新教材數學人教A版作業(yè)2-2第2課時基本不等式的應用

第二章2.2第2課時A組·素養(yǎng)自測一、選擇題1．若x∈{x|－2＜x＜0}，則x(2＋x)的最小值是(C)A．－2 B．－eq\f(3,2)C．－1 D．－eq\f(1,2)[解析]因為x∈{x|－2＜x＜0}，所以2＋x＞0，所以x(2＋x)＝－(－x)(2＋x)≥－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋2－x,2)))2＝－1，當且僅當x＝－1時，等號成立．2．某工廠第一年產量為A，第二年的增長率為a，第三年的增長率為b，這兩年的平均增長率為x，則(B)A．x＝eq\f(a＋b,2) B．x≤eq\f(a＋b,2)C．x＞eq\f(a＋b,2) D．x≥eq\f(a＋b,2)3．當x＞1時，不等式x＋eq\f(1,x－1)≥a恒成立，則實數a的取值范圍是(D)A．a≤2 B．a≥2C．a≥3 D．a≤3[解析]由于x＞1，所以x－1＞0，eq\f(1,x－1)＞0，于是x＋eq\f(1,x－1)＝x－1＋eq\f(1,x－1)＋1≥2＋1＝3，當eq\f(1,x－1)＝x－1即x＝2時等號成立，即x＋eq\f(1,x－1)的最小值為3，要使不等式恒成立，應有a≤3，故選D．4．設x，y為正數，則(x＋y)(eq\f(1,x)＋eq\f(4,y))的最小值為(B)A．6 B．9C．12 D．15[解析]x，y為正數，(x＋y)(eq\f(1,x)＋eq\f(4,y))＝1＋4＋eq\f(y,x)＋eq\f(4x,y)≥9，當且僅當y＝2x時等號成立．選B．5．某公司租地建倉庫，每月土地占用費y1與倉庫到車站的距離成反比，而每月庫存貨物的運費y2與到車站的距離成正比．如果在距離車站10千米處建倉庫，這兩項費用y1和y2分別為2萬元和8萬元，那么要使這兩項費用之和最小，倉庫應建在離車站(A)A．5千米處 B．4千米處C．3千米處 D．2千米處[解析]設倉庫應建在離車站x千米處，設y1＝eq\f(m,x)(m＞0)，y2＝nx(n＞0)，由已知，m＝20，n＝eq\f(4,5)．∴兩項費用之和為y＝y(tǒng)1＋y2＝eq\f(20,x)＋eq\f(4x,5)≥2eq\r(\f(20,x)·\f(4x,5))＝8(萬元)，當且僅當eq\f(20,x)＝eq\f(4,5)x，即x＝5時，取等號．6．已知2a＋b＝2，a＞0，b＞0，則eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)的最小值是(C)A．2eq\r(2) B．eq\f(3,2)－2eq\r(2)C．eq\f(3,2)＋eq\r(2) D．3＋eq\r(2)[解析]eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(1,2)(2a＋b)(eq\f(1,a)＋eq\f(1,b))＝eq\f(1,2)(3＋eq\f(b,a)＋eq\f(2a,b))≥eq\f(3,2)＋eq\f(1,2)×2eq\r(\f(b,a)·\f(2a,b))＝eq\f(3,2)＋eq\r(2)．當且僅當eq\f(b,a)＝eq\f(2a,b)，即a＝2－eq\r(2)，b＝2eq\r(2)－2時，等號成立．∴eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)的最小值是eq\f(3,2)＋eq\r(2)．二、填空題7．已知x、y都是正數，(1)如果xy＝15，則x＋y的最小值是__2eq\r(15)__；(2)如果x＋y＝15，則xy的最大值是__eq\f(225,4)__．[解析](1)x＋y≥2eq\r(xy)＝2eq\r(15)，即x＋y的最小值是2eq\r(15)；當且僅當x＝y(tǒng)＝eq\r(15)時取最小值．(2)xy≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋y,2)))2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(15,2)))2＝eq\f(225,4)，即xy的最大值是eq\f(225,4)．當且僅當x＝y(tǒng)＝eq\f(15,2)時xy取最大值．