第三章：函數(shù)的概念與性質(zhì)章末重點題型復(fù)習（解析版）

第三章：函數(shù)的概念與性質(zhì)章末重點題型復(fù)習題型一函數(shù)概念的辨析【例1】（2023秋·安徽阜陽·高一?？茧A段練習）（多選）下列說法正確的是（）A．函數(shù)值域中的每一個數(shù)在定義域中都有數(shù)與之對應(yīng)B．函數(shù)的定義域和值域一定是無限集合C．對于任何一個函數(shù)，如果x不同，那么y的值也不同D．表示當時，函數(shù)的值，這是一個常量【答案】AD【解析】對A，函數(shù)是一個數(shù)集與另一個數(shù)集間的特殊對應(yīng)關(guān)系，所給出的對應(yīng)是否可以確定為y是x的函數(shù)，主要是看其是否滿足函數(shù)的三個特征，A正確；對B，函數(shù)的定義域和值域不一定是無限集合，也可以是有限集，但一定不是空集，如函數(shù)，定義域為，值域為，B錯誤；對C，當x不同時，函數(shù)y的值可能相同，如函數(shù)，當和時，y都為1，C錯誤；對D，表示當時，函數(shù)的值是一個常量，D正確.故選：AD【變式1-1】（2023秋·高一課時練習）（多選）下列說法正確的是（）A．依賴關(guān)系不一定是函數(shù)關(guān)系B．函數(shù)關(guān)系是依賴關(guān)系C．如果變量m是變量n的函數(shù)，那么變量n也是變量m的函數(shù)D．如果變量m是變量n的函數(shù)，那么變量n不一定是變量m的函數(shù)【答案】ABD【解析】對于A、B選項：由依賴關(guān)系及函數(shù)關(guān)系的定義知A、B正確；對于C、D選項：如，則，不是函數(shù)關(guān)系，所以C錯誤，D正確．故選：ABD.【變式1-2】（2023·全國·高一專題練習）如圖圖形，其中能表示函數(shù)的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由函數(shù)的定義可知，對定義域內(nèi)的任何一個變量有唯一的一個變量與對應(yīng)，由圖可知，ACD三個選項不符合函數(shù)的定義，B選項符合函數(shù)的定義.故選：B.【變式1-3】（2023秋·安徽淮南·高一?？计谥校┰O(shè)，給出下列四個圖形，其中能表示從集合M到集合N的函數(shù)關(guān)系的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由題意，為定義域，值域為N的子集A：圖象中定義域范圍有誤，不符合；B：滿足從集合M到集合N的函數(shù)關(guān)系，符合；C：圖象中值域不為集合N的子集，不符合；D：由函數(shù)定義域內(nèi)任意自變量有且僅有唯一函數(shù)值與之對應(yīng)，圖象存在一個x對應(yīng)兩個y值情況，不符合.故選：B【變式1-4】（2023·全國·高一專題練習）下列對應(yīng)是從集合A到集合B的函數(shù)的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】對于A選項，對集合A中的任意一個數(shù)x，集合B中都有唯一的數(shù)y與之對應(yīng)，是函數(shù)；對于B選項，時，，有兩個y與之對應(yīng)，不是函數(shù)；對于C選項，當時，不存在，不是函數(shù)；對于D選項，集合A中的元素0在集合B中沒有對應(yīng)元素，不是函數(shù).故選：A題型二判斷是否為同一個函數(shù)【例2】（2023·全國·高一專題練習）下列各組函數(shù)是同一函數(shù)的是（）①與.②與.③與.④與.A．①②B．①③C．③④D．①④【答案】C【解析】①中，函數(shù)的定義域為，函數(shù)的定義域為，但與的對應(yīng)關(guān)系不一致，所以①不是同一函數(shù).②中，函數(shù)與的定義域都是，但與的對應(yīng)關(guān)系不一致，所以②不是同一函數(shù).③中，函數(shù)與的定義域都是，且與的對應(yīng)關(guān)系一致，所以③是同一函數(shù).④中，函數(shù)與的定義域和對應(yīng)關(guān)系都一致，所以④是同一函數(shù).故選：C.【變式2-1】（2023秋·廣西河池·高一校聯(lián)考階段練習）下列四組函數(shù)，表示同一函數(shù)的是（）A．和B．C．D．和【答案】D【解析】對于A中，函數(shù)的定義域為，函數(shù)的定義域為，兩個函數(shù)的定義域不同，所以表示不同的函數(shù)；對于B，因為定義域為，而的定義域為，所以兩函數(shù)的定義域不同，故不能表示同一函數(shù)；對于C，因為定義域為，而的定義域為，所以兩函數(shù)的定義域不同，故不能表示同一函數(shù)；對于D中，函數(shù)與的定義域和對應(yīng)法則都相同，所以表示相同的函數(shù)；故選:D.