歷年高考數(shù)學(xué)（理）知識(shí)清單-專(zhuān)題09 等差數(shù)列、等比數(shù)列（考點(diǎn)解讀）（原卷+解析版）

專(zhuān)題9等差數(shù)列、等比數(shù)列考情解讀高考側(cè)重于考查等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)an，前n項(xiàng)和Sn的基本運(yùn)算，另外等差、等比數(shù)列的性質(zhì)也是高考的熱點(diǎn).備考時(shí)應(yīng)切實(shí)理解等差、等比數(shù)列的概念，加強(qiáng)五個(gè)量的基本運(yùn)算，強(qiáng)化性質(zhì)的應(yīng)用意識(shí).重點(diǎn)知識(shí)梳理1．等差數(shù)列(1)定義式：an＋1－an＝d(n∈N*，d為常數(shù))；(2)通項(xiàng)公式：an＝a1＋(n－1)d；(3)前n項(xiàng)和公式：Snna1(4)性質(zhì)：①an＝am＋(n－m)d(n、m∈N*)；②若m＋n＝p＋q(m、n、p、q∈N*)，則am＋an＝ap＋aq.2．等比數(shù)列(1)定義式q(n∈N*，q為非零常數(shù))；(2)通項(xiàng)公式：an＝a1qn－1；na1(3)前n項(xiàng)和公式：Sn＝1a.11－(4)性質(zhì)：①an＝amqn－m(n，m∈N*)；q≠1.②若m＋n＝p＋q，則aman＝apaq(p、q、m、n∈N*).3．復(fù)習(xí)數(shù)列專(zhuān)題要把握等差、等比數(shù)列兩個(gè)定義，牢記通項(xiàng)、前n項(xiàng)和四組公式，活用等差、等比數(shù)列的性質(zhì)，明確數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系，巧妙利用an與Sn的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化，細(xì)辨應(yīng)用問(wèn)題中的條件與結(jié)論是通項(xiàng)還是前n項(xiàng)和，集中突破數(shù)列求和的五種方法(公式法、倒序相加法、錯(cuò)位相減法、分組求和法、裂項(xiàng)相消法).【誤區(qū)警示】1．應(yīng)用an與Sn的關(guān)系，等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式時(shí)，注意分類(lèi)討論.2．等差、等比數(shù)列的性質(zhì)可類(lèi)比掌握．注意不要用混.3．討論等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值時(shí)，不要忽視n為整數(shù)的條件和an＝0的情形.4．等比數(shù)列{an}中，公比q≠0，an≠0.高頻者點(diǎn)突破高頻考點(diǎn)一、等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本運(yùn)算例1、【2019年高考全國(guó)III卷理數(shù)】已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的前4項(xiàng)和為15，且【變式探究】(1)在等比數(shù)列{an}中，Sn表示其前n項(xiàng)和，若a3＝2S2＋1，a4＝2S3＋1，則公比q等于A3B1C．1D．3(2)已知{an}是等差數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)和．若a1＋a23，S5＝10，則a9的值是.【變式探究】(1)已知{an}是公差為1的等差數(shù)列，Sn為{an}的前n項(xiàng)和，若S8＝4S4，則a10＝()A.17B19C．10D．12(2)若等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，前4項(xiàng)的和為9，積為，則前4項(xiàng)倒數(shù)的和為()高頻考點(diǎn)二、等差數(shù)列、等比數(shù)列的判斷與證明例2、【2019年高考全國(guó)II卷理數(shù)】已知數(shù)列{an}和{bn}滿足a1=1，b1=0，4an+1=3an-bn+4，（I）證明：{an+bn}是等比數(shù)列，{an–bn}是等差數(shù)列；（II）求{an}和{bn}的通項(xiàng)公式.【舉一反三】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝1+λan，其中λ≠0.