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文檔簡(jiǎn)介
專題17最值問(wèn)題中的將軍飲馬模型
【模型展示】
傳說(shuō)亞歷山大城有一位精通數(shù)學(xué)和物理的學(xué)者,名叫海倫。一天,一位羅馬
將軍專程去拜訪他,向他請(qǐng)教一個(gè)百思不得其解的問(wèn)題。將軍每天從軍營(yíng)A出發(fā),
先到河邊飲(yin)馬,然后再去河岸同側(cè)的B地開(kāi)會(huì),應(yīng)該怎樣走才能使路程最短?
從此,這個(gè)被稱為“將軍飲馬”的問(wèn)題廣泛流傳。
作圖問(wèn)題:在直線1上求作一點(diǎn)C,
使AC+BC最短問(wèn)題.
結(jié)論AC+BC最短
【模型證明】
(1)現(xiàn)在假設(shè)點(diǎn)A,B分別是直線1異側(cè)的兩個(gè)點(diǎn),如何在1上找到一個(gè)點(diǎn),使得這
個(gè)點(diǎn)到點(diǎn)A,點(diǎn)B的距離的和最短?
解決方
案
連接AB,與直線1相交于一點(diǎn)C.
AC+BC最短(兩點(diǎn)之間線段最短)
(2)現(xiàn)在假設(shè)點(diǎn)A5B分別是直線I同側(cè)的兩個(gè)點(diǎn),如何在I上找到一個(gè)點(diǎn),使得這
個(gè)點(diǎn)到點(diǎn)A,點(diǎn)B的距離的和最短?
【題型演練】
一、單選題
1.如圖,正方形ABCO的邊長(zhǎng)是4,點(diǎn)E是。C上一個(gè)點(diǎn),且。E=l,P點(diǎn)在AC上移動(dòng),
則PE+PD的最小值是()
A.4B.4.5C.5.5D.5
【答案】D
【分析】連接8E,交AC^Γ點(diǎn)、N,連接。M,M即為所求的點(diǎn),則8E的長(zhǎng)即為DP+尸E的
最小值,利用勾股定理求出BE的長(zhǎng)即可.
【詳解】解:如圖,
?.?四邊形ABCO是正方形,
.?.點(diǎn)B與點(diǎn)。關(guān)于直線AC對(duì)稱,
連接8E,交AC于點(diǎn)M,連接。M,
ZW=BM
DN+EN=BN+EN,≥BD,
則BE的長(zhǎng)即為QP+PE的最小值,
AC是線段2。的垂直平分線,
XVCE=CZ)-DE=4-1=3,
在Rt&BCE中,
BE2=CE2+BC2=25,
?'BE>0,
.?.8E=5,
即OP+PE的最小值為5,
故選:D.
【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì),軸對(duì)稱-最短路線問(wèn)題,兩點(diǎn)之間,線段最短等知
識(shí),將PE+PD的最小值轉(zhuǎn)化為8E的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵.
2.如圖,正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4,點(diǎn)M在。C上,且。M=I,N是4C上一動(dòng)點(diǎn),則DN+MN
的最小值為()
A.4B.4√2C.2√5D.5
【答案】D
【分析】由正方形的對(duì)稱性可知點(diǎn)8與力關(guān)于直線AC對(duì)稱,連接交AC于NIV即為
所求在Rt?BCM中利用勾股定理即可求出BM的長(zhǎng)即可.
【詳解】Y四邊形ABCo是正方形,
二點(diǎn)8與/)關(guān)于直線AC對(duì)稱,
:.DN=BN,
連接8/),8A/交ACTM,連接。M,
當(dāng)8、N、M共線時(shí),ON+MN有最小值,則8M的長(zhǎng)即為Z)N+Λ∕N的最小值,
???AC是線段8。的垂直平分線,
又?.?8=4,DM=I
.?.CΛ∕=CO-OΛ∕=4-I=3,
在RtCM中,BM=4CM-+BC1=√32+42=5
故Z)N+MN的最小值是5.
故選:D.
【點(diǎn)睛】本題考查的是軸對(duì)稱-最短路線問(wèn)題及正方形的性質(zhì),先作出。關(guān)于直線AC的對(duì)
稱點(diǎn),由軸對(duì)稱及正方形的性質(zhì)判斷出D的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn)B是解答此題的關(guān)鍵.
3.如圖,矩形ABCD中,AB=4,8C=6,點(diǎn)P是矩形A3C。內(nèi)一動(dòng)點(diǎn),且5小=白.”,
則尸C+P。的最小值是()
A.4√3B.4√5
C.2√13D.2√29
【答案】B
【分析】作PM,Ao于M,作點(diǎn)。關(guān)于直線尸M的對(duì)稱點(diǎn)E,連接PE,EC.設(shè)AM=x.由
2例垂直平分線段OE,推出PQ=PE,??PC+PD=PC+PE>EC,利用勾股定理求出EC的
值即可.
【詳解】解:如圖,作「歷,AD于作點(diǎn)。關(guān)于直線尸M的對(duì)稱點(diǎn)E,連接尸E,EC.設(shè)
AM=x.
Y四邊形ABC都是矩形,
.?AB∕∕CDfAB=CD=4,BC=AD=6,
VSPAB=-SPCD,
Δ2δ
-×4×x=-X-×4×(6-x),
222
u
.?x=2f
ΛΛM=2,DM=EM=4,
22
在&AES中,EC=y∣CD+DE=4√5,
:PM垂直平分線段OE,
:.PD=PE,
:.PC+PD=PC+PE>EC,
ΛPD+PC≥4√5,
??.PO+PC的最小值為4石.
故選:B.
【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱-最短路線問(wèn)題,凡是涉及最短距離的問(wèn)題,一般要考慮線段的
性質(zhì)定理,結(jié)合軸對(duì)稱變換來(lái)解決,多數(shù)情況要作點(diǎn)關(guān)于某直線的對(duì)稱點(diǎn).
4.如圖,等邊AABC的邊長(zhǎng)為6,Ao是BC邊上的中線,M是AQ上的動(dòng)點(diǎn),E是邊AC上
一點(diǎn),若AE=2,則EM+CM的最小值為()
A
A.而B(niǎo).3√3C.2√7D.4√2
【答案】C
【分析】連接BE,交A。于點(diǎn)例,過(guò)點(diǎn)E作EFLBC交于點(diǎn)凡此時(shí)EM+CM的值最小,
求出BEBPuJ'.