【變式2-2】（2023·全國·高一專題練習）下列函數(shù)中，與函數(shù)是同一函數(shù)的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由函數(shù)的定義域為；對于A中，函數(shù)定義域為，與定義域不同，所以不是同一函數(shù)；對于B中，函數(shù)，與函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系不同，所以不是同一函數(shù)；對于C中，函數(shù)定義域為，與定義域不同，所以不是同一函數(shù)；對于D中，函數(shù)與的定義域都是，且對應(yīng)關(guān)系都相同，所以是同一函數(shù).故選：D.【變式2-3】（2023秋·江蘇蘇州·高一校考階段練習）（多選）下列各組函數(shù)中，兩個函數(shù)是同一函數(shù)的有（）A．與B．與C．與D．與【答案】AC【解析】對于選項A：函數(shù)，兩函數(shù)的定義域、值域和解析式都相同，所以它們是同一個函數(shù)；對于選項B：函數(shù)的定義域為，函數(shù)的定義域為，它們的定義域不同，所以它們不是同一個函數(shù)；對于選項C：函數(shù)，兩函數(shù)的定義域、值域和解析式都相同，所以它們是同一個函數(shù)；對于選項D：函數(shù)的定義域為或，函數(shù)的定義域為，它們的定義域不同，所以它們不是同一個函數(shù)，故選：AC【變式2-4】（2023秋·江蘇南京·高一?？茧A段練習）（多選）下列各組函數(shù)表示相同函數(shù)的有（）A．B．C．D．，【答案】ACD【解析】對于A，可知兩個函數(shù)的定義域均為R，且，故A正確；對于B，的定義域為，的定義域為，故B錯誤；對于C，的定義域為，的定義域為，且,故C正確；對于D，可知兩個函數(shù)的定義域均為R，且，故D正確．故選：ACD．題型三求函數(shù)的定義域【例3】（2023秋·浙江臺州·高一路橋中學?？茧A段練習）函數(shù)的定義域為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】函數(shù)的定義域滿足：，解得且.故選：D【變式3-1】（2023秋·江蘇南京·高一?？茧A段練習）函數(shù)的定義域為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由題意得，解得，則定義域為，故選：C.【變式3-2】（2023秋·黑龍江哈爾濱·高一?？茧A段練習）已知函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為．【答案】【解析】因為函數(shù)的定義域為，所以，解得，故函數(shù)的定義域為.【變式3-3】（2023·全國·高一專題練習）已知函數(shù)的定義域為，則的定義域為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由，得，所以的定義域為，由，得，所以的定義域為，故選：D【變式3-4】（2023秋·江蘇蘇州·高一校考階段練習）函數(shù)的定義域為，函數(shù)，則的定義域為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由函數(shù)的定義域為，可得函數(shù)的定義域為，函數(shù)，可得解得，所以函數(shù)定義域為．故選：D．題型四求函數(shù)的解析式【例4】（2023秋·安徽阜陽·高一校考階段練習）已知函數(shù)，則函數(shù)的解析式是（）A．，B．，C．，D．，【答案】B【解析】，且，所以，.故選：B.【變式4-1】（2023秋·浙江臺州·高一?？茧A段練習）已知函數(shù)，則函數(shù)的解析式是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】令，則，所以，故，故選：C.【變式4-2】（2023秋·河南鄭州·高一校考階段練習）已知二次函數(shù)，滿足，.則.【答案】【解析】因為，所以，而，又因為，所以，解得，因此的解析式為.【變式4-3】（2023秋·湖北荊門·高一?？茧A段練習）已知滿足，則解析式為．【答案】【解析】由

①用代可得，