(1)證明{an}是等比數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式；(2)若S5求λ.3【變式探究】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足an＋2Sn·Sn－1＝0(n≥2，n∈N*)，a1＝.(1)求證：是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.高頻考點(diǎn)三、等差數(shù)列、等比數(shù)列的綜合應(yīng)用例3、【2019年高考天津卷理數(shù)】設(shè){an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列．已知k+1,其中ke**.（ii）求aici(ne**).【變式探究】已知{an}是公差為3的等差數(shù)列，數(shù)列{bn}滿足b1＝1，b2anbn＋1＋bn＋1＝nbn.(1)求{an}的通項(xiàng)公式；(2)求{bn}的前n項(xiàng)和.【變式探究】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，常數(shù)λ>0，且λa1an＝S1＋Sn對(duì)一切正整數(shù)n都成立.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.(2)設(shè)a1>0，λ=100.當(dāng)n為何值時(shí)，數(shù)列an的前n真題感悟nnn243．【2019年高考浙江卷】設(shè)a，b∈R，數(shù)列{an}滿足a1=a，an+1=an2+b，nEN*，則 .5.56．【2019年高考北京卷理數(shù)】設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a2=?3，S5=?10，則a5=，Sn的最小值為.則S8的值是.n4.（I）證明：{an+bn}是等比數(shù)列，{an–bn}是等差數(shù)列；（II）求{an}和{bn}的通項(xiàng)公式.9．【2019年高考北京卷理數(shù)】已知數(shù)列{an}，從中選取第i1項(xiàng)、第i2項(xiàng)、…、第im項(xiàng)（i1<i2<…<imim為{an}的長(zhǎng)度為m的遞增子列．規(guī)定：數(shù)列{an}的任意一項(xiàng)都是{an}的長(zhǎng)度為1的遞增子列.(Ⅰ)寫(xiě)出數(shù)列1，8，3，7，5，6，9的一個(gè)長(zhǎng)度為4的遞增子列；(Ⅱ)已知數(shù)列{an}的長(zhǎng)度為p的遞增子列的末項(xiàng)的最小值為am0，長(zhǎng)度為q的遞增子列的末項(xiàng)的最小值為an0．若p<q，求證：am0<an0；(Ⅲ)設(shè)無(wú)窮數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正整數(shù)，且任意兩項(xiàng)均不相等．若{an}的長(zhǎng)度為s的遞增子列末項(xiàng)的最小值為2s–1，且長(zhǎng)度為s末項(xiàng)為2s–1的遞增子列恰有2s-1個(gè)（s=1，2，?),求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.10．【2019年高考天津卷理數(shù)】設(shè){an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列．已知k+1,其中ke**.（ii）求aici(ne**).1.（2018年北京卷）“十二平均律”是通用的音律體系，明代朱載堉最早用數(shù)學(xué)方法計(jì)算出半音比例，為這個(gè)理論的發(fā)展做出了重要貢獻(xiàn)．十二平均律將一個(gè)純八度音程分成十二份，依次得到十三個(gè)單音，從第二個(gè)單音起，每一個(gè)單音的頻率與它的前一個(gè)單音的頻率的比都等于．若第一個(gè)單音的頻率為f，則第八個(gè)單音的頻率為A.B.C.D.2.（2018年浙江卷）已知成等比數(shù)列，且．若，則A.B.C.D.3.（2018年全國(guó)I卷理數(shù)）設(shè)為等差數(shù)=A.-12B.-10C.10D.125.（2018年江蘇卷）已知集合A={xx=2n-1,neN*}，B={xx=2",neN*}．將AUB的所有元素從小到大依次排列構(gòu)成一個(gè)數(shù)列．記sn為數(shù)列的前n項(xiàng)和，則使得n>12an+1成立的n的最小值為.________6.