2024年上海市松江區(qū)高二數(shù)學(xué)3月份考試卷附答案解析

年上海市松江區(qū)高二數(shù)學(xué)3月份考試卷（試卷滿分150分．考試時(shí)間120分鐘）2024年3月一、填空題（1-6每題4分，7-12每題5分，滿分54分）1．小陳擲兩次骰子都出現(xiàn)6的概率為.2．為了解某校高三年級(jí)男生的體重，從該校高三年級(jí)男生中抽取17名，測(cè)得他們的體重?cái)?shù)據(jù)如下（按從小到大的顧序排列，單位：）56

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83據(jù)此估計(jì)該校高三年級(jí)男生體重的第75百分位數(shù)為3．某醫(yī)院對(duì)某學(xué)校高三年級(jí)的600名學(xué)生進(jìn)行身體健康調(diào)查，采用男女分層抽樣法抽取一個(gè)容量為50的樣本，已知男生比女生少抽了10人，則該年級(jí)的女生人數(shù)是.4．某位同學(xué)參加物理、化學(xué)、政治科目的等級(jí)考，依據(jù)以往成績(jī)估算該同學(xué)在物理、化學(xué)、政治科目等級(jí)中達(dá)的概率分別為、、，假設(shè)各門科目考試的結(jié)果互不影響，則該同學(xué)等級(jí)考至多有1門學(xué)科沒有獲得的概率為.5．盒子中有大小與質(zhì)地相同的8只紅球和2只黑球，每次從中任取一個(gè)球，不放回地連續(xù)取兩次，則事件“取出的兩只球一只是紅球，一只是黑球”的概率是.6．電視臺(tái)在電視劇開播前連續(xù)播放6個(gè)不同的廣告，其中4個(gè)商業(yè)廣告，2個(gè)公益廣告，現(xiàn)要求2個(gè)公益廣告不能連續(xù)播放，則不同的播放方式共有種．（用排列數(shù)回答）7．10張獎(jiǎng)券中只有三張有獎(jiǎng)，現(xiàn)五人購(gòu)買，每人只買一張，則至多有一人中獎(jiǎng)的概率為.8．2023年8月至10月貴州榕江舉辦了“超級(jí)星期六”全國(guó)美食足球友誼賽.已知第一賽季的第一個(gè)周六（8月26日）共報(bào)名了貴州貴陽(yáng)烤肉隊(duì)等3支省內(nèi)和遼寧東港草莓隊(duì)等3支省外美食足球代表隊(duì).根據(jù)賽程安排，在8月26日舉行三場(chǎng)比賽，每支球隊(duì)都要參賽，且省內(nèi)代表隊(duì)不能安排在同一場(chǎng)，則比賽的安排方式有種.（用數(shù)字作答）9．從本市某高中全體高二學(xué)生中抽取部分學(xué)生參加體能測(cè)試，按照測(cè)試成績(jī)繪制莖葉圖，并以，，，，為分組作出頻率分布直方圖，后來(lái)莖葉圖受到了污損，可見部分信息如圖，則a的值為.10．用黑白兩種顏色（都要使用）給正方體的6個(gè)面涂色，每個(gè)面只涂一種顏色。如果一種涂色方案可以通過(guò)重新擺放正方體，變?yōu)榱硪环N涂色方案，則這兩種方案認(rèn)為是相同的。（例如：a.前面涂黑色，另外五個(gè)面涂白色;b.上面涂黑色，另外五個(gè)面涂白色是同一種方案）則涂色方案一共有種。11．某電池廠有A、B兩條生產(chǎn)線，現(xiàn)從A生產(chǎn)線中取出產(chǎn)品8件，測(cè)得它們的可充電次數(shù)的平均值為210，方差為4；從B生產(chǎn)線中取出產(chǎn)品12件，測(cè)得它們的可充電次數(shù)的平均值為200，方差為4.則20件產(chǎn)品組成的總樣本的方差為.12．已知六個(gè)字母以隨機(jī)順序排成一行，若小明每次操作可以互換2個(gè)字母的位置，則小明必須進(jìn)行5次操作才能將六個(gè)字母排成的順序的排列情況有種．二、選擇題（13-14每題4分，15-16每題5分，滿分18分）13．歌唱比賽共有11位評(píng)委分別給出某選手的原始評(píng)分，評(píng)定該選手的成績(jī)時(shí)，從11個(gè)原始評(píng)分中去掉1個(gè)最高分、1個(gè)最低分，得到9個(gè)有效評(píng)分.9個(gè)有效評(píng)分與11個(gè)原始評(píng)分相比，一定不變的數(shù)字特征是（

