2023年上海市楊浦區(qū)高三上學(xué)期高考一模數(shù)學(xué)試卷含詳解

2023屆楊浦區(qū)高考數(shù)學(xué)一模

一、填空題

1.若“。＞產(chǎn),則“步＞心，命題.(填：真、假)

2.設(shè)集合A=MO3≤2｝,集合B=MXT＜。｝,則A5=.

3.方程噫仁一以-5)=地6+1)的解是》=.

4,若Snla=αw(0,%),貝IJa=.

5.設(shè)i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)z=2i(l-i)的虛部是.

6.向量α=(3,4)在向量'=(LO)方向上的投影為.

7.一支田徑隊(duì)有男運(yùn)動(dòng)員48人，女運(yùn)動(dòng)員36人，若用分層抽樣的方

法從該隊(duì)的全體運(yùn)動(dòng)員中抽取一個(gè)容量為21的樣本，則抽取男運(yùn)動(dòng)員

的人數(shù)為_(kāi)___________

3

一X、一

8.已知雙曲線的漸近線方程為y=±4,則此雙曲線的離心率為

9.若正數(shù)X,y滿(mǎn)足x+3y=孫，則x+y的最小值為.

10.已知C=C：(〃是正整數(shù)整

(2x-1)=%+4(x~^1)+生1)~---1)則%+4+出^*---------=

11.等差數(shù)列｛叫的公差d#。，其前〃項(xiàng)和為S",若九二°,則

SO=1，2,3,…,2022)中不同的數(shù)值有個(gè).

12.已知/(x)=τ2-20r-α2+α+i,若方程/(X)=。與/(，(X))=O均恰有

兩個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

二、選擇題

13.某校高一共有10個(gè)班，編號(hào)為01,02,10,現(xiàn)用抽簽法從中

抽取3個(gè)班進(jìn)行調(diào)查，設(shè)高一（5）班被抽到的可能性為α,高一（6）

班被抽到的可能性為。，則（）

3,2?1,1

Aλa=——,b=-B.a=——,b=-

109109

「3,3Cl,1

C.a=——,b=—D.a=—,b=—

10101010

14.對(duì)于平面α和兩條直線以〃，下列說(shuō)法正確的是（）

A.若加_La,mA.∏,則zz∕∕aB.若W與1所成的角相

等，則?//〃

C.若，〃/∕α,n/Ia,則〃D.若機(jī)Ue,mHn,〃在平

面α外，則n/Ia

15.在一ABC中，A=?,則“sin8＜g”是JABC是鈍角三角形”的

（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C充分必要條件D.既不充分也不必要條件

16.已知定義在R上的函數(shù)＞="x）對(duì)任意王＜馬,都有區(qū)＞。

Xj-A2

成立且滿(mǎn)足"0）=-（其中“為常數(shù)），關(guān)于％的方程：/（α+x）=0r的

解的情況.下面判斷正確的是（）

A.存在常數(shù)α,使得該方程無(wú)實(shí)數(shù)解B.對(duì)任意常數(shù)α,方程均有

且僅有1解

C.存在常數(shù)α,使得該方程有無(wú)數(shù)解D.對(duì)任意常數(shù)α,方程解的

個(gè)數(shù)大于2

三、解答題

17.在?ABC中，內(nèi)角A,3,C所對(duì)邊分別為4,b,c、滿(mǎn)足6+c2=62_碇.

（1）求角B的大小；

(2)若。=2√L求.ABC面積的最大值.

18.如圖所示圓錐P-O中，C。為底面的直徑.AB分別為母線PD與PC

的中點(diǎn)，點(diǎn)E是底面圓周上一點(diǎn)，若"CE=30。，IAB∣=√2,圓錐的高

為√iZ.