8．已知正數a、b滿足eq\f(9,a)＋eq\f(1,b)＝3，則ab的最小值為__4__．[解析]eq\f(9,a)＋eq\f(1,b)＝3≥2eq\r(\f(9,ab))?eq\r(ab)≥2?ab≥4．當且僅當eq\f(9,a)＝eq\f(1,b)，即a＝6，b＝eq\f(2,3)時取等號．9．已知x＞0，y＞0，若eq\f(2y,x)＋eq\f(8x,y)＞m＋2恒成立，則實數m的取值范圍是__m＜6__．[解析]因為x＞0，y＞0，所以eq\f(2y,x)＋eq\f(8x,y)≥8，當且僅當eq\f(2y,x)＝eq\f(8x,y)時，“＝”成立．所以m＋2＜8，解得m＜6．三、解答題10．已知x，y都是正數．(1)若3x＋2y＝12，求xy的最大值；(2)若x＋2y＝3，求eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)的最小值．[解析](1)∵3x＋2y＝12，∴xy＝eq\f(1,6)·3x·2y≤eq\f(1,6)×(eq\f(3x＋2y,2))2＝6，當且僅當3x＝2y，即x＝2，y＝3時，等號成立．∴xy取得最大值為6．(2)∵x＋2y＝3，∴1＝eq\f(x,3)＋eq\f(2y,3)，∴eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＝(eq\f(1,x)＋eq\f(1,y))(eq\f(x,3)＋eq\f(2y,3))＝eq\f(1,3)＋eq\f(2,3)＋eq\f(x,3y)＋eq\f(2y,3x)≥1＋2eq\r(\f(x,3y)·\f(2y,3x))＝1＋eq\f(2\r(2),3)，當且僅當eq\f(x,3y)＝eq\f(2y,3x)，即x＝3eq\r(2)－3，y＝3－eq\f(3\r(2),2)時取等號，∴eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)的最小值為1＋eq\f(2\r(2),3)．11．某公司今年3月欲抽調一批銷售員推銷A產品，根據過去的經驗，每月A產品銷售數量y(萬件)與銷售員的數量x(人)之間的函數關系式為y＝eq\f(920x,x2＋3x＋1600)(x＞0)．在該月內，銷售員數量為多少時，銷售的數量最大？最大銷售量為多少？(精確到0.1萬件)[解析]依題意得y＝eq\f(920,x＋3＋\f(1600,x))(x∈N*)．因為x＋eq\f(1600,x)≥2eq\r(x·\f(1600,x))＝80，當且僅當x＝eq\f(1600,x)，即x＝40時上式等號成立，所以ymax＝eq\f(920,83)≈11.1(萬件)．所以當銷售員為40人時，銷售量最大，最大銷售量約為11.1萬件．B組·素養(yǎng)提升一、選擇題1．已知m，n∈R，且m2＋n2＝100，則mn的最大值是(B)A．100 B．50C．20 D．10[解析]由m2＋n2≥2mn得mn≤eq\f(m2＋n2,2)＝50，當且僅當m＝n＝±5eq\r(2)時等號成立．2．已知a，b，c都是正數，且a＋2b＋c＝1，則eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,c)的最小值是(D)A．3＋2eq\r(2) B．3－2eq\r(2)C．6－4eq\r(2) D．6＋4eq\r(2)[解析]eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,c)＝(eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,c))(a＋2b＋c)＝4＋eq\f(2b,a)＋eq\f(c,a)＋eq\f(a,b)＋eq\f(c,b)＋eq\f(a,c)＋eq\f(2b,c)≥4＋2eq\r(\f(2b,a)·\f(a,b))＋2eq\r(\f(c,a)·\f(a,c))＋2eq\r(\f(c,b)·\f(2b,c))＝6＋4eq\r(2)，當且僅當eq\f(2b,a)＝eq\f(a,b)，eq\f(c,a)＝eq\f(a,c)，eq\f(c,b)＝eq\f(2b,c)時，等號成立，即a2＝c2＝2b2時，等號成立．3．