6.4.3余弦定理正弦定理（解析）

6.4.3余弦定理、正弦定理余弦定理基礎知識基礎知識1．余弦定理2．余弦定理的推論.，，題型探究題型探究題型一已知兩邊及一角解三角形已知在中，，，，則c等于（） B． C． D．5答案A解析在中,,,,由余弦定理得,所以.故選:A在銳角中，若，，，則（）A． B． C． D．答案D解析因為為銳角三角形,由同角三角函數(shù)關(guān)系式可得又因為,由余弦定理可得代入可得所以故選:D在中，，，，則等于（）A． B．3 C． D．21答案A解析因為，，，所以，即，故選：A4.在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若B＝60°，c＝2，b＝2eq\r(3)，則a＝________.答案4解析由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB，因為B＝60°，c＝2，b＝2eq\r(3)，所以(2eq\r(3))2＝a2＋22－2a×2cos60°，整理得a2－2a－8＝0，解得a＝－2(舍去)或a＝4.5.在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若a＝5，b＝3，cosC是方程5x2＋7x－6＝0的根，求c.解5x2＋7x－6＝0可化為：(5x－3)(x＋2)＝0.解得x1＝eq\f(3,5)，x2＝－2.又cosC∈(－1，1)，且cosC是方程5x2＋7x－6＝0的根，∴cosC＝eq\f(3,5).據(jù)余弦定理得，c2＝a2＋b2－2abcosC＝52＋32－2×5×3×eq\f(3,5)＝16.∴c＝4.題型二已知三邊關(guān)系解三角形在中，已知＝，＝，＝，則_________．答案解析由余弦定理的推論，得所以，由余弦定理的推論，得所以，所以．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若a＝1，b＝eq\r(7)，c＝eq\r(3)，則B＝________.答案150°解析由余弦定理，得cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(1＋3－7,2×1×\r(3))＝－eq\f(\r(3),2).又0°<B<180°，∴B＝150°.在△ABC中，a2＋c2＝b2＋eq\r(2)ac.(1)求B的大小.(2)求eq\r(2)cosA＋cosC的最大值.解(1)由余弦定理及已知得，cosB＝eq\f(\r(2),2)，因為B∈(0，π)，所以B＝eq\f(π,4).(2)eq\r(2)cosA＋cosC＝eq\r(2)cosA＋cos(π－A－B)＝eq\r(2)cosA＋coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)－A))＝eq\f(\r(2),2)cosA＋eq\f(\r(2),2)sinA＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋\f(π,4)))，因為B＝eq\f(π,4)，所以A∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3π,4)))，A＋eq\f(π,4)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，π)).當A＋eq\f(π,4)＝eq\f(π,2)時，A＝eq\f(π,4)，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋\f(π,4)))取得最大值1.題型三用余弦定理進行邊角互化角度1利用邊角關(guān)系求值在△ABC中，bcosC＋ccosB＝2b，則eq\f(b,a)＝()A.eq\r(2)B.eq\f(1,2)C.－eq\f(\r(2),2) D.2答案B解析由余弦定理及bcosC＋ccosB＝2b得b·eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＋c·eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝2b.∴eq\f(（a2＋b2－c2）＋（a2＋c2－b2）,2a)＝2b，得a＝2b.因此eq\f(b,a)＝eq\f(1,2).在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C所對的邊，(1)若2bcosC－2a＋c＝0，求角B的大小；(2)若a＋c＝5，ac＝4eq\r(2)，tanB＝1，求b2.解(1)由余弦定理得2b×eq\f(a2＋b2－c2,2ab)－2a＋c＝0，?a2＋c2－b2＝ac，則cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(ac,2ac)＝eq\f(1,2)，因為0<B<π，所以B＝eq\f(π,3).(2)由tanB＝1，0<B<π得B＝eq\f(π,4).由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB＝(a＋c)2－2ac－2accosB＝52－2×4eq\r(2)－2×4eq\r(2)×eq\f(\r(2),2)＝17－8eq\r(2).角度2判斷三角形形狀在△ABC中，若內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，cos2eq\f(A,2)＝eq\f(b＋c,2c)，則△ABC的形狀為()A.等邊三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.等腰三角形答案C解析在△ABC中，由已知cos2eq\f(A,2)＝eq\f(b＋c,2c)，得eq\f(1＋cosA,2)＝eq\f(b＋c,2c)，所以cosA＝eq\f(b,c).根據(jù)余弦定理，得eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(b,c).所以b2＋c2－a2＝2b2，即c2＝a2＋b2，因此△ABC是直角三角形.在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，則是A．直角三角形 B．等腰三角形C．等腰直角三角 D．等腰或直角三角形答案B解析由余弦定理可得，即故為等腰三角形．故選B．已知△ABC的三個內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc.(1)求角A的大??；(2)若sinA＝2sinBcosC，試判斷△ABC的形狀.解(1)∵(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，∴a2＝b2＋c2－bc，而a2＝b2＋c2－2bccosA，∴2cosA＝1，∴cosA＝eq\f(1,2).∵A∈(0，π)，∴A＝eq\f(π,3).(2)因為sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC，且sinA＝2sinBcosC，所以sinBcosC＝cosBsinC，則sin(B－C)＝0.