2023年上海市15區(qū)中考一模數(shù)學(xué)試題知識點匯編 圖形的變化新定義含詳解

2023年上海市15區(qū)中考數(shù)學(xué)一模匯編

專題06圖形的變化，新定義（27題）

一.選擇題（共1小題）

1.（2022秋?徐匯區(qū)期末）閱讀理解：我們知道，引進了無理數(shù)后，有理數(shù)集就擴展到實數(shù)集：同樣，如果引進'‘虛

數(shù)”實數(shù)集就擴展到“復(fù)數(shù)集”現(xiàn)在我們定義：“虛數(shù)單位”，其運算規(guī)則是：/=i,P=-1,j3=τ,產(chǎn)=],戶

=i,1=-1,?=-/,則嚴(yán)19=（）

A.1B.-1C.iD.-i

二.填空題（共26小題）

2.（2022秋?黃浦區(qū)校級期末）如圖，圖中提供了一種求Cotl5°的方法.作RIZ?ABC,使∕C=90°,∕48C=30°,

再延長CB到點。，使BO=BA,聯(lián)結(jié)A￡>,即可得/0=15°.如果設(shè)AC=3則可得C￡>=（2+√E）f,則CotI5°

3.（2022秋?黃浦區(qū)校級期末）如圖，已知在aABC中，ZC=90o,BC=8,cosB=生點P是斜邊AB上一點,

5

過點P作PMLAB交邊AC于點M,過點P作AC的平行線，與過點M作AB的平行線交于點Q.如果點。恰

好在/4BC的平分線上，那么AP的長為.

4.（2022秋?嘉定區(qū)校級期末）點A、B分別在△/）￡?尸的邊。及EF且NE）EF=90°,DE=yAD（NEBA=45°

（如圖），ZiABE沿直線AB翻折，翻折后的點E落在AQEF內(nèi)部的點C,直線。C與邊EF相交于點“，如果

FH=AD,那么COt。=.

5.（2022秋?徐匯區(qū)校級期末）在同一平面直角坐標(biāo)系中，如果兩個二次函數(shù)yι="∣（x+A∣）2+心與”="2（x+A2）

2

+k2的圖象的形狀相同，并且對稱軸關(guān)于y軸對稱，那么我們稱這兩個二次函數(shù)互為夢函數(shù).如二次函數(shù)>■=

（x+l）2-l與y=（X-I）2+3互為夢函數(shù)，寫出二次函數(shù)y=2（x+2）2+1的其中一個夢函數(shù).

6.（2022秋?徐匯區(qū)校級期末）在RtZVlBC中，NC=90°,M為AB的中點，將RtZ?A8C繞點M旋轉(zhuǎn)，使點C與

點8重合得到aOEB,設(shè)邊8E交邊C4于點N.若BC=2,AC=3,則AN=.

7.（2022秋?浦東新區(qū)校級期末）如圖，在RtZVlBC中，NC=90°,AB=10,AC=8,點。是AC的中點，點E

在邊AB上，將aAQE沿。E翻折，使得點A落在點H處，當(dāng)WELAB時，那么AE的長為

8.（2022秋?楊浦區(qū)校級期末）已知y是關(guān)于X的函數(shù)，若該函數(shù)的圖象經(jīng)過點PG,-t）,則稱點P為函數(shù)圖象

上的“相反點”，例如：直線y=2χ-3上存在“相反點”P（1,-1）.若二次函數(shù)y=∕+2g+"i+2的圖象上存

在唯一“相反點”，則機=.

9.（2022秋?楊浦區(qū)校級期末）在RtZXABC中，ZC=90o,AB=5,SinB=旦，點。在斜邊AB上，把aACO沿

5

直線CQ翻折，使得點A落在同一平面內(nèi)的點4,處，當(dāng)A3平行RtAABC的直角邊時，Ao的長為.

10.（2022秋?浦東新區(qū)期末）如圖，點E、F分別在邊長為1的正方形ABC。的邊A3、AD±,BE=2AE.AF=

2FD,正方形AEC。'的四邊分別經(jīng)過正方形ABCD的四個頂點，已知A'D'∕∕EF,那么正方形AHeZr的邊長

11.（2022秋?浦東新區(qū)期末）如圖，正方形A8C。的邊長為5,點E是邊CZ）上的一點，將正方形ABCQ沿直線AE

翻折后,點。的對應(yīng)點是點。,聯(lián)結(jié)C。交正方形ABCf）的邊AB于點F,如果4尸=CE,那么A尸的長是.

12.（2022秋?閔行區(qū)期末）如圖，在RtZVlBC中，ZACB=Wa,AB=9,CotA=2,點。在邊AB上，點E在邊

AC上，將AABC沿著折痕OE翻折后，點A恰好落在線段8C的延長線上的點尸處，如果∕3PO=/A,那么折

痕DE的長為.

