第4講三角函數(shù)最值學(xué)生版

三角函數(shù)求最值的七種類型類型1.與輔助角公式1.輔助角公式:形如的式子可做如下變換:(1)令(1)式=,其中.例1．已知.求的單調(diào)遞增區(qū)間.例2．已知函數(shù)，其中，且．（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若，且，求的值．跟進(jìn)訓(xùn)練：1．已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值；(3)若為銳角，，求的值．類型2.二次函數(shù)型（1）把形如或的三角函數(shù)最值問題看成與或有關(guān)的二次函數(shù)解析式，再將其解析式變形轉(zhuǎn)化為或，最后根據(jù)已知變量的范圍求最值.（2）對于和的形式，也可轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)來求解.例3．函數(shù)的定義域為，值域為，則α的取值范圍是（）A．B．C． D．跟進(jìn)訓(xùn)練：（2023·浙江溫州·樂清市知臨中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．函數(shù)的最小正周期是B．函數(shù)的最大值為1，最小值為C．函數(shù)的圖像在區(qū)間上單調(diào)遞減D．函數(shù)的圖像關(guān)于對稱類型3.如求三角函數(shù)的最值，可將看作，則原函數(shù)可變形為，該函數(shù)是我們熟悉的二次函數(shù)，可求它的最值.例4．已知函數(shù)，則的最大值為（

）．A． B． C． D．跟進(jìn)訓(xùn)練：1．（2022秋·江西贛州·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，則的最大值是（

）A．1 B． C． D．2．（2023·河南鄭州·?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)，將的圖象向右平移個單位長度，得到的圖象，則（

）A．為的一個周期B．的值域為[－1，1]C．的圖象關(guān)于直線x＝0對稱D．曲線在點處的切線斜率為類型4.分式型其中同名函數(shù)利用分離常數(shù)法，形如非同名函數(shù)利用數(shù)形結(jié)合的方法，形如利用單位圓與直線相交相切來解決最值問題.例5.求值域。例6.求函數(shù)的最大值和最小值。跟進(jìn)訓(xùn)練：求函數(shù)的值域.類型5.三次函數(shù)（1）形如：等均為三次函數(shù).（2）三倍角結(jié)構(gòu)這類函數(shù)雖然最后是借助導(dǎo)數(shù)來實現(xiàn)，但它的轉(zhuǎn)化方向是一致的，結(jié)果就是三次函數(shù)！例7．已知函數(shù)，則函數(shù)的最大值為_____.例8．函數(shù)的值域為____________．跟進(jìn)訓(xùn)練：函數(shù)在上的最大值為______.類型6.導(dǎo)數(shù)型例9．（2018全國1卷）已知函數(shù)，則的最小值是__________．例10．已知函數(shù)，則的最小值是（

）A． B． C． D．例11．已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．的周期為 B．的圖象關(guān)于對稱C．的最大值為 D．在區(qū)間在上單調(diào)遞減跟進(jìn)訓(xùn)練：1．（2023·江蘇淮安·江蘇省鄭梁梅高級中學(xué)?？寄M預(yù)測）關(guān)于函數(shù)，下列結(jié)論正確的是（

）A．函數(shù)的周期為 B．函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱C．函數(shù)在上遞增 D．函數(shù)的最大值為12．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)，，則函數(shù)的最小值為______.類型7.三角換元例12．（1）求函數(shù)的值域.（2）求函數(shù)的值域；（3）求函數(shù)的值域；（4）已知，求的最值解析（1）可化為，令，則，，，∴,故函數(shù)的值域為.本題可以用柯西不等式求最大值，但最小值沒法求.（2）函數(shù)的定義域為，令，．則．由于，．而當(dāng)時，為減函數(shù)，此時，當(dāng)時，為增函數(shù)，此時．故函數(shù)的值域為．（3）解法一：，可設(shè)．則．設(shè)，則，從而．（其中，）．，，，且，，，故函數(shù)的值域為．解法二：由解法一得，則為與點連線的斜率．設(shè)過點的直線方程為，即，顯然，點在半圓上，當(dāng)直線與半圓，相切時，，解得，數(shù)形結(jié)合易得，即．．故函數(shù)的值域為．（4）令，，則．又．當(dāng)，時，；當(dāng)，時，．跟進(jìn)訓(xùn)練：1.求函數(shù)的最大值