(1)求圓錐的側(cè)面積S；

(2)求證：AE與PC是異面直線，并求其所成角的大小

19.企業(yè)經(jīng)營(yíng)一款節(jié)能環(huán)保產(chǎn)品，其成本由研發(fā)成本與生產(chǎn)成本兩部分

構(gòu)成.生產(chǎn)成本固定為每臺(tái)130元.根據(jù)市場(chǎng)調(diào)研，若該產(chǎn)品產(chǎn)量為X

萬(wàn)臺(tái)時(shí)?，每萬(wàn)臺(tái)產(chǎn)品的銷(xiāo)售收入為I(X)萬(wàn)元.兩者滿(mǎn)足關(guān)系：

/(x)=220-X(O<X<220)

(1)甲企業(yè)獨(dú)家經(jīng)營(yíng)，其研發(fā)成本為60萬(wàn)元.求甲企業(yè)能獲得利潤(rùn)

的最大值；

(2)乙企業(yè)見(jiàn)有利可圖，也經(jīng)營(yíng)該產(chǎn)品，其研發(fā)成本為40萬(wàn)

元.問(wèn)：乙企業(yè)產(chǎn)量多少萬(wàn)臺(tái)時(shí)獲得的利潤(rùn)最大；(假定甲企業(yè)按照原

先最大利潤(rùn)生產(chǎn)，并未因乙的加入而改變)

(3)由于乙企業(yè)參與，甲企業(yè)將不能得到預(yù)期的最大收益、因此會(huì)作

相應(yīng)調(diào)整，之后乙企業(yè)也會(huì)隨之作出調(diào)整，最終雙方達(dá)到動(dòng)態(tài)平衡

(在對(duì)方當(dāng)前產(chǎn)量不變的情況下，已方達(dá)到利潤(rùn)最大)求動(dòng)態(tài)平衡

時(shí)，兩企業(yè)各自的產(chǎn)量和利潤(rùn)分別是多少.

r2

20.已知曲線氏］→y2=ι("0)的左右焦點(diǎn)為耳，F(xiàn)2,P是曲線石上一

動(dòng)點(diǎn)

(1)求△產(chǎn)周B的周長(zhǎng);

(2)過(guò)F2的直線與曲線E交于AJB兩點(diǎn)，且AF2=2月B,求直線AB的

斜率；

(3)若存在過(guò)點(diǎn)H(OM)(人＞1)的兩條直線4和乙與曲線E都只有一個(gè)公

共點(diǎn)，且/JL求//的值.

21.已知函數(shù)力(x)=∕'+x+α,其中〃為正整數(shù)，。＜0且為常數(shù).

(1)求函數(shù)y=K(χ)的單調(diào)增區(qū)間；

(2)若對(duì)于任意〃，函數(shù)y=∕,(χ),在內(nèi)均存在唯一零點(diǎn)，求α

的取值范圍；

(3)設(shè)％是函數(shù)＞=力(力大于。的零點(diǎn)，其構(gòu)成數(shù)列｛%"｝.問(wèn)：是否存

在實(shí)數(shù)”使得｛“"｝中的部分項(xiàng)：/，”%其中i＜∕時(shí)，〃，＜"，)

構(gòu)成一個(gè)無(wú)窮等比數(shù)列｛4｝若存在；求出出若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由.

2023屆楊浦區(qū)高考數(shù)學(xué)一模

一、填空題

1.若“a>b”,則，e>Q,是______命題.(填:真、假)

【答案】真

【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出結(jié)論.

【詳解】函數(shù)/(x)=χ3在R是單調(diào)增函數(shù)，

.?.當(dāng)α>b,一，定有d>Z?,故是真命題.

故答案為：真.

【點(diǎn)睛】本題考查命題真假的判定，屬于基礎(chǔ)題.

2.設(shè)集合A={x∣0≤x≤2},集合8={x∣xT≤0},則AB=.

【答案】［0,1］

【分析】求出集合B,再求交集可得答案.

［詳解］集合B={x∣x-l≤0}={x∣x≤l},則ACB={x∣O≤x≤l}.

故答案為：［0』.

2

3.方程Iog3(x-4x-5)=Iog3(x+1)的解是X=.