【詳解】解:連接8E,交AO尸點(diǎn)M,過(guò)點(diǎn)E作E尸,BC交于點(diǎn)片
「△ABC是等邊三角形,是8C邊上的中線,
;.B點(diǎn)、與C點(diǎn)關(guān)于A。對(duì)稱,
.,.BM=CM,
:.EM+CM=EM+BM=BE,此時(shí)EM+CM的值最小,
VAC=6,AE=I,
.?.EC=4,
在Rf△EFC中,NECF=60。,
ΛFC=2,EF=2√3,
在RtA8EF中,BF=A,
:.BE=2幣,
故選:C.
【點(diǎn)睛】本題考查軸對(duì)稱求最短距離,熟練掌握軸對(duì)稱求最短距離的方法,靈活運(yùn)用勾股定
理是解題的關(guān)鍵.
5.已知線段AB及直線/,在直線/上確定一點(diǎn)P,使∕?+PB最小,則下圖中哪一種作圖方
法滿足條件().
B
【答案】C
【分析】根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)以及兩點(diǎn)之間線段最短即可解決問(wèn)題.
【詳解】解:;點(diǎn)A,8在直線∕的同側(cè),
二作B點(diǎn)關(guān)于/的對(duì)稱點(diǎn)B',連接AB'與/的交點(diǎn)為P,由對(duì)稱性可知BP=B'P,
:.∕?+PB=尸8'+∕?=48'為最小
故選:C.
【點(diǎn)睛】本題考查軸對(duì)稱求最短距離,掌握兩點(diǎn)在直線同側(cè)時(shí),在宜線上找一點(diǎn)到兩點(diǎn)距離
最短的方法是解題的關(guān)鍵.
6.如圖,點(diǎn)M是菱形A8C。的邊BC的中點(diǎn),P為對(duì)角線B。上的動(dòng)點(diǎn),若AB=2,ZA=
120。,則PM+PC的最小值為()
A.2B.√3C.√2D.1
【答案】B
【分析】連接AM、AC,AM交BD于P,此時(shí)尸M+PC最小,連接CP,由菱形的性質(zhì)可知
C和A關(guān)于BQ對(duì)稱,AP=CP,由條件易證△ABC是等邊三角形,根據(jù)三線合一可知AMLBC,
再根據(jù)勾股定理可求AM的值,即可求解.
【詳解】解:連接4歷、AC,AM交8。于P,
此時(shí)PM+PC最小,連接CH
AD
;四邊形ABC。是菱形,
04=0C,AClBD,
...C和A關(guān)于8。對(duì)稱,
:.AP=PC,
':NA=I20°,
ZABC=60o,
...△A8C是等邊三角形,
.,.AC=AB=2,
;例是BC的中點(diǎn),
C.AMVBC,
N8AM=30°,
.?BM=l,
.".ΛΛ∕=√Aδ2-BM2=√3>
.?.PM+PC=AM=B
故選B.
【點(diǎn)睛】本題考查了將軍飲馬類型的求最小值問(wèn)題,涉及菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與
性質(zhì)、勾股定理等知識(shí),解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確找到P的位置.
7.如圖,在中,AB=2,NABC=60。,NACB=45。,。是BC的中點(diǎn),直線/經(jīng)過(guò)
點(diǎn)。,AE±l,BFLl,垂足分別為E,F,則AE+8F的最大值為()
【答案】A
【分析】把要求的最大值的兩條線段經(jīng)過(guò)平移后形成一條線段,然后再根據(jù)垂線段最短來(lái)進(jìn)
行計(jì)算即可.
【詳解】解:如圖,過(guò)點(diǎn)C作CKjJ于點(diǎn)K,過(guò)點(diǎn)A作AH_LBC于點(diǎn)H,
在Rt?AHB中,
VZABC=60o,AB=2,
.,.BH=1,AH=G,
在RlZiAHC中,ZACB=45o,
2222
?'?AC=y∣AH+CH=λ∕(>Λ)+(√3)=√6,
Y點(diǎn)D為BC中點(diǎn),
BD=CD,
在4BFD與ACKD中,
'NBFD=NCKD=90。
-NBDF=NCDK,
BD=CD
Λ?BFD^?CKD(AAS),
.?.BF=CK,
延長(zhǎng)AE,過(guò)點(diǎn)C作CNlAE于點(diǎn)N,
可得AE+BF=AE+CK=AE+EN=AN,
在RtAACN中,AN<AC,
當(dāng)直線AC時(shí),最大值為",
綜上所述,AE+BF的最大值為卡.
故選:A.
【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理及平移的性質(zhì),構(gòu)建全等三角形
是解答此題的關(guān)鍵.
8.如圖,凸四邊形ABCQ中,NA=90。,NC=90。,ND=60。,AD=3,4B=√J,若點(diǎn)M、N
分別為邊CRAO上的動(dòng)點(diǎn),則,&WN的周長(zhǎng)最小值為()
C
B
Di---------------A
A.2√6B.3√6C.6D.3
【答案】C
【分析】由軸對(duì)稱知識(shí)作出對(duì)稱點(diǎn),連接兩對(duì)稱點(diǎn),由兩點(diǎn)之間線段最短證明8'*最短,
多次用勾股定理求出相關(guān)線段的長(zhǎng)度,平角的定義及角的和差求出角度的大小,最后計(jì)算出
ABMN的周長(zhǎng)最小值為6.
【詳解】解:作點(diǎn)B關(guān)于S、AO的對(duì)稱點(diǎn)分別為點(diǎn)8'和點(diǎn)川,
連接BTT交Z)C和AD于點(diǎn)M和點(diǎn)N,DB,連接MB、NB;
再DC和A加上分別取一動(dòng)點(diǎn)M'和N'(不同于點(diǎn)M和N),
連接Λ√5,M,β.NB和NE,如圖1所示:
RM'=BM',B"N'=BN',
BM'+MN+BN'>B1B",
又?BrB"=BtM+MN+NF,
MB=MB,NB=NB",
NB+NM+BM<BM'+M'N'+BN',
???∕δ8,mw=NB+MW+8M時(shí)周長(zhǎng)最小;
連接DB,過(guò)點(diǎn)B'作BH±DBT于8"。的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H,
如圖示2所示:
「在R/ABD中,AD=3,AB=6,
DB=?∣AD2+AB2=√32+(√^)2=2√3.
