2022-2023學(xué)年廣東省湛江市第學(xué)高一年級(jí)下冊(cè)冊(cè)期中數(shù)學(xué)模擬試題（含解析）

2022-2023學(xué)年廣東省湛江市第學(xué)高一下冊(cè)期中數(shù)學(xué)模擬試題

（含解析）

一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,

只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）

?若集合4={x∣x（x-2）<0},8={x∣x7≤0},則4l（δ*）=（）

A.{%|^>1或工<0}B.{x∣l<X<2}C.{x∣x>2}D.

{x∣X>1}

【正確答案】B

【分析】根據(jù)題意，將集合48分別化簡(jiǎn)，然后結(jié)合集合的交集以及補(bǔ)集運(yùn)算即可得到結(jié)

果.

【詳解】因?yàn)閆={x∣0<x<2},8={x∣x≤l},

則eRB={x∣x>l},所以/e（eR8）={x∣l<x<2}

故選：B

z

2.已知復(fù)數(shù)Z滿足-7=10i（i為虛數(shù)單位），則復(fù)平面內(nèi)Z的共輾復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（）

3+i

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象

限

【正確答案】C

【分析】求出復(fù)數(shù)Z的代數(shù)形式，進(jìn)而可得三，則可得其在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的位置.

Z

【詳解】V——=IOi,

3+i

.?.z=10i（3+i）=-10+30i,

.i=T0-30i,其在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為（TO,-30）,在第三象限.

故選：C.

3.圓臺(tái)上、下底面半徑分別是1、2,高為百，這個(gè)圓臺(tái)的體積是（）

?,延兀2√3

B.2√3πC.7屈D.------π

33

【正確答案】A

【分析】運(yùn)用圓臺(tái)體積公式直接計(jì)算.

【詳解】由圓臺(tái)體積公式知：

K=∣π∕z(A2+r2+Λr)=y×√3×(l2+22+l×2)=^π;

故選：A.

4.已知平面向量α=(Sina,1),5=(CoS仇一2),若。疝,則tand=()

11

A.----B.-2C.2D.T-

22

【正確答案】A

【分析】根據(jù)向量共線得—2Sine=Cos6,則tan。=一L

2

【詳解】；￡//3，.’.-25足。=(：05。，顯然CoSeHOtan6=,

2

故選：A.

5.正方體NBeD-44CA中，與對(duì)角線〃C成異面直線的棱有()

A.3條B.4條C.6條D.8條

【正確答案】C

【分析】由異面直線的定義即可得出答案.

【詳解】解：由圖可知與直線NC為異面直線的棱分別是、D'、4R、S1A1,S1C1,

G。共6條.

4P1

Bl

AL

故選：C

6.在平行四邊形NBCZ)中，BE=-BC,AF--AE.^^AB=n↑DF+∏AE>則加+”=

23

()

?354

A.τ?B.—C.—D,一

2463

【正確答案】D

【分析】利用平面向量的線性運(yùn)算求出〃?，〃即可.

【詳解】由題意可得方=N三+礪=N云+!方彳=7萬(wàn)+'（萬(wàn)戶+

22v

=ZE+^5F-?L?+?,

所以機(jī)=一，〃=一,

26

4

所以加+〃=一，

3

故選：D

7.如圖所示，在長(zhǎng)方體N8CD—44GQ中，4G與BQ相交于點(diǎn)。,瓦尸分別是4O,

Go的中點(diǎn)，則長(zhǎng)方體的各棱中與小平行的有（)

Dt

C1

C.5條D.6條

【正確答案】B

【分析】由E,尸分別是用。，C。的中點(diǎn)，故EFHBJ,結(jié)合正方體的結(jié)構(gòu)特征，即可

求解.

【詳解】由于E,F分別是用。，C。的中點(diǎn)，故EF//BG，

因?yàn)榕c棱4G平行的棱還有3條：AD，BC,42,所以共有4條.

故選：B.

8.在四面體/—6Co中，AB=CD=幣,AD=BC=屈,AC=BD=2幣，則四面體

4-3CZ）外接球表面積是（）

,256

A.64πB.32πC.256πD.-----π

3

【正確答案】B

【分析】利用割補(bǔ)法及勾股定理，結(jié)合長(zhǎng)方體的體對(duì)角線是外接球的直徑及球的表面積公式

即可求解.