（2018年全國(guó)I卷理數(shù)）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則.7.（2018年浙江卷）已知等比數(shù)列{an}的公比q>1，且a3+a4+a5=28，a4+2是a3，a5的等差中項(xiàng)．?dāng)?shù)列n}滿足b1=1，數(shù)列{（bn+1?bn）an}的前n項(xiàng)和為2n2+n.(Ⅱ)求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式.61，（I）求和的通項(xiàng)公式；（II）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為T(mén)(neN*)，（i）求Tn；（ii）證明.9.（2018年江蘇卷）設(shè)是首項(xiàng)為，公差為d的等差數(shù)列，是首項(xiàng)為b1，公比為q的等比數(shù)列.（1）設(shè)1=0b1=1q=2，若對(duì)n=1,2,3,4均成立，求d的取值范圍；（2）若，證明：存在deR，使得對(duì)n=2,3…,m+1均成立，并求d的取值范圍（用b1mq表示）.是排列的一個(gè)逆序，排列的所有逆序的總個(gè)數(shù)稱為其逆序數(shù)．例如：對(duì)1，2，3的一個(gè)排列231，只有兩個(gè)逆序(2，1)，(3，1)，則排列231的逆序數(shù)為2．記為全部排列的個(gè)數(shù).（1）求的值；（2）求的表達(dá)式(用n表示).11.（2018年全國(guó)Ⅱ卷理數(shù)）記sn為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知，S3=-15.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求，并求的最小值.12.（2018年全國(guó)Ⅲ卷理數(shù)）等比數(shù)列中，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）記為的前項(xiàng)和．若，求.1.【2017課標(biāo)1，理4】記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．若a4+a5=24，S6=48，則{an}的公差為2.【2017課標(biāo)II，理3】我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問(wèn)題：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)7倍加增，共燈三百八十一，請(qǐng)問(wèn)尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層共有燈()（A）100（B）99（C）98（D）972【2016高考浙江理數(shù)】如圖，點(diǎn)列{An}，{Bn}分別在某銳角的兩邊上，且,neN，n}是等差數(shù)列B．{S}是等差數(shù)列n}是等差數(shù)列D．tqf63fk是等差數(shù)列3.【2016年高考北京理數(shù)】已知{an}為等差數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和，若a1=6，a3+a5=0，則S6=.4.【2016高考江蘇卷】已知{an}是等差數(shù)列，{an}滿足a1+a3=10,a2+a4=5,則a1a2…an的最大值為.6.【2016高考江蘇卷】（本小題滿分16分）數(shù)列，且當(dāng)T={2,4}時(shí)，ST=30.（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；專(zhuān)題9等差數(shù)列、等比數(shù)列考情解讀高考側(cè)重于考查等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)an，前n項(xiàng)和Sn的基本運(yùn)算，另外等差、等比數(shù)列的性質(zhì)也是高考的熱點(diǎn).備考時(shí)應(yīng)切實(shí)理解等差、等比數(shù)列的概念，加強(qiáng)五個(gè)量的基本運(yùn)算，強(qiáng)化性質(zhì)的應(yīng)用意識(shí).重點(diǎn)知識(shí)梳理1．等差數(shù)列(1)定義式：an＋1－an＝d(n∈N*，d為常數(shù))；(2)通項(xiàng)公式：an＝a1＋(n－1)d；(3)前n項(xiàng)和公式：Snna1(4)性質(zhì)：①an＝am＋(n－m)d(n、m∈N*)；②若m＋n＝p＋q(m、n、p、q∈N*)，則am＋an＝ap＋aq.2．