.2=30°,
.?.Z5=30o,DB=DB",
X-ZADC=Nl+N2=60°,
ΛZI=30°,
.??Z7=30o,DB'=DB.
.?.ZB,DB?=Zl+Z2+Z5+Z7=120o,
DB'=DB"=DB=2^,
又?Zβ,D2Γ+Z6=l80o,
.?.Z6=60o,
.?.WD=√3?HB'=3,
在RlABlHfr中,由勾股定理得:
2222
B'B"=HB'+HB"=λ∕3+(3^)=√27+9=6.
:幾MN=NB+NM+BM=6,
故選:C.
【點(diǎn)睛】本題綜合考查了軸對(duì)稱一最短路線問(wèn)題,勾股定理,平角的定義和兩點(diǎn)之間線段最
短等相關(guān)知識(shí)點(diǎn),解題的關(guān)鍵是掌握軸對(duì)稱-最短路線問(wèn)題,難點(diǎn)是構(gòu)建直角三角形求兩點(diǎn)
之間的長(zhǎng)度.
二、填空題
9.在現(xiàn)實(shí)生活中,我們經(jīng)常會(huì)看到許多“標(biāo)準(zhǔn)”的矩形,如我們的課本封面、A4的打印紙等,
其實(shí)這些矩形的長(zhǎng)與寬之比都為友:1,我們不妨就把這樣的矩形稱為“標(biāo)準(zhǔn)矩形”,在"標(biāo)準(zhǔn)
矩形"ABCD中,如圖所示,點(diǎn)。在Z)C上,且DQ=AO,若G為BC邊上一動(dòng)點(diǎn),當(dāng)aAGQ
【答案】上史
2
【分析】先設(shè)出矩形的邊長(zhǎng),將AQ和CQ表示出來(lái),再通過(guò)作對(duì)稱點(diǎn)確定△4GQ的周長(zhǎng)最
小時(shí)的G點(diǎn)位置后,利用平行線分線段成比例的基本事實(shí)的推論建立等式求解即可.
【詳解】解:設(shè)DC=Ox,DQ=AD=x,
ΛCC=(√2-1)Λ
:矩形48C。,
CB=/8=90。,AB=DC=近X,BC=AD=χ,
21
AQ=y∣AD+DQ=√2x,
如圖,作Q點(diǎn)關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)E,連接AE交BC于點(diǎn)M,
C.GQ=GE,C(2=Cf=(√2-l)x
AQ+QG+AG=√2Λ+AG+E,G>√2X+AE.
當(dāng)A、G、E三點(diǎn)共線時(shí),AAGQ的周長(zhǎng)最小,
此時(shí)G點(diǎn)應(yīng)位于圖中的M點(diǎn)處;
:矩形ABCZ)中,ZQCG=90o,
.?.E點(diǎn)位于QC的延長(zhǎng)線上,
.?CE∕∕AB,
.?.CM_CE(應(yīng)TX_2-亞
~MB~~AB~-√2x--2-
即生="包,
GB2
2-√2
故答案為:
2
【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、勾股定理、最短路徑、平行線分線段成比例的基本事實(shí)的
推論等內(nèi)容,解題關(guān)鍵是能正確找到滿足題意的G點(diǎn)位置,同時(shí)要牢記平行線分線段成比
例的推論,即平行于三角形的一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線),所得的對(duì)應(yīng)線段
成比例.
10.如圖,點(diǎn)尸是NAoB內(nèi)任意-點(diǎn),OP=3cm,點(diǎn)M和點(diǎn)N分別是射線。4和射線OBI:
的動(dòng)點(diǎn),ZAOB=30°,則PMN周長(zhǎng)的最小值是.
【答案】3
【分析】根據(jù)“將軍飲馬''模型將最短路徑問(wèn)題轉(zhuǎn)化為所學(xué)知識(shí)“兩點(diǎn)之間線段最短”可找到
11PΛW周氏的最小的位置,作出圖不,充分利用對(duì)稱性以及4。8=30。,對(duì)線段長(zhǎng)度進(jìn)行等
量轉(zhuǎn)化即可.
解:如圖所示,過(guò)點(diǎn)P分別作P點(diǎn)關(guān)于OB、OA邊的時(shí)稱點(diǎn)產(chǎn)、產(chǎn),連接PP-、PP、PP、
OP?OP",其中P產(chǎn)分別交OB、OA于點(diǎn)N、M,根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”可知,此時(shí)點(diǎn)
M.N的位置是使得PMV周長(zhǎng)的最小的位置.
由對(duì)稱性可知:PN=P'N,PM=P"M,NPOB=ZPOB,ZPOA=ZPnOA
OP=Op"=OP=3,
ZPOA+ZPOB=ZAOB=30°
.?.N產(chǎn)。4+NP'O8=30°
.?.ZPOA+NPoB+NP"OA+NPoB=NPoP"=60o
.?.△POP"為等邊三角形
.?.PP=OP=OP=3
:.PMN的周長(zhǎng)=PN+PM+MN=PN+P"M+MN=PP"=3
故答案為:3
【點(diǎn)睛】本題是典型的的最短路徑問(wèn)題,考查了最短路徑中的“將軍飲馬”模型,能夠熟練利
用其原理“兩點(diǎn)之間線段最短”作出最短路徑示意圖是解決本題的關(guān)鍵.
??.如圖,等邊AMC的邊長(zhǎng)為4,點(diǎn)E是AC邊的中點(diǎn),點(diǎn)P是ΔABC的中線Ao上的動(dòng)點(diǎn),
則EP+CP的最小值是.
【答案】2√3
【分析】當(dāng)連接8E,交A。于點(diǎn)P時(shí),EP+CP=EP+PB=EB取得最小值.
