流水唱歌問題專項習題

流水唱歌問題專項習題題目一一個唱歌比賽中，有$10$個選手參賽，其中有$4$個選手會唱流水這首歌?，F(xiàn)從這$10$個選手中隨機選取$4$個，求這$4$個人中至少有$2$個人會唱流水這首歌的概率。解答：用條件概率公式求得至少有$2$人唱流水這首歌的概率為：$$P=\frac{\binom{4}{2}\binom{6}{2}+\binom{4}{3}\binom{6}{1}+\binom{4}{4}\binom{6}{0}}{\binom{10}{4}}=\frac{31}{210}$$其中，分母表示從$10$個選手中選取$4$個人的總方案數(shù)，分子分別表示選$2$,$3$,$4$個人唱流水這首歌的方案數(shù)，$4$個唱流水的選手之間相互獨立。題目二一個唱歌比賽中，有$10$個選手參賽，其中有$4$個選手會唱流水這首歌，在每個選手唱流水這首歌時，其它$9$個選手各自隨機選擇唱任意一首歌?，F(xiàn)某個選手被選中，且其唱的是流水這首歌，求這個選手是唱流水這首歌的概率。解答：由全概率公式可得，該選手唱流水這首歌的概率為：$$P=\frac{P(A_1)P(B_1|A_1)+P(A_2)P(B_1|A_2)+\cdots+P(A_{10})P(B_1|A_{10})}{P(B_1)}$$其中，$A_i$表示選手$i$是唱流水這首歌的選手，$B_1$表示這個選手唱的是流水這首歌的事件。根據(jù)題意，該選手唱流水這首歌的概率為$1/4$，且唱其他歌的選手之間相互獨立。所以，$$P(B_1)=\frac{1}{4}\times\frac{9}{10}^3\times\binom{9}{1}+\frac{3}{4}\times\frac{9}{10}^4\times\binom{9}{1}+\frac{3}{4}\times\frac{9}{10}^3\times\frac{2}{10}\times\binom{9}{1}\times\binom{3}{1}$$$$=\frac{51}{200}$$其中，第一項為它是流水的選手，其它選手隨機唱;$\binom{9}{1}$表示從9個其他選手隨機選擇一位唱歌；第二項為它不是流水的選手，其他選手中一位隨機唱流水；第三項為它不是流水的選手，其他選手中兩位隨機選擇一位唱流水。又因為，$$P(A_i)=\frac{1}{4},i=1,2,\cdots,4$$$$P(A_i)=\frac{3}{4},i=5,6,\cdots,10$$$$P(B_1|A_i)=\frac{1}{10},i=1,2,\cdots,4$$$$P(B_1|A_i)=\frac{1}{10}\times\frac{1}{9},i=5,6,\cdots,10$$代入公式，可得：$$P=\frac{\frac{1}{4}\times\frac{1}{10}+\frac{1}{4}\times\frac{1}{10}+\frac{1}{4}\times\frac{1}{10}+\frac{1}{4}\times\frac{1}{10}\frac{\binom{9}{1}}{\binom{10}{1}}}{\frac{51}{200}}=\frac{5}{17}$$因此，該選手是唱流水這首歌的概率為$5/17$。題目三一個唱歌比賽中，有$10$個選手參賽，其中有$4$個選手會唱流水這首歌，在每個選手唱流水這首歌時，其它$9$個選手各自隨機選擇唱任意一首歌?，F(xiàn)某個選手被選中，但不知道他唱的是哪首歌，求這個選手唱流水這首歌的概率。解答：由貝葉斯公式可得，該選手是唱流水這首歌的概率為：$$P(A_i|B)=\frac{P(B|A_i)P(A_i)}{\sum_{i=1}^{10}P(B|A_i)P(A_i)}$$其中，$A_i$表示選手$i$是唱流水這首歌的選手，$B$表示這個選手唱的是流水這首歌的事件。根據(jù)題意，該選手被選中，但是唱的是哪首歌不知道，即$$P(B)=\sum_{i=1}^{10}{P(A_i)P(B|A_i)}$$由題意得，$$P(B|A_i)=\frac{1}{4}\times\frac{1}{10}+\frac{1}{4}\times\frac{1}{10}+\frac{1}{4}\times\frac{1}{10}+\frac{1}{4}\times\frac{1}{10}\times\frac{\binom{9}{1}}{\binom{10}{1}}=\frac{7}{200},i=1,2,\cdots,4$$$$P(B|A_i)=\frac{1}{10}\times\frac{1}{9}=\frac{1}{90},i=5,6,\cdots,10$$$$P(A_i)=\frac{1}{4},i=1,2,\cdots,4$$$$P(A_i)=\frac{3}{4},i=5,6,\cdots,10$$代入公式，可得：$$P(A_i|B)=\frac{\frac{1}{4}\times\frac{7}{200}}{\frac{1}{4}\times\frac{7}{200}+\frac{1}{4}\times\frac{7}{200}+\frac{1}{4}\times\frac{7}{200}+\frac{1}{4}\times\frac{7}{200}\times\frac{\binom{9}{1}}{\binom{10}{1}}+\frac{3}{4}\times\frac{1}{90}+\frac{3}{4}\times\frac{1}{90}+\frac{3}{4}\times\frac{1}{90}+\frac{3}{4}\times\frac{1}{90}+\frac{3}{4}\times\frac{1}{90}+\frac{3}{4}\times\frac{1}{90}}$$$$=0.3108$$因此，該選手是唱流水這首歌的概率為$0.3108$。題目四一個唱歌比賽中，有$10$個選手參賽，其中有$4$個選手會唱流水這首歌，在每個選手唱流水這首歌時，其它$9$個選手各自隨機選擇唱任意一首歌?，F(xiàn)選$3$個選手作為隊員，請問至少有$1$個會唱流水這首歌的概率是多少？解答：可以通過求不是唱流水這首歌的概率來得到至少有$1$個會唱流水這首歌的概率。用條件概率公式，可得$$P=1-\frac{\binom{6}{3}}{\binom{10}{3}}=\frac{31}{70}$$其中，分子表示選$3$個人都不唱流水這首歌的方案數(shù)，分母表示從$10$個選手中選$3$個人的總方案數(shù)，$\binom{6}{3}$表示從$6$個非流水選手中選$3$個人的方案數(shù)。因此，至少有$1$個會唱流水這首歌的概率為$\frac{31}{70}$。題目五解答：通過題目三的內(nèi)容可以得到，未知選手唱歌的事件為$B$，選手$i$是唱流水這首歌的事件為$A_i$。則$$P(A_i|B)=\frac{P(B|A_i)P(A_i)}{\sum_{i=1}^{10}P(B|A_i)P(A_i)}$$從而得到在已知選手唱歌為流水的情況下，選手$i$是其中之一的概率。$$P(A_i|B,A)=\frac{P(A_i,B)}{\sum_{j=1}^{4}P(A_