13.（2022秋?閔行區(qū)期末）閱讀：對于線段MN與點O（點O與MN不在同一直線上），如果同一平面內(nèi)點尸滿

足：射線OP與線段MN交于點Q,月旦2=工，那么稱點P為點。關(guān)于線段MN的“準(zhǔn)射點”.

OP2

問題：如圖，矩形ABCn中，AB=A,AD=5,點E在邊Ao上，且AE=2,聯(lián)結(jié)BE.設(shè)點F是點A關(guān)于線段

BE的“準(zhǔn)射點”，且點F在矩形ABCD的內(nèi)部或邊上，如果點C與點F之間距離為d,那么d的取值范圍

14.（2022秋?徐匯區(qū)期末）如圖，在等邊三角形ABC中，D,E,尸分別是8C,AC,AB上的點，DEkAC,EFL

AB,FDYBC,若AABC的面積為48,則AQEF的面積為.

15.（2022秋?徐匯區(qū)期末）如圖，在RtAABC中，ZA=90o,AB=AC=2,將線段BC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)α°（0

<a<180）得到線段B。，S.AD//BC,則AO=.

16.（2022秋?青浦區(qū)校級期末）如圖，在RtaABC中，NACB=90°,AC=LtanZCAB=2,將AABC繞點A旋

轉(zhuǎn)后，點B落在AC的延長線上的點。，點C落在點E,OE與直線BC相交于點凡那么CF=.

17.（2022秋?黃浦區(qū)期末）如圖，在矩形ABCD中，過點。作對角線AC的垂線，垂足為E,過點E作BE的垂線,

交邊AQ于點F,如果4B=3,BC=5,那么。F的長是.

18.（2022秋?黃浦區(qū)期末）將一張直角三角形紙片沿一條直線剪開，將其分成一張三角形紙片與一張四邊形紙片,

如果所得四邊形紙片A8C。如圖5所示，其中NA=NC=90°,AB=7厘米，BC=9厘米，Cn=2厘米，那么

原來的直角三角形紙片的面積是平方厘米.

A

CB

19.（2022秋?徐匯區(qū)期末）在RtZXABC中，ZB=90°,NBAC=30°,BC=I,以AC為邊在AABC外作等邊4

ACD,設(shè)點E、尸分別是AABC和AACO的重心，則兩重心E與尸之間的距離是.

20.（2022秋?徐匯區(qū)期末）如圖，在RtZ?ABC中，∕C=90°,A8=10,AC=8,。是AC的中點，點E在邊AB

上，將aAOE沿。E翻折，使得點A落在點A'處，當(dāng)A'ELAB時，則A'A=.

21.（2022秋?楊浦區(qū)期末）如圖，已知在RtZ?A8C中，NC=90°,AC=BC=I,點。在邊BC上，將BC沿直

線AO翻折，使點C落在點C'處，聯(lián)結(jié)AC',直線AC'與邊CB的延長線相交于點尸.如果ND4B=NBA凡

22.（2022秋?青浦區(qū)校級期末）如圖，已知在AABC中，∕C=90°,AB=21,CotBq正方形OMG的頂點

G、F分別在AC、BC上，點。、E在斜邊AB上，那么正方形。EFG的邊長為.

23.（2022秋?青浦區(qū)校級期末）新定義：有一組對角互余的凸四邊形稱為對余四邊形，如圖，已知在對余四邊形

ABCDψ,A8=10,BC=12,CD=5,tan2=旦，那么邊A。的長為.

BC

24.（2022秋?金山區(qū)校級期末）如果梯形的一條對角線把梯形分成的兩個三角形相似，那么我們稱該梯形為“優(yōu)美

梯形”.如果一個直角梯形是“優(yōu)美梯形”，它的上底等于2,下底等于4,那么它的周長為.

25.（2022秋?金山區(qū)校級期末）如圖，已知在AABC中，ZC=90o,BC=8,cos8=支點P是斜邊4?上一點，

5

過點P作AB交邊AC于點M,過點P作AC的平行線，與過點M作A3的平行線交于點Q.如果直線CQ

±AB,那么AP的長為.

26.（2022秋?靜安區(qū)期末）如圖，繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°后得ADEC,如果點8、D、E在一直線上，且N

BOC=60°,BE=3,那么A、。兩點間的距離是.

