山東省青島市九校聯(lián)盟2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題(學(xué)生版+解析)

2022～2023學(xué)年度第二學(xué)期高二期中考試數(shù)學(xué)試卷2023.4考生注意：1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿(mǎn)分150分，考試時(shí)間120分鐘.2.考生作答時(shí)，請(qǐng)將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題請(qǐng)用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效，在試題卷、草稿紙上作答無(wú)效.3.本卷命題范圍：人教A版選擇性必修第一冊(cè)，選擇性必修第二冊(cè)，選擇性必修第三冊(cè)第七章第一節(jié)結(jié)束.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.空間直角坐標(biāo)系中，已知，則點(diǎn)A關(guān)于yOz平面的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)為()A. B. C. D.2.若4名教師報(bào)名參加鄉(xiāng)村志愿支教活動(dòng)，可以從A，B，C這3個(gè)學(xué)校中選報(bào)1個(gè)，則不同的報(bào)名方式有()A.16種 B.24種 C.64種 D.81種3.質(zhì)點(diǎn)M按規(guī)律做直線運(yùn)動(dòng)(位移單位：m，時(shí)間單位：s)，則質(zhì)點(diǎn)M在時(shí)的瞬時(shí)速度為()A.16m/s B.36m/s C.64m/s D.81m/s4.拋物線上一點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，則點(diǎn)與拋物線焦點(diǎn)的距離為()A.2 B. C.3 D.45.圓上的點(diǎn)到直線的最大距離是()A. B. C. D.6.從8名女護(hù)士和4名男醫(yī)生中，抽取3名參加支援鄉(xiāng)鎮(zhèn)救護(hù)工作，如果按性別比例分層抽樣，則不同的抽取方法數(shù)為()A.112 B.32 C.56 D.127.已知，，，則，，的大小關(guān)系為()A. B. C. D.8.若函數(shù)存在增區(qū)間，則實(shí)數(shù)的取值范圍為A B.C. D.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合要求，全部選對(duì)的得5分，選對(duì)但不全的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知雙曲線的方程為：，則下列說(shuō)法正確的是()A.焦點(diǎn)為 B.漸近線方程為C.離心率e為 D.焦點(diǎn)到漸近線的距離為10.已知，則()A. B.C. D.11.我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書(shū)中展示了二項(xiàng)式系數(shù)表，數(shù)學(xué)愛(ài)好者對(duì)楊輝三角做了廣泛的研究.則下列結(jié)論正確的是()A.B.第2023行的第1012個(gè)和第1013個(gè)數(shù)最大C.第6行、第7行、第8行的第7個(gè)數(shù)之和為第9行的第7個(gè)數(shù)D.第34行中從左到右第14個(gè)數(shù)與第15個(gè)數(shù)之比為2：312.已知函數(shù)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()A.函數(shù)存在兩個(gè)不同的零點(diǎn)B.函數(shù)只有極大值沒(méi)有極小值C.當(dāng)時(shí)，方程有且只有兩個(gè)實(shí)根D.若時(shí)，，則t的最小值為2三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.若，則曲線在處切線方程為_(kāi)________.14.正項(xiàng)等比數(shù)列中，，是方程的兩個(gè)根，則_________.15.盒中有個(gè)紅球，個(gè)黑球，今隨機(jī)地從中取出一個(gè)，觀察其顏色后放回，并加上同色球個(gè)，再?gòu)暮兄谐槿∫磺?，則第二次抽出的是黑球的概率是_________．16.已知函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)記為，則__________.四、解答題：本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程及演算步驟.17.設(shè)數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，已知，(1)求數(shù)列通項(xiàng)公式；(2)若，且的前n項(xiàng)和為，求.18設(shè)函數(shù)．(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)時(shí)，求的取值范圍．19.2022年4月16日3名宇航員太空歷經(jīng)大約半年時(shí)間安全返回地球，返回之后3名宇航員與2名航天科學(xué)家從左到右排成一排合影留念.求：(1)2名航天科學(xué)家站在左、右兩端總共有多少種排法；(2)3名宇航員互不相鄰的概率；(3)2名航天科學(xué)家之間至少有2名宇航員的概率.20.設(shè)橢圓：的離心率為，且短軸長(zhǎng)為.(1)求橢圓C的方程；(2)若在y軸上的截距為2的直線與橢圓C分別交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且直線OA，OB的斜率之和等于12，求直線AB的方程21.如圖，在四棱錐中，側(cè)面底面ABCD，側(cè)棱，底面ABCD為直角梯形，其中，，，．(1)求證：平面ACF；(2)在線段PB上是否存在一點(diǎn)H，使得CH與平面ACF所成角的正弦值為？若存在，求出線段PH的長(zhǎng)度；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．22.已知函數(shù).(1)判斷在上的單調(diào)性；(2)若，求證：.

