2022-2023學(xué)年云南省曲靖市重點中學(xué)高二（下）期中數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2022-2023學(xué)年云南省曲靖市重點中學(xué)高二（下）期中數(shù)學(xué)試卷

一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）

1.為了方便廣大市民接種新冠疫苗，提高新冠疫苗接種率，某區(qū)衛(wèi)健委在城區(qū)設(shè)立了12個

接種點，在鄉(xiāng)鎮(zhèn)設(shè)立了29個接種點.某市民為了在同一接種點順利完成新冠疫苗接種，則不同

接種點的選法共有（）

A.31種B.358種C.41種D.348種

2.（理）若隨機變量的分布列如下表，則球的值為（）

012345

P2x3x7x2x3%X

xd

A，18B-*?-9JC?-9-?

3.定義仁^'d\=ad~bc,已知數(shù)列｛斯｝為等比數(shù)列，皿=2溫磔*。,則

ɑl=()

?-1B.1C.2D.4

4.一個盒子里裝有相同大小的白球、黑球共20個，其中黑球6個，現(xiàn)從盒中隨機的抽取5個

球，則概率為繞至W港婚的事件是（）

C20

A.沒有白球B.至多有2個黑球C.至少有2個白球D.至少有2個黑球

5.如圖，楊輝三角出現(xiàn)于我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的解解九章算法》中，它揭示

了（α+b）rιS為非負(fù)整數(shù)）展開式的項數(shù)及各項系數(shù)的有關(guān)規(guī)律.由此可得圖中第10行排在偶

數(shù)位置的所有數(shù)字之和為（）

第。行

第1行

第2行

第3行

第4行

A.256B.512C.1024D.1023

6.把一枚硬幣連續(xù)拋兩次,記“第一次出現(xiàn)正面”為事件4“第二次出現(xiàn)反面”為事件8,

則P(BM)=()

111

CD

--一

468

7.設(shè)點P是函數(shù)/(%)=靖圖象上的任意一點，點P處切線的傾斜角為α,則角ɑ的取

值范圍是()

A.暗)B.a芻C.[0,2)U(?,τr)D.[0弓)U俘㈤

8.已知數(shù)列｛α｝滿足斯+1=3α-2?∕?2且%=La?=?數(shù)歹∣J｛Qn+1)(2〃-l)α)

nn+2any3n

的前Tl項和為又，若Sn的最大值僅為S8,則實數(shù)；I的取值范圍是()

a?[~?,~?B.(T，_\c.(-?,-?]D,[-?,-?]

二、多選題(本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項符合題目要求)

9.若隨機變量X服從兩點分布，其中P(X=I)=JE(X),D(X)分別為隨機變量X的均值與

方差，則下列結(jié)論正確的是()

A.P(X=O)=;B.E(X)=TC.E(2X)=gD.D(X)=；

10.對于。-；)8的展開式，下列說法正確的是()

A.展開式共有8項B.展開式中的常數(shù)項是70

C.展開式中各項系數(shù)之和為0D.展開式中的二項式系數(shù)之和為64

11.若將一邊長為4的正方形鐵片的四角截去四個邊長均為X的小正方形，然后做成一個無蓋

的方盒，則下列說法正確的是()

A.當(dāng)*=∣時，方盒的容積最大B.方盒的容積沒有最小值

C.方盒容積的最大值為符D.方盒容積的最大值為會

12.已知等差數(shù)列｛斯｝，其前n項和為5,α5=9,S7=49,則下列說法正確的是()

2

A.an=2n—1B.Sn=n

C?ajt+#的最小值為6D.數(shù)歹羽2廝｝是公比為2的等比數(shù)列

αn+l

三、填空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.駟=.

c2022

14.明天上午李明要參加奧運志愿者活動，為了準(zhǔn)時起床，他用甲、乙兩個鬧鐘叫醒自己,

假設(shè)甲鬧鐘準(zhǔn)時響的概率為0.5,乙鬧鐘準(zhǔn)時響的概率為0.6,則兩個鬧鐘至少有一個準(zhǔn)時響

的概率是.

