2023-2024學年北京市海淀區(qū)高二年級下冊期中數(shù)學復(fù)習模擬試題 二（含解析）

2023-2024學年北京市海淀區(qū)高二下學期期中數(shù)學復(fù)習模擬試題

一、單選題

1.己知｛4,｝是等差數(shù)列，且4=6,4=4,則I。=()

A.2B.0C.-2D.-4

【正確答案】B

【分析】根據(jù)等差數(shù)列基本量的計算即可求解.

Q4=64+3d=6%=9

【詳解】設(shè)等差數(shù)列｛q｝的首項為6,公差為d,由」即…4,解得

。6=4d=-l

所以a〃=4+(n-l)d=9-(π-l)=-n+10,所以即)=-10+10=0.

故選：B

2.在1-E)的展開式中，常數(shù)項為()

A.15B.-15C.30D.-30

【正確答案】A

【分析】根據(jù)二項展開式的通項公式直接求解.

6rr63r

【詳解】Tr+l=Q-x-^-^=q-(-l)-x-,

令6—3廠=(),得廠=2,

所以常數(shù)項是4=C：(-1)2=15.

故選：A

3.已知函數(shù)"x)=xe2τ,則廣(2)的值為()

A.2B.3C.1D.-1

【正確答案】D

【分析】對原函數(shù)求導得/'(x)=(Jx)e”,再把χ=2代入，即可求解.

【詳解】函數(shù)/(x)=XeE,

.?.f?x)=e2^-t-xe2^?v=(I-X)e2^t,

.?.∕,(2)=(l-2)?e2-2=-l.

故選：D.

4.在數(shù)列{%}中，al=~,o,,?αn,1=?-l-l(n≥2),則令(儂的值為()

14

A.—B.5C.-D.3

45

【正確答案】A

【分析】根據(jù)遞推關(guān)系可判斷數(shù)列為周期數(shù)列，從而可求由必.

［詳解］q=-；M=I--—,??i-?=5,%=?4=1--^-=-4=%,數(shù)歹∣J{%}

,,

4a?_,4a25ai4"

是以3為周期的數(shù)列，

a2023—aI—~~>

故選：A

5.4名同學到3個小區(qū)參加垃圾分類宣傳活動，每名同學只去1個小區(qū)，每個小區(qū)至少安排1名同

學，則不同的安排方法種數(shù)為()

A.36B.64C.72D.81

【正確答案】A

【分析】通過排列組合，先分組，再分配即可.

2三組：埠"=6

【詳解】4名同學分成1,1

三組去三個不同的小區(qū)：A；=6

所以全部的種類數(shù)：6x6=36；

故選：A.

6.如圖是函數(shù)y=∕(χ)的導函數(shù)y=∕'(χ)的圖象，則下列判斷正確的是()

A.在區(qū)間(一3,1)上，f(χ)是增函數(shù)

B.當x=2時，/(x)取到極小值

C.在區(qū)間(1,3)上，f(x)是減函數(shù)

D.在區(qū)間(4,5)上,f(x)是增函數(shù)

【正確答案】D

【分析】對于ACD,根據(jù)導數(shù)的正負和原函數(shù)單調(diào)性之間的聯(lián)系進行判斷即可；

對于B,根據(jù)極值點處左右兩邊的單調(diào)性進行判斷.

【詳解】對A,由導函數(shù)圖象知，在-時，f'(x)<O,/O)遞減，A錯；

對B,x=2時，f(x)取得極大值(函數(shù)是先增后減)，B錯；

對C,l<x<2時，∕,(x)>0,/(χ)遞增，C錯；

對D,4<x<5時，∕,(x)>0,/(x)遞增，D正確.

故選：D.

7.若直線y=2x與曲線y=4lnx+2相切，則”=()

2

A.1B.2C.eD.e

【正確答案】B

巴=2

?

【分析】設(shè)切點(Xo,%)，則由導數(shù)的幾何意義可得卜。=2%,解方程組可得

y0=。InΛ0+2

【詳解】設(shè)切點坐標為(Xo,%),y'=E

—=2a

?