【答案】6

【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)真數(shù)大于零和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可直接構(gòu)造不等式組

求得結(jié)果.

X2-4X-5>0

【詳解】由Iog3(f-4x—5)=k)g3(x+l)得：<x+l>O,

X2-4X~5=X+1

(x+l)(x-5)>O

即<x>-l,解得：x=6.

X2-5x-6=(x÷l)(x-6)=0

故答案為：6.

4.若Sina=萬(wàn)，α∈(0,%),則α=.

【答案】g或葛.

66

【分析】根據(jù)SinC的值以及α的范圍，利用特殊角的三角函數(shù)值，即可

求出α的度數(shù).

【詳解】Sina=L且α∈(0,乃).?.a=J或？

故答案為：［或葛

66

【點(diǎn)睛】此題考查已知函數(shù)值求角的問(wèn)題，牢記特殊角的三角函數(shù)值

是解本題的關(guān)鍵.

5.設(shè)i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)z=2i(l-i)的虛部是.

【答案】2

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算即可得復(fù)數(shù)z,即可得Z的虛部.

【詳解】解：復(fù)數(shù)z=2i(Ji)=2i-2i2=2+2i,所以復(fù)數(shù)Z的虛部為2.

故答案為：2.

6.向量4=(3,4)在向量6=(1,0)方向上的投影為.

【答案】3

【詳解】試題分析：由數(shù)量積的定義?！穋os(α,b),所以

-fr?a?b3xl÷4x0C

aCoSmb)=r-=_=3.

考點(diǎn)：向量的數(shù)量積.

7.一支田徑隊(duì)有男運(yùn)動(dòng)員48人，女運(yùn)動(dòng)員36人，若用分層抽樣的方

法從該隊(duì)的全體運(yùn)動(dòng)員中抽取一個(gè)容量為21的樣本，則抽取男運(yùn)動(dòng)員

的人數(shù)為_(kāi)___________

【答案】12

【分析】由題意知運(yùn)動(dòng)員男女比例為4:3,所以抽取容量為21的樣本,

樣本比例也為4:3,從而求得結(jié)果.

【詳解】由題意知運(yùn)動(dòng)員男女比例為4:3,所以抽取容量為21的樣本,

樣本比例也為4:3,所以抽取男運(yùn)動(dòng)員的人數(shù)為21χg=12.

【點(diǎn)睛】本題考查簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣分層抽樣，屬于基礎(chǔ)題.

8.已知雙曲線的漸近線方程為y=±；x,則此雙曲線的離心率為

【答案】6=；或G=J

34

【詳解】此題考查雙曲線的離心率

解：因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為I所以“=4/=3或

4

a~3,Λ—4,故c一5?

所以離心率e:或*345.

34

答案：:或5

34

9.若正數(shù)尤，y滿(mǎn)足χ+3y=孫，則x+y的最小值為.

【答案】4+26##20+4

13

【分析】先將χ+3y=孫變形為一+-=1,再利用基本不等式“1”的妙用即

yχ

可得解.

13

【詳解】因?yàn)閤>O,y>O,x+3y=D，所以一+-=1,

yX

貝［Jx+y=(x+y)H+3)=2+^+4≥2p?+4=2√3+4,

?yX)yXYyX

當(dāng)且僅當(dāng)±=2且x+3y=D,即x=6+3,y=l+G時(shí)，等號(hào)成立，

yX

所以x+yN2省+4,即x+y的最小值為4+2百.

故答案為：4+2√3.

10.已知G=C：(〃是正整數(shù))，

--=

(2.x?)=g+q(x-1)+4(x—1)^∣----1^an(??)，PlfJon+ul+ct2Hdn

【答案】243

【分析】根據(jù)C：=C：列式即可求出〃，觀察原式特點(diǎn)，取x=2,右側(cè)關(guān)

于4,”的系數(shù)全為1,從而兩邊取X=2進(jìn)而得解.