2022～2023學(xué)年度第二學(xué)期高二期中考試數(shù)學(xué)試卷2023.4考生注意：1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿(mǎn)分150分，考試時(shí)間120分鐘.2.考生作答時(shí)，請(qǐng)將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題請(qǐng)用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效，在試題卷、草稿紙上作答無(wú)效.3.本卷命題范圍：人教A版選擇性必修第一冊(cè)，選擇性必修第二冊(cè)，選擇性必修第三冊(cè)第七章第一節(jié)結(jié)束.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.空間直角坐標(biāo)系中，已知，則點(diǎn)A關(guān)于yOz平面的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)為()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)空間直角坐標(biāo)系中點(diǎn)關(guān)于yOz平面的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的特征可得答案.【詳解】根據(jù)空間直角坐標(biāo)系的對(duì)稱(chēng)性可得關(guān)于yOz平面的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，故選：C.2.若4名教師報(bào)名參加鄉(xiāng)村志愿支教活動(dòng)，可以從A，B，C這3個(gè)學(xué)校中選報(bào)1個(gè)，則不同的報(bào)名方式有()A.16種 B.24種 C.64種 D.81種【答案】D【解析】【分析】每位教師報(bào)名都有3種選擇，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案.【詳解】每位教師報(bào)名都有3種選擇，則4名教師報(bào)名方式有(種).故選：D.3.質(zhì)點(diǎn)M按規(guī)律做直線運(yùn)動(dòng)(位移單位：m，時(shí)間單位：s)，則質(zhì)點(diǎn)M在時(shí)的瞬時(shí)速度為()A.16m/s B.36m/s C.64m/s D.81m/s【答案】B【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的物理意義，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，即可得到結(jié)論.【詳解】由，得，∴質(zhì)點(diǎn)M在時(shí)的瞬時(shí)速度為36m/s.故選：B.4.拋物線上一點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，則點(diǎn)與拋物線焦點(diǎn)的距離為()A.2 B. C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合拋物線的定義，即可求解.【詳解】由拋物線的準(zhǔn)線方程為，焦點(diǎn)，因?yàn)閽佄锞€上一點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，根據(jù)拋物線的定義，可得點(diǎn)與拋物線焦點(diǎn)的距離為.故選：B.5.圓上的點(diǎn)到直線的最大距離是()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】將圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得圓心及半徑，圓上點(diǎn)到直線的最大距離為圓心到直線的距離加半徑.【詳解】圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程得，圓心坐標(biāo)為，半徑為，圓心到直線的距離為所以圓上的點(diǎn)到直線的最大距離為.故選:C.6.從8名女護(hù)士和4名男醫(yī)生中，抽取3名參加支援鄉(xiāng)鎮(zhèn)救護(hù)工作，如果按性別比例分層抽樣，則不同的抽取方法數(shù)為()A.112 B.32 C.56 D.12【答案】A【解析】【分析】利用分層抽樣的定義和方法確定抽到的女護(hù)士與男醫(yī)生的人數(shù)，結(jié)合組合數(shù)公式求出結(jié)果.【詳解】∵從8名女護(hù)士，4名男醫(yī)生中選出3名，∴每個(gè)個(gè)體被抽到的概率是，根據(jù)分層抽樣要求，應(yīng)選出名女護(hù)士，名男醫(yī)生，∴不同的抽取方法數(shù)為種.故選：A.7.已知，，，則，，的大小關(guān)系為()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依題意可得，，，令，利用導(dǎo)數(shù)說(shuō)明函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性比較大小.【詳解】依題意可得，，，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，又，所以，即，即.故選：D.8.