則《

y0=2?,解得，

y=tzInX+2,aC

00α=0In-+2

2

令/(α)=4ln]+2-α,則/'(α)=lnα-ln2,

所以當0<“<2時，∕,(β)<0,單調(diào)遞減；當o>2時，∕,(α)>0,單調(diào)遞增.

所以/(Gzn=/N)=°，所以方程α="ln^+2的根為α=2.

故選：B.

8.下列區(qū)間是函數(shù)y=xsinx+cosx的單調(diào)遞減區(qū)間的是()

A.(O,π)B.f—,-?'jC.(肛2])

D.

【正確答案】B

先求出導函數(shù)，在給定的區(qū)間判斷導數(shù)的正負，從而判斷函數(shù)的單調(diào)性，逐項排除可得答案.

【詳解】由已矢［)得y'=x'sinx+x(sinx)+(cosx)=SinX+尤CoSX-SinX=XCOsx，

A.當Xe(O時，cosx>0,所以y'>0,y=xsinx+cosx是單調(diào)遞增函數(shù)，錯誤；

B.X?手)時，COSXC0,/=xcosx<0,y=xsinx+cosx是單調(diào)遞減函數(shù)，正確；

C.Xe(￡,20時，cosx>0,所以y'>0,y=xsinx+cosx是單調(diào)遞增函數(shù)，錯誤；

D.xe(去用時，cosx>0,所以V>0,y=xsinx+cosx是單調(diào)遞增函數(shù)，錯誤.

故選：B.

本題考查了利用導數(shù)判斷函數(shù)在給定區(qū)間的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題.

9.在等差數(shù)列｛。,｝中，“4>0,且公比g>i”,是“｛4｝為遞增數(shù)列”的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【正確答案】A

【分析】根據(jù)等比數(shù)列的單調(diào)性結(jié)合充分不必要條件的判定即可.

n,

【詳解】當4>O,且4>1時,有an+i-an=at-q-al-q'^'=aiq"^'(√-l)>0,

,

所以?+>>4(n∈N),即也｝為遞增數(shù)列；

當｛aπ｝為遞增數(shù)列時,即對一切n∈N*,有>%恒成立，

所以4+∣-αl,=α∣?q"T(q-l)>O,

但q<O且O<4<1時,上式也成立,顯然無法得出q>O,且夕>1.

則”4>0,且公比4>1”是為遞增數(shù)列''的充分必要條件.

故選：A.

10.新冠疫情影響經(jīng)濟發(fā)展，特別是對個體企業(yè)的沖擊較大，某銀行為響應(yīng)國家號召，扶持個體企

業(yè)的發(fā)展，對小微企業(yè)實行貼息貸款，若該銀行月貸款利率由原來的0.5%下降到0.35%,那么請你

根據(jù)所學知識估算，該銀行的年貸款利率下降了多少個百分點()

A.1.5B.1.8C.2.0D.2.2

【正確答案】B

【分析】先求出月利率的下降百分點，再乘以12即可得解.

【詳解】該銀行月貸款利率由原來的0.5%下降到0.35%,

則月利率下降了0.5%—0.35%=0.15%,

所以該銀行的年貸款利率下降了0.15%xl2=1.8%個百分點.

故選：B.

二、填空題

11.曲線/(x)=XlnX在χ=l處的切線的方程為.

【正確答案】χ-j-l=0

【分析】求導得切線的斜率，由點斜式即可求解直線方程.

【詳解】∕,(%)=lιu+l,Λ∕,(l)=l,因此切線的斜率為r(1)=1；

又〃1)=0,.?.段)在X=I處的切線方程為y=x-l,即x-y-l=0.

故x-y-l=O.

12.在等比數(shù)列｛q｝中，4+4=10，a2+a4=-5,則其前5項的和的值為

【正確答案】y/5.5

【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可得公比與首項，進而求得通項公式與其即可.

【詳解】因為4+%=1。，。2+〃4=-5,

+%—51

所以4=

4+%?θ2

所以q+q=4+4%=10,即％=8,

所以45=的4=8、1)=3,

故Sζ—Cty+%+/+%+“5=1015+/=

,,11

故5

13.已知(l+2x)4:4+。/+々/+〃/'+%/,則〃。+叼+包的值等于.