【詳解】由題意可知，此四面體Z-BCZ）可以看成一個(gè)長(zhǎng)方體的一部分，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、

高分別為√J,Λ∕25.2.四面體/一8C。如圖所示，

所以此四面體N-6C0的外接球的直徑為長(zhǎng)方體的體對(duì)角線，即

(27?)2=(√3)2+(√25^)2+22,解得R=2√2.

所以四面體Z—BCD外接球表面積是5=4π∕?2=4×π×(2&『=32π.

故B.

二、多選題(本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有

多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.)

9.A4BC的內(nèi)角/,B,C的對(duì)邊分別為α,b,如且(2b-C)CoS4=αcosC,b=2λ∕J,

若邊BC的中線ZD=3,則下列結(jié)論正確的有()

,兀

A.A=-

3

C.ABAC=6D.Z?N8C的面積為36

【正確答案】ACD

【分析】根據(jù)正弦定理，結(jié)合平面向量加法的幾何意義、平面向量數(shù)量積的定義、三角形面

積公式進(jìn)行求解即可.

【詳解】根據(jù)正弦定理，由

=>2si∏5cosA=s?nAcosC+sinCcosA=sin（∕+C）=sin（π-B）=sinB1

因?yàn)?∈（0,兀），所以sin5≠0,因此2cos4=l=cos4=;,

因?yàn)楱Mw（0,兀），所以/=],因此選項(xiàng)A正確，選項(xiàng)B不正確；

因?yàn)?Z）是中線，所以由N萬(wàn)=；（荔+就）=4詬?=方=K?+2方?%

=>36=c2+12+2×2Λ∕3×-^C=>C=2Λ∕3,或0=-46舍去，

因此劉?就=2√Jx2jJχJ=6,所以選項(xiàng)C正確；

2

△/8C的面積為L(zhǎng)bCSin/=，X2√3X2√3×-=3√3.所以選項(xiàng)D正確，

222

故選：ACD

10.若復(fù)數(shù)Z為純虛數(shù)，則（）

A.z+z為實(shí)數(shù)B.z—z為實(shí)數(shù)

C?z2為實(shí)數(shù)D.彳?i為實(shí)數(shù)

【正確答案】ACD

【分析】根據(jù)題意，設(shè)z=wi（m∈R且加≠0）,得到1=_〃”，結(jié)合復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，逐

項(xiàng)判定，即可求解.

【詳解】因?yàn)閆為純虛數(shù)，設(shè)Z=疝（加eR且〃7W0）,則［=-而，

由z+N=O,所以A正確；

由z-z=2mi,所以B錯(cuò)誤；

由/=-m'為實(shí)數(shù)，所以C正確；

由=彳“=一加ixi=〃？為實(shí)數(shù)，所以D正確.

故選：ACD.

11.如圖是正方體的平面展開(kāi)圖.在這個(gè)正方體中，下列四個(gè)命題中，正確命題的選項(xiàng)是

A.8〃與Er）平行；

B.CN與BE是異面直線：

C.4月與平面BDM平行；

D.平面C4V與平面BEM平行.

【正確答案】CD

【分析】先將正方體的平面展開(kāi)圖復(fù)原為正方體，再結(jié)合圖形，對(duì)選項(xiàng)一一判斷即可.

【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A,由展開(kāi)圖得到正方體的直觀圖如圖，BM與ED異面,故A錯(cuò)誤;

對(duì)于選項(xiàng)B,CN與BE平行,故B錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)C,因?yàn)樗倪呅问瞧叫兴倪呅?，所?F//MD,又NFa平面3Z)Λ∕,

MDU平面BDM，所以力///平面BDM，故C正確；

對(duì)于選項(xiàng)D,顯然ACHEM，又∕C<Z平面BEM,ENu平面8EA1,所以/C//平

面同理NN//平面BEN,又∕C∏4N=4,所以平面CNN//平面BEM,故D

正確.

故選：CD.