）A．平均數(shù) B．極差 C．方差 D．中位數(shù)14．在10件產(chǎn)品中有3件次品，從中選3件．下列各種情況是互斥事件的有（

）①A：“所取3件中至多2件次品”，B：“所取3件中至少2件為次品”；②A：“所取3件中有一件為次品”，B：“所取3件中有二件為次品”；③A：“所取3件中全是正品”，B：“所取3件中至少有一件為次品”；④A：“所取3件中至多有2件次品”，B：“所取3件中至少有一件是正品”；A．①③ B．②③ C．②④ D．③④15．將編號(hào)為的小球放入編號(hào)為的小盒中，每個(gè)小盒放一個(gè)小球.則恰有一個(gè)小球與所在盒子編號(hào)相同的概率為（

）A． B． C． D．16．兩個(gè)黑幫幫主甲和乙決定以如下方式?jīng)Q斗：甲帶了一名手下A，而乙?guī)Я藘擅窒潞停?guī)定任意一名手下向敵方成員開槍時(shí)，會(huì)隨機(jī)命中敵方的一個(gè)尚未倒下的人，且命中每個(gè)人的概率相等，并且，三名手下被命中一次之后就會(huì)倒下，而甲被命中三次后倒下，乙被命中兩次后倒下，只要甲或者乙任意一人倒下，決斗立刻結(jié)束，未倒下的一人勝出.決斗開始時(shí)，A先向敵方成員開槍，之后若B未倒下，則B向敵方成員開槍，之后按C，A，B，C，A，B，……的順序依次進(jìn)行，則甲最終獲勝的概率是（

）A． B． C． D．三、解答題（滿分78分）17．三棱柱中，，線段的中點(diǎn)為，且．

(1)求證：平面；(2)求平面與平面所成銳二面角的余弦值．18．甲乙兩人進(jìn)行投籃比賽，兩人各投一次為一輪比賽，約定如下規(guī)則：如果在一輪比賽中一人投進(jìn)，另一人沒投進(jìn)，則投進(jìn)者得分，沒進(jìn)者得分，如果一輪比賽中兩人都投進(jìn)或都沒投進(jìn)，則都得0分，當(dāng)兩人各自累計(jì)總分相差4分時(shí)比賽結(jié)束，得分高者獲勝．在每次投球中甲投進(jìn)的概率為0.5，乙投進(jìn)的概率為0.6，每次投球都是相互獨(dú)立的．在每一輪比賽中，記甲得1分的概率為，乙得1分的概率為，兩人都得0分的概率為.(1)求的值；(2)若兩人起始分都為0分，求恰好經(jīng)過(guò)4輪比賽，甲獲勝的概率．19．COP15大會(huì)原定于2020年10月15－28日在昆明舉辦，受新冠肺炎疫情影響，延遲到今年10月11－24日在云南昆明舉辦，同期舉行《生物安全議定書》?《遺傳資源議定書》締約方會(huì)議．為助力COP15的順利舉行，來(lái)自全省各單位各部門的青年志愿者們發(fā)揚(yáng)無(wú)私奉獻(xiàn)精神，用心用情服務(wù)，展示青春風(fēng)采．會(huì)議結(jié)束后隨機(jī)抽取了50名志愿者，統(tǒng)計(jì)了會(huì)議期間每個(gè)人14天的志愿服務(wù)總時(shí)長(zhǎng)，得到如圖的頻率分布直方圖：