【正確答案】41

【分析】分別令X=I和X=T,再將兩個等式相加可求得4+〃2+4的值.

【詳解】令X=1,則〃0+%+〃2+〃3+α4=34=81；

令X=-1,則/-q+%-%+4=1，上述兩式相加得2(<?+θ2+4)=8∣+∣,故《>+α2+4=41

故答案為.41

14.定義方程“x)=r(x)的實數(shù)根X叫做函數(shù)/(x)的“T點”，若函數(shù)g(x)=e*-X,Λ(x)=lnx,

O(X)=2023x+2023的“T點”分別為ia,b,c,則c的大小關(guān)系為.

【正確答案】b>a>c

【分析】先根據(jù)函數(shù)的新定義分別求出“，b,c,然后再比較大小

【詳解】由g(x)=e，-X,得/(x)=e'-l,所以由題意得e"-4=e"7,解得α=L

由∕z(x)=lnx,得“(X)=L

所以由題意得Inb=

b

令f(x)=lnx—,(x>O),則r'(x)=—∣—^^>0,

XXX'

所以f(x)在(0,+8)上遞增，

11

因為W)=-I<0,f(2)=ln2--=ln2-lne2>0,

所以存在%e(L2),使侖)=0,所以6G(1,2),

由O(X)=2023x+2023,得"(x)=2023,

所以由題意得2023c+2023=2023,解得c=O.

所以6>4>c,

故6>4>c

15.將1,2,3,4,5,6,7,8,9這九個數(shù)填入如圖所示3x3的正方形網(wǎng)格中，每個數(shù)填一次，

每個小方格中填一個數(shù)，考慮每行從左到右，每列從上到下，兩條對角線從上到下這8個數(shù)列，給

出下列四個結(jié)論：

①這8個數(shù)列中最多有3個等比數(shù)列；

②若中間一行、中間一列、兩條對角線均為等差數(shù)列，則中心數(shù)必為5；

③若第一行、第一列均為等比數(shù)列，則其余6個數(shù)列中至多有1個等差數(shù)列.

其中所有正確結(jié)論的序號是.

【正確答案】①②

【分析】①.由1,2,3,4,5,6,7,8,9這九個數(shù)中，等比數(shù)列有：1,2,4；1,3,9；2,4,8；4,6,

9,從而可判斷；②.由2x5=l+9=2+8=3+7=4+6,可判斷；③舉反例即可判斷

【詳解】①.1,2,3,4,5,6,7,8,9這九個數(shù)中,等比數(shù)列有：1,2,4；1,3,9；2,4,8；4,6,9.

由于1,2,4和2,4,8這兩個等比數(shù)列不可能在網(wǎng)格中不可能在同一列，同一行或?qū)蔷€上.

所以這8個數(shù)列中最多有3個等比數(shù)列,例如如圖滿足有3個等比數(shù)列.故正確

00θ

00

00S

②.若三個數(shù)b,c,成等差數(shù)列，則》=a+c.

根據(jù)題意要有4組數(shù)成等差數(shù)列，且中間的數(shù)6相同.則只能是6=5

由2x5=1+9=2+8=3+7=4+6

則中間一行、中間一列、兩條對角線四列的數(shù)分別為1,5,925,835,7；4,5,6時滿足條件；

中心數(shù)為其他數(shù)時，不滿足條件.故②正確.

③.若第一行為1,2,4；第一列為1,3,9,滿足第一行、第一列均為等比數(shù)列.

第二行為3,5,7,第二列為2,5,8,則第二行，第二列為等差數(shù)列，此時有兩個等差數(shù)歹∣J?故③不正確

故①②

三、解答題

16.設(shè)公差不為O的等差數(shù)列｛為｝的前〃項和為S“，S5=20,ai=a2a5.

⑴求數(shù)列｛%｝的通項公式；

（2）若數(shù)列也｝滿足仇=1,b?+b,,+l=（&產(chǎn),求數(shù)列他“｝的前n項和SIt.

+

【正確答案】（l）4=2”-2,n∈N

【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)設(shè)出公差和首項，代入題中式子求解即可；

（2）列出也+%｝通項公式,根據(jù)通項求出也+%｝的前〃項和，再根據(jù)通項求出｛』｝的前2〃項

和，兩式相減解得｛偽,,｝的通項公式，最后分組求和求出數(shù)列｛邑｝的前〃項和s..

