第三章 函數(shù)的概念與性質(zhì)（單元重點綜合測試）（解析版）

第3章函數(shù)的概念與性質(zhì)（單元重點綜合測試）一、單項選擇題：每題5分，共8題，共計40分。1．若為奇函數(shù)，則（

）A．1或 B．1 C．0 D．【答案】D【分析】根據(jù)奇偶性定義得出參數(shù)值.【詳解】為奇函數(shù)，，.故選：D2．已知函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)抽象函數(shù)的定義域可得的定義域為，進(jìn)而可求解.【詳解】的定義域為，所以，因此的定義域為，所以的定義域滿足，即故選：B3．定義在上的函數(shù)滿足，且，則（

）A． B．0 C．1 D．3【答案】D【分析】判斷出函數(shù)是以4為周期的周期函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的周期可求解.【詳解】，則，從而，即以4為周期，故.故選：D.4．若定義在的奇函數(shù)在單調(diào)遞減，且，則滿足的的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，得到的單調(diào)性及，再結(jié)合不等式，分類討論，即可得出答案.【詳解】因為定義在上的奇函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，所以在上也是單調(diào)遞減，且，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以由可得：或或,解得或，所以滿足的的取值范圍是，故選：B.5．函數(shù)是冪函數(shù)，對任意，且，滿足，若，且，，則的值（

）A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．無法判斷【答案】A【分析】確定函數(shù)在上單調(diào)遞增，根據(jù)冪函數(shù)得到或，驗證單調(diào)性得到，代入數(shù)據(jù)計算得到答案.【詳解】對任意的，且，滿足，函數(shù)是單調(diào)增函數(shù)，是冪函數(shù)，可得，解得或，當(dāng)時，；當(dāng)時，，不滿足單調(diào)性，排除，故，．，，故恒成立．故選：A6．已知函數(shù)滿足，若函數(shù)與圖象的交點為，則所有交點的橫坐標(biāo)之和為（

）A．0 B．m C． D．【答案】C【分析】判斷出和圖象的對稱性，由此求得.【詳解】依題意函數(shù)滿足，即的圖象關(guān)于對稱.函數(shù)的圖象也關(guān)于對稱性，所以若函數(shù)與圖象的交點分別為，，…，，則.故選：C.7．已知函數(shù)關(guān)于對稱，當(dāng)時，恒成立，設(shè)，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由條件關(guān)于對稱可得，再判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性比較大小即可.【詳解】因為函數(shù)關(guān)于對稱，所以函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，即函數(shù)為偶函數(shù)，所以，所以，因為當(dāng)時，恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，所以，所以，故選：A.8．已知函數(shù)的定義域是，函數(shù)的圖象的對稱中心是，若對任意的，，且，都有成立，，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用函數(shù)的圖象的對稱中心是可得是上的奇函數(shù)，由可得，故可得在上單調(diào)遞增，然后分，和三種情況進(jìn)行求范圍即可【詳解】因為是向左平移1個單位長度得到，且函數(shù)的圖象的對稱中心是，所以的圖象的對稱中心是，故是上的奇函數(shù)，所以，對任意的，，且，都有成立，所以，令，所以根據(jù)單調(diào)性的定義可得在上單調(diào)遞增，由是上的奇函數(shù)可得是上的偶函數(shù)所以在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，不等式得到，矛盾；當(dāng)時，轉(zhuǎn)化成即，所以；當(dāng)時，轉(zhuǎn)化成，，所以，綜上所述，不等式的解集為故選：D二、多項選擇題：每題5分，共4題，共計20分，全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯的不得分。9．下面各組函數(shù)表示同一函數(shù)的是（

）A．， B．（），C．， D．，【答案】BC【分析】根據(jù)題意，由同一函數(shù)的定義，對選項逐一判斷，即可得到結(jié)果.【詳解】對于A，，，定義域和對應(yīng)法則不一樣，故不為同一函數(shù)；對于B，，，定義域和對應(yīng)法則相同，故為同一函數(shù)；對于C，，，定義域和對應(yīng)法則相同，故為同一函數(shù)；對于D，，，定義域不同，故不為同一函數(shù)；故選:BC10．已知定義在上的非常數(shù)函數(shù)滿足，則（

）A． B．為奇函數(shù) C．是增函數(shù) D．是周期函數(shù)【答案】AB【分析】對于A項、B項，令，令代入計算即可；對于C項、D項，舉反例判斷即可.【詳解】對于A項，令得：，解得：，故A項正確；對于B項，令得：，由A項知，，所以，所以為奇函數(shù)，故B項正確；對于C項，當(dāng)時，，，滿足，但是減函數(shù).故C項錯誤；對于D項，當(dāng)時，，，滿足，但不是周期函數(shù).故D項錯誤.故選：AB.11．已知定義在R上函數(shù)的圖象是連續(xù)不斷的，且滿足以下條件：①，；②，當(dāng)時，都有；③.則下列選項成立的是（

