（江蘇版）備戰(zhàn)高考數(shù)學(xué)模擬試卷分項(xiàng) 專題03 導(dǎo)數(shù)及應(yīng)用-人教版高三數(shù)學(xué)試題

第三章導(dǎo)數(shù)及應(yīng)用1．【2017-2018第一學(xué)期東臺安豐中學(xué)高三第一次月考】函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為__________．【答案】2．【2017-2018第一學(xué)期東臺安豐中學(xué)高三第一次月考】若函數(shù)在其定義域上恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則正實(shí)數(shù)的值為______．【答案】【解析】考查函數(shù)，其余條件均不變，則：當(dāng)x?0時(shí),f(x)=x+2x，單調(diào)遞增，f(?1)=?1+2?1<0,f(0)=1>0，由零點(diǎn)存在定理,可得f(x)在(?1,0)有且只有一個(gè)零點(diǎn)；則由題意可得x>0時(shí),f(x)=ax?lnx有且只有一個(gè)零點(diǎn)，即有有且只有一個(gè)實(shí)根。令，當(dāng)x>e時(shí),g′(x)<0,g(x)遞減;當(dāng)0<x<e時(shí),g′(x)>0,g(x)遞增。即有x=e處取得極大值,也為最大值,且為，如圖g(x)的圖象,當(dāng)直線y=a(a>0)與g(x)的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí),則.回歸原問題，則原問題中.點(diǎn)睛：(1)求分段函數(shù)的函數(shù)值，要先確定要求值的自變量屬于哪一段區(qū)間，然后代入該段的解析式求值，當(dāng)出現(xiàn)f(f(a))的形式時(shí)，應(yīng)從內(nèi)到外依次求值．(2)當(dāng)給出函數(shù)值求自變量的值時(shí)，先假設(shè)所求的值在分段函數(shù)定義區(qū)間的各段上，然后求出相應(yīng)自變量的值，切記要代入檢驗(yàn)，看所求的自變量的值是否滿足相應(yīng)段自變量的取值范圍．3．【2017-2018第一學(xué)期東臺安豐中學(xué)高三第一次月考】在平面直角坐標(biāo)系中，直線與函數(shù)和均相切（其中為常數(shù)），切點(diǎn)分別為和，則的值為__________．【答案】4．【南師附中2017屆高三模擬二】在平面直角坐標(biāo)系中，是曲線上一點(diǎn)，直線經(jīng)過點(diǎn)，且與曲線在點(diǎn)處的切線垂直，則實(shí)數(shù)的值為__________．【答案】【解析】設(shè)，因?yàn)?，所以切線斜率，由題設(shè)，故，即點(diǎn)，將其代入可得，應(yīng)填答案。5．【常熟中學(xué)2018屆高三10月階段性抽測（一）】函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為__________.【答案】6．【常熟中學(xué)2018屆高三10月階段性抽測（一）】已知函數(shù)，若曲線（為自然對數(shù)的底數(shù)）上存在點(diǎn)使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍為__________.【答案】【解析】結(jié)合函數(shù)的解析式：可得：，令y′=0，解得：x=0，當(dāng)x>0時(shí)，y′>0，當(dāng)x<0，y′<0，則x∈（-∞，0），函數(shù)單調(diào)遞增，x∈（0，+∞）時(shí)，函數(shù)y單調(diào)遞減，則當(dāng)x=0時(shí)，取最大值，最大值為e，∴y0的取值范圍（0，e]，結(jié)合函數(shù)的解析式：可得：，x∈（0，e），，則f（x）在（0，e）單調(diào)遞增，下面證明f（y0）=y0．假設(shè)f（y0）=c>y0，則f（f（y0））=f（c）>f（y0）=c>y0，不滿足f（f（y0））=y0．同理假設(shè)f（y0）=c<y0，則不滿足f（f（y0））=y0．綜上可得：f（y0）=y0．令函數(shù)．設(shè)，求導(dǎo)，當(dāng)x∈（0，e），g′（x）>0，g（x）在（0，e）單調(diào)遞增，當(dāng)x=e時(shí)取最大值，最大值為，當(dāng)x→0時(shí)，a→-∞，∴a的取值范圍.點(diǎn)睛：(1)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)鍵在于準(zhǔn)確判定導(dǎo)數(shù)的符號．而解答本題(2)問時(shí)，關(guān)鍵是分離參數(shù)k，把所求問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最小值問題．(2)若可導(dǎo)函數(shù)f(x)在指定的區(qū)間D上單調(diào)遞增(減)，求參數(shù)范圍問題，可轉(zhuǎn)化為f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立問題，從而構(gòu)建不等式，要注意“＝”是否可以取到．7．【南通中學(xué)2018屆高三10月月考】已知函數(shù)，若曲線在點(diǎn)處的切線經(jīng)過圓的圓心，則實(shí)數(shù)的值為__________．【答案】【解析】結(jié)合函數(shù)的解析式可得：，對函數(shù)求導(dǎo)可得：，故切線的斜率為，則切線方程為：，即，圓：的圓心為，則：.8．【南通中學(xué)2018屆高三10月月考】定義在上的函數(shù)滿足，為的導(dǎo)函數(shù)，且對恒成立，則的取值范圍是__________________.【答案】點(diǎn)睛：函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的重要性質(zhì)之一，它的應(yīng)用貫穿于整個(gè)高中數(shù)學(xué)的教學(xué)之中。某些數(shù)學(xué)問題從表面上看似乎與函數(shù)的單調(diào)性無關(guān)，但如果我們能挖掘其內(nèi)在聯(lián)系，抓住其本質(zhì)，那么運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性解題，能起到化難為易、化繁為簡的作用。因此對函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行全面、準(zhǔn)確的認(rèn)識，并掌握好使用的技巧和方法，這是非常必要的。根據(jù)題目的特點(diǎn)，構(gòu)造一個(gè)適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用它的單調(diào)性進(jìn)行解題，是一種常用技巧。許多問題，如果運(yùn)用這種思想去解決，往往能獲得簡潔明快的思路，有著非凡的功效。9．【啟東中學(xué)2018屆高三上學(xué)期第一次月考（10月）】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，P是曲線上一點(diǎn)，直線經(jīng)過點(diǎn)P，且與曲線C在P點(diǎn)處的切線垂直，則實(shí)數(shù)c的值為________．【答案】－4－ln2點(diǎn)睛：曲線的切線問題就是考察導(dǎo)數(shù)應(yīng)用，導(dǎo)數(shù)的含義就是該點(diǎn)切線的斜率，利用這個(gè)我們可以求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)在線上（或點(diǎn)在曲線上），就可以求出對應(yīng)的參數(shù)值。10．