12.已知正四棱柱ABCD-AlBlClDl的底面邊長(zhǎng)為2,側(cè)棱/4=1,尸為上底面AlBiCiDi

上的動(dòng)點(diǎn)，給出下列四個(gè)結(jié)論中正確結(jié)論為()

A.若PD=3,則滿足條件的尸點(diǎn)有且只有一個(gè)

B,若PD=#>，則點(diǎn)尸的軌跡是一段圓弧

C.若尸?！ㄆ矫?CA,則。尸長(zhǎng)的最小值為2

D.若尸0〃平面ZCq,且尸。=6,則平面80尸截正四棱柱/BCD-446A的外接

9TF

球所得平面圖形的面積為一

4

【正確答案】ABD

【分析】

若PD=3,由于尸與片重合時(shí)PD=3,此時(shí)尸點(diǎn)唯一；尸Z)=G∈(1,3),則尸A=√2,

即點(diǎn)尸的軌跡是一段圓??；當(dāng)尸為4G中點(diǎn)時(shí)，。P有最小值為=6,可判斷c；平面8。P

3

截正四棱柱/BCD-4gG。的外接球所得平面圖形為外接球的大圓，其半徑為=：，可

得D

【詳解】如圖：

???正四棱柱力88—48ClA的底面邊長(zhǎng)為2,

ΛβlD,=2√2,又側(cè)棱44=1，

2

?*-DB1=^(2√2)+I=3.則尸與片重合時(shí)PZ)=3,此時(shí)尸點(diǎn)唯一，故N正確；

VPZ)=√3∈(1,3),Dn=1,則Pn=√2,即點(diǎn)P的軌跡是一段圓弧，故8正確；

連接￡>4，DC∣,可得平面4。G〃平面4C4,則當(dāng)P為4G中點(diǎn)時(shí)，。尸有最小值為

J(V∑)+F=>/3>故c錯(cuò)誤；

由C知，平面8。P即為平面8。。蜴，平面6。尸截正四棱柱ZBe。-的外接球

所得平面圖形為外接球的大圓，其半徑為L(zhǎng)JF百幣r=3,面積為包，故。正確.

224

故選：ABD.

本題考查了立體幾何綜合，考查了學(xué)生空間想象，邏輯推理，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，

屬于較難題.

三、填空題(本題共4小題，每小題5分，共20分.)

13.已知z=I+/,則z?5^=.

2+i--------------

【正確答案】2

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法可求得z,即可得W=l-i，結(jié)合復(fù)數(shù)的乘法即可得答案.

【詳解】由題意得z=9="也2二D=l+i,故W=Ji,

2+i5

所以z?彳=(l+i)(l-i)=2,

故2

11

14.已知α=(2,3),?=(-2,4),向量Z在B上的投影向量的坐標(biāo)是.

48

【正確答案】

5,5

【分析】直接根據(jù)投影向量的公式計(jì)算即可.

【詳解】Q>=(2,3),U(-2,4),

.?.α??=-4+12=8,∣Λ∣=√4+16=2√5

a?h6_8(-2,4)

X

向量Z在否上的投影向量的坐標(biāo)為W/一而2√5

48

故答案為.

5,5

15.海洋藍(lán)洞是地球罕見(jiàn)的自然地理現(xiàn)象，被喻為“地球留給人類(lèi)保留宇宙秘密的最后遺產(chǎn)”,

我國(guó)擁有世界上最深的海洋藍(lán)洞，若要測(cè)量如圖所示的藍(lán)洞的口徑48兩點(diǎn)間的距離，現(xiàn)

在珊瑚群島上取兩點(diǎn)C,D,測(cè)得CO=35m,NZDB=135"，NBDC=NDCA=I5°，

NNCB=120°，則/、8兩點(diǎn)的距離為m.

【正確答案】35√5

【分析】根據(jù)已知的邊和角，在aBCO中，由正弦定理解得6。，在4∕8Z)中，由余弦

定理得/8.