27.（2022秋?靜安區(qū)期末）定義：把二次函數(shù)y=4（X+,〃）？+〃與y=-〃（χ-m）2一〃（介（），m、〃是常數(shù)）稱作

互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”.如果二次函數(shù)y=∕+3?r-2與y=-/-Lv+c（氏C是常數(shù)）互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”，寫出點P

24

（b,c）的坐標(biāo)

2023年上海市15區(qū)中考數(shù)學(xué)一模匯編

專題06圖形的變化，新定義（27題）

一.選擇題（共1小題）

1.（2022秋?徐匯區(qū)期末）閱讀理解：我們知道，引進了無理數(shù)后，有理數(shù)集就擴展到實數(shù)集：同樣，如果引進'‘虛

數(shù)”實數(shù)集就擴展到“復(fù)數(shù)集”現(xiàn)在我們定義：“虛數(shù)單位”，其運算規(guī)則是：/=i,P=-1,j3=τ,產(chǎn)=],戶

=i,1=-1,?=-/,則嚴(yán)19=（）

A.1B.-1C.iD.-i

【分析】根據(jù)已知得出變化規(guī)律進而求出答案.

【解答】解："：il=i,i2=-h/3=-i,r4=l,z5=i,z6=-l,ij=-i,

每4個數(shù)據(jù)一循環(huán)，

V2019÷4=504???3,

?；2019_；3_；

??I—I--I.

故選：D.

【點評】此題主要考查了新定義，正確理解題意是解題關(guān)鍵.

二,填空題（共26小題）

2.（2022秋?黃浦區(qū)校級期末）如圖，圖中提供了一種求Cotl50的方法.作RtAABC,使NC=90°,NABC=30°,

再延長CB到點。，使BD=BA,聯(lián)結(jié)AD,即可得NQ=15°.如果設(shè)AC=t,則可得CD=（2+√3）t,則cotl5o

=Cot.用以上方法，則COt22.5°=_?/?+2.

【分析】利用題中的方法構(gòu)建一個RtAAQC,使/0=15°,然后利用余切的定義求解.

【解答】解：作RtZ∑ABC,使∕C=90°,∕A8C=45°,再延長CB到點O,使BO=BA,聯(lián)結(jié)AO,

"：AB=BD,

INBAD=ND,

'：NABC=NBAn+ND,

.?./。=上NABC=I5°,

2

設(shè)AC=/,則BC=Ff,AB=2t,

：.CD=BC+BD=2t+Mt=（V3+2）Z,

在RtZ?ADC中，CotD=%=我+2,

AC

Λcotl5o=√3+2.

故答案為：√3+2.

【點評】本題考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的過程就是解直角三角形.靈活應(yīng)

用勾股定理和銳角三角函數(shù)的定義是解決此類問題的關(guān)鍵.

3.（2022秋?黃浦區(qū)校級期末）如圖，已知在aABC中，ZC=90o,BC=8,cosB=2,點P是斜邊AB上一點,

過點P作PMLAB交邊AC于點過點P作AC的平行線，與過點M作AB的平行線交于點Q.如果點。恰

好在NABC的平分線上，那么AP的長為

【分析】根據(jù)直角三角形的邊角關(guān)系可求出A8,AC,再根據(jù)相似三角形，用含有AP的代數(shù)式表示MC、NC、

MN,再根據(jù)角平分線的定義以及等腰三角形的判定得出BN=N。，進而列方程求出AP即可.

【解答】解：在44BC中，∕C=90°,BC=S,CoS8=2，

.?.AB=*=10,AC=√AB2.BC2=6,

COSD

PMLAB,

：.ZAPM=90o=Nc

???XAPMsXACB,

.AP=PM=AM

*'ACBCAB,

設(shè)AP=3x,則尸M=4x,AM=5x,

.?.MC=6-5%,

,

?MN//ABf

.CM=CN=MN

**CACBAB,

.?.CN=8-型x,MN=?0-^-x,

。平分/ABC,MN//AB,

,/QBN=NBQN,

：.NQ=BN=BC-CN=",

?：MN//AB,PQ//AC,

四邊形APQM是平行四邊形，

：.QM=AP=3x,

：.MN=NQ+MQ=皎x+3X="x,

.管=1。號,

解得x=a,

9

.'.AP=3x--,

3

故答案為：5.

3

A

【點評】本題考查直角三角形的邊角關(guān)系，角平分線的定義，相似三角形的判定和性質(zhì)以及平行四邊形的性質(zhì)，

掌握直角三角形的邊角關(guān)系以及相似三角形的判定和性質(zhì)是解決問題的前提,用含有AP的代數(shù)式表示MC、NC、

MN是正確解答的關(guān)鍵.

4.（2022秋?嘉定區(qū)校級期末）點A、8分別在AQEF的邊。E、EF上,且NQEF=90°,DE=yAD'NEBA=45°

（如圖），BE沿直線4B翻折，翻折后的點E落在△￡>￡：/內(nèi)部的點C,直線OC與邊E/相交于點“，如果

FH=AD,那么COtD=_2

【分析】根據(jù)題意和翻折的性質(zhì)可得AABE是等腰直角三角形，AABC是等腰直角三角形，所以AC//BE,得

—=—=-^?,i?AC=AE=Ix,則HE=3x,AD=4x,所以尸E=7x,DE-6x,然后根據(jù)銳角三角函數(shù)即可解

DEHE3

決問題.