【詳解】因?yàn)镃=C

er∣.∣H(H-I)”(〃一1)(〃一2)

所以F-=孑2xl'

解得，〃=5.

令x=2得，

(2x2_1)、—a。+α∣+a、+???+cιn,

l5

故α0+%+%^----1-?n=3=243,

故答案為：243.

11.等差數(shù)列｛4｝的公差,其前〃項(xiàng)和為S11,若SIO=O,則

S,(i=1,2,3,…,2022)中不同的數(shù)值有個(gè).

【答案】2018

【分析】等差數(shù)列前〃項(xiàng)和S“為二次函數(shù)，根據(jù)其圖像性質(zhì)，求出對(duì)稱(chēng)

軸，即可求出相同數(shù)值的個(gè)數(shù)，進(jìn)而求得不同數(shù)值的個(gè)數(shù).

【詳解】解：已知等差數(shù)列｛%｝的公差。。0,其前〃項(xiàng)和為S.,

Sll是關(guān)于〃的二次函數(shù)，若，。=0,則對(duì)稱(chēng)軸為〃=5,

,Si=Sg,S2=SgfS3=S7,S4=S6,有四組數(shù)相同，

則S,(i=1,2,3,…,2022)中不同的數(shù)值有2022-4=2()18個(gè)，

故答案為：2018.

12.已知/(x)=—￡—2"一/+α+l,若方程/(x)=0與/(/(x))=0均恰有

兩個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)0的取值范圍是.

【答案】

【分析】由題知/（M=O恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,記為4，々（不妨設(shè)玉<馬）,

進(jìn)而得α>-l,3=-α-Jα+l,x2=-a+Ja+l,再根據(jù)/（/（力）=。均恰有兩

-/-----

個(gè)不同的實(shí)根得2"+1一”!<°,進(jìn)而解不等式即可得答案.

【詳解】解：因?yàn)椤╔）=O恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，記為a/（不妨設(shè)

玉<工2),

以，/(X)=—χ2—2cιx—C1+α+1=—(x+Q)~+Q+1=(),

Bp(尤+Q)2=Q+1>0

JjZf以，ci>—19Xl=-a-Ja+1,X2=—a+Ja+1,

因?yàn)?(/(x))=0均恰有兩個(gè)不同的實(shí)根，

所以/(x)=x∣和/(x)=W中共有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,

當(dāng)/(x)=X］時(shí),即一(x+ap+α+l=-ci-Ja+1,

整理得(x+4=2α+l-Jα+l①,

當(dāng)/(x)=?x2時(shí)，即-(x+αj+α+l=-a+Ja+1,

整理得(x+α)2=2α+1+√^TT②

由2a+1-Ja+1≠2a+1+?/ɑ+1

所以，①②沒(méi)有公共實(shí)數(shù)根，

因Jq2a+1-?/ɑ+1<2α+1+Ja+1

所以方程①無(wú)實(shí)數(shù)根，②有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，

2a+1-Ja+1<0

所以,—，

2。+1+Λ∕Q+1>0

不等式2α+1-?Ja+T<0o2α+1<Jq+1，

故當(dāng)-l≤α≤-g,不等式2α+l<G顯然成立，

當(dāng)α>一,時(shí)，2α+l<Ja+1o4/+3α<0,解得一］<α<0

所以，2α+l-√^TT<0的解集為［T,0）;

等式2a+1+Ja+1>0<c≡≥Ja+1>-2a-1,

故當(dāng)“≥-g時(shí)，-2α-l≤0,不等式√^TT>-2α-1恒成立，

131

當(dāng)一l≤α<一二時(shí)，M+l>-2α-l<≈>402+3π<0,解得一二<"一二，

2λ42

所以，2α+l+G7I>0的解集為,

2a+1—Ja+1<0（3、

所以，y—的解集為-（o

2a+l+√0+l>0I4J

故答案為：J1。'

二、選擇題

13.某校高一共有10個(gè)班，編號(hào)為01,02,10,現(xiàn)用抽簽法從中

抽取3個(gè)班進(jìn)行調(diào)查，設(shè)高一（5）班被抽到的可能性為。，高一（6）

班被抽到的可能性為乩則（）

321

?bB?

