中考數(shù)學知識點與經(jīng)典題型練習 最值問題中的將軍飲馬模型(解析版)

專題17最值問題中的將軍飲馬模型

【模型展示】

傳說亞歷山大城有一位精通數(shù)學和物理的學者，名叫海倫。一天，一位羅馬

將軍專程去拜訪他，向他請教一個百思不得其解的問題。將軍每天從軍營A出發(fā)，

先到河邊飲(yin)馬，然后再去河岸同側(cè)的B地開會，應(yīng)該怎樣走才能使路程最短？

從此，這個被稱為“將軍飲馬”的問題廣泛流傳。

作圖問題：在直線1上求作一點C,

使AC+BC最短問題.

結(jié)論AC+BC最短

【模型證明】

(1)現(xiàn)在假設(shè)點A,B分別是直線1異側(cè)的兩個點，如何在1上找到一個點，使得這

個點到點A,點B的距離的和最短？

解決方

案

連接AB,與直線1相交于一點C.

AC+BC最短(兩點之間線段最短)

(2)現(xiàn)在假設(shè)點A5B分別是直線I同側(cè)的兩個點，如何在I上找到一個點，使得這

個點到點A,點B的距離的和最短？

【題型演練】

一、單選題

1.如圖，正方形ABCO的邊長是4,點E是。C上一個點，且。E=l,P點在AC上移動,

則PE+PD的最小值是（）

A.4B.4.5C.5.5D.5

【答案】D

【分析】連接8E,交AC^Γ點、N,連接。M,M即為所求的點，則8E的長即為DP+尸E的

最小值，利用勾股定理求出BE的長即可.

【詳解】解:如圖，

?.?四邊形ABCO是正方形，

.?.點B與點。關(guān)于直線AC對稱，

連接8E,交AC于點M,連接。M,

ZW=BM

DN+EN=BN+EN,≥BD,

則BE的長即為QP+PE的最小值，

AC是線段2。的垂直平分線，

XVCE=CZ）-DE=4-1=3,

在Rt&BCE中，

BE2=CE2+BC2=25,

?'BE>0,

.?.8E=5,

即OP+PE的最小值為5,

故選：D.

【點睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，軸對稱-最短路線問題，兩點之間，線段最短等知

識，將PE+PD的最小值轉(zhuǎn)化為8E的長是解題的關(guān)鍵.

2.如圖，正方形ABCD的邊長為4,點M在。C上，且。M=I,N是4C上一動點，則DN+MN

的最小值為（）

A.4B.4√2C.2√5D.5

【答案】D

【分析】由正方形的對稱性可知點8與力關(guān)于直線AC對稱，連接交AC于NIV即為

所求在Rt?BCM中利用勾股定理即可求出BM的長即可.

【詳解】Y四邊形ABCo是正方形，

二點8與/)關(guān)于直線AC對稱，

：.DN=BN,

連接8/),8A/交ACTM,連接。M,

當8、N、M共線時，ON+MN有最小值，則8M的長即為Z)N+Λ∕N的最小值，

???AC是線段8。的垂直平分線，

又?.?8=4,DM=I

.?.CΛ∕=CO-OΛ∕=4-I=3,

在RtCM中，BM=4CM-+BC1=√32+42=5

故Z)N+MN的最小值是5.

故選：D.

【點睛】本題考查的是軸對稱-最短路線問題及正方形的性質(zhì)，先作出。關(guān)于直線AC的對

稱點，由軸對稱及正方形的性質(zhì)判斷出D的對稱點是點B是解答此題的關(guān)鍵.

3.如圖，矩形ABCD中，AB=4,8C=6,點P是矩形A3C。內(nèi)一動點，且5小=白.”，

則尸C+P。的最小值是()

A.4√3B.4√5

C.2√13D.2√29

【答案】B

【分析】作PM，Ao于M,作點。關(guān)于直線尸M的對稱點E,連接PE,EC.設(shè)AM=x.由

2例垂直平分線段OE,推出PQ=PE,??PC+PD=PC+PE>EC,利用勾股定理求出EC的

值即可.

【詳解】解：如圖，作「歷，AD于作點。關(guān)于直線尸M的對稱點E,連接尸E,EC.設(shè)

AM=x.

Y四邊形ABC都是矩形,

.?AB∕∕CDfAB=CD=4,BC=AD=6,

VSPAB=-SPCD,

Δ2δ

-×4×x=-X-×4×(6-x),

222

u

.?x=2f

ΛΛM=2,DM=EM=4,

22

在&AES中，EC=y∣CD+DE=4√5,

：PM垂直平分線段OE,

：.PD=PE,

：.PC+PD=PC+PE>EC,

ΛPD+PC≥4√5,

??.PO+PC的最小值為4石.

故選：B.

【點睛】本題考查了軸對稱-最短路線問題，凡是涉及最短距離的問題，一般要考慮線段的

性質(zhì)定理，結(jié)合軸對稱變換來解決，多數(shù)情況要作點關(guān)于某直線的對稱點.

4.如圖，等邊AABC的邊長為6,Ao是BC邊上的中線，M是AQ上的動點，E是邊AC上

一點，若AE=2,則EM+CM的最小值為（）

A

A.而B.3√3C.2√7D.4√2

【答案】C

【分析】連接BE,交A。于點例，過點E作EFLBC交于點凡此時EM+CM的值最小,

求出BEBPuJ'.

