2023-2024學年河南省潢川高二年級上冊期末考試數(shù)學（文）模擬試題(含解析)

2023-2024學年河南省潢HI高二上冊期末考試數(shù)學(文)

模擬試題

一、單選題

1.在等差數(shù)列｛〃〃｝中，aj=2,as=3a3則的等于()

A.-2B.0C.3D.6

【正確答案】A

【分析】利用己知條件求得d,由此求得出.

【詳解】。/=2,。5=3田，得〃/+4d=3(Q/+2rf),即d=—〃/=—2,

所以。3=。/+2"=-2.

故選：A.

2.直線4的斜率為2,〃〃2,直線/2過點(-1,1)且與y軸交于點尸，則尸點坐標為()

A.(3,0)B.(-3,0)C.(0,-3)D.(0,3)

【正確答案】D

【分析】由兩直線〃〃2,它們的斜率相等得到直線4的斜率，又4過點(T，l),由斜率公式即可

求出答案.

【詳解】設P(0,田，因為〃〃2,所以*=2,

所以y=3.即尸(0,3).

故選：D

3.已知空間向量；工(2,-1,2),(1,-2,1),則向量/在向量J上的投影向量是()

424242

A.B.(2,-1,2)C.(y,-y,y)D.(1,-2,1)

【正確答案】A

,?XXX

【分析】由向量6在向量。上的投影向量為|b|cos<a,b>*,計算即可求出答案.

【詳解】解：向量二(2,-1,2),b'=(\,-2,\)

則|a|=M+22+(T)2=3,叫=在+『+(-2)2=巫,aW=2xl+(-l)x(-2)+1x2=6,

所以向量，在向量：上的投影向量為

件-1乩

故選：A.

4.在正項等比數(shù)列｛為｝中，q和%為方程/-10x+16=0的兩根，則1?生等于()

A.8B.10C.16D.32

【正確答案】C

【分析】根據(jù)％和小為方程/-10、+16=0的兩根，得到然后再利用等比數(shù)列

的性質(zhì)求解.

【詳解】因為。|和“19為方程工2-10》+16=0的兩根,

所以q=16,

又因為數(shù)列｛q｝是等比數(shù)列，

所以%-al2=a,-a19=16,

故選：C

22

5.已知實數(shù)加，則“3〈機<6”是“曲線=1表示橢圓”的()

m-36-m

A.必要不充分條件B.充分不必要條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【正確答案】A

【分析】根據(jù)橢圓方程的特征，結(jié)合充分性、必要性的定義進行判斷即可.

m-3>0

22

【詳解】曲線上二+^^=1表示橢圓，貝I有6-加>0=3(加<6且〃?#4.5,

tn-36-mr,

加一3W6一陽

所以“3<機<6”是“曲線上+上=1表示橢圓”的必要不充分條件，

m-36—m

故選：A

6.已知"(TO),8(1,0)，圓C：X2+(,P-3)2=/?2(/?>0),若圓C上存在點使NAMB=90°,

則圓C的半徑R的取值范圍是()

A.2</?<4B.2<R<4y/2C.2<R<5D.44A45

【正確答案】A

【分析】設A/Qo，%),由N4MB=90°得MA-MB=0,即可知M的軌跡為k=[,要

使圓C上存在點"，即圓C與/2+典2=1有交點，進而可得半徑R的范圍.

【詳解】設M(x。,%),則"4=(-1-x0,-%),"5=(1-%,-%),

VZ.AMB=90°,即K4-A78=0，

2

Ax0+y^=\,即用■在以原點為圓心，半徑為1的圓上，

而圓C的圓心為(0,3),半徑為R,

...圓C上存在點即圓C與婕+%2=1有交點，

.?.|/?-l|<|OC|<7?+l,|7?-l|<3<7?+l,/?e[2,4].

故選：A

7.已知直線/：x-y+4=0與圓C：(x-l)2+(y-l)2=2,則C上各點到/距離的最小值為

()

A.72-1B.6+1C.五D.272

【正確答案】C

【分析】先判斷直線與圓的位置關(guān)系，再結(jié)合圖形求距離最小值.

【詳解】易知圓心半徑/=也，

圓心C(l,l)到直線/：x-y+4=0的距離"=t1^=2近＞/，

v2

所以圓C與直線/相離，如圖所示：

所以圓。上各點到/距離的最小值為"-『=20-&=亞，

故選：C.

8.如圖，在正方體/38-44GR中，E為48的中點，則直線4E與平面48G所成角的

正弦值為()

「垂）D.嚕

15

【正確答案】D

【分析】構(gòu)建空間直角坐標系，求直線4E的方向向量、平面48G的法向量，應用空間向

量的坐標表示，求直線4E與平面4BG所成角的正弦值.

