第四章結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定計算

第四章結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定計算第1頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月

4-1兩類穩(wěn)定問題的概述4-2有限自由度體系的穩(wěn)定—靜力法和能量法4-3彈性壓桿的穩(wěn)定—靜力法4-4彈性壓桿的穩(wěn)定—能量法4-5剪力對臨界荷載的影響4-6

組合壓桿的穩(wěn)定本章主要內(nèi)容第2頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月強度驗算剛度驗算穩(wěn)定驗算結(jié)構(gòu)設(shè)計必不可少——某些時候是必須的薄壁結(jié)構(gòu)高強材料結(jié)構(gòu)（如鋼結(jié)構(gòu)）主要受壓的結(jié)構(gòu)等而穩(wěn)定驗算是在結(jié)構(gòu)產(chǎn)生大變形后的幾何形狀和位置上進行計算的，其方法已經(jīng)屬于幾何非線性范疇，疊加原理不再適用。強度驗算與剛度驗算是在結(jié)構(gòu)靜力平衡的狀態(tài)下、采用未變形的結(jié)構(gòu)的計算簡圖來分析的；§4-1兩類穩(wěn)定問題概述第3頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月根據(jù)結(jié)構(gòu)受任意微小外界干擾后能否恢復(fù)到原始平衡狀態(tài)，將平衡狀態(tài)分為如下三類：穩(wěn)定平衡狀態(tài)——若外界干擾消除后結(jié)構(gòu)能完全恢復(fù)到原始平衡位置，則原始平衡狀態(tài)是穩(wěn)定的。不穩(wěn)定平衡狀態(tài)——若外界干擾消除后結(jié)構(gòu)不能恢復(fù)到原始平衡位置，則原始平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的隨遇平衡狀態(tài)——經(jīng)抽象簡化，可能出現(xiàn)結(jié)構(gòu)受干擾后在任何位置保持平衡的現(xiàn)象.4-1-1結(jié)構(gòu)平衡狀態(tài)的分類第4頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月不穩(wěn)定平衡穩(wěn)定平衡微小擾動就使小球遠離原來的平衡位置微小擾動使小球離開原來的平衡位置，但擾動撤銷后小球可恢復(fù)到原來的平衡位置隨遇平衡狀態(tài)第5頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月定義：完善體系——受壓桿件均為理想受壓桿的結(jié)構(gòu)體系；

P

P非完善體系——如結(jié)構(gòu)中受壓桿有初曲率，或荷載有初偏心，則這類結(jié)構(gòu)體系稱非完善體系。

Pe第6頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月失穩(wěn)：結(jié)構(gòu)在荷載作用下其原始平衡狀態(tài)可能由穩(wěn)定平衡狀態(tài)過渡到不穩(wěn)定平衡狀態(tài)，稱原始平衡狀態(tài)喪失穩(wěn)定性、簡稱“失穩(wěn)”。結(jié)構(gòu)失穩(wěn)的分類：根據(jù)結(jié)構(gòu)失穩(wěn)前后變形性質(zhì)是否改變，可將失穩(wěn)問題分為：?分支點失穩(wěn)——失穩(wěn)前后平衡狀態(tài)所對應(yīng)的變形性質(zhì)發(fā)生改變。在分支點處，既可在初始位置處平衡，亦可在偏離后新的位置平衡，即平衡具有二重性。?極值點失穩(wěn)——失穩(wěn)前后變形性質(zhì)沒有發(fā)生變化，力－位移關(guān)系曲線存在極值點，達到極值點的荷載使變形迅速增長，導(dǎo)致結(jié)構(gòu)壓潰。4-1-2失穩(wěn)的概念及分類第7頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月P＜Pcr1）分支點失穩(wěn)柱單純受壓、無彎曲變形——失穩(wěn)前后平衡狀態(tài)的變形性質(zhì)發(fā)生變化P＞PcrP=Pcr

柱可在偏離原始平衡位置附近的任一位置上保持平衡。柱的壓彎變形繼續(xù)增大直至破壞。第8頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月穩(wěn)定平衡不穩(wěn)定平衡

小撓度理論

PΔPcr

大撓度理論分支點分支點失穩(wěn)的P-Δ曲線

以分支點為界，原始平衡狀態(tài)可分為穩(wěn)定平衡狀態(tài)和不穩(wěn)定平衡狀態(tài)。分支點上存在平衡形式的兩重性第9頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月2）極值點失穩(wěn)

PP<PcrP=Pcr

cr——失穩(wěn)前后變形性質(zhì)沒有發(fā)生變化P>Pcr

crPcr第10頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月PcrPΔOB(極值點)穩(wěn)定平衡不穩(wěn)定平衡