【詳解】解：連接8E,交AO尸點M,過點E作E尸，BC交于點片

「△ABC是等邊三角形，是8C邊上的中線，

；.B點、與C點關(guān)于A。對稱，

.,.BM=CM,

：.EM+CM=EM+BM=BE,此時EM+CM的值最小，

VAC=6,AE=I,

.?.EC=4,

在Rf△EFC中,NECF=60。，

ΛFC=2,EF=2√3,

在RtA8EF中，BF=A,

：.BE=2幣,

故選：C.

【點睛】本題考查軸對稱求最短距離，熟練掌握軸對稱求最短距離的方法，靈活運用勾股定

理是解題的關(guān)鍵.

5.已知線段AB及直線/,在直線/上確定一點P,使∕?+PB最小，則下圖中哪一種作圖方

法滿足條件（）.

B

【答案】C

【分析】根據(jù)對稱的性質(zhì)以及兩點之間線段最短即可解決問題.

【詳解】解：；點A，8在直線∕的同側(cè)，

二作B點關(guān)于/的對稱點B',連接AB'與/的交點為P,由對稱性可知BP=B'P,

：.∕?+PB=尸8'+∕?=48'為最小

故選：C.

【點睛】本題考查軸對稱求最短距離，掌握兩點在直線同側(cè)時，在宜線上找一點到兩點距離

最短的方法是解題的關(guān)鍵.

6.如圖，點M是菱形A8C。的邊BC的中點，P為對角線B。上的動點，若AB=2,ZA=

120。，則PM+PC的最小值為（）

A.2B.√3C.√2D.1

【答案】B

【分析】連接AM、AC,AM交BD于P,此時尸M+PC最小，連接CP,由菱形的性質(zhì)可知

C和A關(guān)于BQ對稱,AP=CP,由條件易證△ABC是等邊三角形,根據(jù)三線合一可知AMLBC,

再根據(jù)勾股定理可求AM的值，即可求解.

【詳解】解：連接4歷、AC,AM交8。于P,

此時PM+PC最小，連接CH

AD

；四邊形ABC。是菱形，

04=0C,AClBD,

...C和A關(guān)于8。對稱，

：.AP=PC,

'：NA=I20°,

ZABC=60o,

...△A8C是等邊三角形，

.,.AC=AB=2,

；例是BC的中點，

C.AMVBC,

N8AM=30°,

.?BM=l,

.".ΛΛ∕=√Aδ2-BM2=√3>

.?.PM+PC=AM=B

故選B.

【點睛】本題考查了將軍飲馬類型的求最小值問題，涉及菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與

性質(zhì)、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是準確找到P的位置.

7.如圖，在中，AB=2,NABC=60。，NACB=45。，。是BC的中點，直線/經(jīng)過

點。，AE±l,BFLl,垂足分別為E,F,則AE+8F的最大值為（）

【答案】A

【分析】把要求的最大值的兩條線段經(jīng)過平移后形成一條線段，然后再根據(jù)垂線段最短來進

行計算即可.

【詳解】解：如圖，過點C作CKjJ于點K,過點A作AH_LBC于點H,

在Rt?AHB中,

VZABC=60o,AB=2,

.,.BH=1,AH=G,

在RlZiAHC中，ZACB=45o,

2222

?'?AC=y∣AH+CH=λ∕(>Λ)+(√3)=√6，

Y點D為BC中點，

BD=CD,

在4BFD與ACKD中，

'NBFD=NCKD=90。

-NBDF=NCDK,

BD=CD

Λ?BFD^?CKD(AAS),

.?.BF=CK,

延長AE,過點C作CNlAE于點N,

可得AE+BF=AE+CK=AE+EN=AN,

在RtAACN中，AN<AC,

當直線AC時，最大值為"，

綜上所述，AE+BF的最大值為卡.

故選：A.

【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理及平移的性質(zhì)，構(gòu)建全等三角形

是解答此題的關(guān)鍵.

8.如圖，凸四邊形ABCQ中，NA=90。,NC=90。,ND=60。,AD=3,4B=√J,若點M、N

分別為邊CRAO上的動點，則，&WN的周長最小值為()

C

B

Di---------------A

A.2√6B.3√6C.6D.3

【答案】C

【分析】由軸對稱知識作出對稱點，連接兩對稱點，由兩點之間線段最短證明8'*最短，

多次用勾股定理求出相關(guān)線段的長度，平角的定義及角的和差求出角度的大小，最后計算出

ABMN的周長最小值為6.

【詳解】解：作點B關(guān)于S、AO的對稱點分別為點8'和點川,

連接BTT交Z）C和AD于點M和點N,DB,連接MB、NB；

再DC和A加上分別取一動點M'和N'（不同于點M和N）,

連接Λ√5,M,β.NB和NE,如圖1所示：

RM'=BM',B"N'=BN',

BM'+MN+BN'>B1B",

又?BrB"=BtM+MN+NF,

MB=MB,NB=NB",

NB+NM+BM<BM'+M'N'+BN',

???∕δ8,mw=NB+MW+8M時周長最?。?/p>

連接DB,過點B'作BH±DBT于8"。的延長線于點H,

如圖示2所示：

「在R/ABD中，AD=3,AB=6，

DB=?∣AD2+AB2=√32+(√^)2=2√3.

