新教材同步備課2024春高中數(shù)學第7章隨機變量及其分布7.2離散型隨機變量及其分布列學生用書新人教A版選擇性必修第三冊

7.2離散型隨機變量及其分布列學習任務1．借助教材實例，了解離散型隨機變量及其分布列．(數(shù)學抽象)2．了解離散型隨機變量的性質(zhì)、兩點分布的概念．(數(shù)學抽象)3．會求簡單的離散型隨機變量的分布列．(數(shù)學建模、數(shù)據(jù)分析)在拋擲一枚骰子的試驗中，正面向上的點數(shù)可以為“1，2，3，4，5，6”六種情況，每種情況的概率均為16知識點1隨機變量(1)隨機變量的概念一般地，對于隨機試驗樣本空間Ω中的每個樣本點ω，都有________的實數(shù)________與之對應，我們稱X為隨機變量．(2)隨機變量的特點①取值依賴于樣本點．②所有可能取值是明確的．(3)隨機變量的表示通常用大寫英文字母表示隨機變量，例如X，Y，Z；用小寫英文字母表示隨機變量的取值，例如x，y，z．(4)離散型隨機變量可能取值為________或可以________的隨機變量，稱為離散型隨機變量．(5)離散型隨機變量的特征①可用數(shù)值表示；②試驗之前可以判斷其出現(xiàn)的所有值；③在試驗之前不能確定取何值；④試驗結(jié)果能一一列出．(1)所謂隨機變量，就是隨機試驗的試驗結(jié)果與實數(shù)之間的一種對應關系，這種對應關系是人為建立起來，但又是客觀存在的．(2)隨機試驗的結(jié)果可用數(shù)量來表示，有些隨機試驗的結(jié)果雖然不是數(shù)量，但可以將它數(shù)量化，如拋一枚硬幣，所有可能的結(jié)果是“正面向上”“反面向上”，在數(shù)學中可以用“1”代表正面向上，用“0”代表反面向上．1．隨機變量與函數(shù)有類似的地方嗎？知識點2概率分布列(1)概念一般地，設離散型隨機變量X的可能取值為x1，x2，…，xn，我們稱X取每一個值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n為X的概率分布列，簡稱分布列．(2)表示離散型隨機變量的分布列可以用________或圖形表示．Xx1x2…xnPp1p2…pn(3)性質(zhì)①pi________0，i＝1，2，…，n．②p1＋p2＋…＋pn＝________．對分布列的理解應注意的問題(1)離散型隨機變量的分布列描述了由這個隨機變量所刻畫的隨機現(xiàn)象，與函數(shù)的表示法一樣，離散型隨機變量的分布列也可以用表格、等式P(X＝xi)＝pi和圖象表示．(2)離散型隨機變量的分布列不僅能清楚地反映其所取的一切可能的值，而且也能清楚地看到取每一個值的概率的大小，從而反映了隨機變量在隨機試驗中取值的分布狀況，是進一步研究隨機變量數(shù)字特征的基礎．2．求離散型隨機變量的分布列的步驟是什么？知識點3兩點分布對于只有兩個可能結(jié)果的隨機試驗，用A表示“成功”，A表示“失敗”，定義X＝1如果P(A)＝p，則P(A)＝1－p，那么X的分布列如表所示．X01P1－pp我們稱X服從________或0—1分布．1．思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)隨機變量的取值可以是有限個，也可以是無限個． ()(2)在拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣試驗中，“出現(xiàn)正面的次數(shù)”為隨機變量． ()(3)試驗之前可以判斷離散型隨機變量的所有值． ()(4)兩點分布中只有兩個結(jié)果，且兩個結(jié)果是對立的． ()2．甲、乙兩人下象棋，贏了得3分，平局得1分，輸了得0分，共下三局．用X表示甲的得分，則{X＝3}表示()A．甲贏三局B．甲贏一局C．甲、乙平局三次D．甲贏一局輸兩局或甲、乙平局三次3．下列四個選項：①某機場候機室中一天的旅客數(shù)量X；②連續(xù)投擲一枚均勻硬幣4次，正面向上的次數(shù)X；③某籃球下降過程中離地面的距離X；④某道路斑馬線一天經(jīng)過的人數(shù)X．其中不是離散型隨機變量的是()A．①中的X B．②中的XC．③中的X D．④中的X4．若P(X>0)＝0.3，則P(X≤0)＝________．類型1隨機變量的概念【例1】(1)10件產(chǎn)品中有3件次品，從中任取2件，可作為隨機變量的是()A．取到產(chǎn)品的件數(shù) B．取到正品的概率C．取到次品的件數(shù) D．取到次品的概率(2)下列隨機變量中不是離散型隨機變量的是________．(填序號)①某賓館每天入住的旅客的數(shù)量X；②某水文站觀測到一天中珠江的水位X；③深圳歡樂谷一天接待游客的數(shù)量X；④虎門大橋一天經(jīng)過的車輛數(shù)量X．