等比數(shù)列(1)定義式q(n∈N*，q為非零常數(shù))；(2)通項(xiàng)公式：an＝a1qn－1；na1(3)前n項(xiàng)和公式：Sn＝1a.11－(4)性質(zhì)：①an＝amqn－m(n，m∈N*)；q≠1.②若m＋n＝p＋q，則aman＝apaq(p、q、m、n∈N*).3．復(fù)習(xí)數(shù)列專(zhuān)題要把握等差、等比數(shù)列兩個(gè)定義，牢記通項(xiàng)、前n項(xiàng)和四組公式，活用等差、等比數(shù)列的性質(zhì)，明確數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系，巧妙利用an與Sn的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化，細(xì)辨應(yīng)用問(wèn)題中的條件與結(jié)論是通項(xiàng)還是前n項(xiàng)和，集中突破數(shù)列求和的五種方法(公式法、倒序相加法、錯(cuò)位相減法、分組求和法、裂項(xiàng)相消法).【誤區(qū)警示】1．應(yīng)用an與Sn的關(guān)系，等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式時(shí)，注意分類(lèi)討論.2．等差、等比數(shù)列的性質(zhì)可類(lèi)比掌握．注意不要用混.q2q2q34．等比數(shù)列{an}中，公比q≠0，an≠0.高頻考點(diǎn)突攻高頻考點(diǎn)一、等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本運(yùn)算例1、【2019年高考全國(guó)III卷理數(shù)】已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的前4項(xiàng)和為15，且【答案】C【解析】設(shè)正數(shù)的等比數(shù)列{an}的公比為q，則〈42，la1q1q2【變式探究】(1)在等比數(shù)列{an}中，Sn表示其前n項(xiàng)和，若a3＝2S2＋1，a4＝2S3＋1，則公比q等于A3B1C．1D．3(2)已知{an}是等差數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)和．若a1＋a23，S5＝10，則a9的值是.【解析】(1)兩式相減得a4－a3＝2a3，從而求得＝3.即q＝3.(2)法一：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由S5＝10，知S5＝5a1＋d＝10，得a1＋2d＝2，即a1＝2－2d.2＝a1＋d＝2－d，代入a1＋a23，化簡(jiǎn)得d2－6d＋9＝0，∴d＝3，a14.故a9＝a1＋8d4＋24=20.法二：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由S5＝10，知＝5a3＝10，∴a3＝2.∴由a1＋a3＝2a2，得a1＝2a2－2，代入a1＋a23，化簡(jiǎn)得a2＋2a2＋1＝0，∴a21.公差d＝a3－a2＝2＋1＝3，故a9＝a3＋6d＝2＋18＝20.【答案】(1)D(2)20【變式探究】(1)已知{an}是公差為1的等差數(shù)列，Sn為{an}的前n項(xiàng)和，若S8＝4S4，則a10＝()A.17B19C．10D．12(2)若等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，前4項(xiàng)的和為9，積為，則前4項(xiàng)倒數(shù)的和為()【解析】(1)由S8＝4S4，公差d＝1性質(zhì)知該數(shù)列前4項(xiàng)倒數(shù)的和為·2.【答案】(1)B(2)D高頻考點(diǎn)二、等差數(shù)列、等比數(shù)列的判斷與證明例2、【2019年高考全國(guó)II卷理數(shù)】已知數(shù)列{an}和{bn}滿足a1=1，b1=0，4an+1=3an-bn+4，（I）證明：{an+bn}是等比數(shù)列，{an–bn}是等差數(shù)列；（II）求{an}和{bn}的通項(xiàng)公式.【答案】（I）見(jiàn)解析2）an=+n-，bn=-n+.【解析】（1）由題設(shè)得4(an+1+bn+1)=2(an+bn)，即an+1+bn+1=(an+bn).又因?yàn)閍1+b1=l，所以{an+bn}是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列.