.2=30°,

.?.Z5=30o,DB=DB",

X-ZADC=Nl+N2=60°,

ΛZI=30°,

.??Z7=30o,DB'=DB.

.?.ZB,DB?=Zl+Z2+Z5+Z7=120o,

DB'=DB"=DB=2^,

又?Zβ,D2Γ+Z6=l80o,

.?.Z6=60o,

.?.WD=√3?HB'=3,

在RlABlHfr中，由勾股定理得：

2222

B'B"=HB'+HB"=λ∕3+(3^)=√27+9=6.

:幾MN=NB+NM+BM=6,

故選：C.

【點睛】本題綜合考查了軸對稱一最短路線問題，勾股定理，平角的定義和兩點之間線段最

短等相關(guān)知識點，解題的關(guān)鍵是掌握軸對稱-最短路線問題，難點是構(gòu)建直角三角形求兩點

之間的長度.

二、填空題

9.在現(xiàn)實生活中，我們經(jīng)常會看到許多“標準”的矩形，如我們的課本封面、A4的打印紙等，

其實這些矩形的長與寬之比都為友:1，我們不妨就把這樣的矩形稱為“標準矩形”，在"標準

矩形"ABCD中，如圖所示，點。在Z)C上，且DQ=AO,若G為BC邊上一動點，當aAGQ

【答案】上史

2

【分析】先設(shè)出矩形的邊長，將AQ和CQ表示出來，再通過作對稱點確定△4GQ的周長最

小時的G點位置后，利用平行線分線段成比例的基本事實的推論建立等式求解即可.

【詳解】解：設(shè)DC=Ox,DQ=AD=x,

ΛCC=(√2-1)Λ

：矩形48C。，

CB=/8=90。，AB=DC=近X,BC=AD=χ,

21

AQ=y∣AD+DQ=√2x,

如圖，作Q點關(guān)于BC的對稱點E,連接AE交BC于點M,

C.GQ=GE,C(2=Cf=(√2-l)x

AQ+QG+AG=√2Λ+AG+E,G>√2X+AE.

當A、G、E三點共線時，AAGQ的周長最小，

此時G點應(yīng)位于圖中的M點處；

：矩形ABCZ)中，ZQCG=90o,

.?.E點位于QC的延長線上，

.?CE∕∕AB,

.?.CM_CE(應(yīng)TX_2-亞

~MB~~AB~-√2x--2-

即生="包，

GB2

2-√2

故答案為:

2

【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、勾股定理、最短路徑、平行線分線段成比例的基本事實的

推論等內(nèi)容，解題關(guān)鍵是能正確找到滿足題意的G點位置，同時要牢記平行線分線段成比

例的推論，即平行于三角形的一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線），所得的對應(yīng)線段

成比例.

10.如圖，點尸是NAoB內(nèi)任意-點，OP=3cm,點M和點N分別是射線。4和射線OBI:

的動點，ZAOB=30°,則PMN周長的最小值是.

【答案】3

【分析】根據(jù)“將軍飲馬''模型將最短路徑問題轉(zhuǎn)化為所學知識“兩點之間線段最短”可找到

11PΛW周氏的最小的位置，作出圖不，充分利用對稱性以及4。8=30。，對線段長度進行等

量轉(zhuǎn)化即可.

解：如圖所示，過點P分別作P點關(guān)于OB、OA邊的時稱點產(chǎn)、產(chǎn)，連接PP-、PP、PP、

OP?OP",其中P產(chǎn)分別交OB、OA于點N、M,根據(jù)“兩點之間線段最短”可知，此時點

M.N的位置是使得PMV周長的最小的位置.

由對稱性可知：PN=P'N,PM=P"M,NPOB=ZPOB,ZPOA=ZPnOA

OP=Op"=OP=3,

ZPOA+ZPOB=ZAOB=30°

.?.N產(chǎn)。4+NP'O8=30°

.?.ZPOA+NPoB+NP"OA+NPoB=NPoP"=60o

.?.△POP"為等邊三角形

.?.PP=OP=OP=3

：.PMN的周長=PN+PM+MN=PN+P"M+MN=PP"=3

故答案為：3

【點睛】本題是典型的的最短路徑問題，考查了最短路徑中的“將軍飲馬”模型，能夠熟練利

用其原理“兩點之間線段最短”作出最短路徑示意圖是解決本題的關(guān)鍵.

??.如圖，等邊AMC的邊長為4,點E是AC邊的中點，點P是ΔABC的中線Ao上的動點，

則EP+CP的最小值是.

【答案】2√3

【分析】當連接8E,交A。于點P時，EP+CP=EP+PB=EB取得最小值.

【詳解】解：連接8E

???△ABC是等邊三角形，4。是8C邊上的中線,

.?AD±BC,

.?.A。是8C的垂直平分線，

點C關(guān)于AC的對應(yīng)點為點B,

ABE就是EP+CP的最小值.

「△ABC是等邊三角形，E是AC邊的中點，

ΛBE?ΔABC的中線，

：.CE=AC=I,

BE=4BC2-CE2=2也

即EP+CP的最小值為2√L

故答案為：2>fi.

