2023年安徽省合肥蜀山區(qū)九年級中考一模數(shù)學(xué)試卷（含答案與解析）

2023年安徽省合肥蜀山區(qū)九年級中考一模試卷

數(shù)學(xué)

（考試時(shí)間120分鐘，總分150分）

注意事項(xiàng)：

1.答題前，考生先用黑色字跡的簽字筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在試卷及答題卡的指定

位置，然后將條形碼準(zhǔn)確粘貼在答題卡的“貼條形碼區(qū)”內(nèi)。

2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體

工整，筆跡清晰。

3.按照題號順序在答題卡相應(yīng)區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效。

4.在草稿紙、試卷上答題無效。

一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，滿分40分)

?

1.^3倒數(shù)是（）

A.3B.-3C,--D.-

33

2.2022年世界杯在卡塔爾舉辦，為了辦好這屆世界杯,人口僅有280萬的卡塔爾投資2200億美元修建各

項(xiàng)設(shè)施，數(shù)據(jù)2200億用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.22×IO10B.2.2x10'°C.2.2×10"D.0.22×IO'2

3.下列運(yùn)算中，正確的是（）

633

?.er-o,=a6B.(-α)÷(-a)=-a

C.[ab2^=ab6)(-=6〃6

4.如圖，該幾何體的俯視圖是（）

/正面

?zkfl

C.D.

5.如圖，直線α,b,等邊一ABe的頂點(diǎn)C在直線人上，若/1=42。，則N2的度數(shù)為（）

A

A.92oB.102oC.H2oD.H4o

6.若直線y="+%經(jīng)過一、二、四象限，則直線y=法一%的圖象只能是圖中的（）

7.如圖，正方形ABCr）和等邊三角形AER均內(nèi)接于O。，則一的值為（）

AE

A逅B.@C.也D."

2233

8.某社區(qū)要從A、8、C三名志愿者中任意抽調(diào)兩人助力全民核酸檢測工作，恰好抽到志愿者B和C的概率

是（）

9.已知關(guān)于X的方程卜七卜。有且僅有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則α的取值范圍為（）

A.a>0B.2<α<8C.α>8D.O<tz<8

10.已知NABC=NE40=90°,。是線段AB上的動點(diǎn)且AC_L￡￡>于點(diǎn)G,AB=AE=4,則BG的

最小值為（）

E

A.2√5B.2√2-lC.2√5-2D,∣√10

二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，滿分20分）

x+1≤3

11.不等式組<解集是

-2x-6<-4

12.在半徑為3的圓中，圓心角150。所對的弧長是

k

13.如圖,矩形ABCl）中，點(diǎn)A在雙曲線>=、（女<0）上,點(diǎn)8、C在X軸上,延長C。至點(diǎn)E,使C￡>=2?！?

連接鴕交y軸于點(diǎn)凡連接C/，已知FC的面積為6,則/=

14.已知點(diǎn)M（a,8）是拋物線y=V-4x+5上一動點(diǎn).

（1）當(dāng)點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離不大于1時(shí)，6的取值范圍是:

（2）當(dāng)點(diǎn)M到直線X=機(jī)的距離不大于〃（〃>0）時(shí)，6的取值范圍是5≤b≤10,則加+〃的值為.

三、（本大題共2小題，每小題8分，滿分16分）

15.計(jì)算：卜2|+√Σtan45θ-曲一（2023-〃）°.

16.如圖，網(wǎng)格中小正方形的邊長均為1,ABC是格點(diǎn)三角形（即三角形的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上），請僅用無

刻度的直尺作圖.

圖（I）圖（2）

（1）在圖（1）中作出一ABC的中線C。；

（2）請?jiān)趫D（2）中找一格點(diǎn)E,使得S—BE=SAABC.

四、（本大題共2小題，每小題8分，滿分16分）

17.如圖所示，一梯子AC斜靠著墻?！辏?梯子與地面夾角為45°，若梯子底端A向右水平移動1.5m至點(diǎn)

B,此時(shí)梯子頂端向上移動Im至點(diǎn)。，此時(shí)NDBo=58°,求。8長度.（參考數(shù)據(jù)：sin58°?0.85,

cos58o≈0.53,tan58o≈1.60）

18.觀察下列等式，探究發(fā)現(xiàn)規(guī)律，并解決問題.

Φl×2=∣(l×2×3-0×l×2)

02×3=∣(2×3×4-1×2×3)

③3x4=；(3x4x5-2x3x4)

(1)l×2+2×3÷3×4=；

(2)1×2÷2×3H----FH(H+1)=；

(3)Ix2x3+2x3x4+3x4x5+???+〃(〃+1)(〃+2)=

五、（本大題共2小題，每小題10分，滿分20分）

?1

19.如圖，已知一次函數(shù)％3的圖象與反比例函數(shù)必=一第一象限內(nèi)的圖象相交于點(diǎn)A（4,〃），與

X軸相交于點(diǎn)B.