若函數(shù)存在增區(qū)間，則實(shí)數(shù)的取值范圍為A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】先假設(shè)函數(shù)不存在增區(qū)間，則單調(diào)遞減，利用的導(dǎo)數(shù)恒小于零列不等式，將不等式分離常數(shù)后，利用配方法求得常數(shù)的取值范圍，再取這個(gè)取值范圍的補(bǔ)集，求得題目所求實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】若函數(shù)不存在增區(qū)間，則函數(shù)單調(diào)遞減，此時(shí)在區(qū)間恒成立，可得，則，可得，故函數(shù)存在增區(qū)間時(shí)實(shí)數(shù)的取值范圍為．故選C.【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查不等式恒成立問(wèn)題的求解策略，屬于中檔題.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合要求，全部選對(duì)的得5分，選對(duì)但不全的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知雙曲線的方程為：，則下列說(shuō)法正確的是()A.焦點(diǎn)為 B.漸近線方程為C.離心率e為 D.焦點(diǎn)到漸近線的距離為【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)方程求出，再由雙曲線的性質(zhì)以及點(diǎn)到直線的距離公式得出答案.【詳解】由方程可知?jiǎng)t焦點(diǎn)為，漸近線方程為，即離心率為，焦點(diǎn)到漸近線的距離為故選：BC10.已知，則()A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)二項(xiàng)展開(kāi)式系數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合賦值法，逐項(xiàng)計(jì)算，即可求解.【詳解】由，令，可得，所以A正確；含的項(xiàng)為，故，所以B錯(cuò)誤；令，可得，又因?yàn)?，故，所以C正確；令，可得，又由，故，所以D正確.故選：ACD.11.我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書(shū)中展示了二項(xiàng)式系數(shù)表，數(shù)學(xué)愛(ài)好者對(duì)楊輝三角做了廣泛的研究.則下列結(jié)論正確的是()A.B.第2023行的第1012個(gè)和第1013個(gè)數(shù)最大C.第6行、第7行、第8行的第7個(gè)數(shù)之和為第9行的第7個(gè)數(shù)D.第34行中從左到右第14個(gè)數(shù)與第15個(gè)數(shù)之比為2：3【答案】ABD【解析】【分析】A選項(xiàng)，利用組合數(shù)運(yùn)算公式計(jì)算；B選項(xiàng)，如果是奇數(shù)，則第和第個(gè)數(shù)字最大，且這兩個(gè)數(shù)字一樣大；C選項(xiàng)，第6，7，8，9行的第7個(gè)數(shù)字分別為：1，7，28，84，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，第34行第14個(gè)數(shù)字是，第34行第15個(gè)數(shù)字是，所以，故D正確.【詳解】A選項(xiàng)，，，故A正確；B選項(xiàng)，由圖可知：第行有個(gè)數(shù)字，如果是奇數(shù)，則第和第個(gè)數(shù)字最大，且這兩個(gè)數(shù)字一樣大；如果是偶數(shù)，則第個(gè)數(shù)字最大，故第2023行的第1012個(gè)和第1013個(gè)數(shù)最大，故B正確；C選項(xiàng)，第6行，第7行，第8行的第7個(gè)數(shù)字分別為：1，7，28，其和為36；第9行第7個(gè)數(shù)字是84，故C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，依題意：第34行第14個(gè)數(shù)字是，第34行第15個(gè)數(shù)字是，所以，故D正確.故選：ABD.12.已知函數(shù)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()A.函數(shù)存在兩個(gè)不同的零點(diǎn)B.函數(shù)只有極大值沒(méi)有極小值C.當(dāng)時(shí)，方程有且只有兩個(gè)實(shí)根D.若時(shí)，，則t的最小值為2【答案】BD【解析】【分析】由，得到，可判定A正確；求得，得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，可判定B錯(cuò)誤；根據(jù)函數(shù)的最小值是，可判定C正確；由函數(shù)的單調(diào)性和極值，可判定時(shí)，，可判定D錯(cuò)誤.【詳解】對(duì)于A中，由，可得，解得，所以A正確；對(duì)于B中，由，令時(shí)，可得，當(dāng)時(shí)，或，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是，所以是函數(shù)的極小值，是函數(shù)的極大值，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C中，當(dāng)時(shí)，，根據(jù)B可知，函數(shù)的最小值是，可得函數(shù)大致圖象，所以當(dāng)時(shí)，方程有且只有兩個(gè)實(shí)根，所以C正確；對(duì)于D中，由B知函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是，其中，當(dāng)時(shí)，即在區(qū)間時(shí)，可得，所以D錯(cuò)誤.故選：BD.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.