【解答】解：如圖所示：

；NDEF=90°,NEBA=45°,

.?.△ABE是等腰直角三角形，

.".AE=BE,

YAABE沿直線AB翻折，翻折后的點E落在八DEF內(nèi)部的點C,

???△ABC是等腰直角三角形，

.?AC∕∕BE,

?DA=AC=_2

"DEIffi^3

"：FH=AD,

設(shè)AC=AE=2x,

貝IJHE=3x,AD=4x,

：.FE=lx,DE=6x,

.DE_6

??—,

FE7

故答案為：1.

7

【點評】本題考查了翻折變換，解直角三角形，解決本題的關(guān)鍵是掌握翻折的性質(zhì).

5.(2022秋?徐匯區(qū)校級期末)在同一平面直角坐標(biāo)系中，如果兩個二次函數(shù)yι="ι(x+Λ∣)2+&］與”=&(x+fe)

2

+k2的圖象的形狀相同，并且對稱軸關(guān)于y軸對稱，那么我們稱這兩個二次函數(shù)互為夢函數(shù).如二次函數(shù)y=

(x+I)2-1與y=(χ-l)2+3互為夢函數(shù)，寫出二次函數(shù)y=2(jt+2)2+1的其中一個夢函數(shù)y=2(χ-2)

2+2(答案為不唯一).

【分析】由一對夢函數(shù)的圖象的形狀相同，并且對稱鈾關(guān)于y軸對稱，可團|=〃2,加與例互為相反數(shù)；

【解答】解：二次函數(shù)y=2(x+2)2+1的一個夢函數(shù)是y=2(X-2)2+2；

故答案為：y=2(X-2)2+2(答案為不唯一).

【點評】本題主要考查的是二次函數(shù)的圖象與幾何變換，得出變換的規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

6.(2022秋?徐匯區(qū)校級期末)在RtZ?4BC中，ZC=90o,例為AB的中點，將RtAABC繞點例旋轉(zhuǎn)，使點C與

點B重合得到設(shè)邊BE交邊CA于點N.若BC=2,AC=3,貝IJAN=也.

一6一

【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)用同一個未知數(shù)表示出有關(guān)的邊，根據(jù)勾股定理列方程計算.

【解答】解：=MA=MB=ME,

NABE=NE,

又,：乙E=ZA,

.?ZABE=ZA,

JAN=NB,

設(shè)CN=x,則AN=N3=3-X,

在RtZ?C4N中，AN2=AC1+CN2,即(3-χ)2=4+7,

解得x=?∑,即CN=e.

66

.?.AN=3-金=衛(wèi)

66

故答案為：l?.

6

【點評】本題考查旋轉(zhuǎn)變換，等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到對應(yīng)角和對應(yīng)邊之間的關(guān)系

是解題的關(guān)鍵.

7.（2022秋?浦東新區(qū)校級期末）如圖，在RtZ?ABC中，ZC=90o,AB=10,AC=8,點。是AC的中點，點E

在邊AB上，將AAOE沿。E翻折，使得點A落在點A處，當(dāng)AELAB時，那么AE的長為_2殳或

55

【分析】分兩種情形分別求解，作。FLAB于F.證明FZ）S^AC2,由相似三角形的性質(zhì)及勾股定理可求出

答案.

'：ADAF=ABAC,ZAFD=ZC=WO,

XAFDs∕?ACB,

.DFADAF

^'BC???e'

?DF4AF

??-二一一=9

6108

.?.OF=烏AF=lθ,

55

VA,ELAB,

：.ZAEA'=90°,

由翻折不變性可知：ZAED=45°,

EF=QF=衛(wèi)，

5

：.AE=A'E=￡+也=%

555

如圖，作?？贚AB于凡當(dāng)EA'_LAB時，同法可得AE=A'E=蛇』?=2

555

B

故答案為：絲或2.

55

【點評】本題考查翻折變換，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助

線，構(gòu)造直角三角形解決問題.

8.(2022秋?楊浦區(qū)校級期末)已知y是關(guān)于X的函數(shù)，若該函數(shù)的圖象經(jīng)過點P(f,7),則稱點P為函數(shù)圖象

上的“相反點”，例如：直線y=2χ-3上存在“相反點”P(1,-1).若二次函數(shù)＞=7+2皿+雨+2的圖象上存

在唯一“相反點''，則〃?=+近.

2-

【分析】將P(f,-r)代入y=/+2mx+加+2中得尸+2""+H+2=-3即∕2÷(2加+1)/+τw+2=0,將二次函數(shù)y=

/+2加什m+2的圖象上存在唯一“相反點”，轉(zhuǎn)化為方程有兩個相等的實數(shù)根，Δ=0,求解即可.