(1)求的值，估計(jì)抽取的志愿者服務(wù)時(shí)長(zhǎng)的中位數(shù)和平均數(shù).(2)用分層抽樣的方法從這兩組樣本中隨機(jī)抽取6名志愿者，記錄每個(gè)人的服務(wù)總時(shí)長(zhǎng)得到如圖所示的莖葉圖：①已知這6名志愿者服務(wù)時(shí)長(zhǎng)的平均數(shù)為67，求的值；②若從這6名志愿者中隨機(jī)抽取2人，求所抽取的2人恰好都是這組的概率．20．某初級(jí)中學(xué)共有學(xué)生2000名，各年級(jí)男、女生人數(shù)如表：初一年級(jí)初二年級(jí)初三年級(jí)女生373xy男生377370z已知在全校學(xué)生中隨機(jī)抽取1名，抽到初二年級(jí)女生的頻率是0.19.(1)求x的值；(2)現(xiàn)用分層隨機(jī)抽樣的方法在全校抽取48名學(xué)生，問(wèn)應(yīng)在初三年級(jí)抽取多少名？(3)在（2）中，若所抽取的初一年級(jí)、初二年級(jí)、初三年級(jí)三個(gè)年級(jí)學(xué)生的體重的平均數(shù)分別是，，，方差分別是1，2，3，估計(jì)該校所有學(xué)生體重的平均數(shù)和方差.21．如圖，曲線由兩個(gè)橢圓：和橢圓：組成，當(dāng)橢圓，的離心率相等時(shí)，稱曲線為“貓眼曲線”