【詳解】解:連接8E
???△ABC是等邊三角形,4。是8C邊上的中線,
.?AD±BC,
.?.A。是8C的垂直平分線,
點(diǎn)C關(guān)于AC的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)B,
ABE就是EP+CP的最小值.
「△ABC是等邊三角形,E是AC邊的中點(diǎn),
ΛBE?ΔABC的中線,
:.CE=AC=I,
BE=4BC2-CE2=2也
即EP+CP的最小值為2√L
故答案為:2>fi.
【點(diǎn)睛】本題主要考查了軸對(duì)稱-最短路線問(wèn)題以及等邊三角形的性質(zhì),勾股定理,熟練學(xué)
握等邊三角形和軸對(duì)稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
12.如圖,正方形ABC。的邊長(zhǎng)為8,點(diǎn)"在。C上且。M=2,N是AC上的一動(dòng)點(diǎn),則
DN+MN的最小值是.
【分析】要求力N+MN的最小值,DN,MN不能直接求,可考慮通過(guò)作輔助線轉(zhuǎn)化力M
MN的值,從而找出其最小值求解.
【詳解】解:???正方形是軸對(duì)稱圖形,點(diǎn)8與點(diǎn)。是關(guān)于直線AC為對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn),
連接BMBD,
.?DN+MN=BN+MN,
連接8M交AC于點(diǎn)尸,
Y點(diǎn)N為AC上的動(dòng)點(diǎn),
由三角形兩邊和大于第三邊,
知當(dāng)點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)尸時(shí),BN+MN=BP+PM=BM,
8N+MN的最小值為8M的長(zhǎng)度,
:四邊形ABCO為正方形,
ΛBC=CD=8,CM=8-2=6,ZBCM=90°,
:.BM-√62+82=IO-
ON+MN的最小值是10.
故答案為:10.
【點(diǎn)睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)和軸對(duì)稱及勾股定理等知識(shí)的綜合應(yīng)用.
13.如圖所示,在ABC中,AB=AC,直線EF是A3的垂直平分線,。是BC的中點(diǎn),M
是Er上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),45C的面積為12,BC=4,則A3Z)M周長(zhǎng)的最小值是.
【答案】8
【分析】連接AO,AM,由EF是線段AB的垂直平分線,得到AM=BM,則△8。M的周長(zhǎng)
=BD+BM+DM=AM+DM+BD,要想△8。W的周長(zhǎng)最小,即要使AM+DW的值最小,故當(dāng)A、
例、。三點(diǎn)共線時(shí),AM+/)M最小,即為AO,山此再根據(jù)三線合一定理求解即可.
【詳解】解:如圖所示,連接AzxAM,
尸是線段AB的垂直平分線,
:.AM=BM,
:.ABDM^z=8D+BM+DM=AM+DM+βD,
要想△8。M的周長(zhǎng)最小,即要使AM+OM的值最小,
二當(dāng)A、M、。三點(diǎn)共線時(shí),4M+DM最小,即為40,
":AB=AC,。為BC的中點(diǎn),
:.ADLBC,BD=-BC=2,
2
SΔABC=^AD-BC=12,
.?AD=6,
:.ABDM的周長(zhǎng)最小值=4O+BD=8,
故答案為:8.
E
B
【點(diǎn)睛】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì),三線合一定理,解題的關(guān)鍵在于能夠根據(jù)
題意得到當(dāng)A、M、。三點(diǎn)共線時(shí),AM+DW最小,即為AD
14.如圖,在四邊形ABC。中,NBCQ=50。,NB=/0=90。,在BC、Ce上分別取一點(diǎn)
M、M使AAMN的周長(zhǎng)最小,則∕M4N=°.
【分析】作點(diǎn)A關(guān)于BC、CQ的對(duì)稱點(diǎn)4、A2,根據(jù)軸時(shí)稱確定最短路線問(wèn)題,連接4、
人分別交8C、OC于點(diǎn)M、N,利用三角形的內(nèi)角和定理列式求出/4+/A2,再根據(jù)軸對(duì)
稱的性質(zhì)和角的和差關(guān)系即可得NMAM
【詳解】如圖,作點(diǎn)A關(guān)于8C、CZ)的對(duì)稱點(diǎn)4、A2,連接4、4分別交BC、OC于點(diǎn)M、
N,連接AM、AN,則此時(shí)AAMN的周長(zhǎng)最小,
VZBCD=50o,N8=ND=90°,
J/BA£)=360。-90°-90o-50o=130o,
ooo
ΛZA/+ZA2=I80-130=50,
???點(diǎn)4關(guān)于8C、CO的對(duì)稱點(diǎn)為A/、A2f
:.NA=NA2,MA=MA∣f
:.ZA2=ZNAD,ZA1=ZMAB,
o
:.NNAD+NMAB=ZΛ∕+ZA2=50,
:?∕MAN=∕BAD-(NM40+NMAB)
=130°-50°
=80°,
故答案為:80.
【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱的最短路徑問(wèn)題,利用軸對(duì)稱將三角形周長(zhǎng)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)間線
段最短問(wèn)題是解決本題的關(guān)鍵.
15.如圖,在矩形ABC。中,AB=I5,BC=20,把邊AB沿對(duì)角線BO平移,點(diǎn)4,分別
對(duì)應(yīng)點(diǎn)A,B給出下列結(jié)論:
①順次連接點(diǎn)4,B',C,。的圖形是平行四邊形;
②點(diǎn)C到它關(guān)于直線Av的對(duì)稱點(diǎn)的距離為50;
③AC-QC的最大值為15;
@A'C+B'C的最小值為9√17.
其中正確結(jié)論的序號(hào)是
【答案】③④
【分析】①根據(jù)平行四邊形的判定定理判斷即可;②作點(diǎn)C關(guān)于直線A4的對(duì)稱點(diǎn)E,交直
線AA”于點(diǎn)T,交直線于點(diǎn)0,則CE=40C,利用等面積法求出OC即可;③根據(jù)
4C一B'CVA'3',當(dāng)線段AB平移至方與£)點(diǎn)重合,即:A,以C三點(diǎn)共線時(shí),AC-B,C=A'B'
即可判斷;④作D關(guān)于直線4V的對(duì)稱點(diǎn)D<連接Ozy交直線AA廳點(diǎn)J,過(guò)點(diǎn)正作UE1CD,
交C/)延長(zhǎng)線于E點(diǎn),連接CD',交直線A4于點(diǎn)4,此時(shí)滿足IC+夕C的值最小,即為CO
的長(zhǎng)度,結(jié)合相似三角形的判定與性質(zhì)求解即可.