【解答】解：將P(3-/)代入y=∕+2"優(yōu)+〃?+2中，

得P+2mt+m+2=-6即/2+(2w+l)/+m+2=0,

???二次函數(shù)y=∕+2∕τu+m+2的圖象上存在唯一“相反點”，

，方程有兩個相等的實數(shù)根，

.?.Δ=(2zπ+l)2-4×l×(∕Π+2)=0,

解得m=

故答案為：+近.

一2

【點評】本題考查了二次函數(shù)、一元二次方程根的判別式，解題的關(guān)鍵是將函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程問題.

9.(2022秋?楊浦區(qū)校級期末)在RtBC中，∕C=90°,AB=5,SinB=卷，點。在斜邊AB匕把AACO沿

直線CD翻折，使得點A落在同一平面內(nèi)的點A'處，當(dāng)A'。平行RtAABC的直角邊時，AD的長為1或3.

【分析】如圖，當(dāng)4Q〃BC,根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∕A'DB=NB,根據(jù)折疊的性質(zhì)得到A'D=AD,ZA'=

ZA,根據(jù)三角形的面積公式得到CEq崇?=譽，由相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；如圖2,當(dāng)A'D∕∕AC,

根據(jù)折疊的性質(zhì)得到AO=A'D,AC=A'C,ZACD=ZA'CD,根據(jù)平行線的性質(zhì)得到NA'DC=ZACD,

于是得到NA'DC=ZA,CD,推出A'D=A'C,于是得到AQ=AC=8.

【解答】解：RtZ?ABC中，ZC=90o,AB=5,SinB=之，

5

?'?AC=3'BC=VAB2-AC2=4'

①如圖，當(dāng)BC,

D

：.ZA,DB=NB,

?；把aACD沿直線CO折疊，點A落在同一平面內(nèi)的A'處,

：.A'D=AD,

：.ZA,=ZA,

：.ZA,+ZA,DB=90°,

ΛΛ,C±Aβ,

ACBC12

；?CE=

AB^5^

?'?A'E=3-12_^3

~5~"5

?^A'D∕∕BC,

：.?A,DES∕?CBE,

3_

.AyDA,E∏∏AyD,5

BCCE4空

5

：.A'D=I,

."O=1；

②如圖，當(dāng)AZ)〃AC,

?；把aACO沿直線C。折疊，點A落在同一平面內(nèi)的A'處,

.?AD=A'D,AC=A'C,ZACD=ZA'CD,

VZA,DC=ZACD,

：.ZA,DC=ZA1CD,

.?.A'D=A'C,

：.AD=AC=3,

綜上所述：AD的長為：1或3,

故答案為：1或3.

【點評】本題考查了翻折變換-折疊問題，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

10.（2022秋?浦東新區(qū)期末）如圖，點E、F分別在邊長為1的正方形ABC。的邊AB、AD±,BE=2AE.AF=

2FD,正方形AbC,D'的四邊分別經(jīng)過正方形ABCO的四個頂點，已知4D,〃EF,那么正方形AbeTj的邊長是

3辰

【分析】通過證明AAEFsZWAB,可求A?的長，同理可求AO的長，即可求解.

【解答】解：＜BE=2AE?AF=2FD,AB=AO=I,

：.BE=2,AE=-,AF=-,DF=-,

3333

,EF=VAE2+AF2=咚，

0

?'A'D"∕∕EF,

：.ZA'AB=ZAEF,

又?.?NA'=∕E4/=90°,

XAEFSIAB,

.AA'AB

"AE'EF

“J72=&

疾5

3

同理可求：AO=Z匹，

5

.?.A77=?^?,

5

...正方形AbC。的邊長為百,

5

故答案為：主叵.

5

【點評】本題考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，證明三角形相似是解題的關(guān)鍵.

11.（2022秋?浦東新區(qū)期末）如圖，正方形ABC。的邊長為5,點E是邊CO上的一點，將正方形ABCO沿直線AE

翻折后,點D的對應(yīng)點是點D',聯(lián)結(jié)CO交正方形ABCD的邊AB于點F,如果AF=CE,那么AF的長是空

-2一

【分析】根據(jù)翻折的性質(zhì)得，DE=D1E,可得NEDD'=ZED'D,證明四邊形AECF是平行四邊

形，貝IJAF=CE,AE//CF,可得CFJ_￡>￡>',根據(jù)等角的余角相等可得∕EO'C=ND'CE,則。'E=CE=

DE,即可求解.

.?.NEDD'=NED'D,

四邊形ABC。是正方形，

.?AB∕∕CD,

'：AF=CE,

：.四邊形AECF是平行四邊形，

：.AF=CE,AE//CF,

.?CF±DD',

：.ZEDD1+ZD'CE=ZED'D+ED'C=90o,

；.NED'C=/O'CE,

.,.DlE=CE=DE,

：正方形ABCD的邊長為5,

.?.CE=ACD=,

222

.?AF=5,

2

故答案為：1.