【詳解】以點。為坐標原點，向量。分別為X,y,Z軸建立空間直角坐標系,

則4(1,0,1),8(1,1,0),￡(0,1,1),可得4C；：(—1,1,0),sq=(-1,0,1),

…八人

八A.C.'H=_x+y=0--

設面48G的法向量為〃=(x,y,z),有｛Kx-,取x=l,則〃=(1J1),

[BC、-n=-x+z=0

所以]子；1；-1=-3,I菊=手，|[=6,則直線4E與平面43G所成角的正弦值為

_1

好xG15

2

故選：D.

9.設雙曲線C：q=1(心0,A>0)的左、右焦點分別為B,尸2，離心率為右.P是

ab

C上一點，且開若尸2的面積為4,則a=()

A.1B.2C.4D.8

【正確答案】A

【分析】根據(jù)雙曲線的定義，三角形面積公式，勾股定理，結(jié)合離心率公式，即可得出答案.

【詳解】￡=指，”=癡，根據(jù)雙曲線的定義可得歸用-|戶用|=2〃，

Sgg=；I尸用BEl=4，即|尸耳?〔尸用=8，

F,PVF2P,.-\PFS+\PF^=(2c^,

.?.(I尸娟-|尸入『+2|尸耳|忖勾=4/,即片_5/+4=0,解得。=1,

故選：A.

本題主要考查了雙曲線的性質(zhì)以及定義的應用，涉及了勾股定理，三角形面積公式的應用，

屬于中檔題.

10.已知半徑為1的圓經(jīng)過點(3,4),則其圓心到原點的距離的最小值為().

A.4B.5C.6D.7

【正確答案】A

【分析】求出圓心C的軌跡方程后，根據(jù)圓心〃到原點。的距離減去半徑1可得答案.

【詳解】設圓心C(x,y),則小一3"(尸4)2=1,

化簡得(x-3)2+(y-4『=l,

所以圓心。的軌跡是以“(3,4)為圓心，1為半徑的圓，

所以所以|。。|25-1=4,

當且僅當。在線段0M上時取得等號，

故選：A.

本題考查了圓的標準方程，屬于基礎(chǔ)題.

Y-2V-2

11.已知橢圓Cl：j+y2=l(m>l)與雙曲線C2：彳-y』l(n>0)的焦點重合，e】，e2

mn"

分別為Ci,C2的離心率，則

A.m>n且e【e2>lB.m>n且e】e2VlC.mVn且eie2>lD.mVn且eie2Vl

【正確答案】A

【詳解】試題分析：由題意知=/+即/=〃2+2,由于m>l,n>0,可得m>n,

m2-1n2+1=（T）（1」）=（111/+21+1

又30）2=~n^2）（==:+2/,故的>1.故

tn~n2mn

選A.

橢圓的簡單幾何性質(zhì)，雙曲線的簡單幾何性質(zhì).

【易錯點睛】計算橢圓G的焦點時，要注意‘2=/一62；計算雙曲線G的焦點時，要注意

c2=a2+b2.否則很容易出現(xiàn)錯誤.

12.已知數(shù)列｛6｝滿足2q+22%+23%++2q,=/｛?eN),若4=砥〃\.一,則

數(shù)列｛"｝的前2023項和S2023=()

20222023

A.----B.----

20232022

-20232024

C.----D.----

20242023

【正確答案】C

【分析】利用數(shù)列的遞推關(guān)系及對數(shù)的運算，結(jié)合裂項相消法即可求解.

【詳解】當”=1時，2fl,=1,解得q=；,

當時，2%+2%2+2，%++2"a〃="①，

2al+2~%+2,%++2"1%_]=〃-1②,

由①-②,得2”4=〃一（〃—1）,即%=3,

取〃=1時，"1=5=；，此式也滿足力,

所以數(shù)列｛%｝的通項公式為44,

1]________11___1_

所以"log2afl-log2loJ_〃R+1）〃〃+l

?22”822〃+l

0,11111t12023

222232023202420242024

故選：C.

二、填空題

13.設空間向量（2,2,f,若白晨則加=.

【正確答案】5

【分析】根據(jù)空間向量數(shù)量積的坐標表示公式進行求解即可.

【詳解】因為立。

所以a-6=0=>-lx2+2，〃-2x4=0n〃？=5，

故5

14.已知｛叫是公差不為零的等差數(shù)列，且外,%,“9成等比數(shù)歹U，則幺上土=_____

。10

【正確答案、】1.5##；3

2

【分析】根據(jù)題意，由條件可得《與，的關(guān)系，然后代入計算，即可得到結(jié)果.