②由①②可得：【變式4-4】（2023秋·山東德州·高一?？茧A段練習）（1）已知是一次函數(shù)，，求的解析式；（2）已知，求函數(shù)的解析式；（3）已知，求的解析式．【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）由題意，設(shè)函數(shù)為，，即，由恒等式性質(zhì)，得，所求函數(shù)解析式為（2），①，②②①得：，．（3）令，則，因為，所以，所以．題型五判斷函數(shù)的單調(diào)性【例5】（2023·全國·高一專題練習）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（）A．B．C．D．和【答案】D【解析】的定義域為，由反比例函數(shù)的性質(zhì)可知的單調(diào)遞增區(qū)間為和，故選：D【變式5-1】（2023秋·江西上饒·高一?？茧A段練習）下列函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】對于A，在上單調(diào)遞減，故A錯誤；對于B，易知開口向上，對稱軸為，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，故B正確；對于C，開口向下，對稱軸為，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故C錯誤；對于D，開口向上，對稱軸為，所以在上單調(diào)遞減，故D錯誤.故選：B.【變式5-2】（2023秋·天津?qū)氎妗じ咭恍？茧A段練習）已知函數(shù)，則的單調(diào)遞增區(qū)間為.【答案】，【解析】當時，，函數(shù)圖像對稱軸方程為，開口向下，此時的單調(diào)遞增區(qū)間為；當時，，函數(shù)圖像對稱軸方程為，開口向下，此時的單調(diào)遞增區(qū)間為.綜上，的單調(diào)遞增區(qū)間為，.【變式5-3】（2022秋·高一?？颊n時練習）函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是．【答案】單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.【解析】，畫出函數(shù)圖象如下：可得單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.【變式5-4】（2023秋·浙江臺州·高一統(tǒng)考期末）（多選）已知，都是定義在上的增函數(shù)，則（）A．函數(shù)一定是增函數(shù)B．函數(shù)有可能是減函數(shù)C．函數(shù)一定是增函數(shù)D．函數(shù)有可能是減函數(shù)【答案】ABD【解析】對于A，設(shè)，設(shè)，則又由都是定義在上的增函數(shù)，則且，所以，故函數(shù)一定是增函數(shù)，A正確；對于B，設(shè)，此時為減函數(shù)，B正確；對于C，設(shè)，此時，在上為減函數(shù)，C錯誤；對于D，當時，函數(shù)為減函數(shù)，D正確.故選：ABD.【變式5-5】（2023·全國·高一課堂例題）求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間．【答案】函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，【解析】方法一（定義法）由題意知函數(shù)的定義域是，設(shè)，是區(qū)間上的任意兩個實數(shù)，且，則，，∵，，∴，，，，∴，即，∴函數(shù)在上單調(diào)遞減．同理可得，函數(shù)在上單調(diào)遞減．綜上可得，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為和．方法二（分離常數(shù)法）由題意知函數(shù)的定義域是，函數(shù)可變形為，此時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．由，知，則函數(shù)在和上均單調(diào)遞減．故函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，．題型六根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)【例6】（2023秋·全國·高一專題練習）已知函數(shù)在時，隨的增大而減小，則的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】當時，函數(shù)是實數(shù)集上的減函數(shù)，所以在時，隨的增大而減小，符合題意，當時，二次函數(shù)的對稱軸為，因為在時，隨的增大而減小，所以有，綜上所述：的取值范圍是，故選：D【變式6-1】（2023秋·遼寧鞍山·高一?？茧A段練習）函數(shù)在區(qū)間上具有單調(diào)性，則的取值范圍為．【答案】或【解析】因為的對稱軸為，且開口向上，又函數(shù)在區(qū)間上具有單調(diào)性，所以或【變式6-2】（2023秋·江蘇南京·高一?？