歷年高考數(shù)學(xué)（理）知識(shí)清單-專題08 平面向量（考點(diǎn)解讀）（原卷+解析版）

1專題8平面向量考情解讀高考側(cè)重考查正、余弦定理與其他知識(shí)(如三角函數(shù)、平面向量等)的綜合應(yīng)用，試題一般為中檔題，各種題型均有可能出現(xiàn).預(yù)測(cè)高考仍將以正、余弦定理的綜合應(yīng)用為主要考點(diǎn)，重點(diǎn)考查計(jì)算能力及應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析、解決問題的能力.重點(diǎn)知識(shí)梳理1．向量的基本概念(1)既有大小又有方向的量叫做向量.(2)零向量的模為0，方向是任意的，記作0.(3)長(zhǎng)度等于1的向量叫單位向量.(4)長(zhǎng)度相等且方向相同的向量叫相等向量.(5)方向相同或相反的非零向量叫平行向量，也叫共線向量．零向量和任一向量平行.2．共線向量定理向量a(a≠0)與b共線，當(dāng)且僅當(dāng)存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ,使b=λa.3．平面向量基本定理如果e1、e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1、λ2，使a=λ1e1+λ2e2.4．兩向量的夾角已知兩個(gè)非零向量a和b，在平面上任取一點(diǎn)O，作＝a，＝b，則∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)叫作a與b的夾角.5．向量的坐標(biāo)表示及運(yùn)算a±b＝(x1±x2，y1±y2)，λa＝(λx1，λy1).(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則＝(x2－x1，y2－y1).6．平面向量共線的坐標(biāo)表示已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，當(dāng)且僅當(dāng)x1y2－x2y1＝0時(shí)，向量a與b共線.7．平面向量的數(shù)量積設(shè)θ為a與b的夾角.(1)定義：a·b＝|a||b|cosθ.(2)投影：＝|a|cosθ叫做向量a在b方向上的投影.8．?dāng)?shù)量積的性質(zhì)(2)當(dāng)a與b同向時(shí)，a·b＝|a|·|b|；當(dāng)a與b反向時(shí)，a·b|a|·|b|；特別地，a·a＝|a|2；(4)cosθ=.9．?dāng)?shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)x2＋y1y2；(2)|a| (4)cosθ=x1x2＋y1y 【誤區(qū)警示】1．兩向量夾角的范圍是[0，π]，a·b>0與〈a，b〉為銳角不等價(jià)；a·b<0與〈a，b〉為鈍角不等價(jià).2．點(diǎn)共線和向量共線，直線平行與向量平行既有聯(lián)系又有區(qū)別.3．a(chǎn)在b方向上的投影為，而不是.4．若a與b都是非零向量，則λa+μb＝0?a與b共線，若a與b不共線，則λa+μb＝0?λ=μ=0.高頻者點(diǎn)突破高頻考點(diǎn)一平面向量的概念及運(yùn)算【變式探究】已知向量a＝(m,4)，b＝(32)，且a∥b，則m＝.【變式探究】(1)已知點(diǎn)A(0,1)，B(3,2)，向量＝(－43)，則向量＝()A．(－74)B．(7,4)C．(－1,4)D．(1,4)【舉一反三】向量的三角形法則要保證各向量“首尾相接”；平行四邊形法則要保證兩向量“共起點(diǎn)”，結(jié)合幾何法、代數(shù)法(坐標(biāo))求解.(2)設(shè)D，E，F(xiàn)分別為△ABC的三邊BC，CA，AB的中點(diǎn)，則()A.B.C.D.高頻考點(diǎn)二平面向量數(shù)量積的計(jì)算與應(yīng)用【舉一反三】（2018年全國(guó)I卷理數(shù)）設(shè)拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)（–2，0）且斜率為的直線與C交于M，N兩點(diǎn)，則FM·FN=A.5B.6C.7D.8 【變式探究】已知向量＝2，2，＝2， C．60°D．120°【變式探究】(1)向量a＝(11)，b＝(－1,2)，則(2a＋b)·a＝()A1B．0【舉一反三】當(dāng)向量以幾何圖形的形式(有向線段)出現(xiàn)時(shí)，其數(shù)量積的計(jì)算可利用定義法；當(dāng)向量以坐標(biāo)形式出現(xiàn)時(shí)，其數(shù)量積的計(jì)算用坐標(biāo)法；如果建立坐標(biāo)系，表示向量的有向線段可用坐標(biāo)表示，計(jì)算向量較簡(jiǎn)單.(2)已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，E為CD的中點(diǎn)，則·=.