(2)如圖，以AB為邊作菱形ABCQ,使點(diǎn)C在X軸正半軸上，點(diǎn)D在第一象限，雙曲線交CD于點(diǎn)

E,連接AE、BE,求SAB￡.

20.已知等腰ABC,AB^AC,且BC=Cz),連接A。交BC于點(diǎn)E,以O(shè)E為直徑的:，。上有一點(diǎn)

F,使得EF=DF，連接CT交OE于點(diǎn)G,若449=90°.

(1)判斷AC與；。的關(guān)系，并說明理由；

(2)若CE=I,求Cf'?GE的值.

六、(本題滿分12分)

21.2022年是我國航天事業(yè)輝煌的一年，神舟十四號和神舟十五號兩個(gè)飛行乘組6位航天員在太空會師，在

神州大地上掀起了航天熱潮.某學(xué)校為了解本校學(xué)生對我國航天事業(yè)的了解情況，在全校范圍內(nèi)開展了航

天知識競賽,學(xué)校隨機(jī)抽取了50名學(xué)生的成績,整理并制成了如下不完整的頻數(shù)分布表和頻數(shù)分布直方圖.

組號成績頻數(shù)頻率

1O≤x<5020.04

250≤X<60a0.1

360≤x<70180.36

470≤x<8090.18

580≤x<90bm

61,62,62,63,64,64,64,64,64,64,64,64,64,64,66,67,67,69根據(jù)以上提供的信息，解答

下列問題：

（1）表格中a=,b=,m=；

（2）抽取的50名學(xué)生競賽成績的眾數(shù)是；

（3）若以組中值（每組正中間數(shù)值）為本組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，全校共有IooO名學(xué)生參與競賽，試估計(jì)所有

學(xué)生成績的平均分.

七、（本題滿分12分）

DP1

22.已知四邊形ABeD,ABCD,AC,BO相交于點(diǎn)P,且NAPB=90°,——=一，設(shè)AJB=C,3C=0,

PB2

圖4

（1）①如圖1,當(dāng)NAjBo=45°時(shí)，c=2√5時(shí)，。=；b=；

②如圖2,當(dāng)NABO=30°時(shí)，c=4時(shí)，a=；b=；

（2）觀察（1）中的計(jì)算結(jié)果，利用圖3證明"，從，’2三者關(guān)系.

（3）如圖4,在平行四邊形ABcr）中，點(diǎn)E,F,G分別是AE>,BC,CD的中點(diǎn)，BELEG,

AD=2√5.AB=幣,求AF的長.

八、（本題滿分14分）

23已知拋物線C：y=x2-2bx+c↑

(1)若拋物線C的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,-3),求b、C的值；

(2)當(dāng)c=6+2,0人2時(shí),，拋物線。的最小值是-4,求6的值；

(3)當(dāng)C=ZJ2+1,3S爛加時(shí)，爐-2?r+c≤x-2恒成立，則機(jī)的最大值為.

參考答案

一、選擇題(本大題共10小題，每小題4分，滿分40分)

1.3的倒數(shù)是()

A.3B.—3C.—D.一

33

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)乘積為1的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)求解即可.

【詳解】解：-g的倒數(shù)是一3,

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查倒數(shù)，理解倒數(shù)定義是解答的關(guān)鍵.

2.2022年世界杯在卡塔爾舉辦，為了辦好這屆世界杯，人口僅有280萬的卡塔爾投資2200億美元修建各

項(xiàng)設(shè)施，數(shù)據(jù)2200億用科學(xué)記數(shù)法表示為()

A.22×IO10B.2.2×10'0C.2.2×1()"D.().22×1012

【答案】C

【解析】

【分析】科學(xué)記數(shù)法的表現(xiàn)形式為ax10",其中1＜忖＜10,〃為整數(shù)，確定〃的值時(shí)，要看把原數(shù)

變成。時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動了多少位，W的絕對值與小數(shù)點(diǎn)移動的位數(shù)相同，當(dāng)原數(shù)絕對值大于等于10時(shí)，〃

是正數(shù)，當(dāng)原數(shù)的絕對值小于1時(shí)，〃是負(fù)數(shù).

【詳解】解：2200億=220000000000,

；?2200億用科學(xué)記數(shù)法表示為：2.2x10"，

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了科學(xué)記數(shù)法，科學(xué)記數(shù)法的表現(xiàn)形式為aX10",其中1≤忖＜10,〃為整數(shù)，確

定〃與。的值是解題的關(guān)鍵.