由題設(shè)得4(an+1-bn+1)=4(an-bn)+8，即an+1-bn+1=an-bn+2.又因?yàn)閍1–b1=l，所以{an-bn}是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列.所以an=[(an+bn)+(an-bn)]【舉一反三】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝1+λan，其中λ≠0.(1)證明{an}是等比數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式；(2)若S5求λ.(1)證明：由題意得a1＝S1＝1+λa1，≠0.由Sn＝1+λan，Sn＋1＝1+λan＋1得an＋1=λan＋1-λan，即an＋1(λ-1)=λan.1≠0，λ≠0得an≠0，∴=.因此{(lán)an}是首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列，λn－11-λ.于是λn－11-λ.λnλ5λ5(2)【解析】由(1)得λnλ5λ5＝得1-λ-1＝，即λ-1＝3.解得λ=-1.【變式探究】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足an＋2Sn·Sn－1＝0(n≥2，n∈N*)，a1＝.(1)求證：Sn是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.得Sn－Sn－1＋2Sn·Sn－1＝0，故Sn是首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列.(2)【解析】由(1)知2n，故Snan＝Sn－Sn－1(n≥2，n∈N*)，-,n≥2.-,n≥2. 2n（n－1）高頻考點(diǎn)三、等差數(shù)列、等比數(shù)列的綜合應(yīng)用例3、【2019年高考天津卷理數(shù)】設(shè){an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列．已知k+1,其中k=**.n-1（ii）aicin-1-n-12(n=**)【解析】(Ⅰ)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，等比數(shù)列{bn}的公比為q．依題意得〈解nn.2nnn-1n-1.n-1.i2ic2i-1)n2n-1n-11-412n-1n-11-42n-1+5n-1-n-12(n=**).【變式探究】已知{an}是公差為3的等差數(shù)列，數(shù)列{bn}滿足b1＝1，b2anbn＋1＋bn＋1＝nbn.(1)求{an}的通項(xiàng)公式；(2)求{bn}的前n項(xiàng)和.【解析】(1)由已知，a1b2＋b2＝b1，b1＝1，b2得a1＝2.∴數(shù)列{an}是首項(xiàng)為2，公差為3的等差數(shù)列，通項(xiàng)公式為an＝3n－1.(2)由(1)知anbn＋1＋bn＋1＝nbn，得bn＋1因此{(lán)bn}是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列.記{bn}的前n項(xiàng)和為Sn，則Sn==-則Sn==-【變式探究】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，常數(shù)λ>0，且λa1an＝S1＋Sn對(duì)一切正整數(shù)n都成立.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.(2)設(shè)a1>0，λ=100.當(dāng)n為何值時(shí)，數(shù)列an的前n項(xiàng)和【解析】(1)取n＝1，得λa＝2S1＝2a1，a1(λa1－2)＝0.當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝0－0＝若a1≠0，則a1=.當(dāng)n≥2時(shí)，2an=＋Sn，2an－1=＋Sn－1，兩式相減得2an－2an－1＝an，∴an＝2an－1(n≥2)，從而數(shù)列{an}是等比數(shù)列，綜上，當(dāng)a1＝0時(shí)，an＝0；當(dāng)a1≠0時(shí)，an＝.(2)當(dāng)a1>0且λ=100時(shí)，由(1)知，bn＝lg＝2－nlg2.∴數(shù)列{bn}是單調(diào)遞減的等差數(shù)列{公差為－lg2}.故數(shù)列an的前6真題感悟nnn2【答案】A45n2-4n,故選A.