因為－180°<B－C<180°，所以B－C＝0°，即B＝C.又因為A＝60°，所以B＋C＝180°－A＝120°，即B＝C＝60°，故△ABC為等邊三角形.C.(1)求角A的大??；(2)若sinB＋sinC＝eq\r(3)，試判斷△ABC的形狀.解(1)∵2asinA＝(2b－c)sinB＋(2c－b)sinC，∴2a2＝(2b－c)b＋(2c－b)c，即bc＝b2＋c2－a2，∴cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(1,2).∵0°<A<180°，∴A＝60°.(2)∵A＋B＋C＝180°，∴B＋C＝180°－60°＝120°，由sinB＋sinC＝eq\r(3)，得sinB＋sin(120°－B)＝eq\r(3)，∴sinB＋sin120°cosB－cos120°sinB＝eq\r(3)，∴eq\f(3,2)sinB＋eq\f(\r(3),2)cosB＝eq\r(3)，即sin(B＋30°)＝1.又∵0°<B<120°，∴30°<B＋30°<150°，∴B＋30°＝90°，即B＝60°，∴A＝B＝C＝60°，∴△ABC為正三角形.課時對點練1.在△ABC中，若c＝2，b＝2a，且cosC＝eq\f(1,4)，則a等于()課時對點練A.2B.eq\f(1,2)C.1D.eq\f(1,3)答案C解析由cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(a2＋4a2－22,2a×2a)＝eq\f(1,4)，得a＝12.已知△ABC的三邊長為a＝3，b＝4，c＝eq\r(37)，則△ABC的最大內(nèi)角為()A.120°B.90°C.150°D.60°答案A解析∵c>a，c>b，∴角C最大.由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC，即37＝9＋16－24cosC，∴cosC＝－eq\f(1,2).∵0°<C<180°，∴C＝120°.故選A.3.已知a，b，c為△ABC的三邊，B＝120°，則a2＋c2＋ac－b2等于()A.0B.－1C.1D.2答案A解析∵b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋c2－2accos120°＝a2＋c2＋ac，∴原式等于0.已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，a2+c2+ac﹣b2＝0，則cos2A2?3sinCA．（34，334） B．（14，34） C．（34，1]解：△ABC中，由a2+c2+ac﹣b2＝0，得a2+c2﹣b2＝﹣ac，由余弦定理得cosB=a又B∈（0，π），所以B=2π由題意得cos2A2?3sinC2cosC2==12cosA?32sin（=12cosA?32（32cosA=?14cosA+3=12sin（A?π又0＜A＜π3，所以?π所以?12＜sin（A?所以14＜12sin（A即cos2A2?3sinC2cosC2故選：B．在中，角，，的對邊分別為，，，且，，則一定是A．直角三角形 B．鈍角三角形C．等邊三角形 D．等腰直角三角形答案C解析因為，，所以，解得，所以是等邊三角形．故選C．在中，角，，所對的邊分別為，，，若，則答案：解析由已知得，即，解得在中，角，，的對邊分別為，，，若，且則是___________三角形．答案等腰直角解析由余弦定理可得，所以又，所以，所以是等腰直角三角形．在中，角，，的對邊分別為，，．（1）若，則___________；（2）若，則___________．答案（1）30°，（2）．在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．（1）求的值；（2）求的值．答案（1）；（2）．解析（1）由正弦定理得，即①，由余弦定理得②，由①②得，解得．（2）由（1）可得，，因為，且，所以．夯實基礎1．在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知A＝，a＝，b＝1，則c＝夯實基礎A．－1 B．C．2 D．1【答案】D【解析】由余弦定理可得，，．故選D．2．在中，已知，，，則a等于A． B．6C．或6 D．【答案】A【解析】由余弦定理得4812－2×××()＝84，所以．故選A．3．在中，若AB＝，AC＝5，且cosC＝，則BC的長為A．4 B．5C．4或5 D．3【答案】C【解析】設BC＝x，由余弦定理可得即解得，所以BC的長為4或5．故選C．4．在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，則A． B．3C． D．【答案】A【解析】∵，∴，則，∴．故選A．5．在中，若，則最大角的余弦值是A． B．C． D．【答案】C【解析】由余弦定理得，解得，可知角最大，則．故選C．在△ABC中，若B＝60°，b2＝ac，則△ABC的形狀是()A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形 D.等邊三角形【答案】D【解析】∵b2＝ac，B＝60°，由余弦定理b2＝a2＋c2－2ac·cosB，得a2＋c2－ac＝ac，即(a－c)2＝0，∴a＝c.又B＝60°，∴△ABC為等邊三角形.在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且a2＝b2－c2＋eq\r(2)ac，則角B的大小是________.【答案】eq\f(π,4)【解析】因為a2＝b2－c2＋eq\r(2)ac，所以a2＋c2－b2＝eq\r(2)ac，由余弦定理的推論得cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(\r(2)ac,2ac)＝eq\f(\r(2),2)，由B∈(0，π)，知B＝eq\f(π,4).8.已知在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若2b2－2a2＝ac＋2c2，則sinB=【答案】eq\f(\r(15),4)解析由2b2－2a2＝ac＋2c2，得2(a2＋c2－b2)＋ac＝0.由余弦定理，得a2＋c2－b2＝2accosB，∴4accosB＋ac＝0.∵ac≠0，∴4cosB＋1＝0，cosB＝－eq\f(1,4)，又B∈(0，π)，∴sinB＝eq\r(1－cos2B)＝eq\f(\r(15),4).9.在△ABC中，a＝7，b＝4eq\r(3)，c＝eq\r(13)，則△ABC的最小角的大小為________.【答案】eq\f(π,6)解析∵a>b>c，∴C為最小角，由余弦定理得cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(72＋（4\r(3)）2－（\r(13)）2,2×7×4\r(3))＝eq\f(\r(3),2).又C∈(0，π)，∴C＝eq\f(π,6).10．在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，則_____________．