(1)求橢圓的方程；(2)任作斜率為且不過(guò)原點(diǎn)的直線與該曲線相交，交橢圓所得弦AB的中點(diǎn)為M，交橢圓所得弦CD的中點(diǎn)為N，直線OM、直線ON的斜率分別為、，試問(wèn)：是否為與k無(wú)關(guān)的定值？若是，請(qǐng)求出定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)若斜率為的直線l為橢圓的切線，且交橢圓于點(diǎn)A，B，N為橢圓上的任意一點(diǎn)（點(diǎn)N與點(diǎn)A，B不重合），求面積的最大值．1．【分析】利用古典概型的概率公式直接求解.【詳解】擲兩次骰子共有36個(gè)基本事件，所以擲兩次骰子都出現(xiàn)6的概率為.故答案為：2．【分析】根據(jù)百分位數(shù)的求法求得正確答案.【詳解】，數(shù)據(jù)從小到大第個(gè)數(shù)是，所以第75百分位數(shù)為故答案為：3．360【分析】先求分層抽樣比例，然后設(shè)元，根據(jù)題意列方程求解.【詳解】抽取比例為，設(shè)該年級(jí)的女生人數(shù)是，則男生人數(shù)為，因?yàn)槟猩扰俪榱?0人，所以，解得，故答案為：360.4．【分析】考慮3門和2門兩種情況，計(jì)算概率即可得到答案.【詳解】該同學(xué)等級(jí)考至多有1門學(xué)科沒有獲得的概率，故答案為：5．【分析】先求出基本事件的總數(shù)和所求事件的個(gè)數(shù)，再根據(jù)古典概型即可得解.【詳解】由題意，所求事件的概率為.故答案為：.6．【分析】不相連排列利用插空法即可求解．【詳解】先把4個(gè)商業(yè)廣告排好順序，共有種方法，再把2個(gè)公益廣告插入5個(gè)空（包括兩頭）中，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有種方法．故答案為：7．##【分析】分別求出基本事件的總數(shù)和所求事件的個(gè)數(shù)，再根據(jù)古典概型即可得解.【詳解】由題意，至多有一人中獎(jiǎng)的概率為.故答案為：.8．【分析】根據(jù)題意，可分為2步，先將3支省內(nèi)代表隊(duì)安排在三場(chǎng)比賽，再將3支外省的代表隊(duì)安排在三場(chǎng)比賽，結(jié)合分步計(jì)數(shù)原理，即可求解.【詳解】根據(jù)題意，可分為2步進(jìn)行分析：①先將3支省內(nèi)代表隊(duì)安排在三場(chǎng)比賽，每場(chǎng)一支代表隊(duì)，有種安排方法；②再將3支外省的代表隊(duì)安排在三場(chǎng)比賽，每場(chǎng)一支代表隊(duì)，有種安排方法，則有種不同的安排方式.故答案為：.9．【分析】根據(jù)頻率分布圖可得組內(nèi)有2個(gè)數(shù)據(jù).結(jié)合莖葉圖和頻率分布直方圖可知樣本容量，即可得出組內(nèi)的數(shù)據(jù)有4個(gè)，進(jìn)而求出a的值.【詳解】由頻率分布直方圖可得，組內(nèi)數(shù)據(jù)的頻率等于組內(nèi)數(shù)據(jù)的頻率，所以組內(nèi)有2個(gè)數(shù)據(jù).設(shè)樣本容量為，則，所以.所以組內(nèi)的數(shù)據(jù)有，所以組內(nèi)數(shù)據(jù)的頻率等于，所以.故答案為：.10．8【分析】根據(jù)題意，采用分步加法計(jì)數(shù)原理求出符合條件的即可.【詳解】?jī)煞N顏色類型的，有種；類型的，有種（兩個(gè)面相鄰、相對(duì)）類型的，有2種（三個(gè)面有公共頂點(diǎn)或者沒有公共頂點(diǎn)）因此共有8種.故答案為：8.11．28【分析】根據(jù)題意結(jié)合平均數(shù)、方差的公式運(yùn)算求解.【詳解】設(shè)A生產(chǎn)線中取出產(chǎn)品8件的可充電次數(shù)為，可得：，則，B生產(chǎn)線中取出產(chǎn)品12件的可充電次數(shù)為，可得：，則，故20件產(chǎn)品組成的總樣本的平均數(shù)，其方差.故答案為：28.12．120【分析】利用條件，先假設(shè)有一個(gè)字母已排在正確位置上，經(jīng)過(guò)分析判斷得出不符合題意，從而得出每個(gè)字母均不在正確的位置上，再利用分步計(jì)數(shù)原理即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)樾∶鞅仨毥?jīng)過(guò)5次操作才能將六個(gè)字母排成ABCDEF的順序，這里研究排序混亂到什么程度才需要“必須經(jīng)過(guò)5次操作”排成ABCDEF的順序，這里不妨記A，B，C，D，E，F(xiàn)六個(gè)字母對(duì)應(yīng)的位次分別為1，2，3，4，5，6，首先，考慮一種情況：假設(shè)字母“A”已經(jīng)排在自己的位置，即排在1號(hào)位，其他字母均不在自己位置，易知把其他五個(gè)字母調(diào)換到自己的位置至少需要經(jīng)過(guò)4次操作，即第一次讓“B”歸位，第二次讓“C”歸位，第三次讓“D”歸位，第四次將“E”與“F”同時(shí)歸位，這樣僅需進(jìn)行4次操作，不滿足題意；所以，要滿足“必須進(jìn)行5次操作”的情況，則每個(gè)字母均不在自己位置的情況，這樣1號(hào)位有5種選擇，放在1號(hào)位的那個(gè)字母對(duì)應(yīng)的位次就有4種選擇，以此類推，總的排序方法有種.故答案為：120.【點(diǎn)睛】解決本題的關(guān)鍵在于，先通過(guò)假設(shè)字母“A”已經(jīng)排在自己的位置，即排在1號(hào)位，再分析出不符合條件，從而得到怎樣的排序才符合條件，將問(wèn)題轉(zhuǎn)成利用分步計(jì)數(shù)原理來(lái)解決.13．D【分析】由極差、中位數(shù)、平均數(shù)和方差的概念和計(jì)算公式，即可得出答案.【詳解】設(shè)11位評(píng)委評(píng)分按從小到大排列為．則①原始中位數(shù)為，去掉最低分，最高分，后剩余，中位數(shù)仍為，D正確．②原始平均數(shù)，后來(lái)平均數(shù)，平均數(shù)受極端值影響較大，與不一定相同，A不正確；③，由②易知，C不正確．④原極差，后來(lái)極差，可能相等可能變小，B不正確．故選：D.14．B【分析】根據(jù)互斥事件的定義即可得到結(jié)果.【詳解】在10件產(chǎn)品中有3件次品，從中選3件，∵所取3件中至多2件次品與所取3件中至少2件為次品，兩個(gè)事件中都包含2件次品，∴①中的兩個(gè)事件不是互斥事件．∵所取3件中有一件為次品與所取3件中有二件為次品是互斥事件，∴②中的兩個(gè)事件是互斥事件．∵所取3件中全是正品與所取3件中至少有一件為次品是不能同時(shí)發(fā)生的，∴③中的兩個(gè)事件是互斥事件，∵所取3件中至多有2件次品與所取3件中至少有一件是正品都包含2件次品一件正品，以及1件次品兩件正品，以及三件正品，所以④不是互斥事件，故選：B．15．A【分析】求出任意放球共有種方法，再求出恰有一個(gè)小球與所在盒子編號(hào)相同的方法總數(shù)，最后利用古典概型的概率公式求解.【詳解】解：由題得任意放球共有種方法，如果有一個(gè)小球與所在的盒子的編號(hào)相同，第一步：先從5個(gè)小球里選一個(gè)編號(hào)與所在的盒子相同，有種選法；第二步：不妨設(shè)選的是1號(hào)球，則再對(duì)后面的2,3,4,5進(jìn)行排列，且四個(gè)小球的編號(hào)與盒子的編號(hào)一個(gè)都不相同，假設(shè)2號(hào)盒子里放3號(hào)球，則有三種，所以后面的小球的排列共有種方法.所以剩下的四個(gè)球共有種方法.由古典概型的概率公式得恰有一個(gè)小球與所在盒子編號(hào)相同的概率為故選：A16．A【分析】分析按被擊中順序來(lái)表示的甲獲勝的事件，分別求出概率，利用互斥事件概率加法公式求和得解.【詳解】對(duì)于甲來(lái)說(shuō)，一旦唯一一名手下A被擊斃，則甲方必?cái)?，同理，若乙方B、C兩名手下被擊斃，則乙方必?cái)?題目定義開槍順序是三名手下輪流開槍，甲與乙不參與開槍)，按照被擊中的順序表示事件，易知甲獲勝的方式有如下幾種：乙甲甲乙，B甲C，C甲B，B甲乙甲，C甲乙甲，事件概率分別記為，則，，，，，所以甲最終獲勝的概率是,故選：A17．(1)證明見解析(2)【分析】（1）由線面垂直判定定理證明即可；（2）建立空間直角坐標(biāo)系利用法向量方法求解面面角.【詳解】（1）三棱柱中，，在中，，線段的中點(diǎn)為，所以，所以；又已知平面，平面，所以平面；（2）