【啟東中學(xué)2018屆高三上學(xué)期第一次月考（10月）】已知函數(shù)在上是增函數(shù)，函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)g(x)的最大值M與最小值m的差為，則a的值為______.【答案】【解析】，因?yàn)樵谏鲜窃龊瘮?shù)，即在上恒成立，，則，當(dāng)時(shí)，，又，令，則，（1）當(dāng)時(shí)，，，則，則，（2）當(dāng)時(shí)，，，則，舍。。11．【泰州中學(xué)2018屆高三10月月考】設(shè)函數(shù)是奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，，則使得成立的的取值范圍是__________．【答案】12．【泰州中學(xué)2018屆高三10月月考】設(shè)二次函數(shù)（為常數(shù)）的導(dǎo)函數(shù)為，對任意，不等式恒成立，則的最大值為__________．【答案】【解析】試題分析：根據(jù)題意易得：，由得：在R上恒成立，等價(jià)于：，可解得：，則：，令，，故的最大值為．考點(diǎn)：1.函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用;2.恒成立問題;3.基本不等式的運(yùn)用13．【泰州中學(xué)2018屆高三10月月考】設(shè)函數(shù)，其中，若存在唯一的整數(shù)，使得，則的取值范圍是.【答案】【解析】試題分析:設(shè),由題設(shè)可知存在唯一的整數(shù)，使得在直線的下方.因?yàn)?故當(dāng)時(shí),,函數(shù)單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),,函數(shù)單調(diào)遞增;故,而當(dāng)時(shí),,故當(dāng)且,解之得,應(yīng)填答案.考點(diǎn)：函數(shù)的圖象和性質(zhì)及導(dǎo)數(shù)知識的綜合運(yùn)用．【易錯(cuò)點(diǎn)晴】本題以函數(shù)存在唯一的整數(shù)零點(diǎn)，使得為背景,設(shè)置了一道求函數(shù)解析式中的參數(shù)的取值范圍問題,目的是考查函數(shù)的圖象和性質(zhì)及導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)的單調(diào)性最值等有關(guān)知識的綜合運(yùn)用.同時(shí)也綜合考查學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識去分析問題解決問題的能力.求解時(shí)先運(yùn)用等價(jià)轉(zhuǎn)化得到數(shù)學(xué)思想將問題等價(jià)轉(zhuǎn)化為存在唯一的整數(shù)，使得在直線的下方.然后再借助導(dǎo)數(shù)的知識求出函數(shù)的最小值,依據(jù)題設(shè)建立不等式組求出解之得.14．【徐州市第三中學(xué)2017～2018學(xué)年度高三第一學(xué)期月考】函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是__________．【答案】【解析】,所以增區(qū)間是15.【鹽城中學(xué)2018屆高三上第一次階段性考試】函數(shù)f（x）=x﹣lnx的單調(diào)減區(qū)間為．【答案】（0,1）考點(diǎn)：本題考查函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系16.【鹽城中學(xué)2018屆高三上第一次階段性考試】已知函數(shù)f(x)＝lnx－(m∈R)在區(qū)間[1，e]上取得最小值4，則m＝________．【答案】－3e【解析】f′(x)＝＋＝，令f′(x)＝0，則x＝－m，且當(dāng)x<－m時(shí)，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x>－m時(shí)，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增．若－m≤1，即m≥－1時(shí)，f(x)min＝f(1)＝－m≤1，不可能等于4；若1<－m≤e，即－e≤m<－1時(shí)，f(x)min＝f(－m)＝ln(－m)＋1，令ln(－m)＋1＝4，得m＝－e3(－e，－1)；若－m>e，即m<－e時(shí)，f(x)min＝f(e)＝1－，令1－＝4，得m＝－3e，符合題意．綜上所述，m＝－3e.17．【鹽城中學(xué)2018屆高三上第一次階段性考試】已知函數(shù)f（x）=，對任意的m∈[﹣2，2]，f（mx﹣2）+f（x）＜0恒成立，則x的取值范圍為_____．【答案】18．【鹽城中學(xué)2018屆高三上第一次階段性考試】已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【答案】.【解析】由題意,y′=lnx+1?2mx令f′(x)=lnx?2mx+1=0得lnx=2mx?1，函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn),等價(jià)于f′(x)=lnx?2mx+1有兩個(gè)零點(diǎn)，等價(jià)于函數(shù)y=lnx與y=2mx?1的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，，當(dāng)m=時(shí)，直線y=2mx?1與y=lnx的圖象相切，由圖可知,當(dāng)0<m<時(shí)，y=lnx與y=2mx?1的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(0,)，故答案為：(0,).19．【鹽城中學(xué)2018屆高三上第一次階段性考試】已知函數(shù)f（x）=，若函數(shù)y=f（f（x）﹣a）﹣1有三個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是_____．【答案】【解析】當(dāng)x＜0時(shí)，由f（x）﹣1=0得x2+2x+1=1，得x=﹣2或x=0，當(dāng)x≥0時(shí)，由f（x）﹣1=0得，得x=0，由，y=f（f（x）﹣a）﹣1=0得f（x）﹣a=0或f（x）﹣a=﹣2，即f（x）=a，f（x）=a﹣2，作出函數(shù)f（x）的圖象如圖：y=≥1（x≥0），y′=，當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，y′＞0，函數(shù)是增函數(shù)，x∈（1，+∞）時(shí)，y′＜0，函數(shù)是減函數(shù)，x=1時(shí)，函數(shù)取得最大值：，當(dāng)1＜a﹣2時(shí)，即a∈（3，3+）時(shí)，y=f（f（x）﹣a）﹣1有4個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)a﹣2=1+時(shí)，即a=3+時(shí)則y=f（f（x）﹣a）﹣1有三個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)a＞3+時(shí)，y=f（f（x）﹣a）﹣1有1個(gè)零點(diǎn)當(dāng)a=1+時(shí)，則y=f（f（x）﹣a）﹣1有三個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，即a∈（1+，3）時(shí)，y=f（f（x）﹣a）﹣1有三個(gè)零點(diǎn)．綜上a∈，函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)．故答案為：．