若，則曲線在處的切線方程為_(kāi)________.【答案】【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義計(jì)算即可.【詳解】，則，又，所以曲線在處的切線方程為，即.故答案為：.14.正項(xiàng)等比數(shù)列中，，是方程的兩個(gè)根，則_________.【答案】##0.5【解析】【分析】利用韋達(dá)定理、等比數(shù)列的性質(zhì)，結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算求解.【詳解】，是方程的兩個(gè)根，由韋達(dá)定理可得，正項(xiàng)等比數(shù)列中，有，所以.故答案為：15.盒中有個(gè)紅球，個(gè)黑球，今隨機(jī)地從中取出一個(gè)，觀察其顏色后放回，并加上同色球個(gè)，再?gòu)暮兄谐槿∫磺?，則第二次抽出的是黑球的概率是_________．【答案】##【解析】【分析】根據(jù)，由全概率公式計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】記事件：第一次抽取的是黑球；事件：第二次抽取的是黑球；則；，；，，.故答案為：.16.已知函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)記為，則__________.【答案】2【解析】【分析】利用求導(dǎo)法則求出，即可知道，令，可證得為奇函數(shù)，利用奇偶性即可求解.【詳解】函數(shù)，則，顯然為偶函數(shù)，令，，，所以為奇函數(shù)，又為偶函數(shù)，所以，，所以.故答案為：2.四、解答題：本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程及演算步驟.17.設(shè)數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，已知，(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，且的前n項(xiàng)和為，求.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出公差，進(jìn)而求解；(2)結(jié)合(1)的結(jié)論得到，利用裂項(xiàng)相消法即可求解.小問(wèn)1詳解】因?yàn)閿?shù)列是公差為的等差數(shù)列，且，所以，則或.又，，∴.【小問(wèn)2詳解】由(1)可得，，∴18.設(shè)函數(shù)．(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)時(shí)，求的取值范圍．【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.(2)【解析】【分析】(1)求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)由(1)可得函數(shù)在上的單調(diào)性，即可求出函數(shù)的最小值，再求出區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值，即可求出函數(shù)的值域.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)槎x域?yàn)?，所以，因?yàn)椋?，所以?dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.【小問(wèn)2詳解】由(1)可得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以在處取得極小值即最小值，所以，又，，又，所以，所以.19.2022年4月16日3名宇航員在太空歷經(jīng)大約半年時(shí)間安全返回地球，返回之后3名宇航員與2名航天科學(xué)家從左到右排成一排合影留念.求：(1)2名航天科學(xué)家站在左、右兩端總共有多少種排法；(2)3名宇航員互不相鄰的概率；(3)2名航天科學(xué)家之間至少有2名宇航員的概率.【答案】(1)12(2)(3).【解析】【分析】(1)利用分步乘法計(jì)數(shù)原理以及排列數(shù)的計(jì)算求得排法數(shù).(2)利用插空法、排列數(shù)以及古典概型的知識(shí)求的所求概率.(3)根據(jù)名航天科學(xué)家之間的人數(shù)進(jìn)行分類(lèi)討論，利用古典概型的知識(shí)求得所求的概率.【小問(wèn)1詳解】第一步，先排2名航天科學(xué)家，第二步，再排3名宇航員，所以總共有(種).【小問(wèn)2詳解】先排2名航天科學(xué)家，然后再插入3名宇航員，所以總共有(種)，5人排成一排一共(種)，所以所求的概率為：.小問(wèn)3詳解】①當(dāng)2名航天科學(xué)家之間有3名宇航員時(shí)，；②當(dāng)2名航天科學(xué)家之間有2名宇航員時(shí)，，故.20.設(shè)橢圓：的離心率為，且短軸長(zhǎng)為.(1)求橢圓C的方程；(2)若在y軸上的截距為2的直線與橢圓C分別交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且直線OA，OB的斜率之和等于12，求直線AB的方程【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)由離心率的值可得，，可求出的值，由此得解；(2)由題意可知直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，利用斜率公式結(jié)合韋達(dá)定理可求得的值，從而得到直線的方程.【小問(wèn)1詳解】由題可得，由有，，解得，故所求橢圓方程為：.【小問(wèn)2詳解】由題意可知直線的