15.在二項式。2-*5的展開式中，X的系數(shù)是—10,則實數(shù)a的值為.

16.若關(guān)于X的不等式axe*-X-Inx≥0對任意X∈(0,+8)恒成立，則實數(shù)a的最小值是

四、解答題(本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

17.(本小題10.0分)

已知△ABC的內(nèi)角4,B,C的對邊分別為a,b,c,a=(a,c—b),b=(SinC+sinBlsinA+sinB~)>

且下〃石.

(1)求角C；

(2)若C=3√^^2,ΔABC的面積為小，求小4BC的周長.

18.(本小題12.0分)

為迎接2023年美國數(shù)學(xué)競賽(4MC),選手們正在刻苦磨練，積極備戰(zhàn)，假設(shè)模擬考試成績從

低到高分為1、2、3三個等級，某選手一次模擬考試所得成績等級X的分布列如下：

P0.30.50.2

現(xiàn)進(jìn)行兩次模擬考試，且兩次互不影響，該選手兩次模擬考試中成績的最高等級記為

(1)求此選手兩次成績的等級不相同的概率；

(2)求f的分布列和數(shù)學(xué)期望.

19.（本小題12.0分）

n

在數(shù)列｛αn｝中，@1=1,且Qn+1=2αn+九+2+ι-1.

(1)證明：｛竽｝是等差數(shù)列；

(2)求｛an｝的前n項和5.

20.(本小題12.0分)

如圖，在三棱錐P-ABCtV,平面R4BI5FffizlSC,?PBA=乙CBA=450,BP=BC=2√^2,

AB=1.

(1)證明：AB1PCi

(2)求二面角A-PC-B的余弦值.

21.(本小題12.0分)

22

已知橢圓E：a+%=l(α>b>0)的右頂點為4,右焦點為F,上頂點為B,過4,B兩點的

直線平分圓(X+2)2+(y-2y∕~l)22=4的面積，且前■BO=3(。為坐標(biāo)原點).

(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若直線&y=%-2rn(jnH0)與橢圓E相交于H,M兩點,且點N(O,τn),當(dāng)△HMN的面積

最大時，求直線，的方程.

22.(本小題12.0分)

已知函數(shù)/(x)=ex+≡x2-≡-l(a≠0).

(1)當(dāng)α=-1時，求函數(shù)/(x)在區(qū)間上的值域，

(2)當(dāng)α>0時，若關(guān)于久的不等式/(O》0恒成立，求正數(shù)α的取值范圍.

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：該市民可選擇的接種點為兩類，一類為鄉(xiāng)鎮(zhèn)接種點，另一類為城區(qū)接種點，

所以共有29+12=41種不同接種點的選法.

故選：C.

根據(jù)題意該市民可選擇的接種點為兩類，一類為鄉(xiāng)鎮(zhèn)接種點，另一類為城區(qū)接種點，由加法原理

計算可得答案.

本題考查分類加法計數(shù)原理，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】C

【解析】解：由題設(shè)知：2x+3%+7x+2x+3x+X=1,

解得X—?.

Io

?Eξ=0×2%+l×3x+2×7%+3×2x+4×3x+5x

=40x

=40×?

20

=丁

故選c.

先由離散型隨機變量分布列的性質(zhì)知2%+3刀+7%+2%+3%+%=1,得到X=白.再由離散型隨

Io

機變量的數(shù)學(xué)期望的計算法則能求出

本題考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望，考查學(xué)生的運算能力，考查學(xué)生探究研究問題的

能力，解題時要認(rèn)真審題，注意離散型隨機變量分布列的性質(zhì)的靈活運用.

3.【答案】D

【解析】解：腰j=O=（?-磋=O=α5=l（α5=O舍去），

又αg—ɑ?ɑ??所以a14.

故選：D.

根據(jù)等比中項及新定義運算即可得解.

本題主要考查了等比數(shù)列的性質(zhì)，以及新定義問題，屬于基礎(chǔ)題.

