湖南省永州市浯溪鎮(zhèn)第四中學(xué)高二數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析

湖南省永州市浯溪鎮(zhèn)第四中學(xué)高二數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限參考答案：B略2.如圖，第n個(gè)圖形是由正n＋2邊形“擴(kuò)展”而來(lái)(n＝1,2,3，…)，則第n個(gè)圖形中頂點(diǎn)個(gè)數(shù)為()A.(n＋1)(n＋2) B.(n＋2)(n＋3) C.n2 D.n參考答案：B解：由已知中的圖形我們可以得到：當(dāng)n=1時(shí)，頂點(diǎn)共有12=3×4（個(gè)），n=2時(shí)，頂點(diǎn)共有20=4×5（個(gè)），n=3時(shí)，頂點(diǎn)共有30=5×6（個(gè)），n=4時(shí)，頂點(diǎn)共有42=6×7（個(gè)），…由此我們可以推斷：第n個(gè)圖形共有頂點(diǎn)（n+2）（n+3）個(gè)，故選B3.拋物線y2=4x上兩點(diǎn)A、B到焦點(diǎn)的距離之和為7，則A、B到y(tǒng)軸的距離之和為（）A．8 B．7 C．6 D．5參考答案：D【考點(diǎn)】拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】根據(jù)拋物線的方程求出準(zhǔn)線方程，利用拋物線的定義拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離，列出方程求出A、B到y(tǒng)軸的距離之和．【解答】解：拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F（1，0），準(zhǔn)線方程x=﹣1設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）∴|AF|+|BF|=x1+1+x2+1=7∴x1+x2=5，∴A、B到y(tǒng)軸的距離之和為5，故選：D．4.利用獨(dú)立性檢驗(yàn)來(lái)考慮兩個(gè)分類變量與是否有關(guān)系時(shí)，通過(guò)查閱下表來(lái)確定“和有關(guān)系”的可信度。如果，那么就有把握認(rèn)為“和有關(guān)系”的百分比為（

）

．95%

．25%

．5%

．%參考答案：A5.已知點(diǎn)、、、,則向量在方向上的投影為 （）A． B． C． D．參考答案：A略6.若橢圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，且焦點(diǎn)分別為，則其離心率為（

）A.

B.

C.

D.參考答案：C7.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在單調(diào)遞增的函數(shù)是()A．

B．

C．

D．參考答案：B8.已知橢圓E：+=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)為F，短軸的一個(gè)端點(diǎn)為M，直線l：3x﹣4y=0交橢圓E于A，B兩點(diǎn)，若|AF|+|BF|=4，點(diǎn)M到直線l的距離不小于，則橢圓E的離心率的取值范圍是（）A．（0，] B．（0，] C．[，1） D．[，1）參考答案： A【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的關(guān)系．【分析】如圖所示，設(shè)F′為橢圓的左焦點(diǎn)，連接AF′，BF′，則四邊形AFBF′是平行四邊形，可得4=|AF|+|BF|=|AF′|+|BF|=2a．取M（0，b），由點(diǎn)M到直線l的距離不小于，可得，解得b≥1．再利用離心率計(jì)算公式e==即可得出．【解答】解：如圖所示，設(shè)F′為橢圓的左焦點(diǎn)，連接AF′，BF′，則四邊形AFBF′是平行四邊形，∴4=|AF|+|BF|=|AF′|+|AF|=2a，∴a=2．取M（0，b），∵點(diǎn)M到直線l的距離不小于，∴，解得b≥1．∴e==≤=．∴橢圓E的離心率的取值范圍是．故選：A．9.函數(shù)在定義域R內(nèi)可導(dǎo)，若，且當(dāng)時(shí)，，設(shè)則(

)A．B．C．D．參考答案：B10.如圖所示，正方體的棱長(zhǎng)為1，分別是棱，的中點(diǎn)，過(guò)直線的平面分別與棱、交于，設(shè)，，給出以下四個(gè)命題：（1）平面平面；（2）當(dāng)且僅當(dāng)x=時(shí)，四邊形的面積最??；（3）四邊形周長(zhǎng)，是單調(diào)函數(shù)；（4）四棱錐的體積為常函數(shù)；以上命題中假命題的序號(hào)為（）A．（1）（4）

B．（2）

C．（3）

D．（3）（4）參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.我們把焦點(diǎn)相同，且離心率互為倒數(shù)的橢圓和雙曲線稱為一對(duì)“相關(guān)曲線”.已知F1，F(xiàn)2是一對(duì)相關(guān)曲線的焦點(diǎn)，P是它們?cè)诘谝幌笙薜慕稽c(diǎn)，當(dāng)時(shí)，這一對(duì)相關(guān)曲線中橢圓的離心率是

．參考答案：設(shè)橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為，焦距為，，，則，所以，又由余弦定理得，即，代入得，又由題意，即，代入得，，（1舍去），所以．

12.已知＞0，＞0，不等式+恒成立，則實(shí)數(shù)a的最大值為

。參考答案：113.已知向量與的夾角是鈍角,則k的取值范圍是___________參考答案：略14.若對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，|x+a|﹣|x+1|≤2a恒成立，則實(shí)數(shù)a的最小值為．參考答案：【考點(diǎn)】函數(shù)恒成立問(wèn)題．【專題】函數(shù)思想；轉(zhuǎn)化法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】利用絕對(duì)值的幾何意義求解．【解答】解：由題意：|x+a|﹣|x+1|表示數(shù)軸上的x對(duì)應(yīng)點(diǎn)到﹣a對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離減去它到﹣1對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離，故它的最大值為|a﹣1|．由于對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，有|x+a|﹣|x+1|＜2a恒成立，可得|a﹣1|＜2a，解得：a．∴實(shí)數(shù)a的最小值為：．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了絕對(duì)值的幾何意義．屬于基礎(chǔ)題．15.若都是正實(shí)數(shù)，且，則的最小值是。參考答案：