3.下列運(yùn)算中，正確的是()

A.a2■a3-a('B.(—÷(-a)3——a3

C.^ab2)=abbD.(-3/)=6*

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)同底數(shù)基乘法，積的乘方，幕的乘方和單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的計(jì)算法則求解判斷即可.

【詳解】解：A、a2-ai=a5,計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；

B、(-?)6÷(-a)?=a6÷(-?3)=-a3,計(jì)算正確，符合題意；

C、(a?2)3=α?6,計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；

D、(-3α3)2=9a6,計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；

故選B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了同底數(shù)嘉乘法，積的乘方，塞的乘方和單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，熟知相關(guān)計(jì)算法則是

解題的關(guān)鍵，注意同底數(shù)基乘法指數(shù)是相加，積的乘方和幕的乘方指數(shù)是相乘.

/正面

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)俯視圖是從上面看到的圖形求解即可.

【詳解】解：從上面看，看到的圖形是一個(gè)長方形，在靠近右側(cè)和靠近中間分別有1條豎直的直線，即看

到的圖形為

故選C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了判斷簡單幾何體的三視圖，熟知俯視圖是從上面看到的圖形是解題的關(guān)鍵.

5.如圖，直線力，等邊一ABC的頂點(diǎn)C在直線b上，若Nl=42。，則/2的度數(shù)為()

A

C.112°D.114°

【答案】B

【解析】

【分析】首先利用三角形外角性質(zhì)得到NZ）EC=I02。，然后利用平行線性質(zhì)得出結(jié)果.

【詳解】解：?.?ABC是等功三角形,

ZA=60。，

又：NADE=NI=42°，

.?.ZLDEC=ZADE+NA=IO2。,

又?：ab,

：.N2=NOEC=102°,

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)和三角形外角性質(zhì)，在圖形中識別外角和內(nèi)錯(cuò)角是解決問題的關(guān)鍵.

則直線y=法一人的圖象只能是圖中的（）

【解析】

【分析】根據(jù)直線丫=h+人經(jīng)過一、二、四象限，可得％<0,b>o,從而得到一%>o,即可求解.

【詳解】解：直線y="+%經(jīng)過一、二、四象限，

：.k<0,b>0,

—k>O,

，直線y=&—左的圖象經(jīng)過一、二、三象限，

；?選項(xiàng)B中圖象符合題意.

故選:B.

【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，牢記“左<0,匕>0oy=丘+力的圖象在一、二、四

象限”是解題的關(guān)鍵.由直線經(jīng)過的象限結(jié)合四個(gè)選項(xiàng)中的圖象，即可得出結(jié)論.

7.如圖，正方形ABCr）和等邊三角形AER均內(nèi)接于0,則一的值為（）

AE

?√6r√3c√2n√6

2233

【答案】D

【解析】

【分析】如圖所示，連接AC,CE,由正方形的性質(zhì)得到NABC=90。，NACB=45°,則AC是直

徑，即可得到NAEC=90°,解RtZVLBC得到AB=t?AC,再由等邊三角形的性質(zhì)和圓周角定理得

2

到NACE=NA莊=60°,解RtZXAEC得到AE=YaAC，由此即可得到答案.

2

【詳解】解：如圖所示，連接AGCE,

???四邊形ABeD是正方形，

ΛZABC=90o,ZACB=45°,

：.AC是直徑，

.?.ZAEC=90°,

在RtAABC中，AB=AC-SinACB=-AC，

?.?4AEE是等邊三角形,

：.ZACE=ZAFE=ωo

在RtZVlEC中，AE=AC-sinACE=-AC>

2

√2

?空=H=在

?'AEB3,

T

故選D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了正多邊形與圓，解直角三角形，正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵.

8.某社區(qū)要從A、8、C三名志愿者中任意抽調(diào)兩人助力全民核酸檢測工作，恰好抽到志愿者B和C的概率

是（）

【答案】A

【解析】

【分析】列表得出所有等可能結(jié)果，從中找到符合條件的結(jié)果數(shù)，再根據(jù)概率公式求解即可.

【詳解】解：列表如下：

ABC

AB,AC,A

BA,BC,B

CA9CB,C

由表知，共有6種等可能結(jié)果，其中恰好抽到志愿者8和C的有2種結(jié)果,

21

所以恰好抽到志愿者8和C的概率為二=一.

63

故選：A

【點(diǎn)睛】本題考查了列表法求概率，用到的知識點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.利用列表法或樹

狀圖法找出所求情況數(shù)和總情況數(shù)是解答本題的關(guān)鍵.

9.已知關(guān)于X的方程上==。有且僅有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則α的取值范圍為()

x-2

A.ɑ>OB.2<α<8C.α>8D.0<a<8

【答案】D

【解析】

【分析】分α<O,α=0,a>O,三種情況討論，前兩種情況不合題意，第三種情況原方程化為

2

」一=±α,整理得d一方+2α=0①或/+以一2Q=0②.因?yàn)棰诘呐袆e式為△="+初〉0,方程

X—2.