【答案】C2【解析】設(shè)正數(shù)的等比數(shù)列{an}的公比為q，則〈1411，la1q1，:a3=a1q2=4，故選C.3．【2019年高考浙江卷】設(shè)a，b∈R，數(shù)列{an}滿足a1=a，an+1=an2+b，neN*，則【答案】A【解析】①當(dāng)b=0時(shí)，取a=0，則an=0,neN*.②當(dāng)b<0時(shí)，令x=x2+b，即x2-x+b=0.則一定存在a1=a=x0，使得an+1=a+b=a故C、D兩項(xiàng)均不正確.2b222252772,222故A項(xiàng)正確.2故B項(xiàng)不正確.故本題正確答案為A.【答案】【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為q，由已知a1=,a42=a6，所以(q3)2=q5,又q豐0， .5.5【答案】4【解析】設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,6．【2019年高考北京卷理數(shù)】設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a2=?3，S5=?10，則a5=，Sn的最小值為.【答案】0，-10.【解析】等差數(shù)列{an}中,S5=5a3=-10由等差數(shù)列{an}的性質(zhì)得n<5時(shí),an-10.則S8的值是.【答案】162a58．【2019年高考全國(guó)II卷理數(shù)】已知數(shù)列{an}和{bn}滿足a1=1，b1=0，4an+1=3an-bn+4，n-4.（I）證明：{an+bn}是等比數(shù)列，{an–bn}是等差數(shù)列；（II）求{an}和{bn}的通項(xiàng)公式.【答案】（I）見(jiàn)解析；（2）an=+n-，bn=-n+.又因?yàn)閍1+b1=l，所以{an+bn}是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列.又因?yàn)閍1–b1=l，所以{an-bn}是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列.9．【2019年高考北京卷理數(shù)】已知數(shù)列{an}，從中選取第i1項(xiàng)、第i2項(xiàng)、…、第im項(xiàng)（i1<i2<…<imim為{an}的長(zhǎng)度為m的遞增子列．規(guī)定：數(shù)列{an}的任意一項(xiàng)都是{an}的長(zhǎng)度為1的遞增子列.(Ⅰ)寫(xiě)出數(shù)列1，8，3，7，5，6，9的一個(gè)長(zhǎng)度為4的遞增子列；(Ⅱ)已知數(shù)列{an}的長(zhǎng)度為p的遞增子列的末項(xiàng)的最小值為am0，長(zhǎng)度為q的遞增子列的末項(xiàng)的最小值為an0．若p<q，求證：am0<an0；(Ⅲ)設(shè)無(wú)窮數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正整數(shù)，且任意兩項(xiàng)均不相等．若{an}的長(zhǎng)度為s的遞增子列末項(xiàng)的最小值為2s–1，且長(zhǎng)度為s末項(xiàng)為2s–1的遞增子列恰有2s-1個(gè)（s=1，2，?),求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.【答案】(Ⅰ)1,3,5,6（答案不唯一(Ⅱ)見(jiàn)解析；(Ⅲ)見(jiàn)解析.【解析】(Ⅰ)1，3，5，6.（答案不唯一）因?yàn)閧an}的長(zhǎng)度為p的遞增子列末項(xiàng)的最小值為am0，{an}的長(zhǎng)度為p的遞增子列，m0n0(Ⅲ)由題設(shè)知，所有正奇數(shù)都是{an}中的項(xiàng).先證明：若2m是{an}中的項(xiàng)，則2m必排在2m?1之前（m為正整數(shù)）.假設(shè)2m排在2m?1之后.設(shè)ap1,ap2,…,apm一1,2m1是數(shù)列{an}的長(zhǎng)度為m末項(xiàng)為2m?1的遞增子列，則ap1,ap2,…,apm一1,2m1,2m是數(shù)列{an}的長(zhǎng)度為m+1末項(xiàng)為2m的遞增子列.與已知矛盾.再證明：所有正偶數(shù)都是{an}中的項(xiàng).假設(shè)存在正偶數(shù)不是{an}中的項(xiàng)，設(shè)不在{an}中的最小的正偶數(shù)為2m.因?yàn)?k排在2k?1之前（k=1，2，?,m?1），所以2k和2k一1不可能在{an}的同一個(gè)遞增子列中.ln-1,n為偶數(shù).