茧A段練習）“”是“函數(shù)在上為增函數(shù)”的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分又不必要條件【答案】B【解析】當時，滿足，但是函數(shù)在上為減函數(shù)，則正推無法推出；反之，若函數(shù)在上為增函數(shù)，則，則反向可以推出，則“”是“函數(shù)在上為增函數(shù)”的必要不充分條件，故選：B.【變式6-3】（2023秋·山西太原·高一?？茧A段練習）（多選）已知函數(shù)是上的減函數(shù)，則實數(shù)的取值可以是（）A．B．C．D．【答案】ACD【解析】因為函數(shù)是上的減函數(shù)，則函數(shù)在上為減函數(shù)，則，可得，函數(shù)在上為減函數(shù)，則，且有，解得.綜上所述，.故選：ACD.【變式6-4】（2023秋·遼寧鞍山·高一校考階段練習）（多選）設(shè)函數(shù)，當為增函數(shù)時，實數(shù)的值可能是（）A．1B．2C．3D．4【答案】AB【解析】依題意，當時，為增函數(shù)，則，當時，為增函數(shù)，則，又為增函數(shù)，則，解得，綜上：，所以AB正確，CD錯誤.故選：AB.題型七求函數(shù)的最值/值域【例7】（2023秋·福建廈門·高一校考階段練習）函數(shù)的值域是（）A．B．C．0D．【答案】D【解析】函數(shù)的定義域滿足，解得或，所以函數(shù)的定義域為，當時，當時，所以函數(shù)的值域是.故選：D【變式7-1】（2023秋·山東棗莊·高一?？茧A段練習）函數(shù)的值域（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由題意，，設(shè)，則原問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域，因為函數(shù)在為減函數(shù)，由，得，即值域為，故選：C.【變式7-2】（2023秋·廣西柳州·高一?？茧A段練習）函數(shù)的值域為.【答案】【解析】由，則的值域為.【變式7-3】（2023秋·山東臨沂·高一校考期中）設(shè)，則函數(shù)的最大值為.【答案】【解析】令，解得，令，解得，令，解得，所以，當時，，當時，，當時，，所以的最大值是.綜上所述，的最大值是.【變式7-4】（2023秋·浙江金華·高一?？茧A段練習）求下列函數(shù)的值城（1）y＝（2）【答案】（1）；（2）【解析】（1）∵，則，即原函數(shù)值域為，（2）設(shè)，則且，得．因為，所以，即該函數(shù)的值域為．題型八判斷函數(shù)的奇偶性【例8】（2023秋·甘肅天水·高一校考期末）下列函數(shù)是偶函數(shù)的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】對于A，，故為奇函數(shù)，對于B，，故為奇函數(shù)，對于C,，故為奇函數(shù)，對于D，，故為偶函數(shù)，故選：D【變式8-1】（2022秋·黑龍江佳木斯·高一?？计谥校┫铝泻瘮?shù)為奇函數(shù)的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】選項A，是偶函數(shù)，是偶函數(shù)，則是偶函數(shù)；選項B，，且定義域為，則函數(shù)為奇函數(shù)；選項C，函數(shù)定義域不是關(guān)于原點對稱的區(qū)間，則函數(shù)是非奇非偶函數(shù)；選項D，是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，則函數(shù)是非奇非偶函數(shù).故選：B.【變式8-2】（2023秋·江蘇南通·高一統(tǒng)考階段練習）設(shè)函數(shù)的定義域為為奇函數(shù)是為偶函數(shù)的（）A．充分必要條件B．充分不必要條件C．必要不充分條件D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】若函數(shù)為奇函數(shù)，則，則，即函數(shù)為偶函數(shù)；若函數(shù))為偶函數(shù)，則，則，即函數(shù)為奇函數(shù)，故為奇函數(shù)是為偶函數(shù)的充分必要條件，故選：A．【變式8-3】（2023秋·高一課時練習）（多選）如果是定義在上的奇函數(shù)，那么下列函數(shù)中，一定為奇函數(shù)的是（）A．B．C．D．【答案】AD【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義逐個分析判斷即可【解析】因為是定義在上的奇函數(shù)，所以，令，對于A，的定義域為，因為，所以是奇函數(shù)，所以A正確，對于B，的定義域為，因為，所以為偶函數(shù)，所以B錯誤，對于C，的定義域為，因為，所以，，所以為非奇非偶函數(shù)，所以C錯誤，對于D，的定義域為，因為，所以為奇函數(shù)，故選：AD【變式7-4】（2023春·云南普洱·高一?？