吉林省榆樹市第一高級中學高三上學期（老教材）期末備考卷（A）數(shù)學（文）試卷

20202021學年上學期高三期末備考卷文科數(shù)學（A）注意事項：1．答題前，先將自己的姓名、準考證號填寫在試題卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。3．非選擇題的作答：用簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區(qū)域內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。4．考試結(jié)束后，請將本試題卷和答題卡一并上交。第Ⅰ卷一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【解析】復數(shù)，對應的點為，位于第四象限，故選D．2．已知全集，集合，則（）A． B． C． D．或【答案】D【解析】∵全集，集合，∴或．故選D．3．等差數(shù)列滿足，則（）A． B． C． D．【答案】C【解析】設等差數(shù)列的公差為，則由題意可得，則，故選C．4．已知拋物線上的點到焦點的距離為，則點的橫坐標為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】拋物線的準線方程為，∵拋物線上點到焦點的距離等于，設點的橫坐標為，根據(jù)拋物線上點到焦點的距離等于點到準線的距離，得到，∴可得所求點的橫坐標為．5．已知向量，，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】∵，∴，即，∴，∴由“”不能推出“”，由“”能推出“”，即“”是“”的必要不充分條件．6．已知，，則（）A． B． C． D．【答案】D【解析】已知，若，則，這與相矛盾，∴，∴，∴，故選D．7．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，當輸入時，輸出的結(jié)果為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由程序框圖易知，則．錯位相減，得，∴，故選B．8．在中，，，為的中點，將向量繞點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得向量，則向量在向量方向上的投影為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】如圖，以，為，軸建立平面直角坐標系，則，，得，所以向量在向量方向上的投影為，故選C．9．已知函數(shù)的圖像的一部分如圖，則函數(shù)的圖像的對稱中心為（）A．， B．，C．， D．，【答案】D【解析】由題圖可知，，∴，∴．又，∴．又，∴，∴，即．由，，得，，∴函數(shù)的圖像的對稱中心為，．故選D．10．我國古代數(shù)學著作《九章算術(shù)》中有如下問題：“今有人持金山五關，前關二而稅一，次關三而稅一，次關四而稅一，次關五而稅一，次關六而稅一，并五關所稅，適重一斤．”其意思為“今有人持金出關，第關收稅金為持金的，第關收稅金為剩余金的，第關收稅金為剩余金的，第關收稅金為剩余金的，第關收稅金為剩余金的，關所收稅金之和，恰好重斤．”在此問題中，第關和第關所收稅金之和為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】設持金斤，則由題意可列表如下：由上表得，即，所以第關和第關的稅金之和為，故選C．11．已知拋物線的焦點到準線的距離為，直線與拋物線交于、兩點，若存在點使得為等邊三角形，則（）A． B． C． D．【答案】C【解析】∵，，，，，，，，作為的中點，連接，∴，．，∴，，∴，解得，．12．若對任意的正實數(shù)，都有成立，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B．C． D．【答案】B【解析】∵不等式對，恒成立，∴對，恒成立，即對，恒成立，∴對，恒成立．令，，則，，∴．當時，；當時，，∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，即，∴，即，∴，∴，即實數(shù)的取值范圍為．故選B．第Ⅱ卷二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13．已知函數(shù)，且，則________．【答案】【解析】由及，得，或，，解得，所以．14．已知變量，滿足約束條件，若，則的取值范圍是_______．【答案】【解析】由圖可知，∵，，∴的取值范圍為．15．在中，角，，所對的邊分別為，，，且滿足．若，則周長的最大值為________．【答案】【解析】由正弦定理及，得．∵，∴，化簡，得，∴．又∵，∴．由余弦定理，得．∴，即，當且僅當時等號成立，∴的周長為，即周長的最大值為．16．在平面直角坐標系中，已知圓，直線，過直線上點作圓的切線，，切點分別為，，若存在點使得，則實數(shù)的取值范圍是________．