【詳解】解:①由平移的性質(zhì)可知:ABHAB',AB=AB',
由矩形的性質(zhì)可知:ABHCD,AB=CD,
:.AB'//CD,A'B'=CD,
;?四邊形ABCD為平行四邊形,
當(dāng)點(diǎn)8與力重合時(shí),四邊形不存在,
故①錯(cuò)誤;
②如圖1所示,作點(diǎn)C關(guān)于直線AV的對(duì)稱點(diǎn)E,交直線A4于點(diǎn)T,交直線BZ)于點(diǎn)。,則
CE=WC,
;四邊形ABC。為矩形,
.?.N8C7>90°,Cc)=A8=15,
?'?BD=y∣BC2+CD2=25,
?.?SABCD=gBC,CD=3BdOC,
.?.OC=孫312,
.?.EC=4x∣2=48,故②錯(cuò)誤;
如圖2所示,當(dāng)線段AB平移至8與O點(diǎn)重合,即:4,夕,C三點(diǎn)共線時(shí),AC-B,C=A'B'=15,
A'C-5'C最大值為15,故③正確;
④如圖2所示,由①可知,B'C=A'D,
:.A'C+B'C=A'C+A'D,
作D關(guān)于直線AA,的對(duì)稱點(diǎn)D¢,連接DD交直線AA,于點(diǎn)./,
過(guò)點(diǎn)D0作。'ELCO,交CZ)延長(zhǎng)線于E點(diǎn),連接C。',交直線A4于點(diǎn)4,
此時(shí)滿足A'C+B'C的值最小,即為CD'的長(zhǎng)度,
山對(duì)稱的性質(zhì)可知:ZAJD=90o,
由平行的性質(zhì)可知:ZBDJ=180o-ZΛJZ)=90o,
即:NAD/+408=90。,
,.?NA8。+408=90。,
/ABD=NADJ,
?ABD^?JDA,
...-D-J=-A-D-,
ABBD
,DJ20
即o1:——=—,
1525
ΛDJ=12,
f
DD=2DJ=24f
又,:DtEHAD,
:?ZEI7D=ZADJ9
???ZEDfD=ZABD,
YZE=ZBAD=90o,
:?hABD?AED'D,
,
:.DE=-tED=『
:.EC=ED+DC=-+?5=-
55f
由勾股定理:CD,=y]DrE2+EC2=9Jl7,故④正確,
V…一廣
W,???;
沙
故答案為:③④.
【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì),平移的性質(zhì),平行四邊形的判定與性質(zhì),相似三角形的判定
與性質(zhì)等,理解并掌握平行四邊形和特殊平行四邊形的判定與性質(zhì),熟練運(yùn)用相似三角形的
判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵.
16.如圖,O為矩形ABCD對(duì)角線AC,8。的交點(diǎn),AB=S,M,N是直線BC上的動(dòng)點(diǎn),且
MN=2,則0M+0N的最小值是,
【答案】2后
【分析】根據(jù)題意,過(guò)。作OHHB3且令OH=2,連接NH,作O點(diǎn)關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)K,
連接OK,KH,則OM+ON=NH+0N=NH+NK≥HK,當(dāng)4、N、K三點(diǎn)共線的時(shí)候,OM+ON
有最小值,最小值為HK的長(zhǎng).根據(jù)矩形性質(zhì)及圖形的對(duì)稱性,易知NKO"=90。,在
RtAKOH中,運(yùn)用勾股定理求得HK的長(zhǎng)即u?.
【詳解】解:過(guò)。作0H〃8C,且令04=2,連接N”,作。點(diǎn)關(guān)于8C的對(duì)稱點(diǎn)K,連接
OK,KH,
':OH//BC,OH=MN=2,
:.四邊形OMNH是平行四邊形,
:?OM=NH,
:.OM+ON=NH+ON.
點(diǎn)關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn)K,
:.ON=NK,
:.OM+ON=NHWN=NH+NK,
、:NH+NK≥HK,
,當(dāng)〃、N、K三點(diǎn)共線的時(shí)候,OM+ON有最小值,最小值為”K的長(zhǎng).
YOHHBC,O點(diǎn)關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn)K,
.?.NKOH=90。.
???O為矩形ABCO對(duì)角線Ac3。的交點(diǎn),。點(diǎn)關(guān)于3。的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn)K,
/.OK=AB=8.
VOH=2f/KOH=90。,
?'?HK=yJθH2+OK2=2y∕∏,
,。用+0"的最小值是2萬(wàn).
【點(diǎn)睛】本題考查了最短路徑問(wèn)題,矩形性質(zhì),勾股定理求直角三角形的邊長(zhǎng),其中熟練畫(huà)
出OM+ON取最小值時(shí)所對(duì)應(yīng)的線段,是解題的關(guān)鍵.
17.如圖,菱形ABCD的邊長(zhǎng)為6,ZABC=120o,M是BC邊的一個(gè)三等分點(diǎn),P是對(duì)角
線AC上的動(dòng)點(diǎn),當(dāng)PB+PM的值最小時(shí),PM的長(zhǎng)是.
BM
【答案】Ji
2
【分析】如圖,連接DP,BD,作DHLBC于H.當(dāng)£>、P、M共線時(shí),P"+HW="M值最
小,利用勾股定理求出。M,再利用平行線的性質(zhì)即可解決問(wèn)題.
【詳解】解:如圖,連接。P,BD,作。HL8C于H.
Y四邊形ABC。是菱形,
.'.AClBD,B、O關(guān)于AC對(duì)稱,
.,.PB+PM=PI)+PM
當(dāng)。、P、M共線時(shí),。6+用/=〃〃的值最小,
':CM=-BC=I
3
,/ZABC=120°,
NDBC=NA8D=60°
...△OBC是等邊三角形,
YBC=6,
:.CM=2,HM=I,DW≈3√3,
在RtADMH中,
DM=^DH2+/∕i∕2=√(3√3)2+l2=2√7
?'CM∕∕AD
.P,M_CM_2
DFAD63
;?P,M=-DM=—
42
故答案為:立.