2

【點評】本題是考查了翻折變換的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)等

知識，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題.

12.（2022秋?閔行區(qū)期末）如圖，在RtZXABC中，NACB=90°,AB=9,CotA=2,點。在邊AB上，點E在邊

AC上，將aABC沿著折痕OE翻折后，點A恰好落在線段BC的延長線上的點P處，如果NBPO=NA,那么折

痕DE的長為2品.

【分析】先求出NAOE=45°,由等腰直角三角形的性質(zhì)可得DE=√5fW,由銳角三角函數(shù)可求?！ǖ拈L，即

可求解.

【解答】解：如圖，過點E作AB于"，

???將aABC沿著折痕OE翻折，

：.AD=DP,ZADE=ZPDE,

9：ABPD=ΛA,ZA+ZB=90σ,

.?.NBPD+NB=90°,

o

ΛZBDP=90=ZADPf

ΛZADE=45o,

VEHlAB,

：.NDEH=NEDH=45°,

：.DH=EHf

：?DE=?DH,

丁cotA=2=COtNBP￡)=,

HEBD

：.AH=2HE,DP=IBD1

：?AD=DP=3DH,

IBD=3DH,

2

?,AB=9=BD+AD=*DH+3DH,

2

:?DH=2,

DE=2?^2,

故答案為：2近.

【點評】本題考查了翻折變換，銳角三角函數(shù)，等腰直角三角形的性質(zhì)，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造直角三角形是解題

的關(guān)鍵.

13.（2022秋?閔行區(qū)期末）閱讀：對于線段MN與點。（點O與MN不在同一直線上），如果同一平面內(nèi)點P滿

足：射線OP與線段MN交于點Q,且毀=上，那么稱點P為點。關(guān)于線段MN的“準(zhǔn)射點”.

OP2

問題：如圖，矩形ABC。中，AB=4,AD=5,點E在邊Ao上，且AE=2,聯(lián)結(jié)BE.設(shè)點F是點A關(guān)于線段

BE的“準(zhǔn)射點”，且點F在矩形ABCD的內(nèi)部或邊上，如果點C與點F之間距離為d,那么d的取值范圍為

-^^-≤√≤√17

【分析】設(shè)A尸交BE于點Q,根據(jù)點尸是點A關(guān)于線段BE的“準(zhǔn)射點”，可得理■=1,所以AQ=FQ,過點

AF2

F作GH〃BE交AD,8C于點G,H,根據(jù)平行線分線段成比例定理可得AE=EG=2,AQ,=Q'F1,所以點

F在線段G”上，連接CG,根據(jù)勾股定理求出CG的長，可得點F在A。上時與點G重合，此時CG的長即為

1的最大值，過點C作CM_LG〃于點M,根據(jù)三角形面積求出CM的長，此時CM的長即為d的最小值，進而

可得”的取值范圍.

【解答】解：如圖，設(shè)AF交BE于點Q,

；點尸是點A關(guān)于線段BE的“準(zhǔn)射點”，

?-?AQ_-1,

AF2

：.AQ=FQ,

過點尸作GH〃BE交4。，BC于點G,H,

.?AE=EG=2,AQ'=Q'F1,

.?.點/在線段GH上，

連接CG,

'：DG=AD-AG=5-4=l,CD=AB=4,

ΛCG=7CD2+DG2=V42+l2z=λ^,

過點C作CM-LGH于點M,

?：EG〃BH,BE//GH9

：.四邊形BHGE是平行四邊形，

；?BH=EG=2,

：?HC=BC-BH=5-2=3,

'?"BE=HG=寸AB2+AE2~V42+22=2娓'

,SAGHC=工XHG?CM=工XCH?DC,

22

.?2V5C∕W=3×4,

5

,；點F在矩形ABCD的內(nèi)部或邊上，點C與點尸之間距離為d,

：.d的取值范圍為空應(yīng)＜4≤JF.

5

故答案為:-^-≤J≤√17.

5

【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，勾股定理，平行四邊形的判定與性質(zhì)，

矩形的性質(zhì)，三角形面積，解決本題的關(guān)鍵是熟知垂線段最短.

14.（2022秋?徐匯區(qū)期末）如圖，在等邊三角形ABC中，D,E,F分別是BC,AC,AB上的點，DELAC,EFl.

AB,FDLBC,若AABC的面積為48,則△/）EF的面積為16.