【答案】或【解析】因為，所以，即，所以或．在△ABC中，AB＝3，BC＝eq\r(13)，AC＝4，則A＝______，AC邊上的高為________.【答案】eq\f(π,3)eq\f(3\r(3),2)【解析】由余弦定理的推論，可得cosA＝eq\f(AC2＋AB2－BC2,2AC·AB)＝eq\f(42＋32－（\r(13)）2,2×4×3)＝eq\f(1,2)，又0<A<π，∴A＝eq\f(π,3)，∴sinA＝eq\f(\r(3),2).則AC邊上的高h＝ABsinA＝3×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3\r(3),2).11.在△ABC中，A＋C＝2B，a＋c＝8，ac＝15，求b.【解析】在△ABC中，由A＋C＝2B，A＋B＋C＝180°，知B＝60°，又a＋c＝8，ac＝15，故由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋c2－ac＝(a＋c)2－3ac＝82－3×15＝19.∴b＝eq\r(19).12.在△ABC中，BC＝a，AC＝b，且a，b是方程x2－2eq\r(3)x＋2＝0的兩根，2cos(A＋B)＝1，(1)求角C的度數(shù)；(2)求AB的長.【解析】(1)因為cosC＝cos[π－(A＋B)]＝－cos(A＋B)＝－eq\f(1,2)，且0°<C<180°，所以C＝120°.(2)因為a，b是方程x2－2eq\r(3)x＋2＝0的兩根，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋b＝2\r(3)，,ab＝2.))所以AB2＝b2＋a2－2abcos120°＝(a＋b)2－ab＝10，所以AB＝eq\r(10).13.在△ABC中，a＝3，b－c＝2，cosB＝－eq\f(1,2).(1)求b，c的值；(2)求sinC的值.【解析】(1)∵a＝3，b－c＝2，cosB＝－eq\f(1,2).∴cosB＝eq\f(c2＋a2－b2,2ac)＝eq\f(9＋（c＋b）（c－b）,6c)＝－eq\f(1,2)，則eq\f(9－2（b＋c）,6c)＝－eq\f(1,2)，得c－2b＋9＝0.又b－c＝2，所以b＝7，c＝5.(2)由(1)及余弦定理，得cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(32＋72－52,2×3×7)＝eq\f(11,14)，又sin2C＋cos2C＝1，0<C<π.所以sinC＝eq\f(5\r(3),14).第二講正弦定理基礎知識基礎知識知識點一正弦定理和余弦定理1.在△ABC中，若角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，R為△ABC外接圓半徑，則公式eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R常見變形(1)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；(2)sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)；(3)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；(4)asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA2.S△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(abc,4R)＝eq\f(1,2)(a＋b＋c)·r(r是三角形內(nèi)切圓的半徑)，并可由此計算R，3.（1）正弦定理可以用來解決下列兩類解三角形的問題：①已知兩角和任意一邊，求其他的邊和角；②已知兩邊和其中一邊的對角，求其他的邊和角．（2）三角形解的個數(shù)的探究（以已知和解三角形為例）①從代數(shù)角度來看若，則滿足條件的三角形的個數(shù)為0，即無解；若，則滿足條件的三角形的個數(shù)為1；若，則滿足條件的三角形的個數(shù)為1或2．注：由可知B可能為銳角，也可能為鈍角，此時應由“大邊對大角”、“三角形內(nèi)角和等于180°”等進行討論．②從幾何角度來看當A為銳角時：一解 一解 兩解 無解當A為鈍角或直角時：一解 一解 無解 無解知識點二三角函數(shù)關(guān)系和射影定理1.三角形中的三角函數(shù)關(guān)系(1)sin(A＋B)＝sinC；(2)cos(A＋B)＝－cosC；(3)sineq\f(A＋B,2)＝coseq\f(C,2)；(4)coseq\f(A＋B,2)＝sineq\f(C,2).2.三角形中的射影定理在△ABC中，a＝bcosC＋ccosB；b＝acosC＋ccosA；c＝bcosA＋acosB.3.在△ABC中，兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，A>B?a>b?sinA>sinB?cosA<cosB.題型探究題型探究題型一利用正弦定理解三角形角度1已知兩角及任意一邊解三角形1.在△ABC中，a＝8，B＝60°，C＝75°，則b＝【答案】4eq\r(6)【解析】由B＝60°，C＝75°，得A＝180°－(B＋C)＝45°.又eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，得eq\f(8,sin45°)＝eq\f(b,sin60°)，∴b＝eq\f(8\r(3),\r(2))＝4eq\r(6).已知在△ABC中，c＝10，A＝45°，C＝30°，求a，b和B.【答案】10eq\r(2)，5(eq\r(6)＋eq\r(2))，105°【解析】根據(jù)正弦定理，得a＝eq\f(csinA,sinC)＝eq\f(10×sin45°,sin30°)＝10eq\r(2).又B＝180°－(A＋C)＝180°－(45°＋30°)＝105°.所以b＝eq\f(csinB,sinC)＝eq\f(10×sin105°,sin30°)＝20sin75°＝20×eq\f(\r(6)＋\r(2),4)＝5(eq\r(6)＋eq\r(2)).在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，求A，c的值．【答案】A＝45°，c＝4(eq\r(3)＋1)【解析】A＝180°－(B＋C)＝180°－(60°＋75°)＝45°.由eq\f(a,sinA)＝eq\f(c,sinC)得，c＝eq\f(asinC,sinA)＝eq\f(8×sin75°,sin45°)＝eq\f(8×\f(\r(2)＋\r(6),4),\f(\r(2),2))＝4(eq\r(3)＋1)．所以A＝45°，c＝4(eq\r(3)＋1)．角度2已知兩邊及其中一邊的對角解三角形在△ABC中，若a＝3，b＝eq\r(3)，A＝eq\f(π,3)，則C＝________.【答案】eq\f(π,2)【解析】由正弦定理得eq\f(3,sin\f(π,3))＝eq\f(\r(3),sinB)，所以sinB＝eq\f(1,2).