2
【點(diǎn)睛】本題考查軸對(duì)稱一最短問(wèn)題、菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、
平行線線段成比例定理等知識(shí),解題的關(guān)鍵是靈活用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題,屬于中考??碱}型.
三、解答題
18.如圖,在Rt△ABC中,NACB=90。,/ABC=30。,AC=2,以BC為邊向左作等邊4BCE,
點(diǎn)。為AB中點(diǎn),連接CQ,點(diǎn)P、。分別為CE、CQ上的動(dòng)點(diǎn).
(1)求證:AAOC為等邊三角形;
(2)求PD+PQ+QE的最小值.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2)4.
【分析】(1)先根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得NBAC=60。,AL>=8,再根據(jù)等邊三角形的判
定即可得證:
(2)連接R4,QB,先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得NACE=T∠A8,再根據(jù)等腰三角形的
三線合一可得CE垂直平分AD,然后根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得Rl=PD,同樣的方
法可得QB=QE,從而可得PD+PQ+QE=PA+PQ+QB,最后根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短即
可得出答案.
【詳解】證明:(1)在RLABC中,ZACB=90o,ZABC=30o,AC?2,
.?.ZBAC=60o,AB=2AC=4,
點(diǎn)。是Rt45C斜邊AB的中點(diǎn),
.?.AD=AC=2,
二A。C是等邊三角形:
(2)如圖,連接PAQ8,
QVBCE和,ADC都是等邊三角形,
.?.ZBCfi=60o,ZACo=60°,
.?.NACE=ZACB-ZBCE=30。=LZACD,
2
,CE垂直平分45,
.-.PA=PD,
同理可得:CD垂直平分8E,
QB=QE,
:.PD+PQ+QE=PA+PQ+QB,
由兩點(diǎn)之間線段最短可知,當(dāng)點(diǎn)A,P,Q,8共線時(shí),PA+PQ+08取得最小值A(chǔ)8,
故PD+PQ+QE的最小值為4.
【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)、含30。角的直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn),熟
練掌握等邊三角形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.
19.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線4B分別與X軸的負(fù)半軸、y軸的正半軸交于A、B兩
點(diǎn),其中。4=2,LABC=12,點(diǎn)C在X軸的正半軸上,且OC=O8.
(1)求直線AB的解析式;
(2)將直線AB向下平移6個(gè)單位長(zhǎng)度得到直線直線//與y軸交于點(diǎn)E,與直線C8交于
點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)E作y軸的垂線/2,若點(diǎn)P為y軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),。為直線/2上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),求
PD+PQ+DQ的最小值;
(3)若點(diǎn)M為直線AB上的一點(diǎn),在y軸上是否存在點(diǎn)N,使以點(diǎn)A、。、M、N為頂點(diǎn)的四
邊形為平行四邊形,若存在,請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)N的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(l)y=2x+4
(2)4√5
⑶存在以點(diǎn)4、D、N為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形,N的坐標(biāo)為(0,-2)或(0,10)
【分析】(1)設(shè)OB=OC=由SABC=I2,可得8(0,4),設(shè)直線A8解析式為y=履
+h,利用待定系數(shù)法即可求解;
(2)將直線48向下平移6個(gè)單位,則直線"解析式為y=2t-2,可得E(0,-2),垂線/2
的解析式為y=-2,由8(0,4),C(4,0),得直線BC解析式為y=r+4,從而可求得
D(2,2),作。關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)。,作。關(guān)于直線y=-2對(duì)稱點(diǎn)。",連接。力"交y
軸于P,交直線丫=-2于Q,此時(shí)尸。+P。+。。的最小,根據(jù)沙(-2,2),D''(2,-6),
得直線DC”解析式為y=-2r-2,從而尸(0,-2),Q(0,-2),故此時(shí)PC=22√LPQ
=0,DQ=2也,尸。+尸。+。。的最小值為46.
(3)設(shè)P(p,2p+4),N(0,q),而A(-2,0),D(2,2),①以A。、MN為對(duì)角線,
此時(shí)4。中點(diǎn)即為MN中點(diǎn),根據(jù)中點(diǎn)公式得N(0,-2);②以AM、DN為對(duì)角線,同理可
得N(0,10);③以AMOM為對(duì)角線,同理可得N(0,-2).
(1)
解:⑴設(shè)08=0C=m,
VOA=2,
ΛAC=∕π+2,A(-2,0),
VS21AfiC=12,
,JAC?08=12,即gm?(∕π+2)=12,
解得"2=4或m=-6(舍去),
IOB=OC=A,
:?B(0,4),
設(shè)直線AB解析式為y="+。,
.∫0=-2?+?
4=b'
[k=2
解得、J
[b=4
直線AB解析式為y=2x+4;
(2)
將直線ABy=2x+4向下平移6個(gè)單位,則直線//解析式為y=2x-2,
4*x=0得y=-2,
:.E(0,-2),垂線/2的解析式為y=-2,
VB(0,4),C(4,0),
設(shè)宜線BC解析式為y=px+q,
jθ=4p+q
I4=q
P=-I
解得《
夕=4
.?.直線BC解析式為y=-χ+4,
y=-x+4X=2
由得:
y=2x-2y=2
:.D(2,2),
作。關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)。',作。關(guān)于直線y=-2對(duì)稱點(diǎn)。",連接。?!苯?,軸于P,交直
線y=-2于Q,此時(shí)PD+PQ+DQ的最小,如圖:
:.D'(-2,2),D"(2,-6),
設(shè)直線On”解析式為y=sx+t,
[2=-2s+t(s=—2
則A?,解得C,
(-6=2s+rμ=-2
.?.直線。。解析式為y=-2χ-2,
令X=O得y=-2,即P(0,-2),
令y=-2得X=0,即Q(0,-2),
此時(shí)Po=2逐,PQ=O,DQ=I45,
:.PD+PQ+DQ的最小值為4√5.