【點睛】本題主要考查了軸對稱-最短路線問題以及等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，熟練學

握等邊三角形和軸對稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

12.如圖，正方形ABC。的邊長為8,點"在。C上且。M=2,N是AC上的一動點，則

DN+MN的最小值是.

【分析】要求力N+MN的最小值，DN,MN不能直接求，可考慮通過作輔助線轉(zhuǎn)化力M

MN的值，從而找出其最小值求解.

【詳解】解：???正方形是軸對稱圖形，點8與點。是關(guān)于直線AC為對稱軸的對稱點，

連接BMBD,

.?DN+MN=BN+MN,

連接8M交AC于點尸，

Y點N為AC上的動點，

由三角形兩邊和大于第三邊，

知當點N運動到點尸時，BN+MN=BP+PM=BM,

8N+MN的最小值為8M的長度，

：四邊形ABCO為正方形，

ΛBC=CD=8,CM=8-2=6,ZBCM=90°,

：.BM-√62+82=IO-

ON+MN的最小值是10.

故答案為：10.

【點睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)和軸對稱及勾股定理等知識的綜合應(yīng)用.

13.如圖所示，在ABC中，AB=AC,直線EF是A3的垂直平分線，。是BC的中點，M

是Er上一個動點，45C的面積為12,BC=4,則A3Z)M周長的最小值是.

【答案】8

【分析】連接AO,AM,由EF是線段AB的垂直平分線，得到AM=BM,則△8。M的周長

=BD+BM+DM=AM+DM+BD,要想△8。W的周長最小，即要使AM+DW的值最小，故當A、

例、。三點共線時，AM+/)M最小，即為AO,山此再根據(jù)三線合一定理求解即可.

【詳解】解：如圖所示，連接AzxAM,

尸是線段AB的垂直平分線，

：.AM=BM,

：.ABDM^z=8D+BM+DM=AM+DM+βD,

要想△8。M的周長最小，即要使AM+OM的值最小，

二當A、M、。三點共線時，4M+DM最小，即為40,

"：AB=AC,。為BC的中點，

：.ADLBC,BD=-BC=2,

2

SΔABC=^AD-BC=12,

.?AD=6,

：.ABDM的周長最小值=4O+BD=8,

故答案為：8.

E

B

【點睛】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，三線合一定理，解題的關(guān)鍵在于能夠根據(jù)

題意得到當A、M、。三點共線時，AM+DW最小，即為AD

14.如圖，在四邊形ABC。中，NBCQ=50。，NB=/0=90。，在BC、Ce上分別取一點

M、M使AAMN的周長最小，則∕M4N=°.

【分析】作點A關(guān)于BC、CQ的對稱點4、A2,根據(jù)軸時稱確定最短路線問題，連接4、

人分別交8C、OC于點M、N,利用三角形的內(nèi)角和定理列式求出/4+/A2,再根據(jù)軸對

稱的性質(zhì)和角的和差關(guān)系即可得NMAM

【詳解】如圖，作點A關(guān)于8C、CZ）的對稱點4、A2,連接4、4分別交BC、OC于點M、

N,連接AM、AN,則此時AAMN的周長最小，

VZBCD=50o,N8=ND=90°,

J/BA￡)=360。-90°-90o-50o=130o,

ooo

ΛZA/+ZA2=I80-130=50,

???點4關(guān)于8C、CO的對稱點為A/、A2f

：.NA=NA2,MA=MA∣f

：.ZA2=ZNAD,ZA1=ZMAB,

o

：.NNAD+NMAB=ZΛ∕+ZA2=50,

：?∕MAN=∕BAD-(NM40+NMAB)

=130°-50°

=80°,

故答案為：80.

【點睛】本題考查了軸對稱的最短路徑問題，利用軸對稱將三角形周長問題轉(zhuǎn)化為兩點間線

段最短問題是解決本題的關(guān)鍵.

15.如圖，在矩形ABC。中，AB=I5,BC=20,把邊AB沿對角線BO平移，點4,分別

對應(yīng)點A,B給出下列結(jié)論：

①順次連接點4,B',C,。的圖形是平行四邊形；

②點C到它關(guān)于直線Av的對稱點的距離為50；

③AC-QC的最大值為15；

@A'C+B'C的最小值為9√17.

其中正確結(jié)論的序號是

【答案】③④

【分析】①根據(jù)平行四邊形的判定定理判斷即可；②作點C關(guān)于直線A4的對稱點E,交直

線AA”于點T,交直線于點0,則CE=40C,利用等面積法求出OC即可；③根據(jù)

4C一B'CVA'3',當線段AB平移至方與￡）點重合,即:A,以C三點共線時,AC-B,C=A'B'

即可判斷;④作D關(guān)于直線4V的對稱點D<連接Ozy交直線AA廳點J,過點正作UE1CD,

交C/）延長線于E點，連接CD',交直線A4于點4,此時滿足IC+夕C的值最小，即為CO

的長度，結(jié)合相似三角形的判定與性質(zhì)求解即可.