點(diǎn)睛：已知函數(shù)有零點(diǎn)求參數(shù)取值范圍常用的方法和思路(1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決；(3)數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解．20.【2017-2018學(xué)年度第一學(xué)期如皋市高三年級第一次聯(lián)考】已知函數(shù)的零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)，則正整數(shù)的值為________．【答案】221．【2017-2018學(xué)年度第一學(xué)期如皋市高三年級第一次聯(lián)考】已知函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________.【答案】【解析】求導(dǎo)在上恒成立，即.22.【2017-2018學(xué)年度第一學(xué)期如皋市高三年級第一次聯(lián)考】已知函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù)，則不等式的解集為________．【答案】【解析】∵，∴，即函數(shù)為奇函數(shù)，又∵恒成立，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，不等式可轉(zhuǎn)化為，即，解得：，即不等式的解集為，故答案為.23.【2017-2018學(xué)年度第一學(xué)期如皋市高三年級第一次聯(lián)考】已知函數(shù)在區(qū)間上存在最值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．【答案】【解析】∵，故可將題意等價(jià)的轉(zhuǎn)化為，即，解得，故答案為.24．【2017-2018學(xué)年度第一學(xué)期如皋市高三年級第一次聯(lián)考】已知函數(shù)若有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________．【答案】25.【徐州市2018屆高三上學(xué)期期中】已知函數(shù)（為自然對數(shù)的底數(shù)），若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為______．【答案】【解析】令，則所以為奇函數(shù)且單調(diào)遞增，因此即點(diǎn)睛：解函數(shù)不等式：首先根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)把不等式轉(zhuǎn)化為的形式，然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性去掉“”，轉(zhuǎn)化為具體的不等式(組)，此時(shí)要注意與的取值應(yīng)在外層函數(shù)的定義域內(nèi)26.【鎮(zhèn)江2018屆高三10月月考文科】已知函數(shù)，其中實(shí)數(shù)為常數(shù)，為自然對數(shù)的底數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，解關(guān)于的不等式；（3）當(dāng)時(shí)，如果函數(shù)不存在極值點(diǎn)，求的取值范圍.【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間為；單調(diào)遞減區(qū)間為．（2）（3）【解析】試題分析：把代入由于對數(shù)的真數(shù)為正數(shù)，函數(shù)定義域?yàn)?，所以函?shù)化為，求導(dǎo)后在定義域下研究函數(shù)的單調(diào)性給出單調(diào)區(qū)間；代入，，分和兩種情況解不等式；當(dāng)時(shí)，，求導(dǎo)，函數(shù)不存在極值點(diǎn)，只需恒成立，根據(jù)這個(gè)要求得出的范圍.試題解析：（2）時(shí)，．當(dāng)時(shí)，原不等式可化為．記，則，當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞增，又，故不等式解為；當(dāng)時(shí)，原不等式可化為，顯然不成立，綜上，原不等式的解集為．27.【常州市2018屆高三上武進(jìn)區(qū)高中數(shù)學(xué)期中】已知函數(shù)，．⑴若曲線在點(diǎn)處的切線經(jīng)過點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值；⑵若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；⑶設(shè)，若對，，使得成立，求整數(shù)的最小值．【答案】⑴⑵⑶【解析】試題分析：（1）根據(jù)題意，對函數(shù)求導(dǎo)，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義分析可得曲線在點(diǎn)處的切線方程，代入點(diǎn)，計(jì)算可得答案；

（2）由函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，分函數(shù)在（上單調(diào)增與單調(diào)減兩種情況討論，綜合即可得答案；

（3）由題意得，分析可得必有，對求導(dǎo)，對分類討論即可得答案．試題解析：⑵，若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則在恒成立，，得；若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則在恒成立，，得，綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為；⑶由題意得，，，，即，由，當(dāng)時(shí)，，則不合題意；當(dāng)時(shí)，由，得或（舍去），當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增．，即，整理得，，設(shè)，，單調(diào)遞增，，為偶數(shù)，又，，，故整數(shù)的最小值為。28.【無錫市2018屆高三上期中基礎(chǔ)性檢測】已知函數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；（2）令，區(qū)間，為自然對數(shù)的底數(shù)。（ⅰ）若函數(shù)在區(qū)間上有兩個(gè)極值，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（ⅱ）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上的兩個(gè)極值分別為和，求證：.【答案】（1）增區(qū)間，減區(qū)間，（2）詳見解析【解析】試題分析：（1）求導(dǎo)寫出單調(diào)區(qū)間；（2）（ⅰ）函數(shù)在區(qū)間D上有兩個(gè)極值，等價(jià)于在上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，令，得，通過求導(dǎo)分析得的范圍為；（ⅱ），得，由分式恒等變換得，得，要證明，只需證，即證，令，，通過求導(dǎo)得到恒成立，得證。試題解析：（2）（?。┮?yàn)?，所以，，若函?shù)在區(qū)間D上有兩個(gè)極值，等價(jià)于在上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，令，得，設(shè)，令大于00小于00增減所以的范圍為（ⅱ）由（ⅰ）知，若函數(shù)在區(qū)間D上有兩個(gè)極值分別為和，不妨設(shè)，則，所以即，要證，只需證，即證，令，即證，即證，令，因?yàn)?，所以在上單調(diào)增，，所以，即所以，得證。29.