由（1）可知平面，平面，所以，在平面內(nèi)作交于點(diǎn)，則，則兩兩互相垂直，以為原點(diǎn)，以所在的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，所以．所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，解得，令，則，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，令，則，所以，則．所以平面與平面所成銳二面角的余弦值為.18．(1)，，；(2).【分析】（1）應(yīng)用獨(dú)立事件乘法公式、概率性質(zhì)求對(duì)應(yīng)概率即可；（2）列舉出恰好經(jīng)過(guò)4輪比賽甲獲勝的情況，應(yīng)用獨(dú)立事件乘法公式、互斥事件加法公式求概率.【詳解】（1）由題設(shè)，甲得1分的概率，乙得1分的概率，兩人都得0分的概率.（2）由題意，要使恰好經(jīng)過(guò)4輪比賽甲獲勝，有如下情況，①2輪甲進(jìn)乙沒進(jìn)，2輪甲乙都得0分，且前3輪有1輪甲進(jìn)乙沒進(jìn)；此時(shí)概率為，②3輪甲進(jìn)乙沒進(jìn)，1輪乙進(jìn)甲沒進(jìn)，且前2輪有1輪乙進(jìn)甲沒進(jìn)；此時(shí)概率為，所以，所求概率為.19．(1)，中位數(shù)為65，平均數(shù)63.6(2)①；②【分析】（1）根據(jù)頻率和為1計(jì)算得到，確定前三組頻率之和，再計(jì)算中位數(shù)和平均數(shù)即可.（2）根據(jù)平均數(shù)的公式計(jì)算得到，根據(jù)分層抽樣的比例關(guān)系得到人數(shù)，列舉出所有事件，統(tǒng)計(jì)滿足條件的事件，得到概率.【詳解】（1），解得，前三組頻率之和，設(shè)中位數(shù)為，則，解得，所以中位數(shù)為65；平均數(shù)為：.（2）①，解得，②兩組頻率比為，故組中所抽取2人編號(hào)為，組中所抽取4人標(biāo)號(hào)為，則基本事件如下：，共15個(gè)．所抽取2人都在的基本事件有6個(gè)，所以概率．20．(1)(2)12(3)平均數(shù)48.75千克，方差62.8125【分析】（1）利用“全校學(xué)生中隨機(jī)抽取1名,抽到的是初二年級(jí)女生的概率”列方程，解方程求得的值.（2）利用分層抽樣的抽樣比，計(jì)算出在初三年級(jí)學(xué)生中抽取的人數(shù).（3）利用平均數(shù)公式和方差公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化可得答案【詳解】（1）依題意，所以（2）由初一、初二學(xué)生人數(shù)為，所以初三學(xué)生人數(shù)為人，故用分層抽樣法在全校抽取名學(xué)生,問(wèn)應(yīng)在初三年級(jí)學(xué)生中抽取名.（3）初一年級(jí)