【詳解】解：①由平移的性質(zhì)可知：ABHAB',AB=AB',

由矩形的性質(zhì)可知：ABHCD,AB=CD,

：.AB'//CD,A'B'=CD,

；?四邊形ABCD為平行四邊形，

當點8與力重合時，四邊形不存在，

故①錯誤；

②如圖1所示，作點C關(guān)于直線AV的對稱點E,交直線A4于點T,交直線BZ）于點。，則

CE=WC,

；四邊形ABC。為矩形，

.?.N8C7>90°,Cc）=A8=15,

?'?BD=y∣BC2+CD2=25，

?.?SABCD=gBC，CD=3BdOC,

.?.OC=孫312,

.?.EC=4x∣2=48,故②錯誤;

如圖2所示，當線段AB平移至8與O點重合,即:4,夕,C三點共線時，AC-B,C=A'B'=15,

A'C-5'C最大值為15,故③正確；

④如圖2所示，由①可知，B'C=A'D,

：.A'C+B'C=A'C+A'D,

作D關(guān)于直線AA，的對稱點D￠,連接DD交直線AA，于點./,

過點D0作。'ELCO,交CZ)延長線于E點，連接C。'，交直線A4于點4,

此時滿足A'C+B'C的值最小，即為CD'的長度，

山對稱的性質(zhì)可知：ZAJD=90o,

由平行的性質(zhì)可知：ZBDJ=180o-ZΛJZ)=90o,

即：NAD/+408=90。，

,.?NA8。+408=90。，

/ABD=NADJ,

?ABD^?JDA,

...-D-J=-A-D-,

ABBD

,DJ20

即o1：——=—，

1525

ΛDJ=12,

f

DD=2DJ=24f

又，：DtEHAD,

：?ZEI7D=ZADJ9

???ZEDfD=ZABD,

YZE=ZBAD=90o,

：?hABD?AED'D,

,

：.DE=-tED=『

：.EC=ED+DC=-+?5=-

55f

由勾股定理：CD,=y]DrE2+EC2=9Jl7，故④正確,

V…一廣

W,???；

沙

故答案為：③④.

【點睛】本題考查矩形的性質(zhì)，平移的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定

與性質(zhì)等，理解并掌握平行四邊形和特殊平行四邊形的判定與性質(zhì)，熟練運用相似三角形的

判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

16.如圖，O為矩形ABCD對角線AC,8。的交點，AB=S,M,N是直線BC上的動點，且

MN=2,則0M+0N的最小值是,

【答案】2后

【分析】根據(jù)題意，過。作OHHB3且令OH=2,連接NH,作O點關(guān)于BC的對稱點K,

連接OK,KH,則OM+ON=NH+0N=NH+NK≥HK,當4、N、K三點共線的時候，OM+ON

有最小值，最小值為HK的長.根據(jù)矩形性質(zhì)及圖形的對稱性，易知NKO"=90。，在

RtAKOH中，運用勾股定理求得HK的長即u?.

【詳解】解：過。作0H〃8C,且令04=2,連接N”，作。點關(guān)于8C的對稱點K,連接

OK,KH,

'：OH//BC,OH=MN=2,

：.四邊形OMNH是平行四邊形，

:?OM=NH,

：.OM+ON=NH+ON.

點關(guān)于BC的對稱點是點K,

：.ON=NK,

：.OM+ON=NHWN=NH+NK,

、:NH+NK≥HK,

，當〃、N、K三點共線的時候，OM+ON有最小值，最小值為”K的長.

YOHHBC,O點關(guān)于BC的對稱點是點K,

.?.NKOH=90。.

???O為矩形ABCO對角線Ac3。的交點，。點關(guān)于3。的對稱點是點K,

/.OK=AB=8.

VOH=2f/KOH=90。,

?'?HK=yJθH2+OK2=2y∕∏，

，。用+0"的最小值是2萬.

【點睛】本題考查了最短路徑問題，矩形性質(zhì)，勾股定理求直角三角形的邊長，其中熟練畫

出OM+ON取最小值時所對應(yīng)的線段，是解題的關(guān)鍵.

17.如圖，菱形ABCD的邊長為6,ZABC=120o,M是BC邊的一個三等分點，P是對角

線AC上的動點，當PB+PM的值最小時，PM的長是.

BM

【答案】Ji

2

【分析】如圖，連接DP,BD,作DHLBC于H.當￡＞、P、M共線時，P"+HW="M值最

小，利用勾股定理求出。M,再利用平行線的性質(zhì)即可解決問題.

【詳解】解：如圖，連接。P,BD,作。HL8C于H.

Y四邊形ABC。是菱形，

.'.AClBD,B、O關(guān)于AC對稱，

.,.PB+PM=PI)+PM

當。、P、M共線時，。6+用/=〃〃的值最小,

'：CM=-BC=I

3

,/ZABC=120°,

NDBC=NA8D=60°

...△OBC是等邊三角形，

YBC=6,

：.CM=2,HM=I,DW≈3√3,

在RtADMH中，

DM=^DH2+/∕i∕2=√(3√3)2+l2=2√7

?'CM∕∕AD

.P,M_CM_2

DFAD63

；?P,M=-DM=—

42

故答案為：立.

2

【點睛】本題考查軸對稱一最短問題、菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、

平行線線段成比例定理等知識,解題的關(guān)鍵是靈活用所學知識解決問題,屬于中考常考題型.

三、解答題

18.如圖，在Rt△ABC中，NACB=90。，/ABC=30。,AC=2,以BC為邊向左作等邊4BCE,

點。為AB中點，連接CQ,點P、。分別為CE、CQ上的動點.