【分析】利用等邊三角形的性質(zhì)可得NA=NB=NC=60°,根據(jù)垂直定義可得NAFE=NBDF=NQEC=90°,

從而利用直角三角形的兩個銳角互余可得/AEF=∕BFf>=/Ef>C=30°,然后利用平角定義可得/OfE=/

FDE=NDEF=60°,從而可得△￡>「￡：是等邊三角形，進而可得OF=ER?ΛθC^?DEF,最后在RtZ?B∕）廠和

RtZiAFE中，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)可得AF：DF-.BF=I:√3：2,從而可得近，進而利

AB3

用相似三角形的性質(zhì)，進行計算即可解答.

【解答】解：:ZVlBC是等邊三角形，

ΛZΛ=ZB=ZC=60o,

,JDEVAC,EFLAB,FDLBC,

：.NAFE=NBDF=NoEC=90°,

.,.ZΛEF=90o-N4=30°,NBFD=90°-ZB=30o,NEDC=90°-ZC=30o,

二NOFE=180°-ZAFE-ZBFD=60o,ZFDF=180o-NBDF-NEDC=6Q°,NDEF=I80°-ZDEC-

NAEF=60°,

NDFE=NFDE=/DEF=60°,

：.ADFE是等邊三角形,

：.DF=EF,XABCsXDEF、

在RtZ?BO尸和RtZ?AFE中，ZBFD=ZAEF==30°,

：.BD：DF：BF=L√3:2,AF：EF=I:√3,

：.AF：DF：BF=I:VS：2,

.DF.√3

??,

AB3

??MABCSXDEF,

sA≡=(?)2=(近)2=工

S??ABCAB33

「△ABC的面積為48,

/.ZVJEF的面積=16,

故答案為：16.

【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的

關(guān)鍵.

15.(2022秋?徐匯區(qū)期末)如圖，在RtaABC中，ZA=90o,AB=AC=2,將線段BC繞點8逆時針旋轉(zhuǎn)α°(0

<a<180)得到線段BZX且A￡>〃BC,則AO=_遍-&或述

【分析】根據(jù)要求畫出圖形，分兩種情形分別解直角三角形求出BE,BF即可解決問題.

作4∕:?LBC于尸，DELBCTE.則四邊形AFEO是矩形.

：.AF=DE,NDEB=90°,

'：AB=AC,/8AC=90°,AFlBC,

：.BF=CF,

：.AF=^BC,

2

?：BC=BD,AF=DE,

；.DE=LBD,

2

；.NDBE=30°,

"：BD=BD',

：.NBDD'=NBD'0=30°,

：.ZD'B'0=120°,

：.NDIBC=ND'BD+NDBE=120°+30°=150o,

.?.滿足條件的a的值為30°或150°.

?,AB=AC=2,

：.BC=N

J.AF=BF=DE=42,

:.BE=MDE=E,

/.AD=Vs-V2,AD'=2(√6-V2)=Vβ+,∕2.

故答案為：血-我或遍啦.

【點評】本題考查旋轉(zhuǎn)變換，等腰直角三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)

造直角三角形解決問題.

16.(2022秋?青浦區(qū)校級期末)如圖，在RtAABC中，NACB=90°,AC=I,tan∕C4B=2,將AABC繞點A旋

轉(zhuǎn)后，點B落在AC的延長線上的點。，點C落在點E,Z)E與直線BC相交于點F,那么CF=_近二1_.

【分析】根據(jù)已知條件得到BC=AC?tan∕CAB=2,根據(jù)勾股定理得到康?=√g,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性

質(zhì)得到AO=AB=√至，ND=NB,根據(jù)三角函數(shù)的定義即可得到結(jié)論.

【解答】解：如圖，丫在RtZ?ABC中，∕AC8=90°,AC=I,tan∕C48=2,

SC=AC?tanZCAB=2,

ΛΛB=VAC2+BC2=娓,

：將AABC繞點A旋轉(zhuǎn)后，點B落在AC的延長線上的點D,

ΛAD=AB=√5,ND=NB,

VAC=L

/.CD=Vs-1,

VZFCD=ZACB=90o,

ΛtanD=tanZC4β=-^5.=2,

CF

：.CF=娓Y,

2

故答案為：返二1.

2

【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解直角三角形，正確的畫出圖形是解題的關(guān)鍵.

17.（2022秋?黃浦區(qū)期末）如圖，在矩形ABC。中，過點。作對角線AC的垂線，垂足為E,過點E作BE的垂線,

交邊AD于點F,如果AB=3,BC=5,那么。尸的長是_9_.

【分析】利用矩形的性質(zhì)求出AC,利用三角形的面積、勾股定理求出OE、CE的長，再利用等角的余角相等說

明N84E=∕AOE?NAEB=NDEF,得ADEFsABEA,最后利用相似三角形的性質(zhì)得結(jié)論.

【解答】解：：四邊形ABeQ是矩形，

.?.∕A8C=NAOC=90°,AB=CD=3,BC=AD=5,AB//CD,

.?.AC=^AB2+BC2=^32+52=√34.