高頻考點(diǎn)三平面向量的綜合應(yīng)用------------------|λ1AB+λ2BC+λ3CD+λ4DA+λ5AC+λ6BD|------------------4【舉一反三】（2018年江蘇卷）在平面直角坐標(biāo)系xoy中，A為直線ly=2x上在第一象限內(nèi)的點(diǎn)，B(5,0)，以AB為直徑的圓C與直線l交于另一點(diǎn)D．若，則點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為.（1）若a∥b,求x的值；（2）記f(x)=a.b,求f(x)的最大值和最小值以及對(duì)應(yīng)的x的值.真題感悟?yàn)?π5π3．【2019年高考北京卷理數(shù)】設(shè)點(diǎn)A，B，C不共線，則“與的夾角為銳角”是“|+|>||”的A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件------點(diǎn)E在線段CB的延長(zhǎng)線上，且AE=BE，則BD.AE=.------------------|λ1AB+λ2BC+λ3CD+λ4DA+λ5AC+λ6BD------------------1.（2018年浙江卷）已知a，b，e是平面向量，e是單位向量．若非零向量a與e的夾角為，向量b滿足b2?4e·b+3=0，則|a?b|的最小值是A.?1B.+1C.2D.2?2.（2018年天津卷）如圖，在平面四邊形ABCD中，ABlBC，ADICD，4BAD=120°,AB=AD=1.若點(diǎn)E為邊CD上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為A.B.C.B.D.33.（2018年全國(guó)I卷理數(shù)）設(shè)拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)（–2，0）且斜率為的直線與C交于M，N兩點(diǎn)，則FM·FN=A.5B.6C.7D.8=A.B.C.D.5.（2018年全國(guó)Ⅱ卷理數(shù)）已知向量a，b滿足al=1，a·b=-l，則a·(2a-b)=A.4B.3C.2D.06.（2018年江蘇卷）在平面直角坐標(biāo)系xoy中，A為直線ly=2x上在第一象限內(nèi)的點(diǎn)，B(5,0)，以AB為直徑的圓C與直線l交于另一點(diǎn)D．若，則點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為.7.（2018年全國(guó)Ⅲ卷理數(shù)）已知向量a=(1,2)，b=(2-2，c=(1)．若cl(ca+b)，則.1.【2017課標(biāo)3，理12】在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，動(dòng)點(diǎn)P在以點(diǎn)C為圓心且與BD相切的圓上.若=λ+μ，則λ+μ的最大值為2.【2017北京，理6】設(shè)m,n為非零向量，則“存在負(fù)數(shù)λ,使得m=λn”是“m.n<0”的（B）必要而不充分條件（D）既不充分也不必要條件的最小是()A.23B.24C.3D.14.【2017課標(biāo)1，理13】已知向量a，b的夾角為60°,|a|=2，|b|=1，則|a+2b|=.------------=(λER)，且.=4，則λ的值為.6.【2017山東，理12】已知e1,e2是互相垂直的單位向量，若e1一e2與e1+λe2的夾角為60，則實(shí)數(shù)λ的值是.8.【2017浙江，10】如圖，已知平面四邊形ABCD，AB⊥BC，AB＝BC＝AD＝2，CD＝3，AC與BD交------------------A．I122C．I339.【2017江蘇，12】如圖,在同一個(gè)平面內(nèi)，向量,,的模分別為1,1,,與的夾角為C,------------------------------CBCOA（1）若a∥b,求x的值；7（2）記f(x)=n.b,求f(x)的最大值和最小值以及對(duì)應(yīng)的x的值.（A8（B6（C）6（D）82.【2016高考江蘇卷】如圖，在ΔABC中，D是BC的中點(diǎn)，E,F是A,D上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，---------------------DA3.【2016年高考四川理數(shù)】在平面內(nèi)，定點(diǎn)A，B，C，D滿足DA---------------------------=DB=DC,DA.DB=DB.DC=DC.DA=-2，動(dòng)點(diǎn)---------------------------大值是()----BM----BM2（ABCD）4.