(3)
存在,理由如下:
設(shè)P(p,2p+4),N(0,q),而A(-2,0),D(2,2),
①以AD、MN為對(duì)角線,如圖:
此時(shí)AO中點(diǎn)即為MN中點(diǎn)"
.∣-2+2=p+0解得W=O
?>[0+2=2p÷4+?,[q=-2
:.N(0,-2);
②以AM、DV為對(duì)角線,如圖:
f-2+〃=2+0fp=4
同理可得:八C,。,解得“、,
[0+2p+4=2+qW=Io
:?N(0,10);
③以AMOM為對(duì)角線,如圖:
:.N(0,-2),
綜上所述,以點(diǎn)A、D、M、N為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形,N的坐標(biāo)為(0,-2)或(0,
10).
【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)及應(yīng)用,涉及待定系數(shù)法、一次函數(shù)圖象上點(diǎn)坐標(biāo)特征、線段和
的最小值、平行四邊形等知識(shí),解題的關(guān)鍵是應(yīng)用平行四邊形對(duì)角線互相平分,列方程組解
決問(wèn)題.
20.如果有一條直線經(jīng)過(guò)三角形的某個(gè)頂點(diǎn),將三角形分成兩個(gè)三角形,其中一個(gè)三角形與
原三角形相似,則稱該直線為三角形的“自相似分割線”.如圖1,在AABC中,AB=AC=I,
NBAC=IO8。,DE垂直平分AB,且交BC于點(diǎn)。,連接AZX
圖1圖2圖3
(1)證明直線Ao是△ABC的自相似分割線;
(2)如圖2,點(diǎn)P為直線QE上一點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí),∕?+PC的值最???求此時(shí)
∕?+PC的長(zhǎng)度.
(3)如圖3,射線C尸平分NAC8,點(diǎn)Q為射線C尸上一點(diǎn),當(dāng)AQ+正二?eQ取最小值時(shí),
4
求NQAC的正弦值.
【答案】(1)直線力。是AABC的自相似分割線;
(2)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到。點(diǎn)時(shí),%+PC的值最小,此時(shí)PA+PC=且土'■:
2
(3)/QAC的正弦值為墾1
【分析】(1)根據(jù)定義證明△DBASAABC即可得證;
(2)根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得R4+PC=PB+PC≥3C,當(dāng)點(diǎn)尸與。重合時(shí),
Λ4+PC=P8+PC=8C,止匕時(shí)Λ4+PC最小,設(shè)8D=x,則BC=X+1
根據(jù)DBASCABC,列出方程,解方程求解即可求得8。,進(jìn)而即可求得8C的長(zhǎng),即PA+PC
最小值;
(3)過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)”,過(guò)點(diǎn)。作QGJ.8C于點(diǎn)G,連接AG,設(shè)CF與AO交于
點(diǎn)根據(jù)已知條件求得GQ=且二?eθ,進(jìn)而轉(zhuǎn)化為4。+且二?CQ=AQ+GQ,則當(dāng)Q
44
點(diǎn)落在AG上時(shí),點(diǎn)G與點(diǎn)H重合,此時(shí)AQ+亞二Ie。的值最小,最小值為A”,進(jìn)而根
據(jù)sinAQAC=sinNHAC=—求解即可.
(1)
:△4BC中,AB=AC=LZBAC=108°
ΛZB=ZC=y(180o-ZBAC)=36°
YOE垂直平分AB
;.AD=BD
...NB=NBAO=36。
.'.ZC=ZBAD
又,:NB=∕B
...△DBAs△ABC
.?.直線AD是4ABC的自相似分割線.
(2)
如圖,連接尸8,AO,
圖2
上垂宜平分AS
,PA=PB
:.PA+PC=PB+PC≥BC
當(dāng)點(diǎn)PH。重合時(shí),PA+PC=PB+PC=5C,此時(shí)Q4+PC最小,
ZADC=AB+ABAD=IT,ZDAC=ZBAC-ZBAD=72°
.?.ZADC=ZDAC
.?CD=CA=}
沒(méi)BD=X,則BC=X+1
08ASABC
,BDAB
'~ΛB~'BC
X1
/.一=---
1x+1
.?.x2+x-l=O
-1±√5
解得:X—
2
x>O
.r-1+?/?
2
.?.8C=x+1=^??
2
.?.A?+PC=2^11
2
???當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到。點(diǎn)時(shí),南+PC的值最小,此時(shí)PA+PC=巫士?;
2
(3)
如圖,過(guò)點(diǎn)A作A"L8C于點(diǎn)H,過(guò)點(diǎn)。作。GLBC于點(diǎn)G,連接AG,設(shè)。尸與A。交于
點(diǎn)、M,
:.CH=-BC=^^-
24
由(2)知,DC=AC=I
CF平分NACB
:.CMlAD
1√5-1
DM=AM=-AD=-——
24
.?.sinNMCD=阻=也=石一1
CQCD4
GQ=J^-CQ
:.AQ+^^-CQ=AQ+GQ≥AG
4
AG≥AH
??Q點(diǎn)落在AG上時(shí),點(diǎn)G與點(diǎn)H重合,
即此時(shí)AQ+或二?eQ的值最小,最小值為AH
4
.?.AQAC=AHAC
AB=AC,AHVBC
,叫/號(hào)
.?.sinZQAC=sinZHAC=—=避??
AC4
???∕QAC的正弦值為縣I
4
【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定,求角的正弦,垂宜平分線的性質(zhì),兩點(diǎn)之間
線段最短,垂線段最短,胡不歸問(wèn)題,轉(zhuǎn)化線段是解題的關(guān)鍵.
21.在長(zhǎng)方形ABCf)中,Aβ=4,8C=8,點(diǎn)P、Q為BC邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)P位于點(diǎn)Q
的左側(cè),P、。均不與頂點(diǎn)重合),PQ=2
圖③
(1)如圖①,若點(diǎn)E為CD邊上的中點(diǎn),當(dāng)。移動(dòng)到BC邊上的中點(diǎn)時(shí),求證:AP=QE;
(2)如圖②,若點(diǎn)E為CQ邊上的中點(diǎn),在PQ的移動(dòng)過(guò)程中,若四邊形APQE的周長(zhǎng)最小時(shí),
求B尸的長(zhǎng);
(3)如圖③,若M、N分別為AO邊和CO邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)(M、N均不與頂點(diǎn)重合),當(dāng)BP
=3,且四邊形PQNM的周長(zhǎng)最小時(shí),求此時(shí)四邊形PQNM的面積.