又a>b，所以A>B，所以B＝eq\f(π,6)，所以C＝π－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋\f(π,6)))＝eq\f(π,2).在△ABC中，已知a＝eq\r(3)，b＝eq\r(2)，B＝45°，求A，C和c.【解析】由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，知sinA＝eq\f(asinB,b)＝eq\f(\r(3),2)，∵b<a，∴A＝60°或A＝120°.當A＝60°時，C＝180°－A－B＝75°，∴c＝eq\f(bsinC,sinB)＝eq\f(\r(2)sin75°,sin45°)＝eq\f(\r(6)＋\r(2),2)；當A＝120°時，C＝180°－A－B＝15°，∴c＝eq\f(bsinC,sinB)＝eq\f(\r(2)sin15°,sin45°)＝eq\f(\r(6)－\r(2),2).故當A＝60°時，C＝75°，c＝eq\f(\r(6)＋\r(2),2)；當A＝120°時，C＝15°，c＝eq\f(\r(6)－\r(2),2).已知B＝30°，b＝eq\r(2)，c＝2，求A，C，a.【解析】由正弦定理得：sinC＝eq\f(c·sinB,b)＝eq\f(2sin30°,\r(2))＝eq\f(\r(2),2)，∵c>b,0°<C<180°，∴C＝45°或135°.當C＝45°時，A＝105°，a＝eq\f(bsinA,sinB)＝eq\f(\r(2)sin105°,sin30°)＝eq\r(3)＋1，當C＝135°時，A＝15°，a＝eq\f(bsinA,sinB)＝eq\f(\r(2)sin15°,sin30°)＝eq\r(3)－1.題型二判斷三角形的形狀在△ABC中，若sinA＝2sinBcosC，sin2A＝sin2B＋sin2C，試判斷△ABC的形狀.【解析】法一：(利用角的互余關(guān)系)根據(jù)正弦定理，得eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)，∵sin2A＝sin2B＋sin2C，∴a2＝b2＋c2，∴A是直角，B＋C＝90°，∴2sinBcosC＝2sinBcos(90°－B)＝2sin2B＝sinA＝1，∴sinB＝eq\f(\r(2),2).∵0°<B<90°，∴B＝45°，C＝45°，∴△ABC是等腰直角三角形．法二：(利用角的互補關(guān)系)根據(jù)正弦定理，得eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)，∵sin2A＝sin2B＋sin2C，∴a2＝b2＋c2，∴A是直角．∵A＝180°－(B＋C)，sinA＝2sinBcosC，∴sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC＝2sinBcosC，∴sin(B－C)＝0.又－90°<B－C<90°，∴B－C＝0，∴B＝C，∴△ABC是等腰直角三角形．在△ABC中，若acosA＝bcosB，試判斷△ABC的形狀.【解析】由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，得eq\f(a,b)＝eq\f(sinA,sinB).又acosA＝bcosB，所以eq\f(a,b)＝eq\f(cosB,cosA)，所以eq\f(sinA,sinB)＝eq\f(cosB,cosA)，所以sinA·cosA＝sinB·cosB，所以2sinA·cosA＝2sinB·cosB，即sin2A＝sin2B，因為A，B為三角形內(nèi)角，所以2A＝2B或2A＋2B＝π，得A＝B或A＋B＝eq\f(π,2)，所以△ABC是等腰三角形或直角三角形.在△ABC中，若sinA＝2sinBcosC，且b＝acosC，試判斷△ABC的形狀.【解析】∵b＝acosC，由正弦定理，得sinB＝sinAcosC．(*)∵B＝π－(A＋C)，∴sinB＝sin(A＋C)，從而(*)式變?yōu)閟in(A＋C)＝sinAcosC.∴cosAsinC＝0.又∵A，C∈(0，π)，∴cosA＝0，A＝eq\f(π,2)，即△ABC是直角三角形．題型三三角形解的個數(shù)的判斷滿足條件，，的三角形的個數(shù)是（）A．1個 B．2個 C．3個 D．不存在【答案】B【解析】在中，因為，，，由正弦定理，可得，因為，即，則有兩解，所以三角形的個數(shù)是2個.故選：B.不解三角形，判斷下列三角形解的個數(shù)．(1)a＝5，b＝4，A＝120°；(2)a＝9，b＝10，A＝60°；(3)b＝72，c＝50，C＝135°.【解析】(1)sinB＝eq\f(b,a)sin120°＝eq\f(4,5)×eq\f(\r(3),2)<eq\f(\r(3),2)，所以三角形有一解．(2)sinB＝eq\f(b,a)sin60°＝eq\f(10,9)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(5\r(3),9)，而eq\f(\r(3),2)<eq\f(5\r(3),9)<1.所以當B為銳角時，滿足sinB＝eq\f(5\r(3),9)的角B的取值范圍是60°<B<90°.滿足A＋B<180°；當B為鈍角時，滿足sinB＝eq\f(5\r(3),9)的角B的取值范圍是90°<B<120°，也滿足A＋B<180°.故三角形有兩解．(3)sinB＝eq\f(bsinC,c)＝eq\f(72,50)sinC>sinC＝eq\f(\r(2),2).所以B>45°，所以B＋C>180°，故三角形無解．題型四面積有關(guān)的問題求解：在中，角，，所對的邊分別為，，，若，，，則的面積__.【答案】【解析】因為，由正弦定理化角為邊可得：，所以的面積，故答案為：.在△ABC中，BC＝5，AC＝4，cos∠CAD＝eq\f(31,32)且AD＝BD，求△ABC的面積.【解析】設CD＝x，則AD＝BD＝5－x，在△CAD中，由余弦定理的推論可知：cos∠CAD＝eq\f(（5－x）2＋42－x2,2×4×（5－x）)＝eq\f(31,32).解得x＝1.在△CAD中，由正弦定理可知：eq\f(AD,sinC)＝eq\f(CD,sin∠CAD)，∴sinC＝eq\f(AD,CD)·eq\r(1－cos2∠CAD)＝4eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(31,32)))\s\up12(2))＝eq\f(3\r(7),8)，∴S△ABC＝eq\f(1,2)AC·BC·sinC＝eq\f(1,2)×4×5×eq\f(3\r(7),8)＝eq\f(15\r(7),4).∴△ABC的面積為eq\f(15\r(7),4).已知的內(nèi)角所對的邊分別為，．（1）求的值；（2）若，求的面積【答案】（1）；（2）【解析】（1）由正弦定理得故；（2），由余弦定理，，解得因此，題型五正弦定理和余弦定理的綜合應用的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，設．（1）求A；（2）若，求sinC．