【詳解】因?yàn)镹∕Z)8=135°，NBDC=NDG4=15°，所以NZz)C=I50'，

ZDAC=ZDCA=15'>所以ND=CD=35,

又因?yàn)镹ZC8=120°，所以NBCO=135°，NCBD=30”，

BD35

在48Co中，由正弦定理得----------=.",即J5-1,解得BD=356，

s?nZBCDSinACBD--

22

在AABD中，由余弦定理得AB2=AD2+BD2-2AD-BD-cosZADB，

所以/爐=352+(35后了—2χ35χ35√∑χ[—苧，解得Z8=35√^m.

故35√?

16.棱長(zhǎng)為2的正方體ZBCD-44GA中，m是棱441的中點(diǎn)，過(guò)C、〃、A作正方

體的截面，則截面的面積是

【分析】連接48,設(shè)截面交棱ZB于點(diǎn)N,連接A/N、CN,利用面面平行的性質(zhì)分析

可知點(diǎn)N為ZB的中點(diǎn)，且四邊形CAMV為等腰梯形，計(jì)算出該四邊形的各邊長(zhǎng)及高，

利用梯形的面積公式可求得截面的面積.

【詳解】連接設(shè)截面交棱/8于點(diǎn)N,連接AlN、CN,

D1

在正方體ZBCQ-4瑪GA中，AQ]//BC且4Q]=BC,

則四邊形48C"為平行四邊形，所以，A1B//CD1,

因?yàn)槠矫鍭AiBiB//平面CClDiD,平面CMDl∩平面AAiBβ=MN,

平面CNDlrl平面CGOQ=CA,所以，MNHCDx,則MV〃48,

?.?W為44∣的中點(diǎn)，則N為/8的中點(diǎn)，

由勾股定理可得MN=NAM2+AM=6，DlM=CN=亞,CD1?2√2,

所以，四邊形CAMN為等腰梯形，

過(guò)點(diǎn)M、N分別在平面CAMN內(nèi)作AffiLCR、NFICD1,垂足分別為點(diǎn)E、F，

由等腰梯形的性質(zhì)可得4NCF=AMDyE,CN=DIM,

又因?yàn)镹CFN=NDlEM=90°,所以，ACFNQ4D、EM,所以，CF=DlE,

因?yàn)镸NHEF,ME工EF,NF工EF,則四邊形MNFE為矩形，所以，EF=MN=6，

「

所以，CF=DIE=CDMN=變,則NF=y∣cM-CF=逑，

1222

,,建商赤中、1(EF+CDJ?NF9

因m此，截面面積為------------------=一.

22

9

故答案為.一

2

方法點(diǎn)睛：作截面的常用三種方法：

(1)直接法：截面的定點(diǎn)在幾何體的棱上；

(2)平行線法；截面與幾何體的兩個(gè)平行平交，或者截面上有一條直線與幾何體的某個(gè)面

平行；

(3)延長(zhǎng)交線得交點(diǎn)：截面上的點(diǎn)中至少有兩個(gè)點(diǎn)在幾何體的同一平面上.

四、解答題(本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算

步驟.)

17.在復(fù)平面內(nèi)4B,C的對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為l,-i,-l+2i?

(1)求福癰就；

(2)判定"BC的形狀.

【正確答案】(1)AB=(-l,-?,AC=(—2,2)>BC=(—1,3)

(2)直角三角形

【分析】(1)利用復(fù)數(shù)的幾何意義得到點(diǎn)4B,C的坐標(biāo)，再根據(jù)向量的定義與坐標(biāo)表示

即可解決問(wèn)題；

(2)觀察(1)中的向量坐標(biāo)，發(fā)現(xiàn)樂(lè)?次=0,故可判定AZ6C的形狀.

【小問(wèn)1詳解】

根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，得8(0,—1),C(-l,2),

所以懣=(0,T)-(l,0)=(T,T),同理：就=(-2,2),5C=(-1,3).

【小問(wèn)2詳解】

由⑴得而太=Tχ(-2)+(-l)χ2=0,

故而_L就，所以雙8。為直角三角形.

18.已知平面向量2,B滿足α=(m+l,3),加=(3,-2),其中

(1)若G〃坂，求實(shí)數(shù)機(jī)的值

（2）若￡_1九若Z+B與￡一2否夾角的余弦值

【正確答案】（1）m-......

2

∞-f

【分析】（1）根據(jù)向量平行的坐標(biāo)關(guān)系即得；

（2）根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示可得機(jī)=I,然后利用向量夾角的坐標(biāo)公式即得.

