法第5章傅里葉變換54-f數(shù)學(xué)物理方法第5章傅里葉變換數(shù)學(xué)物理方法第5章傅里葉變換數(shù)學(xué)物理方法數(shù)學(xué)物理方法第5章傅里葉變換數(shù)學(xué)物理方法數(shù)學(xué)物理方法第5章傅里葉變換數(shù)學(xué)物理方法第5章傅里葉變換61(四)多重傅里葉積分三維的非周期函數(shù)f(x,y,z)展開為F(k?,kz,k?)三重傅里葉積分?jǐn)?shù)學(xué)物理方法第5章傅里葉變換62數(shù)學(xué)物理方法第5章傅里葉變換數(shù)學(xué)物理方法第5章傅里葉變換1.掌握非周期函數(shù)展開為傅里葉積分；2.掌握常用函數(shù)的傅里葉變換；3.掌握傅里葉變換的基本性質(zhì)。數(shù)學(xué)物理方法第5章傅里葉變換1物理學(xué)中常常要研究一個(gè)物理量在空間或時(shí)間中分布的密度，例如：質(zhì)量密度(簡(jiǎn)稱為密度)、電荷密度、每單位但是，物理學(xué)中又常常運(yùn)用質(zhì)點(diǎn)、點(diǎn)電荷、瞬時(shí)力等抽象模型，它們不是連續(xù)分布于空間或時(shí)間中，而是集中在空間的某一點(diǎn)或時(shí)間的某一瞬時(shí)。為了描述質(zhì)點(diǎn)、點(diǎn)電荷、瞬時(shí)力這類集中于空間某一點(diǎn)或時(shí)間的某一瞬時(shí)的抽象模型，在物理學(xué)中引入8函數(shù)以數(shù)學(xué)物理方法第5章傅里葉變換考慮一維金屬線的密度若總質(zhì)量為1集中在x=0處，則2狄拉克(Dirac)定義滿足以上關(guān)系的函數(shù)稱為δ函數(shù)3數(shù)學(xué)物理方法第5章傅里葉變換3(1)位于x=x?而總質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)，其質(zhì)量線密度為又如，位于x=x?而電量為q的點(diǎn)電荷，其電荷線密度為p(x)=qδ(x-x?)作用于t=t?時(shí)刻而沖量為K的瞬時(shí)力為f(t)=Kδ(t-t?)它沒有隨自變量改變而不斷改變函數(shù)值4數(shù)學(xué)物理方法第5章傅里葉變換4或有積分中值定理5第5章傅里葉變換5數(shù)學(xué)物理方法第5章傅里葉變換偶函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)(4)若f(x)為在x?處連續(xù)的普通函數(shù)，則例1:sin(πx)δ(x)=sin(πx)|x=oδ(x)=0得證67數(shù)學(xué)物理方法第5章傅里葉變換7分部積分法分部積分法數(shù)學(xué)物理方法第5章傅里葉變換8數(shù)學(xué)物理方法第5章傅里葉變換9數(shù)學(xué)物理方法第5章傅里葉變換數(shù)學(xué)物理方法數(shù)學(xué)物理方法第5章傅里葉變換數(shù)學(xué)物理方法數(shù)學(xué)物理方法(1)抽樣函數(shù)表示法第5章傅里葉變換數(shù)學(xué)物理方法(1)抽樣函數(shù)表示法看成是某些通常函數(shù)序列的極限數(shù)學(xué)物理方法第5章傅里葉變換解法1:A←FT→Aδ(o)工FT1○解法2:由已知函數(shù)的傅里葉變換及傅