'.'S^ADC=-AD?CD=^AC?DE,

22

...O

34

,JDEVAC,

.3而可?=M一嚀）2=呼

J.AE=AC-CE^25λ^-.

34

,,,AB∕∕CD,

.".ZBAE=ZDCA.

VZDCA+ZCDE^ZCDE+ZADE=90o,

ΛZBAE=NADE.

?：BELFE,DEVAC,

；.NFEA+NAEB=NDEF+NFEA=90°.

：.ZAEB=ZDEF.

.'.?DEF^?BEA.

.DF=DE=I

"ABAE?,

.?.DF=-×3^-.

55

故答案為：1.

5

【點評】本題主要考查了相似三角形，掌握相似三角形的性質(zhì)與判定、三角形的內(nèi)角和定理及勾股定理是解決本

題的關(guān)鍵.

18.（2022秋?黃浦區(qū)期末）將一張直角三角形紙片沿一條直線剪開，將其分成一張三角形紙片與一張四邊形紙片,

如果所得四邊形紙片ABC。如圖5所示，其中NA=NC=90°,AB=7厘米，BC=9厘米，CQ=2厘米，那么

原來的直角三角形紙片的面積是54或毀平方厘米.

3—

【分析】分兩種情況討論，由勾股定理求出4。長，由三角形面積公式求出四邊形ABCD的面積，由相似三角形

的性質(zhì)，即可解決問題.

【解答】解：(1)分別延長CD,BA交于M,連接50,設(shè)aMBC的面積是S(CM?),

U

I、

：ZC=ZDAB=90°,

?.DC2+BC2=AB2+AD2=BD2,

?.22+92=72+ΛD2,

,.AD=6(cm),

?.△AOB的面積=工AQ?A3=?1X6X7=21(CHI2),ZV)C8的面積=」OC?BC=?lx2X9=9(cm2),

2222

,.四邊形ABCZ)的面積=21+9=30(cm2),

?.△DMA的面積=(S-30)(c∕n2),

：ZM=ZM,ZMAD=ZMCB,

,.∕?MDA^^MBC,

?=φ2=?)2=f

bΛMBCBC39

?S-30-4

?-S-9^'

?.S=54(cw2).

(2)分別延長AZ),BC交于N,設(shè)ANAB的面積是S'(Cm2),

由(1)知四邊形ABCC的面積=30(CTM2),

"."ZN=ZN,ZNCD=ZA=90°,

：.ANCDsANAB,

.?.?L=(嗎2=(Z)2=2

SZkNABAB749

.S'-30L4

..-S7-49^1

ΛS,=—(CTn2),

3

/.原來的直角三角形紙片的面積是54”?或毀a??.

3

故答案為：54或強.

3

【點評】本題考查相似三角形的應(yīng)用，關(guān)鍵是應(yīng)用相似三角形的性質(zhì)，分兩種情況討論.

19.(2022秋?徐匯區(qū)期末)在RtZXABC中，/8=90°,ZBAC=30o,BC=I,以AC為邊在aABC外作等邊4

ACD,設(shè)點E、尸分別是AABC和AACO的重心，則兩重心E與F之間的距離是近.

一3一

【分析】取AC中點0,連接OB、OD、BD、EF.根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)求出AC=28C=2,利用

勾股定理得出AB=JE,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出CZ)=AZ)=AC=2,NcAo=60°,那么NBAz)=/BAC+

ZCAD=90°,利用勾股定理求出30=J7.然后證明AEOFS2?8OO,得出EF=』8Z)=近.

33

【解答】解：如圖，取AC中點0,連接OB、OD,BD、EF.

在RtZiABC中，/8=90°,NBAC=30°,BC=I,

.".AC-2BC=2,AyAC2_二,2=?2_

??,Z?A8是等邊三角形，

：.CD=AD^AC^2,

：.ZCAD=60°,

：.NBAD=NBAC+NC4O=90°,

MBD=JAB2+AD2=43+4=V7.

；點E、F分別是AABC和AACZ)的重心，

?OE^OF

"OBOD3"

又NEoF=NBOD,

：.叢EOFS叢BoD,

?EF=OE=OF=1

^,BDOBOD3^,

：.EF=LBD=?.

33

故答案為：YZ.

3

【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，三角形重

心的定義與性質(zhì)，掌握重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2：1是解題的關(guān)鍵.

20.（2022秋?徐匯區(qū)期末）如圖，在RtZXABC中，NC=90°,AB=10,AC=S,。是AC的中點，點E在邊AB

上，將AAOE沿OE翻折，使得點A落在點A'處，當(dāng)A'ELAB時，則4'A=空巨或生反.

—5—5―

【分析】分兩種情形分別求解，作。于巴連接AA'.