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）即：由正弦定理可得：（2），由正弦定理得：又，整理可得：解得：或因為所以，故.（2）法二：，由正弦定理得：又，整理可得：，即由，所以.在①3c2＝16S＋3(b2－a2)，②5bcosC＋4c＝5a，兩個條件中任選一個，補充在下面橫線處，然后解答問題.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，設△ABC的面積為S，已知________.(1)求tanB的值；(2)若S＝42，a＝10，求b的值.(注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分)【解析】選擇條件①：(1)由題意得8acsinB＝3(a2＋c2－b2)，即4sinB＝3·eq\f(a2＋c2－b2,2ac)，整理可得3cosB－4sinB＝0.又sinB>0，所以cosB>0，所以tanB＝eq\f(sinB,cosB)＝eq\f(3,4).(2)由tanB＝eq\f(3,4)，得sinB＝eq\f(3,5).又S＝42，a＝10，所以S＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)×10c×eq\f(3,5)＝42，解得c＝14.將S＝42，a＝10，c＝14代入3c2＝16S＋3(b2－a2)，得3×142＝16×42＋3(b2－102)，解得b＝6eq\r(2).選擇條件②：(1)已知5bcosC＋4c＝5a，由正弦定理，得5sinBcosC＋4sinC＝5sinA，即5sinBcosC＋4sinC＝5sin(B＋C)，即sinC(4－5cosB)＝0.在△ABC中，因為sinC≠0，所以cosB＝eq\f(4,5).所以sinB＝eq\r(1－cos2B)＝eq\f(3,5)，所以tanB＝eq\f(3,4).(2)由S＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)×10c×eq\f(3,5)＝42，解得c＝14.又a＝10，所以b2＝100＋196－2×140×eq\f(4,5)＝72，所以b＝6eq\r(2).在△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對邊，2b2＝(b2＋c2－a2)(1－tanA).(1)求角C；(2)若c＝2eq\r(10)，D為BC的中點，在下列兩個條件中任選一個，求AD的長度.條件①：S△ABC＝4且B>A；條件②：cosB＝eq\f(2\r(5),5).(注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分)【解析】(1)已知2b2＝(b2＋c2－a2)(1－tanA).由余弦定理，得2b2＝2bccosA·(1－tanA)，所以b＝c(cosA－sinA).由正弦定理，得sinB＝sinC(cosA－sinA)，所以sin(A＋C)＝sinCcosA－sinCsinA，所以sinAcosC＝－sinCsinA，又sinA≠0，所以tanC＝－1，又C∈(0，π)，所以C＝eq\f(3,4)π.(2)若選擇條件①：S△ABC＝4且B>A.因為S△ABC＝4＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)absineq\f(3π,4)，所以ab＝8eq\r(2).由余弦定理，得c2＝(2eq\r(10))2＝40＝a2＋b2－2abcoseq\f(3π,4)，所以a2＋b2＋eq\r(2)ab＝40.由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＋b2＋\r(2)ab＝40，,ab＝8\r(2)，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝4，,b＝2\r(2)))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝2\r(2)，,b＝4.))因為B>A，所以b>a，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝2\r(2)，,b＝4，))所以CD＝eq\r(2).在△ACD中，AD2＝CA2＋CD2－2CA·CD·cosC＝16＋2－2×4×eq\r(2)coseq\f(3π,4)＝26，所以AD＝eq\r(26).若選擇條件②：cosB＝eq\f(2\r(5),5).因為cosB＝eq\f(2\r(5),5)，B∈(0，π)，所以sinB＝eq\f(\r(5),5).因為sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋sinCcosB＝eq\f(\r(10),10)，所以結(jié)合正弦定理eq\f(c,sinC)＝eq\f(a,sinA)，得a＝eq\f(csinA,sinC)＝2eq\r(2).在△ABD中，由余弦定理，得AD2＝AB2＋BD2－2AB·BD·cosB＝(2eq\r(10))2＋(eq\r(2))2－2×2eq\r(10)×eq\r(2)×eq\f(2\r(5),5)＝26，解得AD＝eq\r(26).在銳角△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足sin(π3（1）求角B的大??；（2）若△ABC的面積為23，求邊c的取值范圍．【解析】（1）因為sin(π所以(3所以34所以34所以sin所以sinB=3因為△ABC為銳角三角形，所以B=π（2）因為△ABC是銳角三角形，A+C=2π所以π6因為S△ABC所以ac＝8，在△ABC中，由正弦定理得，csinC則csin(所以c2因為π6＜A＜π2，所以所以4＜c2＜16，所以2＜c＜4，所以c的取值范圍是（2，4）．的內(nèi)角的對邊分別為，已知．（1）求；（2）若為銳角三角形，且，求面積的取值范圍．【答案】(1);(2).【解析】(1)根據(jù)題意，由正弦定理得，因為，故，消去得．，因為故或者，而根據(jù)題意，故不成立，所以，又因為，代入得，所以.(2)方法一：因為是銳角三角形，由（1）知，得到，故，解得.又應用正弦定理，，由三角形面積公式有：.又因,故，故.故的取值范圍是方法二：由題設及(1)知△ABC的面積S△ABC＝eq\f(\r(3),4)a.由正弦定理得a＝eq\f(csinA,sinC)＝eq\f(sin（120°－C）,sinC)＝eq\f(\r(3),2tanC)＋eq\f(1,2).由于△ABC為銳角三角形，故0°<A<90°，0°<C<90°.由(1)知A＋C＝120°，所以30°<C<90°，故eq\f(1,2)<a<2，從而eq\f(\r(3),8)<S△ABC<eq\f(\r(3),2).因此，△ABC面積的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),8)，\f(\r(3),2)))。在①，②，③這三個條件中任選一個，補充在下面的橫線上，并加以解答．已知的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，若___________．