【詳解】（I）S5=5?=20^?=4,設(shè)公差為亂首項為4

2

?=α2a5=(α3-J)(?+2√)=?+α,<∕-2J,因為公差不為0,所以解得d=2,

+

%=4+2d=4nα∣=0,數(shù)列｛”,,｝的通項公式為4,=2〃-2,w∈N.

u22

(2)bn+b,,+i=(√2)"=(√2)"^=N-

+

(Z>∣+?)+(?+?)+(?+?)???+(?n-ι+?n)①

-4…2』邛了二3

(bl+?2)+(?+?)+(?+?)+-+(?-∣+?n)②

2WI

n1?7?1×(1-2^)21

=2O+21+22÷???+22Π^2=—---------L=22Π^,-1

1-2

f4π119?

2π1

Φ×2-(g)W?l+?2,=2×ly-J-2-+l,解得%,=；X4"_22"T_§

O

3。-4")20一4")

28

——n=—×

w^^1-41-433

17.直角一ABC中，NAe8=90,AC=BC=2,。是邊AC的中點，E是邊AB上的動點（不與AB

重合）.過點E作AC的平行線交BC于點F,將EF沿跖折起，點B折起后的位置記為點P,使

得平面ABC1平面PEF,且得到四棱錐P-ACFE.設(shè)Z=T=x.

（1）求四棱錐P-AC所的體積V（X）,并寫出定義域:

⑵求V(X)的最大值.

z14

【正確答案】(I)V(x)=*-/+0<Λ<2

63

⑵當x=2-苧時，V(x)nm=A^.

【分析】（1）先證得尸尸為四棱錐尸-ACFE的高，再利用棱錐體積公式即可得到答案;

（2）對（1）問的解析式求導，利用導數(shù)得到其最值即可.

【詳解】（1）因為在直角-ABC中，ZACB=90,所以AC/8C,

又EFHAC,所以翻折后BF,EF垂直關(guān)系不變，故PF,EF

又因為平面ABCl平面PETL平面ABCc平面PE∕=EF,PFU平面PE尸,

所以P尸，平面4BC,故PF為四棱錐尸-ACFE的高，

則EF=8E=PF=2—X,x>0,2-x>0,貝∣JO<x<2,

]?14

^p-ACFF=—X—X(2—x+2)x(2—x)=—/一—X0VX<2.

3263j

(2)V(X)=-2x+§=%(3爐—12x+8),0<X<2,

令S(X)=0,解得x=2+g√5(舍)或》=2-,。，

當Xe(O,2-∣G),V>0,函數(shù)單調(diào)遞增，

(√3、

當XW2-52一，2W'<。,函數(shù)單調(diào)遞減，

所以當x=2-不時,函數(shù)取得最大值V

則體積最大值為丫

18.設(shè)函數(shù)/(x)=αln(x+l)-x(αHθ).

⑴求曲線y="x)在(OJ(O))處的切線方程;

⑵求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間；

⑶當0<“<l時，求/(x)零點的個數(shù).

【正確答案】⑴y=(a—l)x；

⑵答案見解析；

(3)2個零點.

【分析】(1)求出/(x)導數(shù)，代入切點坐標，求出對應(yīng)切點斜率，利用點斜式即可求出切線方程；

(2)求出f(x)導數(shù)零點，分類討論零點在不同區(qū)間時/'(x)的取值范圍，由此求出單調(diào)區(qū)間；

(3)根據(jù)導數(shù)求出/%)的最大值，再根據(jù)零點存在性定理和函數(shù)單調(diào)性即可判斷出了(x)零點的個

數(shù).

【詳解】(1)/(0)=αlnl-0=0,f?x)=^--?,則/(0)=α-l,

根據(jù)方程點斜式可得.y=(α-i)χ

(2)r(x)=^≤φ^,令r(x)=￡z^>o,^x<a-?,

因為x∈(-l,+oo),所以：

?α-l<-l,即α<0時,在區(qū)間(-1,+∞),∕,(x)<0,f(x)單調(diào)遞減；

當α>0時，在區(qū)間(Ta—1),軟χ)>O,〃x)單調(diào)遞增，

在區(qū)間(4T,+∞),/'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減；

綜上所述：當“<O時，“X)在(T,+∞)單調(diào)遞減；

當4>0時，〃x)在(T,α-1)單調(diào)遞增，在(α-l,w)單調(diào)遞減.