茧A段練習）（多選）設(shè)是R上的任意函數(shù)，則下列敘述正確的是（）A．是偶函數(shù)B．是偶函數(shù)C．是偶函數(shù)D．是偶函數(shù)【答案】ABD【解析】因為滿足，所以是偶函數(shù)；因為滿足，所以是偶函數(shù)，因為滿足，所以是奇函數(shù)；因為滿足，所以是偶函數(shù)；故選：ABD．題型九利用奇偶性求值或求參【例9】（2022秋·福建泉州·高一?？计谥校┤羰桥己瘮?shù)，則（）A．2B．1C．1D．3【答案】A【解析】因為是偶函數(shù)，所以，即，所以，則，解得.故選：A【變式9-1】（2023秋·全國·高一專題練習）若是奇函數(shù)，則（）A．，B．，C．，D．，【答案】B【解析】是奇函數(shù)，則，，即，解之得，則，經(jīng)檢驗是奇函數(shù).故選：B【變式9-2】（2023·全國·高一專題練習）已知函數(shù)是定義域為R的奇函數(shù)，當時，，則．【答案】-3【解析】因為函數(shù)是定義域為R的奇函數(shù)，所以，，所以．【變式9-3】（2023秋·上海普陀·高一?？计谀┖瘮?shù)，其中??是常數(shù)，且，則．【答案】【解析】依題意，，，所以，所以.【變式9-4】（2023秋·吉林長春·高一?？茧A段練習）設(shè)函數(shù)，若是奇函數(shù)，則（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由已知可得，則．因為是奇函數(shù)，所以，即，因為，解得，所以，所以.故選：D．【變式9-5】（2023秋·遼寧鞍山·高一校考階段練習）若函數(shù)的最大值為，最小值為，則（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】，令，則其定義域為，又，所以為奇函數(shù)，則，所以，則.故選：B.題型十利用函數(shù)奇偶性求解析式【例10】（2023·全國·高一專題練習）已知函數(shù)為R上的奇函數(shù)，當時，，則當時，的解析式為（）A．B．C．D．以上都不對【答案】A【解析】設(shè)，則，又.故選：A【變式10-1】（2023·全國·高一專題練習）函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當時，，則當時，的解析式為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】設(shè)，則.可得，又函數(shù)f(x)是奇函數(shù)．∴，∴.故選：B.【變式10-2】（2023秋·高一課時練習）已知是R上的偶函數(shù)，且當時，，求的解析式．【答案】【解析】因為當時，，所以因為是R上的偶函數(shù)，所以，，所以.【變式10-3】（2022秋·全國·高一期中）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當，.（1）求的值；（2）求在內(nèi)的解析式.【答案】（1）1；（2）【解析】（1）根據(jù)題意，當，，則，是奇函數(shù)，則．（2）令，則，由已知，∵是奇函數(shù)，∴當時，，∴【變式10-4】（2023·全國·高一專題練習）（1）函數(shù)是定義域為R的奇函數(shù)，當時，，求的解析式；（2）設(shè)是偶函數(shù)，是奇函數(shù)，且，求函數(shù)的解析式．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）設(shè)，則，∴，又∵函數(shù)是定義域為R的奇函數(shù)，∴，∴當時，.又時，，所以；（2）∵是偶函數(shù)，是奇函數(shù)，，∴．則即，解之得.題型十一利用單調(diào)性和奇偶性解不等式【例11】（2023秋·江蘇南京·高一?？茧A段練習）已知定義在上的函數(shù)是單調(diào)遞增函數(shù)，是偶函數(shù)，則的解集是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因為是偶函數(shù)，且，，又因為在上是單調(diào)遞增函數(shù)，當時，；當時，，當時，，則，此時，不成立，當時，，則，此時，成立，當時，，則，此時不成立，且或時，，成立，綜上，的解集為，故選：B.【變式11-1】（2023·全國·高一專題練習）定義在上的函數(shù)，若的圖象關(guān)于點對稱，且，若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則不等式的解集為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】設(shè)，因為，所以，由，得，即，因為的圖象關(guān)于點對稱，所以的圖象關(guān)于對稱，所以為奇函數(shù)，即，因為，所以為奇函數(shù)，因為在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，所以，得，即不等式的解集為.