[嘗試解答]判斷一個隨機變量X是否為離散型隨機變量的具體方法(1)明確隨機試驗的所有可能結(jié)果．(2)將隨機試驗的試驗結(jié)果數(shù)量化．(3)確定試驗結(jié)果所對應的實數(shù)是否可按一定次序一一列出，如果能一一列出，則該隨機變量是離散型隨機變量，否則不是．[跟進訓練]1．指出下列隨機變量是不是離散型隨機變量，并說明理由．(1)某座大橋一天經(jīng)過的車輛數(shù)X；(2)某超市5月份每天的銷售額；(3)某加工廠加工的一批某種鋼管的外徑與規(guī)定的外徑尺寸之差ξ；(4)某水位監(jiān)測站所測水位在(0，29]這一范圍內(nèi)變化，該水位站所測水位ξ．類型2隨機變量的可能取值及試驗結(jié)果【例2】寫出下列隨機變量可能取的值，并說明隨機變量所取的值表示的隨機試驗的結(jié)果．(1)一個袋中裝有8個紅球，3個白球，從中任取5個球，其中所含白球的個數(shù)為X．(2)一個袋中有5個同樣大小的黑球，編號為1，2，3，4，5，從中任取3個球，取出的球的最大號碼記為X．[嘗試解答][母題探究]1．(變條件、變設問)在本例(1)條件下，規(guī)定每取出一個紅球贏2元，而每取出一個白球輸1元，以ξ表示贏得的錢數(shù)，結(jié)果如何？2．(變設問)本例(2)中，“最大”改為“最小”，其他條件不變，應如何解答？用隨機變量表示隨機試驗的結(jié)果的關鍵點和注意點(1)關鍵點：解決此類問題的關鍵是明確隨機變量的所有可能取值，以及取每一個值對應的意義，即一個隨機變量的取值對應一個或多個隨機試驗的結(jié)果．(2)注意點：解答過程中不要漏掉某些試驗結(jié)果．[跟進訓練]2．寫出下列各隨機變量可能取的值，并說明隨機變量所取的值表示的隨機試驗的結(jié)果．(1)在2023年北京大學的自主招生中，參與面試的5名考生中，通過面試的考生人數(shù)X；(2)射手對目標進行射擊，擊中目標得1分，未擊中目標得0分，該射手在一次射擊中的得分用ξ表示．類型3分布列及其性質(zhì)的應用【例3】(源自湘教版教材)設隨機變量X的分布列為P(X＝k)＝ckk+1，k＝1，2，3，4，其中c為常數(shù)，求P[嘗試解答]離散型隨機變量分布列的性質(zhì)的應用(1)利用離散型隨機變量的分布列的性質(zhì)可以求與概率有關的參數(shù)的取值或范圍，還可以檢驗所求分布列是否正確．(2)由于離散型隨機變量的各個可能值表示的事件是彼此互斥的，所以離散型隨機變量在某一范圍內(nèi)取值的概率等于它取這個范圍內(nèi)各個值的概率之和．[跟進訓練]3．若離散型隨機變量X的分布列為X01P9c2－c3－8c試求出離散型隨機變量X的分布列．類型4離散型隨機變量的分布列離散型隨機變量的分布列【例4】同時擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，觀察朝上一面出現(xiàn)的點數(shù)，求兩枚骰子中出現(xiàn)的最大點數(shù)X的分布列．[思路導引]分析兩枚骰子可能出現(xiàn)的點數(shù)→[嘗試解答]兩點分布的分布列【例5】袋內(nèi)有5個白球，6個紅球，從中摸出兩球，記X＝0，兩球全紅，1，兩球非全紅．[嘗試解答]求離散型隨機變量分布列時應注意的問題(1)確定離散型隨機變量ξ的分布列的關鍵是要搞清ξ取每一個值對應的隨機事件，進一步利用排列、組合知識求出ξ取每一個值的概率．(2)在求離散型隨機變量ξ的分布列時，要充分利用分布列的性質(zhì)，這樣不但可以減少運算量，還可以驗證分布列是否正確．[跟進訓練]4．(源自北師大版教材)一袋中裝有6個完全相同的黑球，編號分別為1，2，3，4，5，6，現(xiàn)從中隨機取出3個球，用X表示取出球的最大編號，求X的分布列．1．(多選)下列隨機變量是離散型隨機變量的是()A．連續(xù)不斷地射擊，首次擊中目標所需要的射擊次數(shù)XB．南京長江大橋一天經(jīng)過的車輛數(shù)XC．某型號彩電的壽命XD．連續(xù)拋擲兩個質(zhì)地均勻的骰子，所得點數(shù)之和X2．已知離散型隨機變量X的分布列為X1234P1m11則m的值為()A．12B．13C．13．拋擲兩顆骰子，所得點數(shù)之和X是一個隨機變量，則P(X≤4)等于()A．16 B．C．12 D．4．在考試中，需回答三個問題，考試規(guī)定：每題回答正確得10分，回答不正確得－10分，則這名同學回答這三個問題的總得分ξ的所有可能取值是________．回顧本節(jié)知識，自主完成以下問題：1．隨機變量與函數(shù)有什么異同？2．離散型隨機變量有哪些特征？