【2016高考江蘇卷】如圖，在ΔABC中，D是BC的中點(diǎn)，E,F是A,D上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，------------------------------------8專題8平面向量考情解讀高考側(cè)重考查正、余弦定理與其他知識(shí)(如三角函數(shù)、平面向量等)的綜合應(yīng)用，試題一般為中檔題，各種題型均有可能出現(xiàn).預(yù)測(cè)高考仍將以正、余弦定理的綜合應(yīng)用為主要考點(diǎn)，重點(diǎn)考查計(jì)算能力及應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析、解決問題的能力.重點(diǎn)知識(shí)梳理1．向量的基本概念(1)既有大小又有方向的量叫做向量.(2)零向量的模為0，方向是任意的，記作0.(3)長(zhǎng)度等于1的向量叫單位向量.(4)長(zhǎng)度相等且方向相同的向量叫相等向量.(5)方向相同或相反的非零向量叫平行向量，也叫共線向量．零向量和任一向量平行.2．共線向量定理向量a(a≠0)與b共線，當(dāng)且僅當(dāng)存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ,使b=λa.3．平面向量基本定理如果e1、e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1、λ2，使a=λ1e1+λ2e2.4．兩向量的夾角與b的夾角.5．向量的坐標(biāo)表示及運(yùn)算a±b＝(x1±x2，y1±y2)，λa＝(λx1，λy1).(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則AB＝(x2－x1，y2－y1).6．平面向量共線的坐標(biāo)表示已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，當(dāng)且僅當(dāng)x1y2－x2y1＝0時(shí)，向量a與b共線.7．平面向量的數(shù)量積設(shè)θ為a與b的夾角.(1)定義：a·b＝|a||b|cosθ.(2)投影：＝|a|cosθ叫做向量a在b方向上的投影.8．?dāng)?shù)量積的性質(zhì)(2)當(dāng)a與b同向時(shí)，a·b＝|a|·|b|；當(dāng)a與b反向時(shí)，a·b|a|·|b|；特別地，a·a＝|a|2；(4)cosθ=.9．?dāng)?shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)x2＋y1y2；(2)|a|(4)cosθ=x1x2＋y1y2【誤區(qū)警示】1．兩向量夾角的范圍是[0，π]，a·b>0與〈a，b〉為銳角不等價(jià)；a·b<0與〈a，b〉為鈍角不等價(jià).2．點(diǎn)共線和向量共線，直線平行與向量平行既有聯(lián)系又有區(qū)別.3．a(chǎn)在b方向上的投影為，而不是.4．若a與b都是非零向量，則λa+μb＝0?a與b共線，若a與b不共線，則λa+μb＝0?λ=μ=0.高頻考點(diǎn)突攻高頻考點(diǎn)一平面向量的概念及運(yùn)算【答案】2【解析】利用如下圖形，可以判斷出+2的模長(zhǎng)是以2為邊長(zhǎng)的菱形對(duì)角線的長(zhǎng)度，222【變式探究】已知向量a＝(m,4)，b＝(32)，且a∥b，則m＝.解析：基本法：∵a∥b，∴a=λb即(m,4)=λ(32)＝(3λ,-2λ)m＝3λ,42λ,故m6.速解法：根據(jù)向量平行的坐標(biāo)運(yùn)算求解：∴m×(－2)－4×3＝0∴-2m－12＝0，∴m6.答案6A．(－74)B．(7,4)C．(－1,4)D．(1,4)x4，答案：A【舉一反三】向量的三角形法則要保證各向量“首尾相接”；平行四邊形法則要保證兩向量“共起點(diǎn)”，結(jié)合幾何法、代數(shù)法(坐標(biāo))求解.AADAADBAD.CBC.DBC-1b＋a－1a＋b＝－＝－-1b＋a－1a＋b=2AD＝=2AD＝AD.2答案：A高頻考點(diǎn)二平面向量數(shù)量積的計(jì)算與應(yīng)用【答案】C選C.【舉一反三】（2018年全國(guó)I卷理數(shù)）設(shè)拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)（–2，0）且斜率為的直線與C交于M，N兩點(diǎn)，則FM·FN=A.5B.6C.7D.8【答案】D 2【解析】根據(jù)題意，過點(diǎn)（–2，0）且斜率為的直線方程為，與拋 2消元整理得：，解得M(1,2),N(4,4)，又F(1,0)，所以FM=(0,2),N=(3,4)，從而可以求得FM·N=0×3+2×4=8，故選D.11 2，則∠ABC＝()C．60°D．120°解析：基本法：根據(jù)向量的夾角公式求解. BA·BC==速解法：如圖，B為原點(diǎn)，則答案：A【變式探究】(1)向量a＝(11)，b＝(－1,2)，則(2a＋b)·a＝()A1B．