故選：D【變式11-2】（2023·全國·高一專題練習）設(shè)奇函數(shù)在上為增函數(shù)，且，則不等式的解集為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】奇函數(shù)在上為增函數(shù)，所以，即，又，則，大致圖象如右，所以當時，.故選：B.【變式11-3】（2023秋·江西上饒·高一?？茧A段練習）若定義在的奇函數(shù)在單調(diào)遞減，且，則滿足的x的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因為定義在的奇函數(shù)在單調(diào)遞減，且，所以在單調(diào)遞減，且，所以當，，當，，所以若，則或或或或解得或，所以x的取值范圍是.故選：C【變式11-4】（2023秋·江蘇南通·高一統(tǒng)考階段練習）若函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù)，且，則不等式的解集為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】函數(shù)是定義在實數(shù)集上的偶函數(shù)，在區(qū)間上是嚴格減函數(shù)，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，當時，由，即，得到或（舍棄），所以，當時，由，即，得到，所以，綜上所述，或，故選：B.題型十二利用單調(diào)性和奇偶性比較大小【例12】（2023秋·安徽阜陽·高一?？茧A段練習）設(shè)偶函數(shù)的定義域為R，當時，是增函數(shù)，則，，的大小關(guān)系是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因為函數(shù)為偶函數(shù)，所以，，因為當時，是增函數(shù)，又，所以，即，故選：A.【變式12-1】（2023秋·全國·高一專題練習）已知偶函數(shù)在上單調(diào)遞減，則下列結(jié)論正確的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由于函數(shù)為偶函數(shù)，故，且在上單調(diào)遞減，所以，即，故選:D．【變式12-2】（2023·全國·高一專題練習）已知定義在上的函數(shù)滿足：，且在內(nèi)單調(diào)遞增，則（）A．B．C．D．【答案】B【解析】根據(jù)題意，函數(shù)滿足，，則有，變形可得，則有，即函數(shù)是周期為4的周期函數(shù)，對稱軸為，在內(nèi)單調(diào)遞增，所以在內(nèi)單調(diào)遞減，，，因為，所以，即.故選：.【變式12-3】（2023春·安徽蕪湖·高一?？计谥校┮阎瘮?shù)是偶函數(shù)，且在單調(diào)遞增，則（）A．B．C．D．【答案】D【解析】是偶函數(shù)，則關(guān)于對稱，又因為在單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞減，所以，根據(jù)函數(shù)關(guān)于對稱，可知，，則，只有D正確.故選：D【變式12-4】（2022秋·河南鄭州·高一?？茧A段練習）已知函數(shù)對于任意都有，，且在區(qū)間上是單調(diào)遞增的，則，，的大小關(guān)系是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因為，所以，所以的周期為2，因為，所以為偶函數(shù)，所以，，因為在區(qū)間上是單調(diào)遞增的，所以，所以，故選：D題型十三利用函數(shù)的周期性求值【例13】（2022春·四川南充·高一?？奸_學考試）已知定義在R上的函數(shù)滿足，且函數(shù)是偶函數(shù)，當時，，則．【答案】1【解析】因為函數(shù)是偶函數(shù)，所以，所以，因為，所以，所以所以，所以函數(shù)的周期為4，所以.【變式13-1】（2022秋·黑龍江齊齊哈爾·高一校聯(lián)考期中）設(shè)是定義在R上的奇函數(shù)，且，則.【答案】0【解析】因為是定義在R上的奇函數(shù)，且，所以，即，所以函數(shù)周期為，由是定義在R上的奇函數(shù)知，，在中，令可得，又，所以.【變式13-2】（2023·全國·高一專題練習）已知函數(shù)的定義域為R，且是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，則下列命題正確的個數(shù)是（）①②③④A．1B．2C．3D．