{an}中不超過(guò)2m+1的數(shù)為1，2，?,2m?2，2m?1，2m+1，所以{an}ln-1,n為偶數(shù).m-1<2m.一一一—(m-1)個(gè)與已知矛盾.最后證明：2m排在2m?3之后（m≥2為整數(shù)）.假設(shè)存在2m（m≥2），使得2m排在2m?3之前，則{an}的長(zhǎng)度為m+1且末項(xiàng)為2m+l的遞增子列的個(gè)數(shù)小于2m.與已知矛盾.綜上，數(shù)列{an}只可能為2，1，4，3，?,2m?3，2m，2m?1，….經(jīng)驗(yàn)證，數(shù)列2，1，4，3，?,2m?3，2m，2m?1，…符合條件.10．【2019年高考天津卷理數(shù)】設(shè){an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列．已知k+1,其中ke**.（ii）求aici(ne**).n-1（ii）aicin-1-n-12(ne**)【解析】(Ⅰ)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，等比數(shù)列{bn}的公比為q．依題意得〈解nn.2nnn-1n-1.n-1.in2ic2i-1)-n1-42n-1+5-n1-42n-1+5n-1-n-12(n=**).1.（2018年北京卷）“十二平均律”是通用的音律體系，明代朱載堉最早用數(shù)學(xué)方法計(jì)算出半音比例，為這個(gè)理論的發(fā)展做出了重要貢獻(xiàn)．十二平均律將一個(gè)純八度音程分成十二份，依次得到十三個(gè)單音，從第二個(gè)單音起，每一個(gè)單音的頻率與它的前一個(gè)單音的頻率的比都等于．若第一個(gè)單音的頻率為f，則第八個(gè)單音的頻率為A.B.C.D.【答案】D【解析】因?yàn)槊恳粋€(gè)單音與前一個(gè)單音頻率比為，所以，又，則"7，故選D。2.（2018年浙江卷）已知成等比數(shù)列，且．若，則A.B.C.D.【答案】Bfo-得，所以當(dāng)x>1時(shí)，f2時(shí)，fo2，因此f(x)≥f()=0,x≥lnx+1，若公比q>0，則，不合題意；若公比q≤-1，則但，即，不合題意；因此-1<q<1)，>03.（2018年全國(guó)I卷理數(shù)）設(shè)為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若3S3=S2+S4則A.-12B.-10C.10D.12【答案】B【解析】設(shè)該等差數(shù)列的公差為，根據(jù)題中的條件可得，整理解得d=-3，所以,=1+d=2-12=-10，故選B.4.（2018年北京卷）設(shè)是等差數(shù)列，且a1=3，a2+a5=36，則的通項(xiàng)公式為.【答案】【解析】5.（2018年江蘇卷）已知集合A={xx=2n-1,neN*}，B={xx=2",neN*}．將AUB的所有元素從小到大依次排列構(gòu)成一個(gè)數(shù)列．記sn為數(shù)列的前n項(xiàng)和，則使得n>12an+1成立的n的最小值為.________【答案】27【解析】設(shè)*由n>12an+1得所以只需研究是否有滿足條件的解，此時(shí)=[×1-1)+×2-1)+…+(2m-1)]+[2+22+…+，n+1=2m+1，m為等差數(shù)列項(xiàng)數(shù)，且m>16.由m2+23+1-2>12m+1)m2-24m+50>0m≥22m=m+5≥27得滿足條件的n最小值為27.6.（2018年全國(guó)I卷理數(shù)）記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，若S=2+1，則.【答案】-63【解析】根據(jù)n=+1，可得，兩式相減得，即，當(dāng)n=1時(shí)，S1=1=24+1，解得，所以數(shù)列是以-1為首項(xiàng)，以2為公布的等比數(shù)列，所以，故答案是-63.7.（2018年浙江卷）已知等比數(shù)列{an}的公比q>1，且a3+a4+a5=28，a4+2是a3，a5的等差中項(xiàng)．?dāng)?shù)列n}滿足b1=1，數(shù)列{（bn+1?bn）an}的前n項(xiàng)和為2n2+n.(Ⅱ)求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式.【答案】(Ⅰ)q=2【解析】(Ⅰ)由是,a的等差中項(xiàng)得，所以，解得.由a3+a5=20得，因?yàn)閝>1，所以q=2.(Ⅱ)設(shè)n=h-1-b)，數(shù)列c}前n項(xiàng)和為sn.