【詳解】設｛凡｝的公差為"4*0,由《，的，佝成等比數(shù)列可得其=4%，

即（q+2d）~=%卜4+8"），結(jié)合dH0可得q="

a1+a,+…&5%+10d15d

則」~-——-=1.5

。10q+9d10J

故答案為：1.5

15.如圖所示，在四棱錐M-45CQ中，底面Z8CD是邊長為2的正方形，側(cè)棱4M=3,

且NM48=NM4O=60。，N是CW的三等分點（靠近M點），則8N的長為.

C

【正確答案】也

3

【分析】用表示出8日，求向量的模.

▼▼▼滅I■?■XI▼▼漢▼▼共▼▼▼?

【詳解】MC=AC-AM=AB+AD-AM，MN=-MC=-^AB+AD-AM^

則，BN=B4+AM+MN=-4B+AM+-(AB+AD—4MAB+-AD+-AM

3、、)=——333

則

fffET

BN——AB+-AD+-AM+AD~+4AM-4AB-AD-SAB-AM+4AM-AD

333)

44

=-|4x4+4+4x9-4x2x2x0-8x2x3x—+4x3x2x—

91229

所以,碎得平

所以，8N的長為主叵

3

故答案為.3叵

3

16.已知點KN分別是拋物線C:/=8x和圓￡>:(X+3)2+/=I上的動點，M到C的準線

的距離為d,則+d的最小值為

【正確答案】4

【分析】將〃到拋物線的準線的距離d轉(zhuǎn)化為〃到拋物線焦點的距離|加尸|,再根據(jù)三角形

三邊關(guān)系將|MN|+|MF|的最小值表示為|N日，最后根據(jù)圓外一點到圓上動點的距離轉(zhuǎn)化為

到圓心的距離減去半徑求|昕|的最小值即可.

【詳解】拋物線的焦點為尸(2,0),則d=|物

圓。的圓心為。(-3,0),半徑為r=l

所以pWN|+d=|A/N|+|A/日習加,|。尸|-r=5-l=4.

故4.

三、解答題

17.已知等差數(shù)列｛a,,｝和正項等比數(shù)列也,｝滿足％=4=1,%+%=10也=牝?

⑴求應｝,也｝的通項公式；

（2）求數(shù)列｛4｝的前"項和S,,>與時〃的最小值.

【正確答案】⑴勺=2〃-1也=3"T

⑵〃=10

【分析】（1）根據(jù)條件列出公差與公比的方程，代入計算，即可得到結(jié)果；

（2）由（1）中的結(jié)論得到數(shù)列｛q｝的前〃項和5“，然后代入計算，即可得到結(jié)果.

【詳解】（1）設等差數(shù)列｛%｝的公差為d,正項等比數(shù)列抄,｝的公比為4（4>0）,

因為％="=1,%+%=1°也=牝，

則1+1+1+3d=10,q2=[+4d,

所以d=2,且4>0,則4=3,

所以a”=l+（〃-l）x2=2〃-l,”=1X3"T=3"-'；

（2）由（1）知，則S“=〃（1+；"T）="2,且&=34=81,

所以S“>4,即〃2>81,所以〃的最小值為10.

18.已知圓C：X2+/-8^+12=0,直線/.ax+y+2a=0

（1）當。為何值時，直線/與圓C相切；

（2）當直線/與圓C相交于Z,8兩點，且必8|=2后時，求直線/的方程.

3

【正確答案】（1）。二一:；

4

（2）%一^+2=0或7%-歹+14=0.

【分析】（1）由題設可得圓心為。（0,4）,半徑尸=2,根據(jù)直線與圓的相切關(guān)系，結(jié)合點線

距離公式列方程求參數(shù)〃的值即可.

（2）根據(jù)圓中弦長、半徑與弦心距的幾何關(guān)系列方程求參數(shù)。，即可得直線方程.

【詳解】（1）由圓C：x2+y2-8^+12=0,可得f+（歹一4）一=4,

其圓心為C（0,4）,半徑r=2,

|4+2a|3

若直線/與圓C相切，則圓心C到直線/距離〃=匕=^=廠=2,即4〃=-3,可得

Vl+a24

（2）由（1）知：圓心到直線的距離?=堆”，

Vl+?2

因為怨）+儲=/，即［乎］+/=22,解得：d=6,

所以d=?［---=加,整理得：/+8a+7=0,解得：a=—1或a=-7,

Vl+a2

則直線/為x7+2=0或7x-y+14=0.