②必有兩個(gè)不同實(shí)根.而原方程只有兩個(gè)不同實(shí)根，故方程①無實(shí)根，所以它的判別式八="一8。<0，

得到0<α<8.

【詳解】解：當(dāng)“<0時(shí)，原方程無解，不合題意；

χ^

當(dāng)α=0時(shí)，則」一=0,

x-2

解得X=0,方程只有1個(gè)實(shí)數(shù)根，不符合題意；

X2

當(dāng)α>()時(shí)，原方程化為」一=±a,

X—2,

整理得f-Or+2α=0①或J?+ax-2a-Q@-

■:②判別式A=∕+8α>(),且當(dāng)天=2時(shí)，方程②不成立，

.?.方程②必有兩個(gè)不同實(shí)根.

???原方程只有兩個(gè)不同實(shí)根，當(dāng)X=2時(shí)，方程①不成立，

???方程①無實(shí)根，

它的判別式A=02-8α<0,

解得0<α<8.

故選D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了絕對值，分式方程，一元二次方程根的判別式，解決問題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用絕對

值的非負(fù)性，解分式方程，由根的情況寫出根判別式的取值范圍.

10.已知NA5C=NE4￡>=90。，。是線段AB上的動點(diǎn)且AC_L匹于點(diǎn)G,AB=AE=4，則BG的

最小值為()

E

A.2√5B.2√2-lC.2√5-2D.∣√10

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)ACJ.匹，可得點(diǎn)G在以AE為直徑的圓上運(yùn)動，取AE的中點(diǎn)O，當(dāng)點(diǎn)0,G,B三點(diǎn)共

線時(shí)，BG的最小，再由勾股定理求出OB的長，即可求解.

【詳解】解：?.?ACLED,

即NAGE=90°,

點(diǎn)G在以AE為直徑的圓上，

取AE的中點(diǎn)。，當(dāng)點(diǎn)O,G,B三點(diǎn)共線時(shí)，BG的最小，

E

???AB=AE=4，

.*.AO=OG=2,

?：NEAr)=90。，

；?OB=yjAB2+AO2=2√5,

.?.BG=BO-OB=2小一2,

即BG的最小值為26-2.

故選：C

【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的基本性質(zhì)，勾股定理，根據(jù)題意得到點(diǎn)G在以AE為直徑的圓上是解題的關(guān)

鍵.

二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，滿分20分）

x+l≤3

11.不等式組CC“的解集是____.

-2x-6<-4

【答案】一l<x≤2##2≥x>—1

【解析】

【分析】先分別求出每個(gè)不等式得解集，再根據(jù)夾逼原則求出不等式組的解集即可.

x+l≤3①

【詳解】解:

1-2尤-6<-4②

解不等式①得：x≤2,

解不等式②得：x>-l,

.?.不等式組的解集為—l<x≤2,

故答案為：-l<x≤2.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了解一元一次不等式組，正確求出每個(gè)不等式的解集是解題的關(guān)鍵.

12.在半徑為3的圓中，圓心角150°所對的弧長是.

【答案】—

2

【解析】

【分析】根據(jù)弧長公式計(jì)算即可.

-r.150χ3?τr5萬

【詳解】弧長=---------=—

1802

5yr

故答案為：—.

2

【點(diǎn)睛】本題考查的是弧長計(jì)算，掌握弧長公式：/=赤是解題的關(guān)鍵.

180

k

13.如圖,矩形ABco中，點(diǎn)A在雙曲線y=、（左<0）上,點(diǎn)8、C在X軸上,延長C。至點(diǎn)E,使Cr>=2DE,

連接交y軸于點(diǎn)凡連接CT7,已知ABFC的面積為6,則左=.

y

B?oCχ

【答案】8

【解析】

(∣c?3k

【分析】設(shè)則B(M，0)，CE=F，iIEAOBFACBE,由相似的性質(zhì)即可求解；

【詳解】解：設(shè)4卜,\)則8(Μ0),

???CD=IDE

：.CE=-

2m

'.'CEIy軸，

.?,AOBFACBE

.OBOF

"BC^CE'

3&3k

：.BCOF=OBCE=m—=—,

Im2

,?'SWCF=;BCoF=6

：.k=S.

故答案為：8

【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三角形的應(yīng)用、反比例函數(shù)，掌握相關(guān)知識并靈活應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

14.已知點(diǎn)Λ∕(α,Z?)是拋物線y=V-4x+5上一動點(diǎn).