4【答案】D【解析】因為是奇函數(shù)，所以，故，，又因為是偶函數(shù)，則，，所以，，所以，即函數(shù)的周期為8，由可得，由可得，對于①，，正確；對于②，，正確；對于③，，正確；對于④，，正確；故選：D.【變式13-3】（2023春·云南昆明·高一?？茧A段練習）（多選）已知函數(shù)的定義域為，且是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，則（）A．B．C．D．【答案】AC【解析】為奇函數(shù)，，即，令，則，解得：；為偶函數(shù)，，即，，即，，是以為周期的周期函數(shù)；對于A，由知：，A正確；對于B，，的值無法確定，的值無法確定，B錯誤；對于C，由A知：，C正確；對于D，，的值無法確定，的值無法確定，D錯誤.故選：AC.題型十四冪函數(shù)的圖象及應(yīng)用【例14】（2023春·山西朔州·高一?？茧A段練習）冪函數(shù)（是常數(shù)）的圖象一定經(jīng)過點（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由題意可知當時，，此時函數(shù)值與取何值無關(guān)，故冪函數(shù)（是常數(shù)）的圖象一定經(jīng)過點，故選：B【變式14-1】（2023·全國·高一專題練習）已知冪函數(shù)的圖象過點，則（）A．B．C．4D．8【答案】C【解析】因為函數(shù)是冪函數(shù)，所以設(shè)，代入，得，解得，所以，所以.故選：C.【變式14-2】（2022秋·山西陽泉·高一?？计谀﹫D中為三個冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象，則解析式中指數(shù)a的值依次可以是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】在題給坐標系中，作直線，分別交曲線于A、B、C三點則，又則點A在冪函數(shù)圖像上，點B在冪函數(shù)圖像上，點C在冪函數(shù)圖像上，則曲線對應(yīng)的指數(shù)分別為故選：D【變式14-3】（2022秋·浙江臺州·高一?？茧A段練習）（多選）關(guān)于冪函數(shù)是常數(shù)），結(jié)論正確的是（）A．冪函數(shù)的圖象都經(jīng)過原點B．冪函數(shù)圖象都經(jīng)過點C．冪函數(shù)圖象有可能關(guān)于軸對稱D．冪函數(shù)圖象不可能經(jīng)過第四象限【答案】BCD【解析】對于A：冪函數(shù)不經(jīng)過原點，A錯誤對于B：對于冪函數(shù)是常數(shù)），當時，，經(jīng)過點，B正確；對于C：冪函數(shù)的圖像關(guān)于軸對稱，C正確；對于D：冪函數(shù)圖象不可能經(jīng)過第四象限，D正確.故選：BCD.【變式14-4】（2022秋·福建福州·高一校考期中）（多選）下列說法正確的是（）A．若冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則解析式為B．若函數(shù)，則在區(qū)間上單調(diào)遞減C．冪函數(shù)始終經(jīng)過點和D．若冪函數(shù)圖像關(guān)于軸對稱，則【答案】CD【解析】A選項，設(shè)，將代入，，即，解得，故解析式為，A錯誤；B選項，因為，所以在上單調(diào)遞減，又定義域為，，故為偶函數(shù)，故在上單調(diào)遞增，B錯誤；C選項，因為，所以，，故冪函數(shù)始終經(jīng)過點和，C正確；D選項，由題意得，解得或，當時，為偶函數(shù)，滿足圖像關(guān)于軸對稱，當時，為奇函數(shù)，不滿足圖像關(guān)于軸對稱，舍去，其中恒成立，故，又在上單調(diào)遞增，故，D正確.故選：CD題型十五冪函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用【例15】（2022秋·重慶萬州·高一?？茧A段練習）若，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，值域為，由，則，又，所以.故選：D【變式15-1】（2023·全國·高一專題練習）已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞減.（1）求的解析式；（2）若在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）【解析】（1）因為冪函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，解得，故.（2）由（1）可知，對任意的恒成立，由基本不等式可得，當且僅當時，即當時，等號成立，所以，，因此，實數(shù)的取值范圍是.【變式15-2】（2023秋·