【小問(wèn)1詳解】

因?yàn)棣?（加+1,3）,6=（3,-2）,又a/Q.

所以一2（〃?+l）-3x3=0,

解得m=--：

2

【小問(wèn)2詳解】

因?yàn)棣羅LB，

所以α?Z=3(加+1)-2x3=0，解得〃2=1,

所以α=(2,3),α+坂=(5,1)

所以,?-26=(2,3)-2(3,-2)=(-4,7),

22,

所以a+b=J5?+F=,∣a-2?∣=^(-4)+7=√65,

Z+B)?(l2B)-4×5+l×7√10

所以CoS(α+3,4-25)

∣a+?∣?∣a-2Λ∣V26×y∕β510

19.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體NBCD—CQl中，E為44∣的中點(diǎn)，尸為ZE的中點(diǎn).

（1）求證：CE//平面；

（2）求三棱錐E-BoE的體積.

【正確答案】（1）證明見(jiàn)解析

【分析】（1）利用中位線的性質(zhì)、線面平行的判定定理即可證明；（2）利用等體積法求解即可.

【小問(wèn)1詳解】

如圖，連接/C交8。于點(diǎn)。，再連接,

在中，。為/C中點(diǎn)，E為NE的中，所以O(shè)F〃CE,

且。￡?平面8。/，OFU平面BZW,所以CE//平面6Z".

【小問(wèn)2詳解】

因?yàn)樵搸缀误w為正方體，所以點(diǎn)Z）到平面48瑪4的距離等于ZD，

所以點(diǎn)。到平面BEF的距離等于AD，

根據(jù)等體積法可知VE-BDF=VD-BEF=；XSARFF×ZD=××EFXABXAD=?.

20.在AN8C中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為。，b,c,已知

sin2β+sin2C-sin5sinC=sin2A-

（1）求角A的大??；

（2）若6+c=2√iα=√3.求Δ∕18C的面積.

【正確答案】（1）N=]

（2）

4

【分析】（1）由正弦定理結(jié)合和余弦定理求解即可;

(2)由余弦定理結(jié)合三角形的面積公式求解即可.

【小問(wèn)1詳解】

；sin?B+sin?C-SinBSinC=Sin24，二由正弦定理得:b2+c2-bc=a2?

，由余弦定理得：cosA^b'+c2~a^=—=

2bc2bc2

?.?∈(0,π),：.A=?

【小問(wèn)2詳解】

由第一問(wèn)可知I：力=］，又6+c=2?χ∕J,o=,

由余弦定理得：CoSN=加"2二2=e+c?)2—2bc—Y=12-2歷—3=L

2bc2hc2hc2

解得：be=3,由三角形面積公式可得?S,M=Lbcsin∕=!χ3x正=邁

"a。2224

21.如圖，在三棱柱N8C-48∣G中，E,F,G,，分別是42,AC,A?B?,小。的中點(diǎn).求

(1)B,C,H,G四點(diǎn)共面；

(2)平面￡7%//平面BCTZG

【正確答案】(1)證明見(jiàn)解析

(2)證明見(jiàn)解析

【分析】(1)利用中位線定理與空間平行線的傳遞性，推得S//8C,由此得證；

(2)利用線面平行的判定定理證得EF//平面BCHG,AlE//平面BeHG,從而利用面面平行

的判定定理即可得證.

【小問(wèn)1詳解】

VG,”分別是/由i,4G的中點(diǎn)

.?.6，是/\4耳。1的中位線，；.6"http://8|。|,

又在三棱柱/BC—48Cl中，BtC↑∕∕BC,：.GH//BC,

：.B,C,H,G四點(diǎn)共面.

【小問(wèn)2詳解】

,：E,F分別為/8,ZC的中點(diǎn),

：.EF//BC,

,.?EF<Z平面BCHG,BCu平面BCHG,

.?.EF∕/平面BCHG,

：在三棱柱/8C-?48∣Cl中，A、B[//AB,AIBI=AB,

^.A?G!/EB,AG=—A.B.=—AB=EB,

'121'2

四邊形4E