2023版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)應(yīng)用創(chuàng)新題組8-5空間角與距離空間向量及其應(yīng)用

8.5空間角與距離、空間向量及其應(yīng)用

創(chuàng)新篇守正出奇

創(chuàng)新立體幾何中的軌跡問題

1.（2021浙江舟山月考,7）己知正方體ABCD-A同CD的棱長為2,E、F分別是棱AA「AD的中

點，點P為底面ABCD（包括邊界）內(nèi)的一動點,若直線DF與平面BEF無公共點,則點P的軌跡

長度為（）

Λ.√2+lB.√5C.√2+yD.√6

答案B以點D為坐標原點,DA、DC、DDl所在直線分別為x、y、Z軸建立如圖所示的空間

直角坐標系，

則B(2,2,0),E(2,0,l),F(l,0,2),D1(0,0,2),

則法(0,-2,1),百工(-1,0,1),設(shè)點P(a,b,0),則萬F=(a,b,-2),設(shè)平面BEF的法向量為

m=(x,y,z),

由卜?丹=-2y+z=0,取Z=2,可得In=(2,1,2),

U?EF=-X+z=0,

由題意可知，DF〃平面BEF,則萬了?m=2a+b-4=0,

令b-0,可得a=2;令b-2,可得a-l.

所以,點P的軌跡交線段AD于點A（2,0,0）,交線段BC于其中點M（l,2,0）,所以,點P的軌跡

長度為IAM∣=√（2-l）2+（0-2）2+（0-0）2=√5.故選B.

2.（多選）（2022屆濟南歷城二中開學(xué)考）在棱長為1的正方體ABCD-A周CD中，點P在側(cè)面

BCCB所在的平面上運動,則下列命題中正確的為（）

?.若總有PΛ±BD,,則動點P的軌跡是一條直線

B.若點P到點A的距離為北,則動點P的軌跡是一個周長為2π的圓

C.若點P到直線AB的距離與到點C的距離之和為1,則動點P的軌跡是橢圓

D.若點P到直線AD的距離與到直線CC1的距離相等,則動點P的軌跡是雙曲線

答案ABD對于A,如圖，在正方體中,AC_LBD,BB】_L平面ABCD,所以BBl_LAC,又BBInBD=B,

所以ACJ_平面BB1D1D,又BDC平面BB1D1D,所以ACIBD1,同理ABl±BD,,又ABmAC=A,所以

BD」平面ABC而點P在側(cè)面BCC冏所在的平面上運動，且PA_LBD”所以點P的軌跡就是直

線Bc故A中命題正確.

BC

對于B,點P的軌跡是以A為球心,播為半徑的球面與平面BCC1B1的交線，即點P的軌跡為小

圓,設(shè)小圓的半徑為r.可知球心A到平面BCC1B1的距離為1,則r√(√2)?-p?l,所以小圓的

周長為2nr=2”,故B中命題正確.對于C,點P到直線AB的距離就是點P到點B的距離,則

平面BCC1B1內(nèi)的點P滿足IPBl+1PCI=I=IBCI,故點P的軌跡是線段BC,不是橢圓，故C中命題

不正確.

對于D,過P分別作PMlBC于點M,PE_LCa于點E,

則PM_L平面ABCD,所以PM_LAD,過M作MN±AD于點N,連接PN,

因為PM∩MN=M,所以ADJ_平面PMN,所以PNlAD,

建立平面直角坐標系,設(shè)P(x,y),x>O,y>0,

則PM=y,PN2=l+y2,PE2=(l-χ)2,

所以l+y2=(l-χ)2,整理得(X-I)Ly2=I,則動點P的軌跡是雙曲線,故D中命題正確.故選ABD.

3(多選)(2022屆廣東深圳平岡中學(xué)月考，11)已知正方體ABCD-AIBcDl中，點E為棱DDl的中

點，點P是線段C1D上的動點,AA,=2,則下列選項正確的是()

2

?.直線ΛP與B1E是異面直線

B.點P到平面AEB1的距離是一個常數(shù)

C.過點C作平面AEB1的垂線,與平面AB1C1D交于點Q,若砒=3萬,則QeAP

D.若平面CDD1C1內(nèi)有一點Q,它到直線CD的距離與到直線C1B1的距離相等,則Q的軌跡為直線

答案ABC對于A,如圖1,APU平面ABGD,B∣EC平面ABeD=B”且ABAP,所以直線AP與

B1E是異面直線,故A正確；

對于B,在正方體中,C,D∕7AB1,因為ABC平面AEB1,C1IW平面AEB1,所以CP〃平面AEB11又

P∈C1D,故點P到平面AEB1的距離是一個常數(shù),故B正確；

對于C,如圖2,以點D為坐標原點,建立空間直角坐標系，則

D(0,0,0),A(2,0,0),B1(2,2,2),E(0,0,1),C,(0,2,2),C(0,2,0),所以

?(0.2,2),正(-2,0,1),因為做=3序,所以P(0,與所以灰(-2,()，假設(shè)存在

Q∈AP,設(shè)這λ法卜2兒gλ,gA),O<λ<l,則、92才+2,(入，(入)，故四(-24+

2,I?-2,λ),

因為CQL平面AEB”所以［夕坐=6即N=)義2+JXJ",解得λg則

(?。?四=0,((-24+2)X(-2)+Tλ=0,4

QQ,1,1),滿足條件,故C正確；

對于D,因為CBL平面CDD1C,,

又QaU平面CDD1C1,

所以CB」QC“

即QC1的長為點Q到直線C1B1的距離，

所以根據(jù)拋物線的定義可知,Q的軌跡為拋物線，故D錯誤.故選ABC.