由(Ⅰ)可知，所以，.所以…，又b1=1，所以.1，（I）求和的通項(xiàng)公式；（II）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為T(mén)(neN*)，（i）求Tn；（ii）證明.【答案】(Ⅰ)，bn=n；(Ⅱ)（i）.（ii）證明見(jiàn)解析.【解析】（I）設(shè)等比數(shù)列的公比為q.由可得2--2=0.因?yàn)閝>0，可得q=2，故.設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由，可得b1+3d=4由，可得3b1+13d=16,從而b1=1,d=1,故bhn=n所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為，數(shù)列的通項(xiàng)公式為bhn=n（IIi）由（I有，（ii）因?yàn)椋?.（2018年江蘇卷）設(shè)是首項(xiàng)為，公差為d的等差數(shù)列，是首項(xiàng)為b1，公比為q的等比數(shù)列.（1）設(shè)1=0b1=1q=2，若對(duì)n=1,2,3,4均成立，求d的取值范圍；（2）若，證明：存在deR，使得對(duì)n=2,3…,m+1均成立，并求d的取值范圍（用b1mq表示）.【答案】（1）d的取值范圍為.（2）d的取值范圍為，證明見(jiàn)解析。即11，1d3，32d5，7≤3d≤9，得.因此，d的取值范圍為.（2）由條件知：.即當(dāng)n=2,3…,m+1時(shí)，d滿足.1""2，從而對(duì)n=2,3…,m+1均成立.因此，取d=0時(shí)，對(duì)n=2,3…,m+1均成立.下面討論數(shù)列的最大值和數(shù)列的最小值（n=2,3…,m+1）.①當(dāng)2≤n≤m時(shí)1時(shí)，有""2，從而.因此，當(dāng)2≤n≤m+1時(shí)，數(shù)列單調(diào)遞增，故數(shù)列的最大值為.②設(shè)f=-，當(dāng)x>0時(shí)所以f(x)單調(diào)遞減，從而<f（0）=1.當(dāng)2≤n≤m時(shí)因此，當(dāng)2≤n≤m+1時(shí)，數(shù)列單調(diào)遞減，故數(shù)列的最小值為.因此，d的取值范圍為.是排列的一個(gè)逆序，排列的所有逆序的總個(gè)數(shù)稱為其逆序數(shù)．例如：對(duì)1，2，3的一個(gè)排列231，只有兩個(gè)逆序(2，1)，(3，1)，則排列231的逆序數(shù)為2．記為全部排列的個(gè)數(shù).（1）求的值；（2）求的表達(dá)式(用n表示).（2）n≥5時(shí)，9-【解析】（1）記(abe)為排列abc的逆序數(shù)，對(duì)1，2，3的所有排列，有,所以.對(duì)1，2，3，4的排列，利用已有的1，2，3的排列，將數(shù)字4添加進(jìn)去，4在新排列中的位置只能是最后三個(gè)位置.因此，.（2）對(duì)一般的n（n≥4）的情形，逆序數(shù)為0的排列只有一個(gè)：12…n，所以.逆序數(shù)為1的排列只能是將排列12…n中的任意相鄰兩個(gè)數(shù)字調(diào)換位置得到的排列，所以)=n-1.為計(jì)算，當(dāng)1，2，?,n的排列及其逆序數(shù)確定后，將n+1添加進(jìn)原排列，n+1在新排列中的位置只能是最后三個(gè)位置.因此，.,因此，n≥5時(shí)，.11.（2018年全國(guó)Ⅱ卷理數(shù)）記sn為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知，S3=-15.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求，并求的最小值.【答案】（1）an=2n–92）Sn=n2–8n，最小值為–16.【解析】（1）設(shè){an}的公差為d，由題意得3a1+3d=–15．由a1=–7得d=2．所以{an}的通項(xiàng)公式為an=2n–9.（2）由（1）得Sn=n2–8n=（n–4）2–16．所以當(dāng)n=4時(shí)，Sn取得最小值，最小值為–16.12.（2018年全國(guó)Ⅲ卷理數(shù)）等比數(shù)列中，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）記為的前項(xiàng)和．若，求.（2）m=6【解析】（1）設(shè)的公比為，由題設(shè)得.由已知得，解得q=0（舍去q=-2或q=2.故或.（2）若，則．由得，此方程沒(méi)有正整數(shù)解.若，則．由得