(1)求證：AAOC為等邊三角形；

(2)求PD+PQ+QE的最小值.

【答案】(1)證明見解析；(2)4.

【分析】(1)先根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得NBAC=60。,AL>=8,再根據(jù)等邊三角形的判

定即可得證：

(2)連接R4,QB,先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得NACE=T∠A8,再根據(jù)等腰三角形的

三線合一可得CE垂直平分AD,然后根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得Rl=PD,同樣的方

法可得QB=QE,從而可得PD+PQ+QE=PA+PQ+QB,最后根據(jù)兩點之間線段最短即

可得出答案.

【詳解】證明：(1)在RLABC中，ZACB=90o,ZABC=30o,AC?2,

.?.ZBAC=60o,AB=2AC=4,

點。是Rt45C斜邊AB的中點，

.?.AD=AC=2,

二A。C是等邊三角形：

(2)如圖，連接PAQ8,

QVBCE和，ADC都是等邊三角形，

.?.ZBCfi=60o,ZACo=60°,

.?.NACE=ZACB-ZBCE=30。=LZACD,

2

,CE垂直平分45,

.-.PA=PD,

同理可得：CD垂直平分8E,

QB=QE,

:.PD+PQ+QE=PA+PQ+QB,

由兩點之間線段最短可知，當點A,P,Q,8共線時，PA+PQ+08取得最小值A(chǔ)8,

故PD+PQ+QE的最小值為4.

【點睛】本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)、含30。角的直角三角形的性質(zhì)等知識點，熟

練掌握等邊三角形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

19.如圖，在平面直角坐標系中，直線4B分別與X軸的負半軸、y軸的正半軸交于A、B兩

點，其中。4=2,LABC=12,點C在X軸的正半軸上，且OC=O8.

(1)求直線AB的解析式；

(2)將直線AB向下平移6個單位長度得到直線直線//與y軸交于點E,與直線C8交于

點D,過點E作y軸的垂線/2,若點P為y軸上一個動點，。為直線/2上一個動點，求

PD+PQ+DQ的最小值；

(3)若點M為直線AB上的一點，在y軸上是否存在點N,使以點A、。、M、N為頂點的四

邊形為平行四邊形，若存在，請直接寫出點N的坐標；若不存在，請說明理由.

【答案】(l)y=2x+4

(2)4√5

⑶存在以點4、D、N為頂點的四邊形為平行四邊形，N的坐標為(0,-2)或(0,10)

【分析】(1)設(shè)OB=OC=由SABC=I2,可得8(0,4),設(shè)直線A8解析式為y=履

+h,利用待定系數(shù)法即可求解；

(2)將直線48向下平移6個單位，則直線"解析式為y=2t-2,可得E(0,-2),垂線/2

的解析式為y=-2,由8(0,4),C(4,0),得直線BC解析式為y=r+4,從而可求得

D(2,2),作。關(guān)于y軸的對稱點。，作。關(guān)于直線y=-2對稱點。"，連接。力"交y

軸于P,交直線丫=-2于Q,此時尸。+P。+。。的最小，根據(jù)沙(-2,2),D''(2,-6),

得直線DC”解析式為y=-2r-2,從而尸(0,-2),Q(0,-2),故此時PC=22√LPQ

=0,DQ=2也,尸。+尸。+。。的最小值為46.

(3)設(shè)P(p,2p+4),N(0,q),而A(-2,0),D(2,2),①以A。、MN為對角線，

此時4。中點即為MN中點，根據(jù)中點公式得N(0,-2)；②以AM、DN為對角線,同理可

得N(0,10)；③以AMOM為對角線，同理可得N(0,-2).

(1)

解：⑴設(shè)08=0C=m,

VOA=2,

ΛAC=∕π+2,A(-2,0),

VS21AfiC=12,

,JAC?08=12,即gm?(∕π+2)=12,

解得"2=4或m=-6(舍去)，

IOB=OC=A,

：?B(0,4),

設(shè)直線AB解析式為y="+。，

.∫0=-2?+?

4=b'

[k=2

解得、J

[b=4

直線AB解析式為y=2x+4;

(2)

將直線ABy=2x+4向下平移6個單位，則直線//解析式為y=2x-2,

4*x=0得y=-2,

：.E(0,-2),垂線/2的解析式為y=-2,

VB(0,4),C(4,0),

設(shè)宜線BC解析式為y=px+q,

jθ=4p+q

I4=q

P=-I

解得《

夕=4

.?.直線BC解析式為y=-χ+4,

y=-x+4X=2

由得:

y=2x-2y=2

：.D(2,2),

作。關(guān)于y軸的對稱點。'，作。關(guān)于直線y=-2對稱點。"，連接。?！苯?，軸于P,交直

線y=-2于Q,此時PD+PQ+DQ的最小，如圖:

：.D'(-2,2),D"(2,-6),

設(shè)直線On”解析式為y=sx+t,

[2=-2s+t(s=—2

則A?，解得C，

(-6=2s+rμ=-2

.?.直線。。解析式為y=-2χ-2,

令X=O得y=-2,即P(0,-2),

令y=-2得X=0,即Q(0,-2),

此時Po=2逐，PQ=O,DQ=I45,

：.PD+PQ+DQ的最小值為4√5.