7.2離散型隨機變量及其分布列[必備知識·情境導學探新知]知識點1(1)唯一X(ω)(4)有限個一一列舉思考1提示：隨機變量和函數(shù)都是一種對應關系，隨機變量把樣本點與實數(shù)對應，函數(shù)把實數(shù)與實數(shù)對應，由隨機變量的定義知，樣本點ω相當于函數(shù)定義中的自變量，樣本空間Ω相當于函數(shù)的定義域．知識點2(2)表格(3)≥1思考2提示：求離散型隨機變量的分布列的步驟：(1)找出隨機變量X所有可能的取值xi(i＝1，2，3，…，n)；(2)求出相應的概率P(X＝xi)＝pi(i＝1，2，3，…，n)；(3)列成表格形式．知識點3兩點分布課前自主體驗1．(1)√(2)√(3)√(4)√2．D[由題意得{X＝3}有兩種情況，即甲贏一局輸兩局或甲、乙平局三次．]3．C[①、②、④中的隨機變量X可能取的值，我們都可以按一定次序一一列出，因此，它們都是離散型隨機變量；③中的X可以取某一區(qū)間內(nèi)的一切值，無法按一定次序一一列出，故③中的X不是離散型隨機變量．]4．0.7[P(X≤0)＝1－P(X>0)＝1－0.3＝0.7．][關鍵能力·合作探究釋疑難]例1(1)C(2)②[(1)①對于A中取到產(chǎn)品的件數(shù)，是一個常量不是變量，B，D也是一個常量，而C中取到次品的件數(shù)可能是0，1，2，是隨機變量．(2)①③④中的隨機變量X的可能取值都可以按照一定的次序一一列出，因此它們是離散型隨機變量；②中的隨機變量X可以取某一區(qū)間內(nèi)的一切值，但無法按照一定的次序一一列出，故不是離散型隨機變量．]跟進訓練1．解：(1)車輛數(shù)X的取值可以一一列出，故X為離散型隨機變量．(2)某超市5月份每天銷售額可以一一列出，故為離散型隨機變量．(3)實際測量值與規(guī)定值之間的差值無法一一列出，不是離散型隨機變量．(4)不是離散型隨機變量，水位在(0，29]這一范圍內(nèi)變化，不能按次序一一列舉．例2解：(1)X可取0，1，2，3．X＝0表示取5個球全是紅球；X＝1表示取1個白球，4個紅球；X＝2表示取2個白球，3個紅球；X＝3表示取3個白球，2個紅球．(2)X可取3，4，5．X＝3表示取出的球編號為1，2，3；X＝4表示取出的球編號為1，2，4；1，3，4或2，3，4．X＝5表示取出的球編號為1，2，5；1，3，5；1，4，5；2，3，5；2，4，5或3，4，5．母題探究1．解：ξ可取1，4，7，10．ξ＝10表示取5個球全是紅球；ξ＝7表示取1個白球，4個紅球；ξ＝4表示取2個白球，3個紅球；ξ＝1表示取3個白球，2個紅球．2．解：X可取1，2，3．X＝3表示取出的3個球的編號為3，4，5；X＝2表示取出的3個球的編號為2，3，4或2，3，5或2，4，5；X＝1表示取出的3個球的編號為1，2，5或1，3，5或1，4，5或1，2，4或1，3，4或1，2，3．跟進訓練2．解：(1)X可能取值0，1，2，3，4，5，X＝i表示面試通過的有i人，其中i＝0，1，2，3，4，5．(2)ξ可能取值為0，1，當ξ＝0時，表明該射手在本次射擊中沒有擊中目標；當ξ＝1時，表明該射手在本次射擊中擊中目標．例3解：由離散型隨機變量分布列的性質(zhì)可知c1×所以1-1解得c＝54因此P12<X<52＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝跟進訓練3．解：由已知可得9c2－c＋3－8c＝1，∴9c2－9c＋2＝0，∴c＝13或2檢驗：當c＝13時，9c2－c＝9×132－13－8c＝3－83＝1當c＝23時，9c2－c＝9×232－23－8c＝3－163＝－73<0，不適合，舍去．故c＝故所求分布列為X01P21例4解：同時擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，朝上一面出現(xiàn)的點數(shù)有36種等可能的情況，X的可能取值為1，2，3，4，5，6，記(a，b)為兩枚骰子朝上一面出現(xiàn)的點數(shù)，其中a為第一枚骰子擲出的點數(shù)，b為第二枚骰子擲出的點數(shù)，則可得出下表．X出現(xiàn)的點數(shù)情況數(shù)1(1，1)12(2，2)，(2，1)，(1，2)33(3，3)，(3，2)，(3，1)，(2，3)，(1，3)54(4，4)，(4，3)，(4，2)，(4，1)，(3，4)，(2，4)，(1，4)75(5，5)，(5，4)，(5，3)，(5，2)，(5，1)，(4，5)，(3，5)，(2，5)，(1，5)96(6，6)，(6，5)，(6，4)，(6，3)，(6，2)，(6，1)，(5，6)，(4，6)，(3，6)，(2，6)，(1，6)11由古典概型可知X的分布列為X123456P11