）A． B．若，則C．若， D．，，使得【答案】CD【分析】由條件可得是偶函數(shù)且在上單調(diào)遞增，然后逐一判斷每個選項即可作答.【詳解】由條件①得是偶函數(shù)，由條件②得在上單調(diào)遞增，于是得，A不正確；由得，，則，解得，B不正確；若，則或，而，且在上單調(diào)遞減，則或，C正確；因為定義在R上函數(shù)的圖象是連續(xù)不斷的，且在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，于是得，取，所以，，使得，D正確.故選：CD12．德國著名數(shù)學(xué)家狄利克雷（Dirichlet，1805~1859）在數(shù)學(xué)領(lǐng)域成就顯著.19世紀(jì)，狄利克雷定義了一個“奇怪的函數(shù)”其中為實數(shù)集，為有理數(shù)集．則關(guān)于函數(shù)有如下四個命題，正確的為（

）A．對任意，都有B．對任意，都存在，C．若，，則有D．存在三個點，，，使為等腰直角三角形【答案】BC【分析】根據(jù)函數(shù)的定義以及解析式，逐項判斷即可．【詳解】解：對于A選項，當(dāng)，則，此時，故A選項錯誤；對于B選項，當(dāng)任意時，存在，則，故；當(dāng)任意時，存在，則，故，故對任意，都存在，成立，故B選項正確；對于C選項，根據(jù)題意得函數(shù)的值域為，當(dāng)，時，，故C選項正確；對于D選項，要為等腰直角三角形，只可能為如下四種情況：①直角頂點在上，斜邊在軸上，此時點，點的橫坐標(biāo)為無理數(shù)，則中點的橫坐標(biāo)仍然為無理數(shù)，那么點的橫坐標(biāo)也為無理數(shù)，這與點的縱坐標(biāo)為1矛盾，故不成立；②直角頂點在上，斜邊不在軸上，此時點的橫坐標(biāo)為無理數(shù)，則點的橫坐標(biāo)也應(yīng)為無理數(shù)，這與點的縱坐標(biāo)為1矛盾，故不成立；③直角頂點在軸上，斜邊在上，此時點，點的橫坐標(biāo)為有理數(shù)，則中點的橫坐標(biāo)仍然為有理數(shù)，那么點的橫坐標(biāo)也應(yīng)為有理數(shù)，這與點的縱坐標(biāo)為0矛盾，故不成立；④直角頂點在軸上，斜邊不在上，此時點的橫坐標(biāo)為無理數(shù)，則點的橫坐標(biāo)也應(yīng)為無理數(shù)，這與點的縱坐標(biāo)為1矛盾，故不成立．綜上，不存在三個點，，，使得為等腰直角三角形，故選項D錯誤．故選：BC.【點睛】本題考查函數(shù)的新定義問題，考查數(shù)學(xué)推理與運算等核心素養(yǎng)，是難題.本題D選項解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意分直角頂點在上，斜邊在軸上；直角頂點在上，斜邊不在軸上；直角頂點在軸上，斜邊在上；直角頂點在軸上，斜邊不在上四種情況討論求解.三、填空題：每題5分，共4題，共計20分。13．已知，則.【答案】7【分析】利用分段函數(shù)進(jìn)行計算求解.【詳解】由題知，，，，，.故答案為：7.14．已知函數(shù)滿足，且在上為單調(diào)減函數(shù)，請你寫出符合上述條件的一個函數(shù)．【答案】（答案不唯一）【分析】根據(jù)題意，可考慮冪函數(shù)，再結(jié)合單調(diào)性，即可得到符合上述條件的一個函數(shù)，得到答案.【詳解】由題意，函數(shù)滿足，可考慮冪函數(shù)，又因為在上為單調(diào)遞減函數(shù)，所以，所以符合上述條件的一個函數(shù)為.故答案為：（答案不唯一）15．定義：表示不超過的最大整數(shù)，，.已知函數(shù)，，則函數(shù)的值域為.【答案】/【分析】先分析函數(shù)在的值域，然后由取整函數(shù)定義求解即可.【詳解】因為，當(dāng)時，函數(shù)為減函數(shù)，所以，所以；當(dāng)時，函數(shù)為減函數(shù)，所以，所以；綜上所述：的值域為.故答案為：16．已知定義在整數(shù)集合上的函數(shù)，對任意的，，都有且，則.【答案】/0.5【分析】先用賦值法得到，即為周期為6的函數(shù)，從而得到，賦值法求出，從而求出答案.【詳解】中，令得：，所以，故，即，所以，將代替得：，從而得到，即為周期為6的函數(shù)，由于，故，中，令得：，因為，所以，令得：，因為，所以，令得：，即，解得：，令得：，即，解得：，令得：，即，解得：，從而，故.故答案為：.四、綜合題：共6題，共計70分。17．（本題滿分10分）已知函數(shù)．(1)求，的值；(2)若，求實數(shù)a的值【答案】(1)，(2)1或【分析】（1）由解析式計算即可；（2）分類討論的值，結(jié)合解析式得出實數(shù)a的值.【詳解】（1）解：（2）①②③綜上，實數(shù)a的值為1或．18．（本題滿分12分）設(shè)定義在上的函數(shù)滿足，且對任意的、，都有.