(1)當(dāng)點(diǎn)/到y(tǒng)軸的距離不大于1時(shí)，。的取值范圍是；

(2)當(dāng)點(diǎn)M到直線》=機(jī)的距離不大于”(〃>0)時(shí)，6的取值范圍是5≤0≤10,則加+〃的值為

【答案】①.2<b≤W^?0≥b≥2②.0或5##5或0

【解析】

【分析】(1)先求出拋物線的對稱軸為直線x=2,根據(jù)點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離不大于1,得出一l≤α≤l,根

據(jù)二次函數(shù)的增減性，求出匕的取值范圍即可；

a-m≤n

(2)根據(jù)點(diǎn)M(〃力)到直線X=機(jī)的距離不大于〃(〃>0),得出,一向工〃,即《,從而得出

m-a≤n

m-n<a<m+n,然后根據(jù)求出。的范圍，即可得出帆+〃.

【詳解】解：(1)?.?y=χ2一4χ+5=(x-2p+l,

/.拋物線的對稱軸為直線X=2,

；點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離不大于1,

Λ-l≤tz≤l,

此時(shí)點(diǎn)M在對稱軸的左側(cè)，

?.?α=1>O,

.?.在對稱軸的左側(cè)y隨X的增大而減小，

當(dāng)α=T時(shí)，〃取最大值，且最大值為力最大=(-l-2)2+l=10,

當(dāng)α=l時(shí)，〃取最小值，且最小值為4小=(l-2p+l=2,

〃的取值范圍是2≤0≤10:

故答案為：2≤b≤10;

(2);點(diǎn)M(α,b)到直線χ="z的距離不大于〃(〃>0),

ll[a-m<n

.??cι-m<n即<,

f[m-a≤n

φ

..m-n≤a≤m+nt

令8=5,代入y=12一4工+5,即5=片一4〃+5，解得：4=。，生=4,

=

令人=Io,代入y=Y—4x+5,即IO=C/—4α+5，解得：4=5,ct2^~1?

J點(diǎn)M應(yīng)為-IWXWO或4<x<5上的動點(diǎn)，

當(dāng)一1≤X≤0F?,加+〃=0,

當(dāng)4≤x≤5時(shí)，m+n=5,

綜上分析可知，m+〃的值為。或5;

故答案：0或5.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的增減性，二次函數(shù)

y^ax2+bx+c(a≠0),當(dāng)?！?時(shí)，在對稱軸的左側(cè)y隨X的增大而減小，在對稱軸的右側(cè)y隨X的增

大而增大；當(dāng)α<0時(shí)，在對稱軸的左側(cè)y隨X的增大而增大，在對稱軸的右側(cè)y隨X的增大而減小.

三、(本大題共2小題，每小題8分，滿分16分)

15.計(jì)算：2∣+0tan45。一場一(2023—萬)”.

【答案】l-√2

【解析】

【分析】針對絕對值，二次根式化簡，零指數(shù)塞，特殊角的三角函數(shù)值分別進(jìn)行計(jì)算，然后根據(jù)實(shí)數(shù)的運(yùn)

算法則求得計(jì)算結(jié)果.

【詳解】解：原式=2+0x1-2逝-1

=1-V2?

【點(diǎn)睛】本題考查了絕對值，二次根式的性質(zhì)，零指數(shù)基，特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握各運(yùn)算法則是

解題的關(guān)鍵.

16.如圖，網(wǎng)格中小正方形的邊長均為1,_ABC是格點(diǎn)三角形（即三角形的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上），請僅用無

圖（I）圖（2）

（1）在圖（1）中作出d48C的中線CO；

（2）請?jiān)趫D（2）中找一格點(diǎn)E,使得S-BE=S-BC?

【答案】（1）見解析（2）見解析

【解析】

【分析】（1）取格點(diǎn)E,F,連接所交AB于點(diǎn)。，連接Cr）即可;

（2）利用等高模型解決問題即可.

【小問1詳解】

解：如圖，C￡＞即為所求，

圖⑴

理由：VAE=BF,AE//BF,

.?.四邊形但廠是平行四邊形,

.,?AD=BD,

：.Co是JWC的中線；

【小問2詳解】

解：如圖，即為所求，

E

圖⑵

理由：

連接C￡,

E

圖⑵

根據(jù)勾股定理，可求AC=仔=J記，BE=√52+12=√26-AB=√42+12=√17-

Cf=√42+12=√Γ7>

AC=BE,CE=AB,

.?.四邊形ABEC是平行四邊形，

二CE//AB,

：.C,E到AB的距離相等，

??Sf?ABE=SZXABC?

【點(diǎn)睛】本題考查了格點(diǎn)作圖，掌握三角形等面積法，勾股定理，平行四邊形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)

鍵.