(1)求角B；(2)若，求周長的最小值．【解析】（1）選①：，由正弦定理得，∵，∴，即，∵，∴，∴，∴．選②：，由正弦定理可得，∵，∴，∵，∴．選③：已知，結(jié)合正弦定理可得，∴，∴，∵，∴（2）由余弦定理得，即，∴，解得，當且僅當時取等號，∴周長的最小值為12．21.中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC．（1）求A；（2）若BC=3，求周長的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由正弦定理可得：，，，.（2）[方法一]【最優(yōu)解】：余弦+不等式由余弦定理得：，即.（當且僅當時取等號），，解得：（當且僅當時取等號），周長，周長的最大值為.[方法二]：正弦化角（通性通法）設，則，根據(jù)正弦定理可知，所以，當且僅當，即時，等號成立．此時周長的最大值為．[方法三]：余弦與三角換元結(jié)合在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．由余弦定理得，即．令，得，易知當時，，所以周長的最大值為．課時對點練課時對點練1．在△ABC中，若A＝105°，B＝45°，b＝2eq\r(2)，則c等于()A．1B．2C.eq\r(2)D.eq\r(3)【答案】B【解析】∵A＝105°，B＝45°，∴C＝30°.由正弦定理，得c＝eq\f(bsinC,sinB)＝eq\f(2\r(2)sin30°,sin45°)＝2.2．在△ABC中，a＝bsinA，則△ABC一定是()A．銳角三角形B．直角三角形C．鈍角三角形 D．等腰三角形【答案】B【解析】由題意及正弦定理可知，eq\f(a,sinA)＝b＝eq\f(b,sinB)，則sinB＝1，又B∈(0，π)，故B為直角，△ABC是直角三角形．3．在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，則cosB等于()A．－eq\f(2\r(2),3)B.eq\f(2\r(2),3)C．－eq\f(\r(6),3)D.eq\f(\r(6),3)【答案】D【解析】由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，得eq\f(15,sin60°)＝eq\f(10,sinB)，∴sinB＝eq\f(10sin60°,15)＝eq\f(10×\f(\r(3),2),15)＝eq\f(\r(3),3).∵a>b，∴A>B，又∵A＝60°，∴B為銳角．∴cosB＝eq\r(1－sin2B)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)))2)＝eq\f(\r(6),3).4．已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若A＝60°，a＝eq\r(3)，則△ABC外接圓的半徑等于()A．2B.eq\r(3)C.eq\f(\r(3),2)D．1【答案】D【解析】設△ABC外接圓的半徑為R，根據(jù)正弦定理可得2R＝eq\f(a,sinA)＝eq\f(\r(3),sin60°)＝eq\f(\r(3),\f(\r(3),2))＝2，所以R＝1，即△ABC外接圓的半徑為1.5．(多選)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.下列各組條件中使得△ABC有唯一解的是()A．a(chǎn)＝3，b＝4，A＝eq\f(π,6) B．a(chǎn)＝3，b＝4，cosB＝eq\f(3,5)C．a(chǎn)＝3，b＝4，C＝eq\f(π,6) D．a(chǎn)＝3，b＝4，B＝eq\f(π,6)【答案】BCD【解析】根據(jù)題意，在A的條件下，由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)?sinB＝eq\f(4,3)×sinA＝eq\f(2,3)，因為eq\f(1,2)<eq\f(2,3)<eq\f(\r(2),2)，所以角B在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,4)))和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，\f(5π,6)))上各有一個解，并且這兩個解與角A的和都小于π，所以A不滿足；在B的條件下，根據(jù)余弦定理可得b2＝a2＋c2－2accosB，即16＝9＋c2－eq\f(18,5)c，解得c＝5或c＝－eq\f(7,5)(舍)，所以只有1個解，滿足題意；在C的條件下，條件為邊角邊，根據(jù)余弦定理可以求得唯一的c邊，所以有唯一解；在D的條件下，由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)?sinA＝eq\f(3,4)×sinB＝eq\f(3,8)，因為eq\f(3,8)<eq\f(1,2)，所以角A在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6)))和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)，π))上各有一個解，當解在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)，π))上時，角B與角A的和大于π，所以只有1個解，滿足題意．6．在△ABC中，若a＝eq\r(3)，b＝eq\r(2)，B＝eq\f(π,4)，則A＝.【答案】eq\f(π,3)或eq\f(2π,3)【解析】由正弦定理，得sinA＝eq\f(asinB,b)＝eq\f(\r(3)×\f(\r(2),2),\r(2))＝eq\f(\r(3),2)，又A∈(0，π)，a>b，∴A>B，∴A＝eq\f(π,3)或eq\f(2π,3).7．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若cosA＝eq\f(4,5)，cosC＝eq\f(5,13)，a＝1，則sinB＝，b＝.【答案】eq\f(63,65)eq\f(21,13)【解析】在△ABC中，由cosA＝eq\f(4,5)，cosC＝eq\f(5,13)，可得sinA＝eq\f(3,5)，sinC＝eq\f(12,13)，所以sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC＝eq\f(63,65)，又a＝1，故由正弦定理得，b＝eq\f(asinB,sinA)＝eq\f(21,13).在銳角△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足(a－b)(sinA＋sinB)＝(c－b)sinC．若a＝eq\r(3)，則b2＋c2的取值范圍是【答案】5<b2＋c2≤6.