已知不等式(x＋y)(eq\f(1,x)＋eq\f(a,y))≥9對任意正實數x，y恒成立，則正實數a的最小值為(B)A．2 B．4C．6 D．8[解析](x＋y)(eq\f(1,x)＋eq\f(a,y))＝1＋a＋eq\f(y,x)＋eq\f(ax,y)≥1＋a＋2eq\r(\f(y,x)·\f(ax,y))＝1＋a＋2eq\r(a)，當且僅當eq\f(y,x)＝eq\f(ax,y)，即y＝eq\r(a)x時取等號．依題意得1＋a＋2eq\r(a)≥9，即(eq\r(a)－2)(eq\r(a)＋4)≥0，又eq\r(a)＋4＞0，∴eq\r(a)≥2，解得a≥4，故a的最小值為4，故選B．4．(多選題)下列結論中正確的有(ACD)A．若a，b為正實數，且a≠b，則a3＋b3＞a2b＋ab2B．若a，b，m為正實數，且a＜b，則eq\f(a＋m,b＋m)＜eq\f(a,b)C．若eq\f(a,c2)＞eq\f(b,c2)，則a＞bD．當x＞0時，x＋eq\f(2,x)的最小值為2eq\r(2)[解析]對于A，∵a，b為正實數，a≠b，∴a3＋b3－(a2b＋ab2)＝(a－b)2(a＋b)＞0，∴a3＋b3＞a2b＋ab2正確；對于B，若a，b，m均為正實數，a＜b，則eq\f(a＋m,b＋m)－eq\f(a,b)＝eq\f(mb－a,bb＋m)＞0．則eq\f(a＋m,b＋m)＞eq\f(a,b)，故B錯誤．對于C，若eq\f(a,c2)＞eq\f(b,c2)，則a＞b，故C正確；對于D，當x＞0時，x＋eq\f(2,x)的最小值為2eq\r(2)，當且僅當x＝eq\r(2)時，取等號，成立，故D正確．故選ACD．二、填空題5．已知x≥eq\f(5,2)，則f(x)＝eq\f(x2－4x＋5,2x－4)的最小值是__1__．[解析]f(x)＝eq\f(x－22＋1,2x－4)＝eq\f(x－2,2)＋eq\f(1,2x－4)＝eq\f(2x－4,4)＋eq\f(1,2x－4)≥2eq\r(\f(2x－4,4)·\f(1,2x－4))＝1．當且僅當eq\f(2x－4,4)＝eq\f(1,2x－4)，即x＝3時取“＝”．6．已知正數x，y，z滿足x＋y＋z＝1，則eq\f(1,x)＋eq\f(4,y)＋eq\f(9,z)的最小值為__36__．[解析]∵正數x，y，z滿足x＋y＋z＝1，∴eq\f(1,x)＋eq\f(4,y)＋eq\f(9,z)＝(x＋y＋z)(eq\f(1,x)＋eq\f(4,y)＋eq\f(9,z))＝1＋4＋9＋eq\f(y,x)＋eq\f(4x,y)＋eq\f(z,x)＋eq\f(9x,z)＋eq\f(4z,y)＋eq\f(9y,z)≥14＋2eq\r(\f(y,x)·\f(4x,y))＋2eq\r(\f(z,x)·\f(9x,z))＋2eq\r(\f(4z,y)·\f(9y,z))＝36，當且僅當x＝eq\f(1,6)，y＝eq\f(1,3)，z＝eq\f(1,2)時取等號．故答案為36．7．(2021·湖南湘潭高二期末)一批救災物資隨51輛汽車從某市以vkm/h的速度勻速直達災區(qū)，已知兩地公路線長400km，為了安全起見，兩輛汽車的間距不得小于eq\f(v2,800)km，那么這批物資全部到達災區(qū)，最少需要__10__h．[解析]當最后一輛汽車出發(fā)，第一輛汽車走了eq\f(50·\f(v2,800),v)＝eq\f(v,16)小時，最后一輛車走完全程共需要eq\f(400,v)小時，所以一共需要eq\f(400,v)＋eq\f(v,16)小時，結合基本不等式，計算最值，可得eq\f(400,v)＋eq\f(v,16)≥2eq\r(\f(400,v)·\f(v,16))＝10，故最小值為10小時．三、解答題8．已知a＞b＞c，試比較出4與(eq\f(1,a－b)＋eq\f(1,b－c))(a－c)的大?。甗解析](eq\f(1,a－b)＋eq\f(1,b－c))(a－c)≥4，理由如下：因為a－c＝(a－b)＋(b－c)，所以(eq\f(1,a－b)＋eq\f(1,b－c))[(a－b)＋(b－c)]＝2＋eq\f(b－c,a－b)＋eq\f(a－b,b－c)，又a＞b＞c，所以eq\f(b－c,a－b)＋eq\f(a－b,b－c)≥2，故(eq\f(1,a－b)＋eq\f(1,b－c))(a－c)≥4，當且僅當eq\f(b－c,a