【答案】【解析】取中點，，∵，為中點，∴，∴，，三點在一條直線上，，，，設，∴，∴，在中，得，，①，在中運用射影定理得，，②，聯(lián)立①②，，，，，∴點在以為圓心，的圓上，軌跡，又∵點在上，直線與圓有交點，∴，∴．三、解答題：本大題共6大題，共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（12分）已知公差不為的等差數(shù)列滿足，是的等比中項．（1）求的通項公式；（2）設數(shù)列滿足，求的前項和．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）設等差數(shù)列的公差為，則，解得或（舍去），，∴．（2）∵，∴．18．（12分）如圖，在幾何體中，，，，，平面，且．（1）求證：平面平面；（2）已知，求點到平面的距離．【答案】（1）證明見解析；（2）．【解析】（1）證明：在中，由正弦定理有．∴，解得．∵，∴，即．又∵平面，且平面，∴．又∵平面，平面，，平面，∴平面．又∵，∴平面．又∵平面，∴平面平面．（2）設點到平面的距離為．∵，∴，，，四點共面．又∵，，且平面，平面，，∴平面．又∵，∴．又∵，由，得，∴．即點到平面的距離為．19．（12分）大型綜藝節(jié)目《最強大腦》中，有一個游戲叫做盲擰魔方那個，就是玩家先觀察魔方狀態(tài)進行記憶，記住后蒙住眼睛快速還原魔方，盲擰在外人看來很神奇，其實原理是十分簡單，要學會盲擰也是很容易的?根據(jù)調(diào)查顯示，是否喜歡盲擰魔方與性別有關，為了驗證這個結(jié)論，某興趣小組隨機抽取了50名魔方愛好者進行調(diào)查，得到的情況如下表1所示，并邀請其中名男生參加盲擰三階魔方比賽，其完成情況如下表2所示：表1表2（1）將表1補充完整，并判斷能否在犯錯誤得概率不超過的前提下認為是否喜歡盲擰與性別有關?（2）現(xiàn)從表2中成功完成時間在和這兩組內(nèi)的名男生中任意抽取人對他們的盲擰情況進行視頻記錄，求人成功完成時間恰好在同一組內(nèi)的概率．附參考公式及數(shù)據(jù)：，其中．【答案】（1）表1見解析，能在犯錯誤的概率不超過的前提下認為喜歡盲擰與性別有關；（2）．【解析】（1）由表中數(shù)據(jù)可得，故能在犯錯誤的概率不超過的前提下認為喜歡盲擰與性別有關．（2）名男生中任意抽取人，其基本事件的個數(shù)為．人成功完成時間恰好在同一組內(nèi)，其基本事件的個數(shù)為．設從完成時間在和這兩組內(nèi)的名男生中任意抽取人，人完成時間恰好在同一組內(nèi)為事件，．20．（12分）已知橢圓的右焦點與拋物線的焦點重合，且橢圓的離心率為，過軸正半軸一點且斜率為的直線交橢圓于，兩點．（1）求橢圓的標準方程；（2）是否存在實數(shù)使以線段為直徑的圓經(jīng)過點，若存在，求出實數(shù)的值；若不存在說明理由．【答案】（1）；（2）存在，．【解析】（1）∵拋物線的焦點是，∴，∴，又∵橢圓的離心率為，即，∴，，則，故橢圓的方程為．（2）由題意得直線的方程為，由，消去，得，由，解得．又，∴．設，，則，，∴．∵，，∴，若存在使以線段為直徑的圓經(jīng)過點，則必有，即，解得或．又，∴，即存在使以線段為直徑的圓經(jīng)過點．21．（12分）已知函數(shù)的圖象在點處的切線斜率為．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若在區(qū)間上沒有零點，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是；（2）．【解析】（1），定義域為，，因為，所以，，，令，得；令，得，故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是．（2），由，得或（舍），設，所以在上是減函數(shù)，在上為增函數(shù)，因為在區(qū)間上沒有零點，所以在上恒成立，由，得，令，則，當時，，所以在單調(diào)遞減，所以當時，，故，即．請考生在22、23兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分．22．（10分）【選修44：坐標系與參數(shù)方程】在直角坐標系中，直線的參數(shù)方程為，（為參數(shù)，為直線傾斜角）．以平面直角坐標系的原點為極點，軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線的極坐標方程是．（1）當時，求直線的普通方程與曲線的直角坐標方程；（2）已知點的直角坐標為，直線與曲線交于，兩點，當面積最大時，求直線的普通方程．【答案】（1），；（2）．【解析】（1）當時，直線的參數(shù)方程為，消去得直線的普通方程為．曲線的極坐標方程是，兩邊乘以為，由，得，所以曲線的直角坐標方程為．（2）曲線是以為圓心，為半徑的圓，，當時面積最大．此時點到直線的距離為，所以，解得，所