0解析：基本法：因?yàn)?a＋b＝2(11)＋(－1,2)＝(22)＋(－1,2)＝(1,0)，所以(2a＋b)·a＝(1,0)·(1，-1)＝1×1＋0×(－1)＝1.故選C.從而(2a＋b)·a＝2a2＋a·b＝4－3＝1.故選C.答案：C【舉一反三】當(dāng)向量以幾何圖形的形式(有向線段)出現(xiàn)時(shí)，其數(shù)量積的計(jì)算可利用定義法；當(dāng)向量以坐標(biāo)形式出現(xiàn)時(shí)，其數(shù)量積的計(jì)算用坐標(biāo)法；如果建立坐標(biāo)系，表示向量的有向線段可用坐標(biāo)表示，計(jì)算向量較簡(jiǎn)單.2速解法：(坐標(biāo)法)先建立平面直角坐標(biāo)系，結(jié)合向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求解.如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在的直線為x軸，AD所在的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則A(0,0)，B(2,0)，D(0,2)，E(1,2)，答案：2高頻考點(diǎn)三平面向量的綜合應(yīng)用------------------|λ1AB+λ2BC+λ3CD+λ4DA+λ5AC+λ6BD|------------------【答案】0；2.【解析】以AB,AD分別為x軸、y軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖.------------------------------------令因?yàn)?λ1λ3+λ5)和(λ2λ4+λ5)的取值不相關(guān)，λ6=1或λ6=1，所以當(dāng)(λ1一λ3+λ5)和(λ2λ4+λ5)分別取得最大值時(shí)，y有最大值，故答案為0；2.【舉一反三】（2018年江蘇卷）在平面直角坐標(biāo)系xoy中，A為直線ly=2x上在第一象限內(nèi)的點(diǎn)，B(5,0)，以AB為直徑的圓C與直線l交于另一點(diǎn)D．若，則點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為.【答案】3【解析】設(shè)A(a,2a)(a>0)，則由圓心為AB中點(diǎn)得易得，與y=2x聯(lián)立解得點(diǎn)D的橫坐標(biāo)所以D(1,2).所以，由得或a=-l，因?yàn)閍>0，所以a=3.（1）若a∥b,求x的值；（2）記f(x)=“.b,求f(x)的最大值和最小值以及對(duì)應(yīng)的x的值.(x)取得最大值，為3；x=時(shí)，f(x)取得最小值，為2.【解析】2x f(x)取到最小值2.真題感悟?yàn)?π5πCD【答案】B2，所以2a.bcosθ==22a.b【答案】C2選C.的A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件【答案】C------------------------------------------------即--------------------------->|ACAB|2，因?yàn)锳CAB=BC，所以---------------------------------------------當(dāng)|+AC|>|BC|成立時(shí)，|+AC|2>|-AC|2牽AB?AC>0，又因?yàn)辄c(diǎn)A------------------以與的夾角為銳角.故“與的夾角為銳角”是“|+|>||”的充分必要條件,故選C.【答案】2233所以a所以ac5．【2019年高考天津卷理數(shù)】在四邊形ABCD中，5．【2019年高考天津卷理數(shù)】在四邊形ABCD中，點(diǎn)E在線段CB的延長(zhǎng)線上，且AE=BE，則B.A=.【答案】1 33333 3直線AE的斜率為 3直線AE的斜率為33y=(x2),|y=(x2),||λ1A+λ2B+λ3C+λ4D+λ5A+λ6B|的最小值是；最大值是.【答案】0；2.【解析】以AB,AD分別為x軸、y軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖.------------------------------------令因?yàn)?λ1-λ3+λ5)和(λ2-λ4+λ5)的取值不相關(guān)，λ6=1或λ6=-1，所以當(dāng)(λ1-λ3+λ5)和(λ2-λ4+λ5)分別取得最大值時(shí)，y有最大值，故答案為0；2.1.（2018年浙江卷）已知a，b，e是平面向量，e是單位向量．若非零向量a與e的夾角為，向量b滿足b2?4e·b+3=0，則|a?b|的最小值是A.?1B.+1C.2D.2?【答案】A【解析】設(shè)a=(xy),e=(1,0),b=(m,n)，則由得，由b2-48·b+3=0得m2+n2-4m+3=0,m-2)2+2=1,因此的最小值為圓心(2,0)到直線y=±5x的距離減去半徑1，為5-1.