4.【答案】B

【解析】解：革表示任取5個球中，有2個黑球的概率,

C20

軍表示任取5個球中，有1個黑球的概率,

C2O

軍表示任取5個球中，沒有黑球的概率，

Czo

彘4四+。:44+慰4。2

所以表示任取5個球中，至多有2個黑球的概率.

C20

故選：B.

利用古典概型的公式結(jié)合排列組合知識直接求解.

本題主要考查了古典概型的概率公式，屬于基礎(chǔ)題.

5.【答案】B

【解析】

【分析】

本題考查第10行排在偶數(shù)位置的所有數(shù)字之和的求法，考查楊輝三角以及二項式系數(shù)和的性質(zhì)等

基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題.

利用楊輝三角以及二項式系數(shù)和的有關(guān)性質(zhì)直接求解.

【解答】

解：由楊輝三角得到第10行所有的數(shù)字之和為：

10

/o+?+Cf0+Cf0+Cfo+?io+?fo+Cl0+C≡o+Cf0+C?θ=2,

由二項式系數(shù)和的性質(zhì)得第10行排在偶數(shù)位置的所有數(shù)字之和為：

∣×210=512.

故選：B.

6.【答案】4

【解析】解：根據(jù)題意得，“第一次出現(xiàn)正面”的概率為PG4)=；,“第一次出現(xiàn)正面且第二次

出現(xiàn)反面”的概率為P(AB)=TW=%

P(BM)=需，

故選：A.

根據(jù)條件概率公式計算即可.

本題考查條件概率，考查學(xué)生的計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

7.【答案】C

【解析】解：因為∕7(x)=ex-V-3>-'J~3>

???點P是曲線上的任意一點，點P處切線的傾斜角為α,

tana>-y∕~^3?

?.?a∈[0,兀)，

.?.α∈[O,≡)U(y,π).

故選：C.

先對函數(shù)求導(dǎo)，得到((乃>-C，從而得到tcma>-「，結(jié)合傾斜角的范圍，求出ɑ的取值范

圍.

本題主要考查了導(dǎo)數(shù)幾何意義及直線的傾斜角與斜率關(guān)系的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

8.【答案】B

【解析】解：由α+ι=3α-2總產(chǎn)2,得="黑，

fln+2a

nOan4Un-∣-i

則」-=3即-2即+1=?_馬，有二-----L=2(_J__,

an+2anan+lan+lanan+2an+lan+lan

所以數(shù)列｛含-J是以卷/=2為首項，2為公比的等比數(shù)列，

則,一工=2X2n-1=2n,

an+lan

故工=(工――)+(―-----—)+…+(工—工)+工=2n^1+2n-2+???+21+l=2n-l,

ananan-1ɑn-1an-2a2alɑl

令既=(An+l)(2n-l)??=λn+l,

則垢+1-匕=Mn+1)-An-1=九所以數(shù)列｛b｝是等差數(shù)列，

n(4+iyn+l)=∣τt2+用般,對稱軸n=_箋=一2，

222ΛI(xiàn)X

(λ<0,

由Sn的最大值僅為Sg,可得］15∕4+2/17

解得4∈(-?,-?).

故選:B.

由遞推公式變形得一一一；rL=2(一一一；)，所以｛一一一；｝是等比數(shù)列，求出通項后利用累加

an+2an+lan+lanan+lɑn

法斯，代入得｛(筋+l)(2rι-l)an｝的通項，新數(shù)列為等差數(shù)列，利用等差數(shù)列前n項和性質(zhì)討論

最大值，計算實數(shù)4的取值范圍.

本題考查由數(shù)列遞推式求數(shù)列通項，公式法求數(shù)列前n項和，利用二次函數(shù)性質(zhì)研究數(shù)列前H項和

最值問題，屬中檔題.

9.【答案】ABD

【解析】解：???隨機變量X服從兩點分布，其中P(X=1)=

.?.P(X=O)=I-P(X=1)=P故A正確，

E(X)=OXT+1=5故B正確，

E(2X)=2E(X)=2xg=1,故C錯誤，

O(X)=P(I-p)=；XT=*,故O正確.