四、（本大題共2小題，每小題8分，滿分16分）

17.如圖所示，一梯子AC斜靠著墻0Q，梯子與地面夾角為45°,若梯子底端A向右水平移動1.5m至點(diǎn)

B,此時(shí)梯子頂端向上移動Im至點(diǎn)。，此時(shí)NDBo=58°,求OB長度.（參考數(shù)據(jù)：sin58o≈0.85,

cos58o≈0.53,tan58o≈1.60）

【答案】—m

6

【解析】

【分析】由NC4O=45°,得QA=OC,設(shè)Q4=x,則OB=X—1.5,OD=x+?,因?yàn)?/p>

NDBo=58。,得tan58。=變=土已-進(jìn)入即可求解；

OBX-1.5

【詳解】解：；NC40=45°,NO=90°,

OA=OC,

設(shè)OA=無，則O5=x-L5,OD=x+?,

?；NDBO=58°,

sc1/cODx÷l

.?.tan58≈1.60=----=--------

OBx-1.5

17

解得尤=一

3

.?.OB=--1.5=—m.

36

【點(diǎn)睛】本題主要考查解直角三角形的應(yīng)用，根據(jù)題意結(jié)合特殊三角函數(shù)知識正確列出方程是解題的關(guān)

鍵.

18.觀察下列等式，探究發(fā)現(xiàn)規(guī)律，并解決問題.

Φl×2=?(l×2×3-0×l×2)

②2x3=g(2x3x4—1x2x3)

(3)3×4=∣(3×4X5-2×3×4)

(1)l×2÷2×3+3×4=；

(2)1×2+2×3H----F∏(∏+1)=；

(3)1x2x3+2x3x4+3x4x5+???+〃(〃+1)("+2)=

【答案】(1)20(2)-n(n+l)(n+2)

(3)^-π(π÷l)(n+2)(π+3)

【解析】

分析】(1)按規(guī)律改寫各個(gè)乘法算式，并整理計(jì)算即可;

(2)根據(jù)(1)總結(jié)規(guī)律，整理計(jì)算即可；

(3)按規(guī)律計(jì)算即可.

【小問1詳解】

解：1×2÷2×3÷3×4

=-?(l×2×3-0×l×2)+-?(2×3×4-l×2×3)+^(3×4×5-2×3×4)

=^(l×2×3-0×l×2+2×3×4-l×2×3+3×4×5-2×3×4)

=—×3×4×5

3

=20

故答案為：20

【小問2詳解】

解：1×2+2×3H----+

=∣(l×2×3-0×l×2)+∣(2×3×4-l×2×3)+∣(3×4×5-2×3×4)++?

=^[l×2×3-0×l×2+2×3×4-l×2×3+3×4×5-2×3×4++n(n+l)(π+2)-(n-l)n(n+l)]

?

[-0x1x2+〃(〃+1)(〃+2)]

3

1

=-n(n+l)(π+2)；

3

故答案為：—∕ι(∕ι÷l)(π÷2)

【小問3詳解】

解：1×2×3+2×3×4+3×4×5H----Fn(n+l)(n+2)

=^-(l×2×3×4-0×l×2×3)+^-(2×3×4×5-l×2×3×4)+^(3×4×5×6-2×3×4×5)+；［〃(〃+2)(〃+l)(〃

?

∣^l×2×3×4-0×l×2×3+2×3×4×5-l×2×3×4+3×4×5×6-2×3×4×5++n(n÷2)(π+l)(n+3)-(n-

4

1

=-n(zz÷l)(n+2)(n+3)

4

故答案為：+1)(〃+2)(〃+3)

【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)字的變化規(guī)律，根據(jù)數(shù)字的變化規(guī)律化簡原式是解題的關(guān)鍵.

五、(本大題共2小題，每小題10分，滿分20分)

?J

19.如圖，已知一次函數(shù)*=/x—3的圖象與反比例函數(shù)必=指第一象限內(nèi)的圖象相交于點(diǎn)A(4,〃)，與

X軸相交于點(diǎn)B.

(1)求〃和女的值；

(2)如圖，以AB為邊作菱形ABeD,使點(diǎn)C在X軸正半軸上，點(diǎn)O在第一象限，雙曲線交CD于點(diǎn)

E,連接AE、BE,求SzlBE.

【答案】(1)〃=3;k=?2

G3√13

2

【解析】

3

【分析】⑴把點(diǎn)A(4,")代入一次函數(shù)y=萬%—3,得到n的值為3；再把點(diǎn)A(4,3)代入反比例函數(shù)

y=~,得到Z的值為12；

2X

(2)根據(jù)坐標(biāo)軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可得點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2,0),過點(diǎn)A作AG,X軸，垂足為G,根據(jù)勾股定

理得到AB=屈，再根據(jù)菱形的性質(zhì)可得SABE=；S菱形ABS,即可求解.