選A.2.（2018年天津卷）如圖，在平面四邊形ABCD中，ABlBC，ADICD，4BAD=120°,AB=AD=1.若點(diǎn)E為邊CD上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為A.B.C.B.D.3【答案】A【解析】建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則，,,=C0=.≤1)，設(shè)據(jù)此可得：，且：由數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算法則可得：整理可得結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)時(shí)，取得最小值.本題選擇A選項(xiàng).3.（2018年全國(guó)I卷理數(shù)）設(shè)拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)（–2，0）且斜率為的直線與C交于M，N兩點(diǎn)，則FM·FN=A.5B.6C.7D.8【答案】D【解析】根據(jù)題意，過點(diǎn)（–2，0）且斜率為的直線方程為，與拋物線方程聯(lián)立，消元整理得：y26Y+8=0，解得M(1,2),N(4,4)，又F(1,0)，所以FM=(0,2),N=(3,4)，從而可以求得FM·N=0×3+2×4=8，故選D.=A.B.C.D.【答案】A【解析】根據(jù)向量的運(yùn)算法則，可得,所以，故選A.5.（2018年全國(guó)Ⅱ卷理數(shù)）已知向量a，b滿足al=1，a·b=-l，則a·(2a-b)=A.4B.3C.2D.0【答案】B【解析】因?yàn)樗赃xB.6.（2018年江蘇卷）在平面直角坐標(biāo)系xoy中，A為直線ly=2x上在第一象限內(nèi)的點(diǎn)，B(5,0)，以AB為直徑的圓C與直線l交于另一點(diǎn)D【答案】3易得，與y=2x聯(lián)【解析】設(shè)A(a,2a)(a>0)，則由圓心為易得，與y=2x聯(lián)立解得點(diǎn)D的橫坐標(biāo)=1所以D(1,2)由A·CD=0得因?yàn)閍>0，所以a=3.【答案】【解析】由題可得2?+5=(4.2)故答案為1.【2017課標(biāo)3，理12】在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，動(dòng)點(diǎn)P在以點(diǎn)C為圓心且與BD相切的圓上.若=λ+μ，則λ+μ的最大值為【答案】A【解析】如圖.所示，建立平面直角坐標(biāo)系根據(jù)等面積公式可得圓的半徑是，即圓的方程是(x-2)2+y245λ,μ=,λ=1-y，所以λ+μ=-y+1，設(shè)z=-y+1，即-y+1-z=0，點(diǎn)P(x,y)在圓(x-2)2+y2=上，所以圓心到直線的距離d<r，即2-z142 所以z的最大值是3，即λ+μ的最大值是3，故選A。2.【2017北京，理6】設(shè)m,n為非零向量，則“存在負(fù)數(shù)λ,使得m=λn”是“m.n<0”的（B）必要而不充分條件（D）既不充分也不必要條件【答案】A若.<0，那么兩向量的夾角為(900,1800，并不一定反向，即不一定存在負(fù)數(shù)λ,使得m=λn，所以是充分不必要條件，故選A.的最小是()A.-2B.-C.-D.-123【答案】B【解析】如圖，以BC為x軸，BC的垂直平分線DA為y軸，D為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，2)2-4.【2017課標(biāo)1，理13】已知向量a，b的夾角為60°,|a|=2，|b|=1，則|a+2b|=.【答案】2【解析】利用如下圖形，可以判斷出+2的模長(zhǎng)是以2為邊長(zhǎng)的菱形對(duì)角線的長(zhǎng)度，222A=λAA(λER)，且A.A=4，則λ的值為. ,則x9x3=4牽λ=.6.【2017山東，理12】已知e1,e2是互相垂直的單位向量，若e1一e2的值是.【答案】333+λ..λ2=λ,23e23ee e22 1+λ2，λ=.【答案】4，2令y=+54cosθ,則y2=10+22516cos2θE[16,20min8.【2017浙江，10】如圖，已知平面四邊形ABCD，AB⊥BC，AB＝BC＝AD＝2，CD＝3，AC與BD交A．I122C．I33【答案】C9.【2017江蘇，12】如圖,在同一個(gè)平面內(nèi)，向量,,的模分別為1,1,,與的夾角為c,---------------且tanc=7,OB與OC的夾角為45°.若OC=mOA---------------CBcOA【答案】3【解析】由tanc=7可得sinc=，cosc=，根據(jù)向量的分解， 5 4易得{ncos45。+mcosc=，即{25 4 （1）若a∥b,求x的值；（2）記f(x)=a.b,求f(x)的最大值和最小值以及對(duì)應(yīng)的