19.如圖，在三棱柱48C-481G中，CGJ?平面48C,AC1BC,AC^BC=2,CC,=3,

點D、E分別在棱N4和棱CG上，且/。=1,CE=2,〃為棱4片的中點.

（1）求證：C,A/±B,D;

（2）求二面角8-8產(chǎn)-。的正弦值.

【正確答案】（1）證明見解析；（2）叵.

6

【分析】（1）證明出GM,平面力448,即可證得

（2）計算出8QE的邊DE上的高力，并求出點。到平面8CG用的距離d,由此可得出二

面角8-8￡-。的正弦值為g.

h

【詳解】（1）在三棱柱ABC-中，CC,±平面ABC,則BB、1平面44G,

CtMu平面4<G,則GM1網(wǎng)，

AC=BC,則4G=4G，”為的中點，則GM_L/固，

BB、4用=4，QM1平面AAtB、B,

4。u平面44A8,因此，C.M1B.D.

(2)8cl=2,C,E=1,S,C,±C,￡,所以，B、E=飛B?；+Cg?=卮

同理可得B、D=J4B；+AQ2=2^3,

取4。的中點F,連接EF,則4尸=。也=1,

因為4尸〃GE且4G，GE,故四邊形4GEF為矩形，則EF=4G=2,

所以，DE=NDF+EF?=亞,

小

F

D

A

由余弦定理可得cosNB\ED=貼：黑q河=_1則

24七'L)iLJ

_____________217

sinNB、ED=a-cos2NBgD=-y-,

所以，B、DE的邊DE上的高h=DEsinNRED=?x半■金粵,

CG，平面/8C,/。匚平面/867,則NCLCG，

QAC1BC,8CcCG=C,.:/C/平面88CC,

因為4V/CC-平面88CC，CC|U平面85clc,故44"平面88CC，

DeAAt,故點D到平面BB?C的距離d=AC=2,

設二面角為。，則sine=a=2x===我.

h2V306

20.已知拋物線C:/=2px(p>0),點”(1,為)到拋物線C的焦點的距離為2.

(1)求拋物線。的方程；

（2）直線/：y=x+機與拋物線交于P,。兩個不同的點，若。尸，。。，求實數(shù)，〃的值.

【正確答案】⑴V=4x

（2）-4

【分析】（1）運用拋物線定義即可；

（2）聯(lián)立方程解到韋達定理，再將。尸，。。轉(zhuǎn)化為向量垂直，根據(jù)數(shù)量積為。列方程，化

簡，求值即可.

【詳解】（1）已知拋物線>=2px（p>0）過點4（1）。）,且㈤=2,

則1+八2,

2

??P=2,

故拋物線的方程為/=4、.

（2）設P（X|，M）,Q（X2，%）.

,、[y=x^-m

聯(lián)立24，

=4x

消去歹整理得爐+（2加一4）%+/=0,

/.A=（2m-4）2-4m2>0,

則加<1,

2

則須+W=4-2W,X1%2=m.

由0尸，。0得

OPOQ=x[x2+yly2

=XjX2+（X[+m）（工2+"2）

=2石馬+〃?（$+工2）+加2

=2m2+/?（4—2加）+加*=0,

?二加=-4或陽=0.

當〃?=0時，直線/與拋物線的交點中有一點與原點。重合，不符合題意，

綜上，實數(shù)加的值為-4.

21.已知正項數(shù)列｛4｝的前〃項和為S“，若后是4和4的等差中項.

(1)求數(shù)列｛?！埃耐椆?；

(2)若勾喙,求｛4｝的前〃項和北.

【正確答案】⑴>=2"-1；

⑵。=3-(2"+3)?.

【分析】(1)根據(jù)?！昂蚐,關(guān)系可求的通項公式；

(2)根據(jù)｛4｝通項公式可知，其前〃項和采用錯位相減法求解.

【詳解】(1):?瘋，，當力=1,4=1

...s“=(“22),

因此當“22時：

~Cc(a?+1)-+1)2-?,ti+2a?-2a?-i

&=S,-Si=---------------=--------4--------'

，(6+%)(0”-%-2)=0,

n>2時-2=0,即a“一a”」=2

二數(shù)列｛a,,｝是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，

an=1+2(〃-1)=2〃-1；

八、，a?1n-\,、1

(2)*B=^=-=(2?-1)--,

7；=lxl+3xl-+5xl.+(2n-l)xl-……①

17L=1X^+3X^+5XX+(2"-l)x擊……②

①一②得：1^=y+2x^-+2x^r+2x/-(2"-l)x擊

X(i——L)

=2+-----1----(2〃T)xk=3+1一擊-(2"-1”白

1--

2

.<=3-(2"+3玲.

22

22.已知橢圓C：「+馬=1