(3)由(2)可知，當O<α<l時，/(x)在(-l,α-1)單調(diào)遞增，在("—L+∞)單調(diào)遞減，

其中.f(x)nm=√'(αT)=αlnα-α+l,令g(α)="lnα-α+l,

g<α)=ln4,因為0<α<l,所以g'(4)<O,此時g(α)單調(diào)遞減，

g(α)>g⑴=0,所以/(x)maχ>0,

因為α-l<0,且/(O)=O,所以"x)在(αT,+∞)存在一個零點，

，二、~(--y?—(--A

因為==所以/(x)在『二7,a7j存在一個零點,

故當0<α<l時，/(x)有2個零點.

四、單選題

19.若函數(shù)/(x)="z?e*-x3+2x("z<0)在(0,1)上有極值點，則加的取值范圍為()

A?(-2,0)b?12,TC.1：,0)D.[-l,-?]

【正確答案】A

【分析】對函數(shù)進行求導，由于函數(shù)有極值點即r(x)有變號零點，根據(jù)導函數(shù)的單調(diào)性列出不等式

解出即可.

【詳解】因為/(x)=m?e*-V+2x("z<0),所以/'(x)=m?e*—3Λ2+2(?<0),

因為/(%)="2?e'-6x<0在((U)上恒成立，所以廣⑴在(0,1)上為減函數(shù),

/,(0)=∕H+2>0

所以,∕,(1)=we-l<0,解得一2<小<0,

z??<0

故選：A.

20.己知數(shù)列[-?)的前〃項和為刀,，若對任意的〃∈N",不等式/-2〃?>67；恒成立，則實數(shù)加

[4n~-IJ

的取值范圍是()

A.(-8,-l]u[3,+e)B.(-∞,-3]U[1,+OO)C.[—3,1]D.[—1,3]

【正確答案】A

【分析】利用裂項相消求出，，再將恒成立問題轉(zhuǎn)化為最值問題，進而求出結(jié)果.

11If1\}

[詳解]由=―ιλ∕o.I\=o?―7一丁TT，

4〃-1(2n-lJ(2n+l)2?2n-l2n+i)

因為對任意的"∈N,不等式布一2加>67；恒成立，

所以"?2-2m≥6×-,

2

解得加≥3或/%≤—1.

故選.A

21.對于二項式(1-v],四位同學作出了四種判斷：

①在展開式中沒有常數(shù)項；②在展開式中存在常數(shù)項；

③在展開式中沒有X的一次項；④在展開式中存在X的一次項

上述判斷中正確的是()

A.①③B.②③C.②④D.①④

【正確答案】D

【分析】根據(jù)展開式的通項公式即可作出判斷.

r,rr1rr7r4r7

【詳解】根據(jù)二項式定理得4M=C12--x-?(-l)?√=(-iy2-C；x-

因為reN,所以為4∕?-7/0,故在展開式中沒有常數(shù)項，①正確、②錯誤；

當r=2時，展開式中的X為一次項，③錯誤，④正確.

故選：D.

22.若函數(shù)g(x)=xlnx-a(X-I)恰有2個零點，則實數(shù)”的取值范圍為()

A.(0,+<?)B.(0,e)

C.(O,1)L(1,÷X>)D.(0,1)(l,e)

【正確答案】C

【分析】設(shè)/(x)=Xlnr,求導數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性與取值情況，即可作出y=∕(x)的大致圖象，將

函數(shù)g(x)的零點個數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)函數(shù)y=∕(χ)的圖象與直線y=α(χ-1)的圖象交點個數(shù)，分析函數(shù)

與直線情況，即可得實數(shù)。的取值范圍.