故選：ABD.

根據(jù)已知條件，結(jié)合期望和方差的公式，即可求解.

本題主要考查期望和方差的公式，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎(chǔ)題.

10.【答案】BC

【解析】解：。一》8的展開式共有9項，故A錯誤；

展開式中的常數(shù)項為或xχ4X(一》4=70,故B正確；

令X=1,則展開式中各項系數(shù)之和為(1-1)8=0,故C正確;

展開式中的二項式系數(shù)之和為28=256,故。錯誤.

故選：BC.

利用二項式定理和二項式系數(shù)的性質(zhì)判斷各選項.

本題主要考查二項式定理，屬于基礎(chǔ)題.

11.【答案】ABC

【解析】解：由題意知：方盒的底面為邊長為4-2X的正方形，高為X,其中O<久<2,

則方盒的容積為U(X)=x(4-2x)2(0<x<2),

.?.V(X)=(4-2x)2-4x(4-2x)=(2x-4)(6x-4)=4(X-2)(3%-2),

則當(dāng)Xe(O,|)時，κ,(x)>0；

當(dāng)Xe(1,2)時，V(X)<0；

.?.V(X)在(0,$上單調(diào)遞增，在(|,2)上單調(diào)遞減，

；?V(x)mɑx=U(I)=翳，無最小值，ABC正確，。錯誤?

故選：ABC.

將方盒容積表示為關(guān)于X的函數(shù)的形式，利用導(dǎo)數(shù)可求得單調(diào)性、最值點和最值，由此可得結(jié)果.

本題考查函數(shù)的實際應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值，屬中檔題.

12.【答案】AB

(Ql+4d=9

【解析】解：陵二;§即L+中d=49解得｛：=：，

,2

..αn=1+2(n-1)=2n—1,Sn=”=n,故A,B正確，an+=2n-1+??=

“、/"2an+l?∏?↑?1

2n+l+月一2≥2^Π^-2=6,(當(dāng)且僅當(dāng)27l+l=月，即n=。時，取“="，但n6N*),

2n+l`2n÷l2'

所以當(dāng)Zl=2時，Qn÷--=3+￡=共

fln+l55

Wi.16—1619、31

當(dāng)n=l時，?+--=l+w=w>M，

an+l???

.…+瞪；的最小值為5故C錯誤,

2αn+l

=2°n+La?n=22=4,

2an

.??｛2%｝是公比為4的等比數(shù)列，故。錯誤.

故選:AB.

對A,B選項由等差數(shù)列通項公式和前n項和公式得到方程組，解出的,d,從而得到a7l=2n-l,

2

Sn=n,對C選項，an+#=2τι-l+患，利用基本不等式可求出最值，但是要注意取等條

an+l?τt-↑-ι

件，對。選項計算要?的值即可.

本題主要考查數(shù)列的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題.

13.【答案】2

【解析】解：根據(jù)排列數(shù)及組合數(shù)公式可得，磐=翟瑞i=2.

C2022—次一

故答案為：2.

由已知結(jié)合排列數(shù)及組合數(shù)公式進(jìn)行化簡即可求解.

本題主要考查了排列數(shù)及組合數(shù)公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

14.【答案】0.8.

【解析】解：設(shè)兩個鬧鐘至少有一個準(zhǔn)時響為事件A,

則兩個鬧鐘至少有一個準(zhǔn)時響的概率是P(4)=1-(1-0.5)(1-0.6)=0.8,

故答案為：0.8.

利用相互獨立事件的概率乘法公式求解.

本題考查相互獨立事件的概率乘法公式，屬于基礎(chǔ)題.

15.【答案】1

【解析】

【分析】

本題考查二項定理的性質(zhì)和應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

由二項式定理的通項公式知4+1=C^(x2)5-r(-^)r=(-aycζxlo-2r-r,令10-3r=1=r=3,

由此可求出實數(shù)ɑ的值.