【無錫市2018屆高三上期中基礎(chǔ)性檢測】在一塊雜草地上有一條小路AB,現(xiàn)在小路的一邊圍出一個(gè)三角形（如圖）區(qū)域，在三角形ABC內(nèi)種植花卉.已知AB長為1千米，設(shè)角AC邊長為BC邊長的倍，三角形ABC的面積為S（千米2）.試用和表示；（2）若恰好當(dāng)時(shí)，S取得最大值，求的值.【答案】（1）（2）試題解析：(1)設(shè)邊，則，在三角形中，由余弦定理得：，所以，所以，（2）因?yàn)?，，令，得且?dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，，所以當(dāng)時(shí)，面積最大，此時(shí)，所以，解得，因?yàn)?，則.點(diǎn)睛：解三角形的實(shí)際應(yīng)用，首先轉(zhuǎn)化為幾何思想，將圖形對應(yīng)到三角形，找到已知條件，本題中對應(yīng)知道一個(gè)角，一條邊，及其余兩邊的比例關(guān)系，利用余弦定理得到函數(shù)方程；面積最值的處理過程中，若函數(shù)比較復(fù)雜，則借助導(dǎo)數(shù)去求解最值。30.【徐州市2018屆高三上學(xué)期期中】已知函數(shù)(,是自然對數(shù)的底數(shù)).（1）若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)減函數(shù),求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）求函數(shù)的極值；（3）設(shè)函數(shù)圖象上任意一點(diǎn)處的切線為，求在軸上的截距的取值范圍．【答案】（1）（2）見解析（3）【解析】試題分析：（1）由題意轉(zhuǎn)化為在區(qū)間上恒成立，化簡可得一次函數(shù)恒成立，根據(jù)一次函數(shù)性質(zhì)得不等式，解不等式得實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）導(dǎo)函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)，再根據(jù)a的正負(fù)討論導(dǎo)函數(shù)符號變化規(guī)律，確定極值取法（3）先根據(jù)導(dǎo)數(shù)得切線斜率再根據(jù)點(diǎn)斜式得切線方程，即得切線在x軸上的截距，最后根據(jù)a的正負(fù)以及基本不等式求截距的取值范圍．試題解析：（1）函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，則在區(qū)間上恒成立，且等號不恒成立，又，所以在區(qū)間上恒成立，記，只需，即，解得．（2）由，得，①當(dāng)時(shí)，有；，所以函數(shù)在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，所以函數(shù)在取得極大值，沒有極小值．②當(dāng)時(shí)，有；，所以函數(shù)在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，所以函數(shù)在取得極小值，沒有極大值．綜上可知:當(dāng)時(shí)，函數(shù)在取得極大值，沒有極小值；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在取得極小值，沒有極大值．（3）設(shè)切點(diǎn)為，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為，當(dāng)時(shí)，切線的方程為，其在軸上的截距不存在．當(dāng)時(shí)，令，得切線在軸上的截距為，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即或時(shí)取等號；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即或時(shí)取等號.所以切線在軸上的截距范圍是.點(diǎn)睛：函數(shù)極值問題的常見類型及解題策略(1)知圖判斷函數(shù)極值的情況.先找導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)，再判斷導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)的左、右兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)符號.(2)已知函數(shù)求極值.求→求方程的根→列表檢驗(yàn)在的根的附近兩側(cè)的符號→下結(jié)論.(3)已知極值求參數(shù).若函數(shù)在點(diǎn)處取得極值，則，且在該點(diǎn)左、右兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)值符號相反.31.【徐州市2018屆高三上學(xué)期期中】如圖，有一塊半圓形空地，開發(fā)商計(jì)劃建一個(gè)矩形游泳池及其矩形附屬設(shè)施，并將剩余空地進(jìn)行綠化，園林局要求綠化面積應(yīng)最大化．其中半圓的圓心為，半徑為，矩形的一邊在直徑上，點(diǎn)、、、在圓周上，、在邊上，且，設(shè)．（1）記游泳池及其附屬設(shè)施的占地面積為，求的表達(dá)式；（2）怎樣設(shè)計(jì)才能符合園林局的要求？【答案】（1）（2）【解析】試題分析：（1）根據(jù)直角三角形求兩個(gè)矩形的長與寬，再根據(jù)矩形面積公式可得函數(shù)解析式，最后根據(jù)實(shí)際意義確定定義域（2）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值，求導(dǎo)解得零點(diǎn)，列表分析導(dǎo)函數(shù)符號變化規(guī)律，確定函數(shù)單調(diào)性，進(jìn)而得函數(shù)最值（2）要符合園林局的要求，只要最小，由（1）知，令，即，解得或（舍去），令，當(dāng)時(shí)，是單調(diào)減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，是單調(diào)增函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值.答：當(dāng)滿足時(shí)，符合園林局要求.32.【南京市2018屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期初學(xué)情調(diào)研】已知函數(shù)f(x)＝2x3－3(a+1)x2＋6ax，a∈R．（Ⅰ）曲線y＝f(x)在x＝0處的切線的斜率為3，求a的值；（Ⅱ）若對于任意x∈(0，+∞)，f(x)＋f(－x)≥12lnx恒成立，求a的取值范圍；（Ⅲ）若a＞1，設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[1，2]上的最大值、最小值分別為M(a)、m(a)，記h(a)＝M(a)－m(a)，求h(a)的最小值．【答案】（1）a＝（2）(－∞，－1－]．（3）（2）f(x)＋f(－x)＝－6(a＋1)x2≥12lnx對任意x∈(0，+∞)恒成立，所以－(a＋1)≥．令g(x)＝，x＞0，則g(x)＝．令g(x)＝0，解得x＝．當(dāng)x∈(0，)時(shí)，g(x)＞0，所以g(x)在(0，)上單調(diào)遞增；當(dāng)x∈(，＋∞)時(shí)，g(x)＜0，所以g(x)在(，＋∞)上單調(diào)遞減．所以g(x)max＝g()＝，所以－(a＋1)≥，即a≤－1－，所以a的取值范圍為(－∞，－1－]．（3）因?yàn)閒(x)＝2x3－3(a＋1)x2＋6ax，所以f′(x)＝6x2－6(a＋1)x＋6a＝6(x－1)(x－a)，f(1)＝3a－1，令f′(x)＝0，則x＝1或a．