小撓度理論

大撓度理論極值點失穩(wěn)的P-Δ曲線

以極值點為界，原始平衡狀態(tài)可分為穩(wěn)定平衡狀態(tài)和不穩(wěn)定平衡狀態(tài)。極值點上不存在平衡形式的兩重性一般而言，非完善體系的失穩(wěn)形式是極值點失穩(wěn)。第11頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月4-1-3穩(wěn)定自由度P1個自由度2個自由度無限自由度穩(wěn)定自由度——體系產(chǎn)生彈性變形時，確定其變形狀態(tài)所需的獨立幾何參數(shù)的數(shù)目。PPEIy1y2第12頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月完善體系分支點失穩(wěn)分析有靜力法和能量法。靜力法是從分支點上具有平衡的二重性出發(fā)，對新的平衡狀態(tài)建立靜力平衡條件，從而求得臨界荷載。能量法是對新的平衡狀態(tài)建立以能量形式表示的平衡條件，依據(jù)臨界點系統(tǒng)總勢能為駐值，進而求得臨界荷載。穩(wěn)定計算的中心問題是確定臨界荷載?！?-2有限自由度體系的穩(wěn)定

——靜力法和能量法第13頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月4-2-1靜力法例1求失穩(wěn)時的臨界荷載。1抗轉(zhuǎn)彈簧(剛度系數(shù)k)APlB小撓度、小位移情況下：---穩(wěn)定方程(特征方程)---臨界荷載解：P第14頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月

大撓度理論C

小撓度理論Pθk/lP-θ曲線

ABO討論：1.小撓度理論計算結(jié)果：2.大撓度理論計算：臨界荷載與θ是一一對應(yīng)的第15頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月例2求失穩(wěn)時的臨界荷載。CPBAll解：P研究體系整體：研究A’B’

：PA’B’HB’VB’整理得

：為使y1、y2

不同時為零，令：----穩(wěn)定方程第16頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月---臨界荷載---失穩(wěn)形式11.618CPBA失穩(wěn)形式第17頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月例3求失穩(wěn)時的臨界荷載。已知：k1=k,k2=3k。PP取B’C’為隔離體，解：由整體平衡

MA=0，得：y1、y2不能全為零，故：穩(wěn)定方程失穩(wěn)形態(tài)第18頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月靜力法求臨界荷載分析步驟：1、設(shè)定一種滿足約束條件的可能的失穩(wěn)變形狀態(tài)（新的平衡狀態(tài)）；2、由分支點上平衡的兩重性出發(fā)，對新的平衡狀態(tài)建立靜力平衡方程，由位移為非零解得“特征方程”，也稱“穩(wěn)定方程”；3、解特征方程，從而求得臨界荷載。第19頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月4-2-2能量法剛性小球的穩(wěn)定能量準(zhǔn)則能量取極大值不穩(wěn)定平衡狀態(tài)隨遇平衡狀態(tài)能量取駐值穩(wěn)定平衡狀態(tài)能量取極小值第20頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月與材料力學(xué)壓桿穩(wěn)定問題一樣，結(jié)構(gòu)分支點失穩(wěn)問題臨界狀態(tài)的能量特征為：體系總勢能EP取駐值。定義：體系應(yīng)變能U加外力勢能UP稱為“體系總勢能”，記作EP

。彈性結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定能量準(zhǔn)則定義：從變形位置退回?zé)o變形位置過程中，外荷載所做的功，稱為“外力勢能”，記作UP。第21頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月解：體系應(yīng)變能：例4能量法求結(jié)構(gòu)失穩(wěn)時的臨界荷載。lkP外力勢能：yPθ體系總勢能：由勢能駐值原理：故臨界荷載：能量形式的平衡方程第22頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月CPBAll例5能量法求例14.2的臨界荷載。解：體系應(yīng)變能：Pθ1θ2外力勢能：體系總勢能：第23頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月由勢能駐值原理：能量形式的平衡方程為使y1、y2

不同時為零，令：----穩(wěn)定方程---臨界荷載第24頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月1.設(shè)定一種滿足約束條件的可能的失穩(wěn)變形狀態(tài)（新的平衡狀態(tài)）；2.計算體系本身的應(yīng)變能U、荷載勢能UP，從而獲得體系的總勢能EP=U+UP；3.由總勢能的駐值條件建立以能量形式表示的平衡方程；4.由位移為非零解得“特征方程”，也稱“穩(wěn)定方程”；5.解特征方程，從而求得臨界荷載。能量法求臨界荷載分析步驟：第25頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月解題思路：先對變形狀態(tài)建立平衡方程，然后根據(jù)平衡形式的二重性建立特征方程，再由特征方程求出臨界荷載。不同的是，平衡方程是代數(shù)方程（有限自由度體系）微分方程（無限自由度體系）§4-3彈性壓桿的穩(wěn)定—靜力法第26頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月4-3-1等截面壓桿HA例1求體系的臨界荷載Pcr。xy