(1)求函數(shù)的解析式；(2)設(shè)函數(shù)，求函數(shù)的值域.【答案】(1)(2)【分析】（1）令，可得出的值，然后再令，可求得函數(shù)的解析式；（2）令，令，其中，利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)求出的值域，即為函數(shù)的值域.【詳解】（1）解：令，得，即.令，則，則.（2）解：由（1）得，.令，則，所以，，令，其中，則，即函數(shù)的值域為.19．（本題滿分12分）已知冪函數(shù)（）是偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增．（1）求函數(shù)的解析式；（2）若，求的取值范圍；（3）若實數(shù)，（，）滿足，求的最小值．【答案】（1）；（2）；（3）2．【分析】（1）根據(jù)冪函數(shù)的定義求得，由單調(diào)性和偶函數(shù)求得得解析式；（2）由偶函數(shù)定義變形不等式，再由單調(diào)性去掉函數(shù)符號“”，然后求解；（3）由基本不等式求得最小值．【詳解】解析：（1）．，，（）即或在上單調(diào)遞增，為偶函數(shù)即（2），，，∴（3）由題可知，，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時等號成立．所以的最小值是2．20．（本題滿分12分）已知函數(shù)．(1)當(dāng)a=2時，試判斷在上的單調(diào)性，并證明；(2)若時，是減函數(shù)，時，是增函數(shù)，試求a的值及上的最小值．【答案】(1)在區(qū)間上單調(diào)遞增，證明見解析；(2)a＝1，最小值6.【分析】（1）把代入，利用函數(shù)單調(diào)性定義推理作答.（2）利用函數(shù)單調(diào)性定義建立恒成立的不等式，求出a值及最小值作答.【詳解】（1）當(dāng)a=2時，函數(shù)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，設(shè)時，則，，，則，所以，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增．（2）由時，是減函數(shù)知：，恒成立，而，則恒成立，顯然，因此，由時，是增函數(shù)知，，恒成立，則恒成立，顯然，因此，則有a＝1，當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，所以，上的最小值為6．21．（本題滿分12分）已知函數(shù)對任意的x，，都有，且當(dāng)時．(1)求的值，判斷并證明函數(shù)的奇偶性；(2)試判斷函數(shù)在上的單調(diào)性并證明；(3)解不等式．【答案】(1)，是奇函數(shù)，證明見解析(2)在上單調(diào)遞減，證明見解析(3)【分析】（1）利用賦值法求得，根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義判斷并證明函數(shù)的奇偶性.（2）利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明函數(shù)在上的單調(diào)性.（3）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性求得不等式的解集.【詳解】（1）依題意，函數(shù)對任意的x，，都有，令，得，是奇函數(shù)，證明如下：用代替，得，則，所以是奇函數(shù).（2）在上單調(diào)遞減，證明如下：任取，，由于，所以，所以，所以在上單調(diào)遞減.（3），，由于在上單調(diào)遞減，所以，所以不等式的解集是.22．（本題滿分12分）已知函數(shù)，，．若不等式的解集為(1)求的值及；(2)判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，并利用定義證明你的結(jié)論．(3)已知且，若.試證：.【答案】(1)；(2)函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)遞增，證明見解析(3)見解析【分析】（1）根據(jù)二次不等式的解集可以得到二次函數(shù)的零點，回代即可求出參數(shù)的值（2）定義法證明單調(diào)性，假設(shè)，若，則單調(diào)遞增，若，則單調(diào)遞減（3）單調(diào)性的逆應(yīng)用，可以通過證明函數(shù)值的大小，反推變量的大小，難度較大【詳解】（1），即，因為不等式解集為，所以，解得：，所以（2）函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)遞增，證明如下：假設(shè)，則，因為，所以，所以，即當(dāng)時，，所以函數(shù)在