f(1)＝3a－1，f②當(dāng)＜a＜2時(shí)，當(dāng)x∈(1，a)時(shí)，f(x)＜0，所以f(x)在(1，a)上單調(diào)遞減；當(dāng)x∈(a，2)時(shí)，f(x)＞0，所以f(x)在(a，2)上單調(diào)遞增．又因?yàn)閒(1)＞f(2)，所以M(a)＝f(1)＝3a－1，m(a)＝f(a)＝－a3＋3a所以h(a)＝M(a)－m(a)＝3a－1－(－a3＋3a2)＝a3－3a2因?yàn)閔(a)＝3a2－6a＋3＝3(a－1)所以h(a)在(，2)上單調(diào)遞增，所以當(dāng)a∈(，2)時(shí)，h(a)＞h()＝．③當(dāng)a≥2時(shí)，當(dāng)x∈(1，2)時(shí)，f(x)＜0，所以f(x)在(1，2)上單調(diào)遞減，所以M(a)＝f(1)＝3a－1，m(a)＝f所以h(a)＝M(a)－m(a)＝3a－1－4＝3所以h(a)在[2，＋∞)上的最小值為h(2)＝1．綜上，h(a)的最小值為．點(diǎn)睛：已知函數(shù)最值求參數(shù)值或取值范圍的一般方法：（1）利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合參數(shù)討論函數(shù)最值取法，根據(jù)最值列等量關(guān)系，確定參數(shù)值或取值范圍；（2）利用最值轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題，結(jié)合變量分離轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求新函數(shù)最值得參數(shù)值或取值范圍.33.【2017-2018學(xué)年度第一學(xué)期如皋市高三年級第一次聯(lián)考】已知二次函數(shù)為偶函數(shù)且圖象經(jīng)過原點(diǎn)，其導(dǎo)函數(shù)的圖象過點(diǎn)．（1）求函數(shù)的解析式；（2）設(shè)函數(shù)，其中m為常數(shù)，求函數(shù)的最小值．【答案】（1）；（2）（2）據(jù)題意，，即①若，即，當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故的最小值為．②若，即，當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞增，故的最小值為．③若，即，當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞增，故的最小值為．綜上所述，當(dāng)時(shí)，的最小值為；當(dāng)時(shí)，的最小值為；當(dāng)時(shí)，的最小值為．34.【2017-2018學(xué)年度第一學(xué)期如皋市高三年級第一次聯(lián)考】設(shè)函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；（2）討論函數(shù)的單調(diào)性；（3）當(dāng)時(shí)，求證：對任意，都有．【答案】（1）；（2）見解析；（3）見解析.【解析】試題分析：（1）當(dāng)時(shí)，求出導(dǎo)數(shù)易得，即，利用點(diǎn)斜式可得其切線方程；（2）求得可得，分為和兩種情形判斷其單調(diào)性；（3）當(dāng)時(shí)，根據(jù)（2）可得函數(shù)在上單調(diào)遞減，故，即，化簡可得所證結(jié)論.試題解析：（1）當(dāng)時(shí)，，，，，所以函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為，即．（2），定義域?yàn)?，．①?dāng)時(shí)，，故函數(shù)在上單調(diào)遞減；②當(dāng)時(shí)，令，得x↘極小值↗綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．（3）當(dāng)時(shí)，由（2）可知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，顯然，，故，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，對任意，都有，所以．所以，即，所以，即，所以，即，所以．35.【2017-2018學(xué)年度第一學(xué)期如皋市高三年級第一次聯(lián)考】已知函數(shù)，其中（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在上的值域；（2）若函數(shù)在上的最小值為3，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1);(2).【解析】試題分析：（1）求導(dǎo)，再利用導(dǎo)數(shù)工具即可求得正解；（2）求導(dǎo)得，再分和兩種情況進(jìn)行討論；試題解析：（1）解：時(shí)，則令得列表+-+單調(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞增21由上表知函數(shù)的值域?yàn)椋?）方法一：①當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增所以即（舍）②當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減所以符合題意③當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí)，區(qū)間在單調(diào)遞減當(dāng)時(shí)，區(qū)間在單調(diào)遞增所以化簡得：即所以或（舍）注：也可令則對在單調(diào)遞減所以不符合題意綜上所述：實(shí)數(shù)取值范圍為方法二：①當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減所以符合題意…………8分②當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增所以不符合題意③當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí)，區(qū)間在單調(diào)遞減當(dāng)時(shí)，區(qū)間在單調(diào)遞增所以不符合題意綜上所述：實(shí)數(shù)取值范圍為36.【鹽城中學(xué)2018屆高三上第一次階段性考試】已知函數(shù)f（x）=ax2+lnx（a∈R）．（1）當(dāng)a=時(shí)，求f（x）在區(qū)間[1，e]上的最大值和最小值；（2）如果函數(shù)g（x），f1（x），f2（x），在公共定義域D上，滿足f1（x）＜g（x）＜f2（x），那么就稱g（x）為f1（x），f2（x）的“活動(dòng)函數(shù)”．已知函數(shù).。若在區(qū)間（1，+∞）上，函數(shù)f（x）是f1（x），f2（x）的“活動(dòng)函數(shù)”，求a的取值范圍．【答案】（1）（2）a的范圍是.【解析】試題分析：（1）由題意得f（x）=x2+lnx，，∴f（x）在區(qū)間[1，e]上為增函數(shù)，即可求出函數(shù)的最值．試題解析：（1）當(dāng)時(shí)，，；對于x∈[1，e]，有f'（x）＞0，∴f（x）在區(qū)間[1，e]上為增函數(shù)，∴，．