【解答】

解：T『+i=Cl(x2)s-r(-≡)r=(-α)1^C門I。斗一,

令10—3r=l=r=3,

所以(-α>用=TOna=1.

故答案：1.

16.【答案】-

【解析】解：由QXe”—%—m％≥0,可得α%e”—(%+必工)≥0,axex—ln(%ex)≥0,可得Q≥

In(Xer)

xex'

令t=xex[x>0),可得Q≥牛

令g(χ)=竽(t>。)，有g(shù)'(χ)=?^,

令g'(%)>0，可得0<xVe；令g'(x)V0,可得%>e；

可知函數(shù)g(X)的增區(qū)間為(O,e),減區(qū)間為(e,+8),

所以g(%)mαx=g(e)=?,故Q≥?,即Q的最小值為

故答案為：?.

e

將問題轉(zhuǎn)化為α≥嚅?,構(gòu)造函數(shù)g(x)=號(t>0),求g(x)的最大值，得α的最小值.

本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，考查運算求解能力，屬于中檔題.

17.【答案】解:(1)Va//b^五=(Q,c—b),b=(sinC+sinBtsinA+sinB),

?a(sinA+SinB)=(C-h)(sinC+sinB),

???由正弦定理得α(α-e)=(c-b)(c+匕)，

即M+?2-C2=-aft,

由余弦定理得COSC=七效*=_L

2ab2

又C∈(0,7Γ),

則C=∣7Γ;

22

(2)由(1)得彥+h—C=-abf

?(a+b)?—ab=C2=18,

又S=gQbsinC==??,

242

則ab=6,

?(a+b)?=18-I-ab=24,即a+b=2Λ∕-6,

???△ABC的周長為Q+b+c=3√~2+2√7.

【解析】⑴由題意得a(sinA+SinB)=(c-b)(sinC+sinB),利用正弦定理邊化角得a(a÷6)=

(c-b)(c+b)f即M+爐―2=一曲,結(jié)合余弦定理，即可得出答案；

(2)由(I)得C=gτr,由余弦定理得a?+及-￠2=—αb,即(α+b)2—αb=C?=18,結(jié)合面積公

式可得αb=6,求出α+b,即可得出答案.

本題考查解三角形，考查轉(zhuǎn)化思想，考查邏輯推理能力和運算能力，屬于中檔題.

18.【答案】解：(1)???此選手連續(xù)兩次成績的等級相同的概率為:

0.32+0.52+0.22=0.38,

此選手兩次成績的等級不相同的概率為1-0.38=0.62.

(2)由題意可知,f=l、2、3,

又P(f=1)=0.3X0.3=0.09,

P(f=2)=0.5X0.3+0.3X0.5+0.5×0.5=0.55,

P(f=3)=0.2X(0.3+0.5)×2+0.2×0,2=0.36.

.?.J的分布列為：

ξ123

P0.090.550.36

.?.E(f)=IX0.09+2×0.55+3×0.36=2.27.

【解析】(1)計算出該選手連續(xù)兩次成績的等級相同的概率，利用對立事件的概率公式可求得所求

事件的概率；

(2)分析可知，隨機變量f的可能取值有1、2、3,求出隨機變量f的可能取值，可得出隨機變量f的

分布列，進(jìn)而可求得EG)的值.

本題考查離散型隨機變量的分布列與期望的求解，化歸轉(zhuǎn)化思想，屬中檔題.

19.【答案】解：(1)證明：:即+1=2即+n+2"+1-1，

n+1

???an+1+n+1=2αn+2n+2,

等式左右同除2rι+ι得為譚里=竽+1,

又竽=1，

故數(shù)列｛竽｝是首項為1，公差為1的等差數(shù)列;

(2)由(1)得竽=1+(n-1)=n,

n

故ατι=n-2—nf

rι

設(shè)?l=n?2,其前n項和為[,

則7；=1×2+2×22+3×23+-+(n-1)?2n-1+n-2n(Γ),27；=1×22+2×23+3×24+

…+(n-1)?2n+n?27l+ι②，

由①一②得一%=2+22+23+-+2n-n?2n+1=爺魯一π?2n+ι=-2-(n-1)-2n+1.