【小問1詳解】

解：把點(diǎn)A(4,〃)代入一次函數(shù)y=^x-3,得:

3

〃=-χ4-3=3；

2

.?.點(diǎn)A(4,3),

把點(diǎn)4(4,3)代入反比例函數(shù)以=人，得：

k

3=-,解得：k=12；

4

【小問2詳解】

3

解：Y一次函數(shù)Y=萬工-3與X軸相交于點(diǎn)9

3

當(dāng)y=0時(shí)，-x-3=0,

2

解得x=2,

.?.點(diǎn)8的坐標(biāo)為(2,0),

如圖，過點(diǎn)A作AG_LX軸，垂足為G,

VA(4,3),B(2,0),

.?.OG=4,AG=3,OB=2,

/.BG=OG-OB=4—2=2,

在RtZ?ABG中，AB=y∣AG2+BG2=√32+22=√13?

???四邊形ABeo是菱形，

?'?AB=CD=BC=?∕?3,SABE=2S菱形ABc。,

?'?SABE=-xAGxBC=-x3xy/l3=^^-.

2222

【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)與幾何圖形的綜合，涉及了菱形的性質(zhì)，熟練掌握菱形的性質(zhì)，利用數(shù)形

結(jié)合思想解答是解題的關(guān)鍵?

20.已知等腰JWC,AB^AC,且BC=Cr),連接AO交BC于點(diǎn)E,以。E為直徑的「O上有一點(diǎn)

F,使得f77=oF,連接CE交OE于點(diǎn)G,若NA4D=90°.

(1)判斷AC與，。的關(guān)系，并說明理由；

(2)若CE=I,求CF?GF的值.

【答案】(1)AC與；。相切，理由見解析

⑵2+√2

【解析】

【分析】(1)如圖所示，連接。C,先由三角形內(nèi)角和定理和對頂角相等證明NB+NOEC=90°,再根

據(jù)等邊對等角證明ZACB+ZOCE=90°,即可得到結(jié)論；

(2)如圖所示，連接50交「。于H，連接OF,由直徑所對的圓周角是直角得到

NECD=NEHD=90。,再證明A、B、C、。四點(diǎn)共圓，得到NAoS=NAC6,進(jìn)而證明

ZADB=ZCDE,則由角平分線的性質(zhì)得到EH=CE=I,再證明N∕ffi5=45°=N"3E,推出

BH=EH=I,則BE=&，即可求出CZ)=0+1，利用勾股定理求出Z)E=J4+2后，再由

EF=DF，DE是O。的直徑，得到NEZ)尸=Nob=45°,OFA.DE,貝U。尸=2+0：證明

MFlaADFG,即可得到CE?GE=DF2=2+也.

【小問1詳解】

解：AC與、。相切，理由如下：

如圖所示，連接OC,

?.?ZfiAD=90°,

/.ZB+/AEB=90°,

,/NoEC=NAEB,

：.ZB+NOEC=90°,

?/AC=AB,OC=OE,

：.NACB=NB,NOEC=NOCE,

ZACB+ZOCE=90°,即ZACO=90°,

.?.ACLOC,

.?.AC與。。相切;

小問2詳解】

解：如圖所示，連接3。交（。于H,連接E”，OF,

YDE是（。的直徑,

.??ZECD=ZEHD=90°，

'：ZBAD=ZBCD=90°,

.?.4B、a。四點(diǎn)共圓,

.?.ZADB=ZACB,

?.?ZB+ZCED=90o=/CDE+ZCED，

：.AB=/CDE,

：.ZADB=NCDE,

：.EH=CE=I,

■：BC=DC,

：.NCBD=45。,

：.NHEB=45。=NHBE,

.?.BH=EH=I,

:?BE=yflEH=√2，

：?CD=BC=BE+CE=應(yīng)+1，

DE=y/CE2+CD2=√4+2√2，

?.?EF=DF，DE是1O的直徑，

.?.ZEDF=ZDCF=45o,OFlDE,

?DF2=OD1+OF2=2×f+=2+√Σ,

2

\/

又；NCFD=NDFG,

：.ACFD^Z?DFG,

.CF_DF

,'~DF~~GF,

；?CFGF=DF2=2+41-

【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的判定，垂徑定理，圓周角定理，相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，等

腰直角三角形的性質(zhì)與判定等等，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

六、（本題滿分12分）

21.2022年是我國航天事業(yè)輝煌的一年，神舟十四號和神舟十五號兩個(gè)飛行乘組6位航天員在太空會師，在

神州大地上掀起了航天熱潮.某學(xué)校為了解本校學(xué)生對我國航天事業(yè)的了解情況，在全校范圍內(nèi)開展了航

天知識競賽,學(xué)校隨機(jī)抽取了50名學(xué)生的成績,整理并制成了如下不完整的頻數(shù)分布表和頻數(shù)分布直方圖.