（2）在區(qū)間（1，+∞）上，函數(shù)f（x）是f1（x），f2（x）的“活動(dòng)函數(shù)”，則f1（x）＜f（x）＜f2（x）令＜0，對x∈（1，+∞）恒成立，且h（x）=f1（x）﹣f（x）=＜0對x∈（1，+∞）恒成立，∵若，令p′（x）=0，得極值點(diǎn)x1=1，，當(dāng)x2＞x1=1，即時(shí)，在（x2，+∞）上有p′（x）＞0，此時(shí)p（x）在區(qū)間（x2，+∞）上是增函數(shù)，并且在該區(qū)間上有p（x）∈（p（x2），+∞），不合題意；當(dāng)x2＜x1=1，即a≥1時(shí)，同理可知，p（x）在區(qū)間（1，+∞）上，有p（x）∈（p（1），+∞），也不合題意；若，則有2a﹣1≤0，此時(shí)在區(qū)間（1，+∞）上恒有p′（x）＜0，從而p（x）在區(qū)間（1，+∞）上是減函數(shù)；要使p（x）＜0在此區(qū)間上恒成立，只須滿足，所以≤a≤．又因?yàn)閔′（x）=﹣x+2a﹣=＜0，h（x）在（1，+∞）上為減函數(shù)，h（x）＜h（1）=+2a≤0，所以a≤綜合可知a的范圍是[，]．37．【鹽城中學(xué)2018屆高三上第一次階段性考試】已知函數(shù)f（x）=（2﹣a）（x﹣1）﹣2lnx，g（x）=（a∈R，e為自然對數(shù)的底數(shù)）（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在上無零點(diǎn)，求a的最小值；（Ⅲ）若對任意給定的x0∈（0，e]，在（0，e]上總存在兩個(gè)不同的xi（i=1，2），使得f（xi）=g（x0）成立，求a的取值范圍．【答案】(1)f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（0，2]，單調(diào)增區(qū)間為[2，+∞）；(2)函數(shù)f（x）在上無零點(diǎn)，則a的最小值為2﹣4ln2；（3）a的范圍是.【解析】試題分析：（Ⅰ）把a(bǔ)=1代入到f（x）中求出f′（x），令f′（x）＞0求出x的范圍即為函數(shù)的增區(qū)間，令f′（x）＜0求出x的范圍即為函數(shù)的減區(qū)間；（Ⅱ）f（x）＜0時(shí)不可能恒成立，所以要使函數(shù)在（0，）上無零點(diǎn)，只需要對x∈（0，）時(shí)f（x）＞0恒成立，列出不等式解出a大于一個(gè)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)得到函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)的增減性得到這個(gè)函數(shù)的最大值即可得到a的最小值；試題解析：（1）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=x﹣1﹣2lnx，則f′（x）=1﹣，由f′（x）＞0，得x＞2；由f′（x）＜0，得0＜x＜2．故f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（0，2]，單調(diào)增區(qū)間為[2，+∞）；（2）因?yàn)閒（x）＜0在區(qū)間上恒成立不可能，故要使函數(shù)上無零點(diǎn)，只要對任意的，f（x）＞0恒成立，即對恒成立．令，則，再令，則，故m（x）在上為減函數(shù)，于是，從而，l（x）＞0，于是l（x）在上為增函數(shù)，所以，故要使恒成立，只要a∈[2﹣4ln2，+∞），綜上，若函數(shù)f（x）在上無零點(diǎn)，則a的最小值為2﹣4ln2；（3）g′（x）=e1﹣x﹣xe1﹣x=（1﹣x）e1﹣x，當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，g′（x）＞0，函數(shù)g（x）單調(diào)遞增；當(dāng)x∈（1，e]時(shí)，g′（x）＜0，函數(shù)g（x）單調(diào)遞減．又因?yàn)間（0）=0，g（1）=1，g（e）=e?e1﹣e＞0，所以，函數(shù)g（x）在（0，e]上的值域?yàn)椋?，1]．當(dāng)a=2時(shí)，不合題意；當(dāng)a≠2時(shí)，f′（x）=，x∈（0，e]當(dāng)x=時(shí)，f′（x）=0．由題意得，f（x）在（0，e]上不單調(diào)，故，即①此時(shí)，當(dāng)x變化時(shí)，f′（x），f（x）的變化情況如下：x（0，）（，e]f′（x）﹣0+f（x）↘最小值↗又因?yàn)?，?dāng)x→0時(shí)，2﹣a＞0，f（x）→+∞，，所以，對任意給定的x0∈（0，e]，在（0，e]上總存在兩個(gè)不同的xi（i=1，2），使得f（xi）=g（x0）成立，當(dāng)且僅當(dāng)a滿足下列條件：即令h（a）=，則h，令h′（a）=0，得a=0或a=2，故當(dāng)a∈（﹣∞，0）時(shí)，h′（a）＞0，函數(shù)h（a）單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，h′（a）＜0，函數(shù)h（a）單調(diào)遞減．所以，對任意，有h（a）≤h（0）=0，即②對任意恒成立．由③式解得：．④綜合①④可知，當(dāng)a的范圍是時(shí)，對任意給定的x0∈（0，e]，在（0，e]上總存在兩個(gè)不同的xi（i=1，2），使f（xi）=g（x0）成立．38.【徐州市第三中學(xué)2017～2018學(xué)年度高三第一學(xué)期月考】為了制作廣告牌，需在如圖所示的鐵片上切割出一個(gè)直角梯形，已知鐵片由兩部分組成，半徑為1的半圓及等腰直角三角形，其中，為裁剪出面積盡可能大的梯形鐵片（不計(jì)損耗），將點(diǎn)放在弧上，點(diǎn)放在斜邊上，且，設(shè).（1）求梯形鐵片的面積關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；（2）試確定的值，使得梯形鐵片的面積最大，并求出最大值.【答案】（1），其中.（2）時(shí)，【解析】試題分析：（1）求梯形鐵片的面積關(guān)鍵是用表示上下底及高，先由圖形得，這樣可得高，再根據(jù)等腰直角三角形性質(zhì)得，最后根據(jù)梯形面積公式得，交代定義域．（2）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值：先求導(dǎo)數(shù)，再求導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)，列表分析函數(shù)單調(diào)性變化規(guī)律，確定函數(shù)最值試題解析：（1）連接，根據(jù)對稱性可得且，所以，，，所以，其中．考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值【方法點(diǎn)睛】利用導(dǎo)數(shù)解答函數(shù)最值的一般步驟：第一步：利用f′(x)＞0或f′(x)＜0求單調(diào)區(qū)間；第二步：解f′(x)＝0得兩個(gè)根x1、x2；第三步：比較兩根同區(qū)間端點(diǎn)的大?。坏谒牟剑呵髽O值；第五步：比較極值同端點(diǎn)值的大小．39．【徐州市第三中學(xué)2017～2018學(xué)年度高三第一學(xué)期月考】已知函數(shù)，其中，是自然對數(shù)的底數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；（2）求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間；（3）若在恒成立，求的取值范圍.【答案】（1）（2）當(dāng)時(shí)，無單調(diào)減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)減區(qū)間是；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)減區(qū)間是.