一-----

99

1010

【答案】C

【分析】根據(jù)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的定義，分析即可得答案.

【詳解】由簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的定義，知每個(gè)個(gè)體被抽到的可能性相等,

故高一（5）班和高一（6）班被抽到的可能性均為得.

故選：C

14.對(duì)于平面α和兩條直線加，〃，下列說(shuō)法正確的是()

A.若加_La,mLn,則〃//ɑB.若加，”與。所成的角相

等，則加〃〃

C.若m//ɑ,nlIa,則加〃“D,若加Uα,mHn,〃在平

面α外，則〃//a

【答案】D

【分析】根據(jù)空間線、面的位置關(guān)系即可判斷A,B,C,利用線面平行的

判定定理可判斷D.

【詳解】對(duì)于A,?mla,m±n,則〃//ɑ或"uα,故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,若相,〃與a所成的角相等，則加,〃相交、平行或異面，故B錯(cuò)

誤；

對(duì)于C,若InHa,Mla,則加,〃相交、平行或異面，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,若加Ua,在/“，〃在平面a外，則由線面平行的判定定理得

nlIay

故D正確.

故選:D.

TI

15.在-ABC中，4=r可，則"sin8<3”是“一ABC是鈍角三角形”的

()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】先解三角不等式，再結(jié)合充分條件、必要條件的定義判斷作

答.

【詳解】在_ABC中，由Sin得：0<8<m或^<6<τr,而A=J,

2663

貝!∣0<B<W,因此得0<B<=,

3O

于是得C=?！?gt;，ABC是鈍角三角形，

當(dāng).ABC是鈍角三角形時(shí)，取鈍角8=正，

..7π.5π.πGl

sinBn=Sin——=sm—>sin—=——>—,

1212322

即.ABe是鈍角三角形不能推出sinB<g,

所以“sinB<；”是JABC是鈍角三角形”的充分而不必要條件.

故選：A

16.已知定義在R上的函數(shù)y=∕(χ)對(duì)任意XaX2,都有八?I?")〉。

成立且滿(mǎn)足"0)=一/(其中α為常數(shù))，關(guān)于X的方程：/(α+X)=依的

解的情況.下面判斷正確的是()

A.存常數(shù)α,使得該方程無(wú)實(shí)數(shù)解B.對(duì)任意常數(shù)0,方程均有

且僅有1解

C.存在常數(shù)α,使得該方程有無(wú)數(shù)解D.對(duì)任意常數(shù)”,方程解的

個(gè)數(shù)大于2

【答案】B

【分析】將方程/(α+X)=以的解的情況轉(zhuǎn)化為〃(%)零點(diǎn)的情況，然后

根據(jù)/(0)=-/得至IJM—a)=0,根據(jù)玉<々，得到

然后利用定義法得到〃(力在R上單調(diào)遞增，

/(XI)-∕(X2)<4^-X2),

即可得到對(duì)任意常數(shù)“，方程/(〃+X)=這只有一個(gè)解.

【詳解】令〃(X)="α+x)-ar,則方程l(α+X)=?的解的情況可以轉(zhuǎn)

化為〃(力零點(diǎn)的情況，

因?yàn)?0)=F2,所以&(-a)=〃0)+儲(chǔ)=0,

因?yàn)闊o(wú)1<々，所以XI-X2<0,則/(百)一)(%2)<”(與一工2)，

4?x=x2，4，

31-a,x4=x2-a,因?yàn)橥?lt;龍所以為<%

h(x3)-h(x4)=f(xi)-a(xl-a)-f(x2)+a(x2-a)

=Fa)-一。(玉一室)<0,即M&)<M%4),

所以旗X)在R上單調(diào)遞增，又M-α)=0,所以對(duì)任意常數(shù)α,MX)只有

一個(gè)零點(diǎn)，即方程/(α+X)=以只有一個(gè)解.