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)4
(3)4
[分析](1)由“SAS'可證△ABP^∕?QCE,可得AP=QEi
(2)要使四邊形APQE的周長(zhǎng)最小,山于AE與PQ都是定值,只需AP+EQ的值最小即可.為
此,先在BC邊上確定點(diǎn)RQ的位置,可在Ao上截取線段AF=QE=2,作尸點(diǎn)關(guān)于BC的
對(duì)稱點(diǎn)G,連接EG與BC交于一點(diǎn)即為Q點(diǎn),過(guò)A點(diǎn)作產(chǎn)。的平行線交8C于一點(diǎn),即為P
點(diǎn),則此時(shí)AP+EQ=EG最小,然后過(guò)G點(diǎn)作8C的平行線交OC的延長(zhǎng)線于,點(diǎn),那么先
證明/GE〃=45。,再由Cβ=EC即可求出8P的長(zhǎng)度;
(3)要使四邊形PQVM的周長(zhǎng)最小,由于P。是定值,只需PM+MN+QV的值最小即可,
作點(diǎn)尸關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)凡作點(diǎn)。關(guān)于Cz)的對(duì)稱點(diǎn)H,連接FH,交AO于M,交CD于
N,連接PM,QN,此時(shí)四邊形PQNM的周長(zhǎng)最小,由面積和差關(guān)系可求解.
(1)
解:證明:?.?四邊形ABCO是矩形,
:.CD=AB=A,BC=AD=S,
;點(diǎn)E是C。的中點(diǎn),點(diǎn)Q是BC的中點(diǎn),
:.BQ=CQ=A,CE=I,
LAB=CQ,
'JPQ=I,
.?BP=2,
:.BP=CE,
又?.?∕8=∕C=90°,
ΛAABP^ΔQCE(SAS),
:.AP=QE-.
(2)
如圖②,在AD上截取線段AF=PQ=2,作F點(diǎn)關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)G,連接EG與BC交于一
點(diǎn)即為Q點(diǎn),過(guò)A點(diǎn)作FQ的平行線交BC于一點(diǎn),即為P點(diǎn),過(guò)G點(diǎn)作8C的平行線交
OC的延長(zhǎng)線于〃點(diǎn).
?:GH=DF=6,£77=2+4=6,/4=90°,
NGEH=45。,
:.NCEQ=45。,
設(shè)BP=x,則CQ=BC-BP-PQ=8-x-2=6-x,
在ACQE中,VZβCE=90o,NCEQ=45°,
:.CQ=EC,
6-x=2,
解得Λ=4,
.?.BP=4;
(3)
如圖③,作點(diǎn)P關(guān)于A0的對(duì)稱點(diǎn)凡作點(diǎn)。關(guān)于CO的對(duì)稱點(diǎn),,連接尸從交4。于M,
交CD于N,連接PM,QN,此時(shí)四邊形PQNM的周長(zhǎng)最小,連接FP交A。于T,
圖③
.?.PT=FT=4,QC=BC-BP-PQ=S-3-2=3=CH,
.".PF=S,PH=S,
:.PF=PH,
又?.?∕FPH=90°,
ΛZF=ZW=45o,
VPFLAD,CDLQH,
:.ZF=ZTMF=45°,NH=NCNH=45。,
.".FT=TM=4,CN=CH=3,
:.四邊形PQNM的面積=TXpFxpzy-TxpFxTTw-TxQHxcN=Txgxg-Txgxd-TxGxS=7.
【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題,考查了矩形的性質(zhì),全等三角形的判定和性質(zhì),軸對(duì)稱求最
短距離,直角三角形的性質(zhì);通過(guò)構(gòu)造平行四邊形和軸對(duì)稱找到點(diǎn)尸和點(diǎn)Q位置是解題的
關(guān)鍵.
22.在ABe中,?890?,。為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn),點(diǎn)E為線段4C,Co的垂直平分線的
交點(diǎn),連接EA,EC,ED.
E
E
圖3
(2)當(dāng)Zfi4C=60。時(shí),
①如圖2,連接AQ,判斷△/!££>的形狀,并證明;
②如圖3,直線b與即交于點(diǎn)尸,滿足NCFD=ZCAE.P為直線CF上一動(dòng)點(diǎn).當(dāng)PE—PD
的值最大時(shí),用等式表示PE,Po與AB之間的數(shù)量關(guān)系為,并證明.
【答案】(1)80;(2)△?!££)是等邊三角形;(3)PE-PD=2AB?
【分析】(1)根據(jù)垂直平分線性質(zhì)可知Af=EC=ED,再結(jié)合等腰三角形性質(zhì)可得
ZEAC=ZECA,NEDC=NECD,利用平角定義和四邊形內(nèi)角和定理可得∕4W=2NACB,
由此求解即可;
(2)根據(jù)(1)的結(jié)論求出/A£D=2NAeB=60°即可證明AAEO是等邊三角形;
(3)根據(jù)利用對(duì)稱和三角形兩邊之差小于第三邊,找到當(dāng)PE-陽(yáng)的值最大時(shí)的P點(diǎn)位置,
再證明對(duì)稱點(diǎn)?!杜cAO兩點(diǎn)構(gòu)成三角形為等邊三角形,利用旋轉(zhuǎn)全等模型即可證明
ACD^EDfD,從而可知PE—PD=PE-PD=ED'=AC,再根據(jù)30。直角二角形性質(zhì)可
知AC=2Afi即可得出結(jié)論.
【詳解】解:(1):點(diǎn)E為線段AC,C。的垂直平分線的交點(diǎn),
,AE=EC=ED,
:.ZEAC=ZECA,NEDC=NECD,
二ZEAC+ZEDC=ZACE+ZECD=ZACD,
,.?ZEAC+ZEDC+ZACD+ZAED=360°,
2ZACD+ZAED=360°,
':AACD+ZACβ=180o,
ZAED=2ZACB,
;在,ABC中,?B90?,Z
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