（3）【解析】試題分析：（1）先對函數(shù)解析式進(jìn)行求導(dǎo)，再借助導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率，運(yùn)用點(diǎn)斜式求出切線方程；（2）先對函數(shù)的解析式進(jìn)行求導(dǎo)，然后借助導(dǎo)函數(shù)的值的符號與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系進(jìn)行分類分析探求；（3）先不等式進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，然后運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識及分類整合的數(shù)學(xué)思想探求函數(shù)的極值與最值，進(jìn)而分析推證不等式的成立求出參數(shù)的取值范圍。(2)因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，所以無單調(diào)減區(qū)間.當(dāng)即時(shí)，列表如下：所以的單調(diào)減區(qū)間是.當(dāng)即時(shí)，，列表如下：所以的單調(diào)減區(qū)間是.綜上，當(dāng)時(shí)，無單調(diào)減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)減區(qū)間是；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)減區(qū)間是.(3).當(dāng)時(shí)，由(2)可得，為上單調(diào)增函數(shù)，所以在區(qū)間上的最大值，符合題意.當(dāng)時(shí)，由(2)可得，要使在區(qū)間上恒成立，只需，，解得.當(dāng)時(shí)，可得，.設(shè)，則，列表如下：所以，可得恒成立，所以.當(dāng)時(shí)，可得，無解.綜上，的取值范圍是.40.【泰州中學(xué)2018屆高三10月月考】已知函數(shù).（1）若曲線與直線相切，求實(shí)數(shù)的值；（2）記，求在上的最大值；（3）當(dāng)時(shí)，試比較與的大小.【答案】（1）；（2）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；（3）.【解析】試題分析：（1）研究函數(shù)的切線主要是利用切點(diǎn)作為突破口求解；（2）通過討論函數(shù)在定義域內(nèi)的單調(diào)性確定最值，要注意對字母m的討論；（3）比較兩個(gè)函數(shù)的大小主要是轉(zhuǎn)化為判斷兩個(gè)函數(shù)的差函數(shù)的符號，然后轉(zhuǎn)化為研究差函數(shù)的單調(diào)性研究其最值．試題解析：（1）設(shè)曲線與相切于點(diǎn)，由，知，解得，又可求得點(diǎn)為，所以代入，得.（2）因?yàn)?，所?①當(dāng)，即時(shí)，，此時(shí)在上單調(diào)遞增，所以；②當(dāng)即，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，.（i）當(dāng)，即時(shí)，；（ii）當(dāng)，即時(shí)，；③當(dāng)，即時(shí)，，此時(shí)在上單調(diào)遞減，所以.綜上，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.（3）當(dāng)時(shí)，，①當(dāng)時(shí)，顯然；②當(dāng)時(shí)，，記函數(shù)，則，可知在上單調(diào)遞增，又由知，在上有唯一實(shí)根，且，則，即（*），當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以，結(jié)合（*）式，知，所以，則，即，所以.綜上，.試題點(diǎn)睛：本題綜合考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值基本思路，當(dāng)比較兩個(gè)函數(shù)大小的時(shí)候，就轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的差的單調(diào)性，進(jìn)一步確定最值確定符號比較大?。?1.【啟東中學(xué)2018屆高三上學(xué)期第一次月考（10月）】設(shè),函數(shù).（1）證明在上僅有一個(gè)零點(diǎn)；（2）若曲線在點(diǎn)處的切線與軸平行,且在點(diǎn)處的切線與直線平行,(O是坐標(biāo)原點(diǎn)),證明:【答案】（1）在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)（2）證明見解析【解析】試題分析：試題解析：（1），，在上為增函數(shù)．，，又，，即，由零點(diǎn)存在性定理可知，在上為增函數(shù)，且，在上僅有一個(gè)零點(diǎn)。（2），設(shè)點(diǎn)，則，在點(diǎn)處的切線與軸平行，，，，，點(diǎn)處切線與直線平行，點(diǎn)處切線的斜率，又題目需證明，即，則只需證明，即。令，則，易知，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，，即，，，得證。42.【南通中學(xué)2018屆高三10月月考】設(shè)，，函數(shù)，其中是自然對數(shù)的底數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為.（Ⅰ）求實(shí)數(shù)、的值；（Ⅱ）求證：函數(shù)存在極小值；（Ⅲ）若，使得不等式成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)證明見解析；(Ⅲ).【解析】試題分析：(Ⅰ)利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的切線，得到關(guān)于實(shí)數(shù)a,b的方程組，求解方程組可得；(Ⅱ)結(jié)合(Ⅰ)中求得的函數(shù)的解析式首先求解導(dǎo)函數(shù)，然后利用導(dǎo)函數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性即可確定函數(shù)存在極小值；試題解析：（Ⅰ）∵，∴，由題設(shè)得，∴；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，∴，∴，∴函數(shù)在是增函數(shù)，∵，，且函數(shù)圖像在上不間斷，∴，使得，結(jié)合函數(shù)在是增函數(shù)有：）遞減極小值遞增∴函數(shù)存在極小值；（Ⅲ），使得不等式成立，即，使得不等式成立……（*），令，，則，∴結(jié)合（Ⅱ）得，其中，滿足，即，∴，，∴，∴，，∴在內(nèi)單調(diào)遞增，∴，結(jié)合（*）有，即實(shí)數(shù)的取值范圍為．43.【南師附中2017屆高三模擬一】已知是正實(shí)數(shù)，設(shè)函數(shù).（1）設(shè)，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若存在，使且成立，求的取值范圍.【答案】（1）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）【解析】【試題分析】（1）先對函數(shù)求導(dǎo)得，再解不等式得求出單調(diào)增區(qū)間；解不等式得求出單調(diào)減區(qū)間；（2）先依據(jù)題設(shè)得，由（1）知，然后分、、三種情形，分別研究函數(shù)的最小值，然后建立不等式進(jìn)行分類討論進(jìn)行求解出其取值范圍：解：（1），由得，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）由得，由條件得.①當(dāng)，即時(shí)，，由得.②當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，，矛盾，不成立.由得.