故選：B.

三、解答題

17.在一ABC中，內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,。/、滿(mǎn)足片+廿=從_的.

(1)求角8的大小；

(2)若〃=2百，求.ABC的面積的最大值.

【答案】(1)120°

(2)√3

【分析】(1)利用余弦定理求B即可；

(2)利用基本不等式得到αc≤4,然后利用三角形面積公式求面積的

最大值即可.

【小問(wèn)1詳解】

因?yàn)?2+<?-從=—ac,

由余弦定理得CoSNB='+02又BG((U),所以4=120。.

2ac2

【小問(wèn)2詳解】

因?yàn)椤?26，

22

由(1)^a+c=12-ac≥2ac9當(dāng)且僅當(dāng)α=c=2時(shí)取等號(hào)，

所以αc≤4,

面積S=—acsinB=^ac<√3

24

所以三角形面積的最大值為G.

18.如圖所示圓錐P-O中，。。為底面的直徑.AB分別為母線與PC

的中點(diǎn)，點(diǎn)E是底面圓周上一點(diǎn)，若ZDCE=30。，∣A3∣=0,圓錐的高

為√ii.

(1)求圓錐的側(cè)面積s；

(2)求證：AE與PC是異面直線，并求其所成角的大小

【答案】⑴4√2π

(2)證明見(jiàn)解析；arccos述

20

【小問(wèn)1詳解】

設(shè)圓錐底面半徑為L(zhǎng)母線長(zhǎng)為/,

因?yàn)镃o為直徑，AB是一Pa)的中位線，

所以r=AB=Λ∕2，

I=Nr-PO2=J2+14=4,

所以側(cè)面積S=Ttrl=4λ∕2π.

小問(wèn)2詳解】

因?yàn)锳RC在平面PC。且不共線，E在平面PC。外所以AE與PC是異面

直線，

連接AO,EO,由A。分別為PRCD的中點(diǎn)，得AO//PC,

所以：NE4。為異面直線AE與PC所成的角或其補(bǔ)角，

在?A0E中，QA=gpC=2,OE=母,

取。。中點(diǎn)為尸，連接AREF,

AF=恒，EF=-,AE=y[5,

22

5+4

在?AOE中，cosZEAO=~^=_2_=∑2≤

2?2?√54√520

所以異面直線AE與PC所成角大小為arccos拽.

20

19.企業(yè)經(jīng)營(yíng)一款節(jié)能環(huán)保產(chǎn)品，其成本由研發(fā)成本與生產(chǎn)成本兩部分

構(gòu)成.生產(chǎn)成本固定為每臺(tái)130元.根據(jù)市場(chǎng)調(diào)研，若該產(chǎn)品產(chǎn)量為X

萬(wàn)臺(tái)時(shí)，每萬(wàn)臺(tái)產(chǎn)品的銷(xiāo)售收入為I(X)萬(wàn)元.兩者滿(mǎn)足關(guān)系：

/(x)=220-x(0<x<220)

(1)甲企業(yè)獨(dú)家經(jīng)營(yíng)，其研發(fā)成本為60萬(wàn)元.求甲企業(yè)能獲得利潤(rùn)

的最大值；

(2)乙企業(yè)見(jiàn)有利可圖，也經(jīng)營(yíng)該產(chǎn)品，其研發(fā)成本為40萬(wàn)

元.問(wèn)：乙企業(yè)產(chǎn)量多少萬(wàn)臺(tái)時(shí)獲得利潤(rùn)最大；(假定甲企業(yè)按照原

先最大利潤(rùn)生產(chǎn)，并未因乙的加入而改變)

(3)由于乙企業(yè)參與，甲企業(yè)將不能得到預(yù)期的最大收益、因此會(huì)作

相應(yīng)調(diào)整，之后乙企業(yè)也會(huì)隨之作出調(diào)整，最終雙方達(dá)到動(dòng)態(tài)平衡

(在對(duì)方當(dāng)前產(chǎn)量不變的情況下，已方達(dá)到利潤(rùn)最大)求動(dòng)態(tài)平衡

時(shí)，兩企業(yè)各自的產(chǎn)量和利潤(rùn)分別是多少.