【解析】由正弦定理可得，(a－b)·(a＋b)＝(c－b)·c，即b2＋c2－a2＝bc，cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(1,2)，又A∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，∴A＝eq\f(π,3).∵eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝eq\f(\r(3),sin\f(π,3))＝2，∴b2＋c2＝4(sin2B＋sin2C)＝4[sin2B＋sin2(A＋B)]＝4eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1－cos2B,2)＋\f(1－cos[2A＋B],2)))＝eq\r(3)sin2B－cos2B＋4＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2B－\f(π,6)))＋4.∵△ABC是銳角三角形，∴B∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,2)))，即2B－eq\f(π,6)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(5π,6)))，∴eq\f(1,2)<sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2B－\f(π,6)))≤1，∴5<b2＋c2≤6.若△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知bsin2A＝asinB，且c＝2b，則eq\f(a,b)=【答案】eq\r(3)【解析】由bsin2A＝asinB及正弦定理得2sinBsinA·cosA＝sinAsinB，解得cosA＝eq\f(1,2).又c＝2b，所以由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA＝b2＋4b2－4b2×eq\f(1,2)＝3b2，得eq\f(a,b)＝eq\r(3)已知在△ABC中，D是AC邊上的點，且AB＝AD，BD＝eq\f(\r(6),2)AD，BC＝2AD，則sinC的值為【答案】eq\f(\r(15),8)【解析】設AB＝AD＝2a，則BD＝eq\r(6)a，則BC＝4a，所以cos∠ADB＝eq\f(BD2＋AD2－AB2,2BD×AD)＝eq\f(6a2,2×2a×\r(6)a)＝eq\f(\r(6),4)，所以cos∠BDC＝eq\f(BD2＋CD2－BC2,2BD×CD)＝－eq\f(\r(6),4)，整理得CD2＋3aCD－10a2＝0，解得CD＝2a或者CD＝－5a(舍去)．故cosC＝eq\f(16a2＋4a2－6a2,2×4a×2a)＝eq\f(14,16)＝eq\f(7,8)，而C∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，故sinC＝eq\f(\r(15),8)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，sinA＝eq\r(3)sinB，且b＝c.(1)求角A的大?。?2)若a＝2eq\r(3)，角B的平分線交AC于點D，求△ABD的面積．【解析】(1)由sinA＝eq\r(3)sinB及正弦定理得a＝eq\r(3)b，結(jié)合b＝c，由余弦定理得cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(b2＋b2－3b2,2b2)＝－eq\f(1,2)，∵A∈(0，π)，∴A＝eq\f(2,3)π.(2)由(1)及題意知B＝C＝eq\f(π,6).又a＝2eq\r(3)，a＝eq\r(3)b，∴b＝c＝2，即AB＝2.如圖，在△ABD中，由正弦定理得eq\f(AB,sin∠ADB)＝eq\f(AD,sin∠ABD)，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝eq\f(π,12)，又∠A＝eq\f(2,3)π，∴∠ADB＝eq\f(π,4)，∴AD＝eq\f(AB·sin∠ABD,sin∠ADB)＝eq\r(3)－1，∴S△ABD＝eq\f(1,2)×AB×AD×sineq\f(2,3)π＝eq\f(1,2)×2×(eq\r(3)－1)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3－\r(3),2).在△ABC中，a，b，c分別為三個內(nèi)角A，B，C的對邊，且b2－eq\f(2\r(3),3)bcsinA＋c2＝a2.(1)求角A的大??；(2)若b＝2，c＝3，求a和sin(2B－A)的值．【解析】(1)由已知和余弦定理，得：eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(\r(3),3)sinA，即cosA＝eq\f(\r(3),3)sinA，即tanA＝eq\r(3)，又A∈(0，π)，∴A＝eq\f(π,3).(2)∵a2＝b2＋c2－2bc·cosA＝4＋9－2×2×3×eq\f(1,2)＝7，∴a＝eq\r(7).又eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，∴eq\f(\r(7),\f(\r(3),2))＝eq\f(2,sinB)，∴sinB＝eq\f(\r(21),7)，又b＜a，∴B∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3))).∴cosB＝eq\r(1－sin2B)＝eq\f(2\r(7),7)，∴sin2B＝2sinBcosB＝eq\f(4\r(3),7)，cos2B＝eq\f(1,7)，∴sin(2B－A)＝sin2BcosA－cos2BsinA＝eq\f(4\r(3),7)×eq\f(1,2)－eq\f(1,7)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3\r(3),14).在中，、、分別是角、、所對的邊，且滿足且。(1)求角的大小；(2)設，設，的周長為，求的最大值?！窘馕觥?1)由已知得，∴，∴，∴，又，∴；(2)由，及正弦定理得，，，故，由得，∴當，即時。在中，、、是角、、的對邊，其外接圓半徑為，。(1)求角的大小；(2)求周長的取值范圍?！窘馕觥?1)已知，則由正弦定理得，簡化移項得，又∵，∴，∴，又，則；(2)由的外接圓半徑，由正弦定理得：，可知，∴，由于，∴，∴，∴。則的周長，∴周長的取值范圍是。在中，角，，所對的邊分別為，，，且．（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，求面積的最大值．【解析】（Ⅰ）由正弦定理得，又，，又，，，故在中，；（Ⅱ）由余弦定理得：，，，面積．故面積的最大值為設函數(shù)．（1）求的最小正周期和值域；（2）在銳角中，角??的對邊長分別為??．若，，求周長的取值范圍．【答案】（1），值域為；（2）．【解析】（1），，值域為．（2）由，可得，因為三角形為銳角，所以，即，，由正弦定理，得，，所以，因為為銳角三角形，所以，，即，解得，所以，，即，所以周長的取值范圍為．