③當(dāng)，即時(shí)，，在上單調(diào)遞減，，當(dāng)時(shí)恒成立，綜上所述，.44.【常熟中學(xué)2018屆高三10月階段性抽測（一）】已知函數(shù).（1）若函數(shù)是單調(diào)遞減函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若函數(shù)在區(qū)間上既有極大值又有極小值，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)；(2).【解析】試題分析：(1)原問題等價(jià)于對恒成立，即對恒成立，結(jié)合均值不等式的結(jié)論可得；(2)由題意可知在上有兩個(gè)相異實(shí)根，結(jié)合二次函數(shù)根的分布可得實(shí)數(shù)的取值范圍是.試題解析：（2）∵函數(shù)在上既有極大值又有極小值，∴在上有兩個(gè)相異實(shí)根，即在上有兩個(gè)相異實(shí)根，記，則，得，即.45．【常熟中學(xué)2018屆高三10月階段性抽測（一）】如圖，某公司的LOGO圖案是多邊形，其設(shè)計(jì)創(chuàng)意如下：在長、寬的長方形中，將四邊形沿直線翻折到（點(diǎn)是線段上異于的一點(diǎn)、點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)），使得點(diǎn)落在線段上.（1）當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，求面積；（2）經(jīng)觀察測量，發(fā)現(xiàn)當(dāng)最小時(shí)，LOGO最美觀，試求此時(shí)LOGO圖案的面積.【答案】(1)；(2).【解析】試題分析：(1)設(shè)，利用題意結(jié)合勾股定理可得，則，據(jù)此可得的面積是；試題解析：（1）設(shè)，則，，∵，∴，解之得，∴的面積是；（2）設(shè)，則，，∴，∴，，∴.∵，∴，即，∴（且），∴（且），設(shè)，則，令得，列表得∴當(dāng)時(shí)，取到最小值，此時(shí)，，，在中，，，，在正中，，在梯形中，，，，∴.答：當(dāng)最小時(shí)，LOGO圖案面積為.點(diǎn)睛：求實(shí)際問題中的最大值或最小值時(shí)，一般是先設(shè)自變量、因變量，建立函數(shù)關(guān)系式，并確定其定義域，利用求函數(shù)的最值的方法求解，注意結(jié)果應(yīng)與實(shí)際情況相結(jié)合．用導(dǎo)數(shù)求解實(shí)際問題中的最大(小)值時(shí)，如果函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn)，那么依據(jù)實(shí)際意義，該極值點(diǎn)也就是最值點(diǎn).46．【常熟中學(xué)2018屆高三10月階段性抽測（一）】已知函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)為4，且滿足.（1）求實(shí)數(shù)和的值；（2）試問：是否存在這樣的定值，使得當(dāng)變化時(shí)，曲線在點(diǎn)處的切線互相平行？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由；（3）討論函數(shù)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù).【答案】(1)；(2)答案見解析；(3)當(dāng)或時(shí)，在有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，在有一個(gè)零點(diǎn).【解析】試題分析：(1)由題意得到關(guān)于實(shí)數(shù)b,c的方程組，求解方程組可得；(3)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)可得當(dāng)或時(shí)，在有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，在有一個(gè)零點(diǎn).試題解析：（1）由題意，解得；（2）由（1）可知，∴；假設(shè)存在滿足題意，則是一個(gè)與無關(guān)的定值，即是一個(gè)與無關(guān)的定值，則，即，平行直線的斜率為；（3），∴，其中，設(shè)兩根為和，考察在上的單調(diào)性，如下表1°當(dāng)時(shí)，，，而，∴在和上各有一個(gè)零點(diǎn)，即在有兩個(gè)零點(diǎn)；2°當(dāng)時(shí)，，，而，∴僅在上有一個(gè)零點(diǎn)，即在有一個(gè)零點(diǎn)；3°當(dāng)時(shí)，，且，①當(dāng)時(shí)，，則在和上各有一個(gè)零點(diǎn)，即在有兩個(gè)零點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，，則僅在上有一個(gè)零點(diǎn)，即在有一個(gè)零點(diǎn)；綜上：當(dāng)或時(shí)，在有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，在有一個(gè)零點(diǎn).點(diǎn)睛：在解決類似的問題時(shí)，首先要注意區(qū)分函數(shù)最值與極值的區(qū)別．求解函數(shù)的最值時(shí)，要先求函數(shù)y＝f(x)在[a，b]內(nèi)所有使f′(x)＝0的點(diǎn)，再計(jì)算函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間內(nèi)所有使f′(x)＝0的點(diǎn)和區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值，最后比較即得．47.【淮安市淮海中學(xué)2018屆高三上第一次調(diào)研】已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求滿足的的取值；（2）若函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)①存在，不等式有解，求的取值范圍；②若函數(shù)滿足，若對任意，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值.【答案】（1）（2）①，②6試題解析：（1）由題意，，化簡得解得，所以（2）因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以，所以化簡并變形得：要使上式對任意的成立，則解得：，因?yàn)榈亩x域是，所以舍去所以，所以①對任意有：因?yàn)椋?，所以，因此在R上遞減．因?yàn)?，所以，即在時(shí)有解所以，解得：，所以的取值范圍為②因?yàn)椋约此圆坏仁胶愠闪?，即，即：恒成立令，則在時(shí)恒成立令，，時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增所以，所以所以，實(shí)數(shù)m的最大值為6考點(diǎn)：利用函數(shù)性質(zhì)解不等式，不等式恒成立問題【思路點(diǎn)睛】利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立或存在型問題，首先要構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，進(jìn)而得出相應(yīng)的含參不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；也可分離變量，構(gòu)造函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題。48.【南師附中20