(3)

存在，理由如下：

設(shè)P(p,2p+4),N(0,q),而A(-2,0),D(2,2),

①以AD、MN為對角線，如圖：

此時AO中點即為MN中點"

.∣-2+2=p+0解得W=O

?>[0+2=2p÷4+?,[q=-2

：.N(0,-2)；

②以AM、DV為對角線，如圖：

f-2+〃=2+0fp=4

同理可得：八C，。，解得“、，

[0+2p+4=2+qW=Io

：?N(0,10)；

③以AMOM為對角線，如圖：

：.N(0,-2),

綜上所述，以點A、D、M、N為頂點的四邊形為平行四邊形，N的坐標為(0,-2)或(0,

10).

【點睛】本題考查一次函數(shù)及應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法、一次函數(shù)圖象上點坐標特征、線段和

的最小值、平行四邊形等知識，解題的關(guān)鍵是應(yīng)用平行四邊形對角線互相平分，列方程組解

決問題.

20.如果有一條直線經(jīng)過三角形的某個頂點，將三角形分成兩個三角形，其中一個三角形與

原三角形相似，則稱該直線為三角形的“自相似分割線”.如圖1,在AABC中，AB=AC=I,

NBAC=IO8。，DE垂直平分AB,且交BC于點。，連接AZX

圖1圖2圖3

(1)證明直線Ao是△ABC的自相似分割線；

(2)如圖2,點P為直線QE上一點，當點尸運動到什么位置時，∕?+PC的值最?。壳蟠藭r

∕?+PC的長度.

(3)如圖3,射線C尸平分NAC8,點Q為射線C尸上一點，當AQ+正二?eQ取最小值時，

4

求NQAC的正弦值.

【答案】(1)直線力。是AABC的自相似分割線；

(2)當點P運動到。點時，%+PC的值最小，此時PA+PC=且土'■：

2

(3)/QAC的正弦值為墾1

【分析】(1)根據(jù)定義證明△DBASAABC即可得證；

(2)根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得R4+PC=PB+PC≥3C,當點尸與。重合時，

Λ4+PC=P8+PC=8C,止匕時Λ4+PC最小，設(shè)8D=x,則BC=X+1

根據(jù)DBASCABC,列出方程,解方程求解即可求得8。，進而即可求得8C的長，即PA+PC

最小值；

(3)過點A作于點”，過點。作QGJ.8C于點G,連接AG,設(shè)CF與AO交于

點根據(jù)已知條件求得GQ=且二?eθ,進而轉(zhuǎn)化為4。+且二?CQ=AQ+GQ,則當Q

44

點落在AG上時，點G與點H重合，此時AQ+亞二Ie。的值最小，最小值為A”,進而根

據(jù)sinAQAC=sinNHAC=—求解即可.

(1)

:△4BC中，AB=AC=LZBAC=108°

ΛZB=ZC=y(180o-ZBAC)=36°

YOE垂直平分AB

；.AD=BD

...NB=NBAO=36。

.'.ZC=ZBAD

又,：NB=∕B

...△DBAs△ABC

.?.直線AD是4ABC的自相似分割線.

(2)

如圖，連接尸8,AO，

圖2

上垂宜平分AS

,PA=PB

:.PA+PC=PB+PC≥BC

當點PH。重合時，PA+PC=PB+PC=5C,此時Q4+PC最小,

ZADC=AB+ABAD=IT,ZDAC=ZBAC-ZBAD=72°

.?.ZADC=ZDAC

.?CD=CA=}

沒BD=X,則BC=X+1

08ASABC

,BDAB

'~ΛB~'BC

X1

/.一=---

1x+1

.?.x2+x-l=O

-1±√5

解得：X—

2

x>O

.r-1+?/?

2

.?.8C=x+1=^??

2

.?.A?+PC=2^11

2

???當點P運動到。點時，南+PC的值最小，此時PA+PC=巫士?;

2

(3)

如圖，過點A作A"L8C于點H,過點。作。GLBC于點G,連接AG,設(shè)。尸與A。交于

點、M，

:.CH=-BC=^^-

24

由（2）知，DC=AC=I

CF平分NACB

:.CMlAD

1√5-1

DM=AM=-AD=-——

24

.?.sinNMCD=阻=也=石一1

CQCD4

GQ=J^-CQ

:.AQ+^^-CQ=AQ+GQ≥AG

4

AG≥AH

??Q點落在AG上時，點G與點H重合,

即此時AQ+或二?eQ的值最小，最小值為AH

4

.?.AQAC=AHAC

AB=AC,AHVBC

,叫/號

.?.sinZQAC=sinZHAC=—=避??

AC4

???∕QAC的正弦值為縣I

4

【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，求角的正弦，垂宜平分線的性質(zhì)，兩點之間

線段最短，垂線段最短，胡不歸問題，轉(zhuǎn)化線段是解題的關(guān)鍵.

21.在長方形ABCf）中，Aβ=4,8C=8,點P、Q為BC邊上的兩個動點（點P位于點Q

的左側(cè)，P、。均不與頂點重合），PQ=2

圖③

（1）如圖①，若點E為CD邊上的中點，當。移動到BC邊上的中點時，求證：AP=QE;

（2）如圖②,若點E為CQ邊上的中點，在PQ的移動過程中，若四邊形APQE的周長最小時,

求B尸的長；

（3）如圖③，若M、N分別為AO邊和CO邊上的兩個動點（M、N均不與頂點重合），當BP

=3,且四邊形PQNM的周長最小時，求此時四邊形PQNM的面積.