組號成績頻數(shù)頻率

140≤x<5020.04

250≤%<60a0.1

360≤x<70180.36

470≤x<8090.18

580≤x<90bm

690≤x≤l∞20.04

合計(jì)50l.∞0

8-

4■

u4<>506070KO901（?馴M分

其中60≤x<70這一組的數(shù)據(jù)如下：

61,62,62,63,64,64,64,64,64,64,64,64,64,64,66,67,67,69根據(jù)以上提供的信息，解答

下列問題：

（1）表格中。=,b=,"?=；

(2)抽取的50名學(xué)生競賽成績的眾數(shù)是；

(3)若以組中值(每組正中間數(shù)值)為本組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，全校共有IoOO名學(xué)生參與競賽，試估計(jì)所有

學(xué)生成績的平均分.

【答案】(1)5,14,0.28

(2)64(3)71.8

【解析】

【分析】(1)用接受調(diào)查的總?cè)藬?shù)乘以50≤x<60這一組別的頻數(shù)即可求出α,進(jìn)而求出％,再用b除以接

受調(diào)查的總?cè)藬?shù)即可得到答案；

(2)根據(jù)眾數(shù)的定義進(jìn)行求解即可；

(3)根據(jù)加權(quán)平均數(shù)的定義求出樣本中的加權(quán)平均成績進(jìn)而估計(jì)總體的平均成績即可.

【小問1詳解】

解：由題意得，α=50χ0.1=5,

ΛZ,=50-2-5-18-9-2=14,

14

m=——=0.28,

50

故答案為：5,14，0.28；

【小問2詳解】

解：???成績?yōu)?4出現(xiàn)了10次，出現(xiàn)的次數(shù)最多，

.??抽取的50名學(xué)生競賽成績的眾數(shù)是64,

故答案為：64；

【小問3詳解】

臼45×2+55×5+65×18+75×9+85×14+95×2…

解：-----------------------------------------=/1.0,

50

.?.估計(jì)所有學(xué)生成績的平均分為71.8.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了頻數(shù)與頻率分布表，求眾數(shù)和加權(quán)平均數(shù)，用樣本估計(jì)總體，靈活應(yīng)用所學(xué)知識

是解題的關(guān)鍵.

七、(本題滿分12分)

DP1

22.已知四功形ABez),ABCD,AC,8。相交于點(diǎn)P,且NAPB=90°,——=一，設(shè)AB=C,6C=α,

PB2j

AD=b.

圖4

(1)①如圖1,當(dāng)NABO=45°時(shí)，c=2&時(shí)，a=；b=；

②如圖2,當(dāng)NABO=30°時(shí)，c=4時(shí)，。=；b=；

(2)觀察(1)中的計(jì)算結(jié)果，利用圖3證明/，b2,02三者關(guān)系.

(3)如圖4,在平行四邊形ABCO中，點(diǎn)E,F,G分別是Az),BC,CD的中點(diǎn)，BELEG,

AD=25AB=不,求AF的長.

【答案】(1)①石，√5；②屈,√7

(2)a2+b2=-c2,證明見解析

4

⑶3√2

【解析】

【分析】⑴①先證明NQ4B=45°=NP84得到Q4=P3,則R4=PB=2,DP=L利用勾股定理

求出｝=石；再由平行線的性質(zhì)證明NPDC=NPCr>,則PC=PZ)=I即可得到α=6C=G；②由

含30度角的直角三角形的性質(zhì)得到AP=2,則P8=2√5,DP=B由勾股定理得b=g^;再證明

ZPDC=ZPBA=30o,得到CP=I,則。=舊；

ADDp

(2)證明^ABPs^cZ)P,得到——=——=2,設(shè)。尸=〃2,CP=n,則AP=2n,BP=2m,再

zCPPD

利用勾股定理分別用膽、〃表示出標(biāo),/,￠2即可得到結(jié)論；

(3)如圖所示，連接AGCE,先證明四邊形AECF是平行四邊形，得到AE=CE；再證明EG是

?nAP1

AC。得中位線，推出AC?LEG;證明Z?AOES4FOB,得到?一=—r=%,則由(2)的結(jié)論可

OCBC2

知，AB-+CE2=-BC2,據(jù)此求解即可.

【小問1詳解】

解：①?rZAP3=90°,ZABD=A5o,

.?.NPAB=45。=NPBA,

?,.PA=PB，

；AB=2√2-

.?.PA=PB=-AB=2,

2

DP1

,~PB~2,

：.DP=I,

在Rt二APo中，由勾股定理得b=AD=yjDP2+AP2=√5；

??ABfICD,

：.ZPDC=NPBA=45o=ZPCD=/PAB,

：.PC=PD=?,

同理可得α=BC=?/?