16.用反證法證明命題“三角形的內(nèi)角至多有一個(gè)鈍角”，正確的假設(shè)是

參考答案：三角形的內(nèi)角中至少有兩個(gè)鈍角17.設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，為上一點(diǎn)，已知以為圓心，為半徑的圓交于兩點(diǎn)，若為等邊三角形，的面積為，則的值為

，圓的方程為

．參考答案：3；三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.在直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立直角坐標(biāo)系，圓C的極坐標(biāo)方程為，直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），直線l和圓C交于A，B兩點(diǎn)，P是圓C上不同于A，B的任意一點(diǎn)．（Ⅰ）求圓心的極坐標(biāo)；（Ⅱ）求△PAB面積的最大值．參考答案：【考點(diǎn)】參數(shù)方程化成普通方程；簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程．【分析】（Ⅰ）由圓C的極坐標(biāo)方程為，化為ρ2=，把代入即可得出．（II）把直線的參數(shù)方程化為普通方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式可得圓心到直線的距離d，再利用弦長(zhǎng)公式可得|AB|=2，利用三角形的面積計(jì)算公式即可得出．【解答】解：（Ⅰ）由圓C的極坐標(biāo)方程為，化為ρ2=，把代入可得：圓C的普通方程為x2+y2﹣2x+2y=0，即（x﹣1）2+（y+1）2=2．∴圓心坐標(biāo)為（1，﹣1），∴圓心極坐標(biāo)為；（Ⅱ）由直線l的參數(shù)方程（t為參數(shù)），把t=x代入y=﹣1+2t可得直線l的普通方程：，∴圓心到直線l的距離，∴|AB|=2==，點(diǎn)P直線AB距離的最大值為，．19.用0，1，2，3，4，5這六個(gè)數(shù)字．（1）能組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)．（2）能組成多少個(gè)比1325大的四位數(shù)．參考答案：見(jiàn)解析．解：（1）符合要求的四位偶數(shù)可分為三類：第一類：0在個(gè)位時(shí)，有個(gè)．第二類：2在個(gè)位時(shí)，首位從1，3，4，5中選定1個(gè)，有種可能，十位和百位從余下的數(shù)字中選取有種可能，于是有個(gè)．第三類，4在個(gè)位時(shí)，同第二類，也有個(gè)．由分類加法計(jì)數(shù)原理可知，四位偶數(shù)共有：個(gè)．（）符合要求的比1325大的四位數(shù)可分為三類：第一類：形如，，，，這樣的數(shù)共個(gè)．第二類：形如，，共有個(gè)．第三類：形如，，共個(gè)．由分類加法計(jì)數(shù)原理可知，比1325大的四位數(shù)共有個(gè)．20.設(shè)的展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)之和為M，二項(xiàng)式系數(shù)之和為N，若M﹣N=240．（1）求n；（2）求展開(kāi)式中所有x的有理項(xiàng)．參考答案：【考點(diǎn)】DB：二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)．【分析】（1）利用賦值法及二項(xiàng)式系數(shù)和公式求出M、N列出方程求得n，（2）利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式求出第r+1項(xiàng)，令x的指數(shù)為0，2，4得答案．【解答】解：（1）令x=1，M=4n

二項(xiàng)系數(shù)之和為2n

所以4n﹣2n=240

得n=4，（2）Tr+1=34﹣rC4rx，0≤r≤4，所以r=0，2，4，當(dāng)r=0時(shí)，T1=34C40x4=81x4，當(dāng)r=2時(shí)，T2=32C42x3=54x3，當(dāng)r=4時(shí)，T1=30C44x2=x2．21.（12分）已知函數(shù)（m，n為常數(shù)）．（1）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，不等式在區(qū)間(1,+∞)上恒成立，求m的取值范圍．

參考答案：（1）當(dāng)時(shí)，．；令，解得或．∴當(dāng)，即時(shí)，增區(qū)間為，減區(qū)間為；當(dāng)，即時(shí)，增區(qū)間為，無(wú)減區(qū)間；當(dāng)，即時(shí)，增區(qū)間為，減區(qū)間為．………6分（2）當(dāng)時(shí)，不等式化為；即在區(qū)間上恒成立．令，則．令，則在區(qū)間上恒成立．所以．∴當(dāng)時(shí)，，單減；當(dāng)時(shí)，，單增；∴．∴．

………12分

22.已知直線y=ax+1與雙曲線3x2﹣y2=1交于A、B兩點(diǎn)．（1）求a的取值范圍；（2）若以AB為直徑的圓過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的值．參考答案：【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的關(guān)系．【分析】（1）根據(jù)直線和雙曲線的位置關(guān)系，即可求a的取值范圍；（2）根據(jù)條件以AB為直徑的圓過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，消去y，利用根與系數(shù)之間的關(guān)系即可求實(shí)數(shù)a的值．【解答】解（1）由消去y，得（3﹣a2）x2﹣2ax﹣2=0，依題意得，即﹣＜a＜且a≠±．（2）設(shè)