【詳解】令F(X)=HnX,XW(O,+00),則r(x)=hu+l,

當Xe(OT)時，f'(x)<8/U)單調(diào)遞減；當xeg,g°)時，制x)>0,/(x)單調(diào)遞增，

當X=I時，/(x)=0,當無趨向正無窮時，/(x)趨向正無窮，故作出y=∕(x)的大致圖象，如圖所

由題知函數(shù)g(x)=xlnx-a(x-l)恰有2個零點，即函數(shù)y=∕(χ)的圖象與直線y=α(χ-l)的圖象恰

有2個交點，

易知點(1,0)為y="χ)與直線y="(χ-i)的公共點，又曲線y=∕(χ)在點(以))處的切線方程為

y=χ-?,

所以當o<"i,直線y=。(XT)與與曲線y=∕(χ)有2個交點；

當時,直線y=α(χ-l)與曲線y=f(χ)有2個交點.

綜上所述，實數(shù)”的取值范圍為(0,1)(1,田).

故選：C.

五、填空題

23.設(shè)公差不為零的等差數(shù)列｛叫的前〃項和為S“；ai=?,則稱=_________________.

2d4

【正確答案】-9

【分析】設(shè)等差數(shù)列｛4,｝的公差為乩利用基本量代換求出(?=器熊|,進而求解.

【詳解】設(shè)等差數(shù)列｛叫的公差為d,(d>0),

?.?%%=3(。4+4)，解得：%=d,a5=2d9

4=%—3d=-2d,.?.q+%=—d,

.Sq_(?1+t?)×9_2?×9_4d×9

…S4(q+4)x4(6f∣+Λ4)×4-J×4

故—9.

'∣e't-l∣,x≤l

,則方程/(X)=3的解的個數(shù)為.

24.已知函數(shù)/(X)=，Inx.

-----,x>1

、?-l

【正確答案】3

【分析】分區(qū)間計算方程，根據(jù)方程的跟的數(shù)量即可判斷解的個數(shù).

【詳解】當x≤l時，/(x)=∣et-l∣,令FT=；可得e，=T或e"=g,

31

解得百=Ine或々=In^,

因為ΛVΛ2∈(YO,1],所以當x≤l時，/(x)=g的解有2個；

當工>1時，f(x)?-l?!?,令二,可得21nx-x+l=0,

\'X-1x-12

、22

設(shè)g(x)=21nx-％+1,則/(工)二；一1,令g,(χ)=,7>0,解得χv2,

故g(x)在(1,2)單調(diào)遞增，(2,+W)單調(diào)遞減，

其中g(shù)(l)=0,g(x)在。,2)無零點,

?(e2)=5-e2<0,8(可在(2,+8)有一個零點,

即當x>l時，/(%)=；的解有1個；

綜上方程"x)=g的解的個數(shù)為：3.

故3.

25.已知x+e'=y+lny,且f=y-x+l,則實數(shù)f的最小值為.

【正確答案】2

【分析】先將x+e"=y+lny(y>0),轉(zhuǎn)化為x+e*=Iny+e∣”,再利用函數(shù)/(x)=x+e，在R上單調(diào)

遞增，可得X=Iny,進而轉(zhuǎn)化為f=y-lny+l(y>0),再利用導數(shù)求出函數(shù)f=y-lny+l的最小值

即可.

【詳解】由x+e*=y+lny(y>0),得x+e*=Iny+3”,

令/(x)=x+e*,則/(x)=F(Iny),

Γ(x)=l+ev>O,所以函數(shù)/(x)=x+e'在R上單調(diào)遞增，

所以X=Iny,

則t=y-x+1=?-lny+l(y>θ),

==-^^-(y>θ),

yy

當0<y<l時，t'<0,當y>l時，t'>0,

所以函數(shù)r=y-lny+l在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增，

所以當y=l時，t=y-lny+l取得最小值l-lnl+l=2,

即實數(shù)f的最小值為2.

故答案為.2

關(guān)鍵點點睛：將x+e'=y+hIy(y>0),轉(zhuǎn)化為x+e'=lny+e∣”,再利用函數(shù)"x)=x+e*在R上單

調(diào)遞增，得X=Iny是解決本題的關(guān)鍵.

六、解答題

26.已知實數(shù)數(shù)列｛α,,｝滿足?4+2=∣4,J-4,("WN*)

(1)若α∣=0,4=2,求小，生的值