在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且．（1）求角；（2）若，，求的面積．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由正弦定理，得，，，又，所以．由余弦定理，得，故．又，所以．（2）由余弦定理，得．聯(lián)立方程組，得，化簡得，解得，所以的面積．在中，已知角，，的對邊分別為，，，若，．（1）求角的大?。唬?）若的平分線交于點，的面積為，求線段的長度．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由，，∴，即，得，又，∴，可知，解得．（2）設，由是的平分線，有，在中，由正弦定理得，所以．又的面積為，所以，∴，即．夯實基礎夯實基礎在中，已知，則（）A．3 B．2 C． D．【答案】B由正弦定理，得．故選：B已知△ABC中，A＝eq\f(π,6)，B＝eq\f(π,4)，a＝1，則b等于()A．2B．1C.eq\r(3) D.eq\r(2)【答案】D【解析】由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)?b＝eq\f(asinB,sinA)＝eq\r(2).已知在中，角，，的對邊分別為，，，且滿足，，則（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由得，又，由正弦定理可得，則.故選：A.在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若sinB+2sinAcosC＝0，則cosB的最小值為（）A．2 B．3 C．32 D．【答案】C【解析】解：∵sinB+2sinAcosC＝0，∴由正弦定理及余弦定理得：b+2a?a2+b2?c22ab=0，可得：又cosB=a2+c2即cosB的最小值為32故選：C．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知asinA－bsinB=4csinC，cosA=－，則=A．6 B．5 C．4 D．3【答案】A【解析】詳解：由已知及正弦定理可得，由余弦定理推論可得，故選A．的內(nèi)角的對邊分別為，，，若的面積為，則A． B． C． D．【答案】C【解析】詳解：由題可知所以由余弦定理所以故選C.的內(nèi)角的對邊分別為.若，則的面積為__________.【答案】由余弦定理得，所以，即，解得（舍去），所以，在中，，且，則____________【答案】【解析】由正弦定理可知：，又由余弦定理可知：本題正確結(jié)果：記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，面積為，，，則________．【答案】【解析】由題意，，所以，所以，解得（負值舍去）.故答案為：.在△ABC中，cosB＝eq\f(1,4)，b＝2，sinC＝2sinA，則△ABC的面積等于【答案】eq\f(\r(15),4)【解析】在△ABC中，cosB＝eq\f(1,4)，b＝2，sinC＝2sinA，由正弦定理得c＝2a；由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac·cosB＝a2＋4a2－2a·2a·eq\f(1,4)＝4a2＝4，解得a＝1，可得c＝2，所以△ABC的面積為S＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)×1×2×eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))2)＝eq\f(\r(15),4).故選D.△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若sin2A＋sin2C－sin2B＝eq\r(3)sinAsinC，b＝1，則2a－2eq\r(3)c的最小值為【答案】－4.【解析】∵sin2A＋sin2C－sin2B＝eq\r(3)sinAsinC，∴a2＋c2－b2＝eq\r(3)ac，∴eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(\r(3),2)，∴cosB＝eq\f(\r(3),2)，又0＜B＜π，∴B＝eq\f(π,6).∵eq\f(a,sinA)＝eq\f(c,sinC)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(1,sin\f(π,6))＝2，∴a＝2sinA，c＝2sinC，∴2a－2eq\r(3)c＝4sinA－4eq\r(3)sinC＝4sin(B＋C)－4eq\r(3)sinC＝4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋C))－4eq\r(3)sinC＝4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)cosC＋\f(\r(3),2)sinC))－4eq\r(3)sinC＝2cosC－2eq\r(3)sinC＝4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)cosC－\f(\r(3),2)sinC))＝4coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋C)).∵0＜C＜eq\f(5π,6)，∴eq\f(π,3)＜eq\f(π,3)＋C＜eq\f(7π,6)，∴當eq\f(π,3)＋C＝π時，2a－2eq\r(3)c取得最小值，且最小值為－4.在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且滿足．(1)求角C；(2)若D為邊AC上一點，BD＝7，a＝8，b＝10，求的值．【答案】(1)；(2)或1.【詳解】（1）將兩邊平方得：，整理得，解得，而，所以.（2）在中，由余弦定理得：，即，整理得，解得或，而，當時，，，當時，，，所以的值是或1.在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c．已知的外接圓半徑，且．(1)求B和b的值；(2)求面積的最大值．【答案】(1)，b=2；(2)【詳解】（1）解：因為，所以，，即，因為，所以，又，所以，所以，又的外接圓半徑，所以由正弦定理得；（2）解：由余弦定理得，由基本不等式得（當且僅當時取等號），所以（當且僅當時取等號），所以（當且僅當時取等號），故面積的最大值為．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．（1）求的值；（2）在邊BC上取一點D，使得，求的值．【解析】（1）在△ABC中，因為，由余弦定理，得，所以.在中，由正弦定理，得，所以（2）在△ABC中，因為,所以為鈍角，而,所以為銳角.故則.因為，所以，.從而△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知cos2eq\b\lc\(\rc\)