即G=2+(n-l)?2n+ι,

故Sn=a1+α?+"■+Qn=瓦++…+bn_(]+2+…+n)=2+(n-1)?2n+1—

jl

【解析】(1)數(shù)列遞推式變形得αrι+ι+n+l=2αn+2n+2+ι,利用等差數(shù)列的定義，即可證明

結(jié)論；

(2)利用錯位相減法與分組求和法，即可得出答案.

本題考查等差數(shù)列的定義和數(shù)列的求和，考查轉(zhuǎn)化思想，考查邏輯推理能力和運算能力，屬于中

檔題.

20.【答案】解：(1)證明：如圖，作POlAB,垂足為。，連接C0,

?.?POVBO,且NPBA=45。，

??.ΔPBO是等腰直角三角形，又PB=2yΓ2,

OB=OP=2,

又BC=2?r2,NCBO=45°,

由余弦定理得C。=2,

.?.BO2+CO2=BC2,■■■OB10C,

V0P∏0C=0,.?.OBI5FffiPOC,又PeU平面尸0C,

.?.OBA.PC,.?.ABLPC.

⑵?.?平面PaB_L平面/1BC,且平面P4Bn平面ZBC=AB,

PO1AB,POU平面P4B,

.??P01平面A8C,又OCU平面ZBC,

PO10C,以。為原點，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，

則A(LO,O),C(0,2,0),P(0,0,2),

則備=(1,-2,0),CB=(2,-2,0),而=(0,-2,2),

設(shè)平面4PC的法向量為沆=(Xy,z),

則歸出=L2y=0,取χ=2,≡=(2,1,1),

`CB=2x—2y+2z=0

設(shè)平面BPC的法向量記=(α,b,c),

,取口=匕得元

piljg?CB=2a-2b=O=(I”),

CP=-2b+2C=O

設(shè)二面角8-PC-4的平面角為仇由圖知。是銳角，

八?m?n?

rowH——__—=_____2_+_1_+_1____=___

∣7n∣?∣n∣√4+l+l×√1+1+13

【解析】(1)作P。LAB,垂足為。，可得OBJ.OC,又POlBO,可得。B_L平面POC,根據(jù)線面

垂直的性質(zhì)即可證明;

(2)以。為原點建立空間直角坐標(biāo)系。-xyz,求出兩個平面的法向量即可求二面角的余弦值.

本題考查線面垂直、線線垂直的判定與性質(zhì)、二面角的余弦值等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力,

是中檔題.

21.【答案】解：(1)因為4(α,0),B(b,O),

所以直線AB的方程為X=1,

因為過48兩點的直線平分圓(X+2)2+⑶-20=4的面積,

所以直線AB經(jīng)過圓心坐標(biāo)(一2,2/耳)，即?+乎=1,

y-?.?BF^B0=(BO+^OF)?^BO=BO1+^0F-^B0=^B02=爐=3,

所以匕=√^~3,

則Q=2,

所以橢圓E的方程為1+1=1；

43

(2)由直線1的方程為y=x-2m,則點N(OM)到直線2的距離為d=?|叫，

χ2y2

聯(lián)立方程組、4+3—1,整理可得7/—16mx+16m2—12=0,

y=X-2m

22

則/=256m-4×7(16m-12)>0,解得7n∈(-?,θ)u(θ,?).

設(shè)H(XIM(x2,y2)>

由根與系數(shù)的關(guān)系可得，/+孫=嚶,與?X2=3白，

由弦長公式可得，∣HΛfI=<2×√(x1+X2)^-4X1X2=<2×J誓—=

?v21-12m2>

所以SAHMN=T?HM??d=?×—y?√21—12m2X—ITnl

~~22

3√3/-r?7?~~Λ—7J3√37-4m+4m3√-3

=—^-√(7-4m2)?4m2≤-y-X-------------=