【答案】(1)1965萬(wàn)元

(2)22.5萬(wàn)臺(tái)(3)甲企業(yè)產(chǎn)量3。萬(wàn)臺(tái)，乙企業(yè)產(chǎn)量30萬(wàn)臺(tái)；利

潤(rùn)分別為甲企業(yè)840萬(wàn)元，乙企業(yè)860萬(wàn)元

【分析】根據(jù)利潤(rùn)等于銷(xiāo)售收入減去成本即可得到函數(shù)關(guān)系式，用二次

函數(shù)求最值的方法即可得到.

【小問(wèn)1詳解】

設(shè)利潤(rùn)為P(X)

P(Λ)=X?Z(X)-(60+130X)=-Λ2+90X-60

=-(%-45)2+1965

當(dāng)χ=45時(shí)P(X)maχ=1965

所以，產(chǎn)量為45萬(wàn)臺(tái)時(shí)-，甲企業(yè)獲利最大為1965萬(wàn)元.

【小問(wèn)2詳解】

設(shè)乙企業(yè)產(chǎn)量為X萬(wàn)臺(tái),此時(shí)甲依舊按照45萬(wàn)臺(tái)產(chǎn)量生產(chǎn)對(duì)于乙企業(yè)，

每萬(wàn)臺(tái)產(chǎn)品的銷(xiāo)售收入為

/(x+45)=220-(x+45)=175-x

P(X)=X?∕(x+45)-(40+130%)=一￡+45x-40

所以乙企業(yè)產(chǎn)量為22.5萬(wàn)臺(tái)，獲得利潤(rùn)最大.

【小問(wèn)3詳解】

假設(shè)達(dá)到動(dòng)態(tài)平衡時(shí)，甲企業(yè)產(chǎn)量。萬(wàn)臺(tái)，乙企業(yè)產(chǎn)量。萬(wàn)臺(tái).

甲企業(yè)：網(wǎng)。)=4?/(。+0)—(60+1304)

=一片+(90-0)α-60當(dāng)α=卻山時(shí)利潤(rùn)最大

乙企業(yè)P?=力/(α+A)-(40+13(均

=+(90-6/)?-40當(dāng)b=%L時(shí)利潤(rùn)最大.

聯(lián)立，解得α=b=30時(shí)達(dá)到動(dòng)態(tài)平衡.

此時(shí)利潤(rùn)分別為：甲企業(yè)840萬(wàn)元，乙企業(yè)860萬(wàn)元.

2

20.已知曲線氏'+y2=ι("0)的左右焦點(diǎn)為K,F2,P是曲線石上一

動(dòng)點(diǎn)

(1)求APKK的周長(zhǎng)；

(2)過(guò)F2的直線與曲線E交于AJB兩點(diǎn)，且AF2=2月8,求直線AB的

斜率；

(3)若存在過(guò)點(diǎn)H(OM)外＞1)的兩條直線4和凸與曲線E都只有一個(gè)公

共點(diǎn)，且/口L求//的值.

【答案】⑴2√2+2

⑵土反

2

(3)百或垃或汽號(hào)

【分析】(I)先由曲線后的標(biāo)準(zhǔn)方程求得a，。，再利用橢圓的定義即可

得解；

(2)由題意設(shè)直線AB：x=my+?,聯(lián)立方程，結(jié)合韋達(dá)定理得到

%再由472=2gQ得到力=-2%，從而求得加的值，由此可得

直線AB的斜率；

(3)根據(jù)題意設(shè)直線：丁="+〃，聯(lián)立方程,結(jié)合判別式得到4=±m(xù)，

分類(lèi)討論兩條直線4和4與橢圓的位置情況，由4，，2即可求得h的值.