【答案】（1）見解析

(2)4

(3)4

［分析］（1）由“SAS'可證△ABP^∕?QCE,可得AP=QEi

（2）要使四邊形APQE的周長最小，山于AE與PQ都是定值,只需AP+EQ的值最小即可.為

此，先在BC邊上確定點RQ的位置，可在Ao上截取線段AF=QE=2,作尸點關(guān)于BC的

對稱點G,連接EG與BC交于一點即為Q點，過A點作產(chǎn)。的平行線交8C于一點，即為P

點，則此時AP+EQ=EG最小，然后過G點作8C的平行線交OC的延長線于，點，那么先

證明/GE〃=45。，再由Cβ=EC即可求出8P的長度；

（3）要使四邊形PQVM的周長最小，由于P。是定值，只需PM+MN+QV的值最小即可，

作點尸關(guān)于AD的對稱點凡作點。關(guān)于Cz）的對稱點H,連接FH,交AO于M,交CD于

N,連接PM,QN,此時四邊形PQNM的周長最小，由面積和差關(guān)系可求解.

(1)

解：證明：?.?四邊形ABCO是矩形，

：.CD=AB=A,BC=AD=S,

；點E是C。的中點，點Q是BC的中點，

：.BQ=CQ=A,CE=I,

LAB=CQ,

'JPQ=I,

.?BP=2,

：.BP=CE,

又?.?∕8=∕C=90°,

ΛAABP^ΔQCE(SAS),

：.AP=QE-.

(2)

如圖②，在AD上截取線段AF=PQ=2,作F點關(guān)于BC的對稱點G,連接EG與BC交于一

點即為Q點，過A點作FQ的平行線交BC于一點，即為P點，過G點作8C的平行線交

OC的延長線于〃點.

?：GH=DF=6,￡77=2+4=6,/4=90°,

NGEH=45。,

：.NCEQ=45。,

設(shè)BP=x,則CQ=BC-BP-PQ=8-x-2=6-x,

在ACQE中，VZβCE=90o,NCEQ=45°,

：.CQ=EC,

6-x=2,

解得Λ=4,

.?.BP=4;

(3)

如圖③，作點P關(guān)于A0的對稱點凡作點。關(guān)于CO的對稱點，，連接尸從交4。于M,

交CD于N,連接PM,QN,此時四邊形PQNM的周長最小，連接FP交A。于T,

圖③

.?.PT=FT=4,QC=BC-BP-PQ=S-3-2=3=CH,

.".PF=S,PH=S,

：.PF=PH,

又?.?∕FPH=90°,

ΛZF=ZW=45o,

VPFLAD,CDLQH,

：.ZF=ZTMF=45°,NH=NCNH=45。,

.".FT=TM=4,CN=CH=3,

：.四邊形PQNM的面積=TXpFxpzy-TxpFxTTw-TxQHxcN=Txgxg-Txgxd-TxGxS=7.

【點睛】本題是四邊形綜合題，考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，軸對稱求最

短距離，直角三角形的性質(zhì)；通過構(gòu)造平行四邊形和軸對稱找到點尸和點Q位置是解題的

關(guān)鍵.

22.在ABe中，？890?,。為BC延長線上一點，點E為線段4C,Co的垂直平分線的

交點，連接EA,EC,ED.

E

E

圖3

(2)當Zfi4C=60。時,

①如圖2,連接AQ,判斷△/!￡￡＞的形狀，并證明;

②如圖3,直線b與即交于點尸,滿足NCFD=ZCAE.P為直線CF上一動點.當PE—PD

的值最大時，用等式表示PE,Po與AB之間的數(shù)量關(guān)系為，并證明.

【答案】（1）80；（2）△?!￡￡）是等邊三角形；（3）PE-PD=2AB?

【分析】（1）根據(jù)垂直平分線性質(zhì)可知Af=EC=ED,再結(jié)合等腰三角形性質(zhì)可得

ZEAC=ZECA,NEDC=NECD,利用平角定義和四邊形內(nèi)角和定理可得∕4W=2NACB,

由此求解即可;

（2）根據(jù)（1）的結(jié)論求出/A￡D=2NAeB=60°即可證明AAEO是等邊三角形;

（3）根據(jù)利用對稱和三角形兩邊之差小于第三邊,找到當PE-陽的值最大時的P點位置,

再證明對稱點。《與AO兩點構(gòu)成三角形為等邊三角形，利用旋轉(zhuǎn)全等模型即可證明

ACD^EDfD,從而可知PE—PD=PE-PD=ED'=AC,再根據(jù)30。直角二角形性質(zhì)可

知AC=2Afi即可得出結(jié)論.

【詳解】解：（1）：點E為線段AC,C。的垂直平分線的交點,

,AE=EC=ED,

：.ZEAC=ZECA,NEDC=NECD,

二ZEAC+ZEDC=ZACE+ZECD=ZACD,

,.?ZEAC+ZEDC+ZACD+ZAED=360°,

2ZACD+ZAED=360°，

'：AACD+ZACβ=180o,

ZAED=2ZACB,

；在，ABC中，?B90?,Z