【小問(wèn)1詳解】

2

因?yàn)榍€及y+∕=l(j≠0),

所以4=2,b2=1,貝(Jɑ=?∣2,b-1,C2—a~—b~=l,c=1,

所以歸制+仍q=2“=26，?FlF2?=2c=2,

故△/￥；工的周長(zhǎng)為2a+2.

【小問(wèn)2詳解】

依題意，知直線AB斜率存在且不為0,設(shè)直線AbX=陽(yáng)+1,

x=my

聯(lián)立<

2mI

由韋達(dá)定理得：〃+%=--FTT>XT%=一-L7，

團(tuán)+2/n+2

因?yàn)锳E=263,6（1,0）,所以（1一一以）=2（/一1，%），則%=-2%,

從而有F=一.,土

所以直線AB斜率為z」=±坐=±歹.

m√22

【小問(wèn)3詳解】

依題意，知過(guò)點(diǎn)”（0,〃）的直線斜率存在，設(shè)該直線：y=kx+h,（Λ>l）,

y-kx+h

聯(lián)立<

若直線4或4為切線，則八=16A：2層—4（1+2左2）（2〃2—2）=0,解得女=±J（1,

注意到該曲線丁工0,即該曲線沒(méi)有左右頂點(diǎn)，所以有三種情況：

情況1:兩條直線均是切線，

因?yàn)?U,所以她=-1,即-肉L件L-1，解得〃=百，所以力=5

情況2：兩條直線分別過(guò)橢圓1+9=1左右頂點(diǎn)，

由對(duì)稱(chēng)性可知占=-旬，又E=-T,所以K=-&=ι,

/7-0

此時(shí)占=FT7T=ι,解得〃=血，所以〃=加；

2

情況3：其中一條直線是切線，另一條過(guò)橢圓5+V=l的左（或右）頂

點(diǎn),

不妨設(shè)直線為切線時(shí)斜率為正，即&=，『，則內(nèi)=黑=一擊，

因?yàn)殛?-1,所以后!、卜仁卜一1,解得∕z=JI號(hào)，所以

F,

綜上：符合條件的h的值為的或以或J匕興.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：直線與圓錐曲線位置關(guān)系的題目，往往需要聯(lián)立

兩者方程，利用韋達(dá)定理解決相應(yīng)關(guān)系，其中的計(jì)算量往往較大，需

要反復(fù)練習(xí)，做到胸有成竹.

21.已知函數(shù)力(X)=X"+x+α,其中〃為正整數(shù)，*0且為常數(shù).

(1)求函數(shù)y=力(χ)的單調(diào)增區(qū)間；

(2)若對(duì)于任意〃，函數(shù)y=力(%),在(；，1)內(nèi)均存在唯一零點(diǎn)，求α

的取值范圍；

(3)設(shè)乙是函數(shù)y=f,(χ)大于。的零點(diǎn)，其構(gòu)成數(shù)列｛%.｝?問(wèn)：是否

存在實(shí)數(shù)α使得｛七｝中的部分項(xiàng)：%,%,…(其中i<∕

時(shí)，”，<〃,)構(gòu)成一個(gè)無(wú)窮等比數(shù)列｛6,｝若存在；求出內(nèi)若不存在請(qǐng)

說(shuō)明理由.

【答案】(1)-4,+o01

⑵Λ∈(-2,-1)

(3)存在；a=-2

【分析】(1)由題矢口y=力(X)=X'+x+α,再根據(jù)導(dǎo)數(shù)求解力'(X)=4∕+120

即可得答案；

(2)由題知，函數(shù)力(X)=V+x+α在(0,+。)上單調(diào)遞增，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為

從山，⑴<0,再解不等式得"-引對(duì)一切“≥1成立，進(jìn)而得

α?-2,-1)；

(3)根據(jù)力(l)=l+l+α=0得。=