Plyx解：y

PHA規(guī)定：M正向與桿件纖維凸起方向一致。撓曲線近似微分方程：曲率的正號規(guī)定：若曲率中心位于所設(shè)定的y軸正向的一側(cè)，則為正；反之為負(fù)。撓曲線近似微分方程中的“

”規(guī)定：若所設(shè)定的彎矩正向引起正值的曲率，則公式中取“+”；反之取“－”。第27頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月HAxy

Plyxy

PHA通解為：由邊界條件：得：穩(wěn)定方程為使B、HA不全為零(即y(x)不恒為零)：第28頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月穩(wěn)定方程經(jīng)試算：第29頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月例2求體系的臨界荷載Pcr。解：轉(zhuǎn)化為有彈性支座的單根壓桿。l

PlH

PAθθ抗轉(zhuǎn)彈簧剛度系數(shù)：在新的平衡狀態(tài)，抗轉(zhuǎn)彈簧的約束反力矩：第30頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月?lián)锨€近似微分方程：

Pyxyyx

PAθθ通解為：邊界條件：得：穩(wěn)定方程第31頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月穩(wěn)定方程將代回方程，由試算法可得，再由，可得臨界荷載。

PA討論

P

P第32頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月例3求圖示剛架的臨界荷載（對稱體系的失穩(wěn)問題）。

P

P

P

P

P

P解：正對稱失穩(wěn)反對稱失穩(wěn)正對稱失穩(wěn)時：

P

P第33頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月正對稱失穩(wěn)時反對稱失穩(wěn)時：

P

P故原結(jié)構(gòu)的臨界荷載為：第34頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月4-3-2變截面壓桿xyl1l2lI1I2

P

Pcry1y2兩段的彈性曲線微分方程：解方程第35頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月由系數(shù)行列式等于零得穩(wěn)定方程：第36頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月xyl1l2lI1I2

P1

P2例4階形桿的穩(wěn)定（變截面處還作用有壓力P2）。解：彈性曲線微分方程：解方程：2Dy1y2

P1

P2第37頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月展開后，得到特征方程：這個方程只有當(dāng)I2/I1、l2/l1、P2/P1的比值都給定時才能求解。l1=2l/3l2=l/3I11.5I1

P1

5P1第38頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月§4-4彈性壓桿的穩(wěn)定—能量法解題思路：1）對于滿足位移邊界條件的任意可能位移求出總勢能Π；2）由時能的駐值條件δΠ=0，得到包含待定參數(shù)的齊次方程組；3）令系數(shù)行列式等于零，得到特征方程。第39頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月λ

Pl設(shè)變形曲線為：dxdx先求彎曲應(yīng)變能U:微段兩端點豎向位移的差值dλ:第40頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月勢能駐值條件，即令：展開是關(guān)于P的n次方程,其最小根即臨界荷載。上述方法叫里茲法，所得臨界荷載的近似值是精確解的上限。第41頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月例1能量法求臨界荷載.解：位移邊界條件為：當(dāng)x=0和x=l時，y=0l

PEIxy1）設(shè)失穩(wěn)曲線為拋物線.123166423lEIllEI==01Pacr?10)31664(13alPlEI=-38)(212102lPadxyPUlP-=ò￠-=,32)(2132102lEIadxyEIUl=ò￠￠=:,01a=??得由P誤差為22%第42頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月2）設(shè)失穩(wěn)曲線如右圖變形形式.102lEIPcr=960)(21225202IElPQdxyPUlP-=ò￠-=,96)(213202EIlQdxyEIUl=ò￠￠=:0=求得由PQ誤差為1.3%如采用均布荷載下?lián)锨€計算，精度還可以更高第43頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月3）設(shè)失穩(wěn)曲線為正弦線)(4)(212202llPadxyPUlPp-=ò￠-=,)(4)(214202lEIladxyEIUlp=ò￠￠=.:,022lEIPcrpdp==得由正弦曲線是真實的失穩(wěn)變形曲線，所得結(jié)果是精確解。第44頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月例2求均勻豎向荷載作用下的臨界荷載.解:當(dāng)x=0時，y=0：x=l時，1）設(shè)失穩(wěn)曲線為正弦線,)(64)(214202lEIladxyEIUlp=ò￠￠=lyxqEIxdx微段dx傾斜使該段以上荷載向下移動，這部分荷載作功為：第45頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月2）設(shè)失穩(wěn)曲線為(b)中Q引起的撓曲線.微段dx傾斜使該段以上荷載向下移動，這部分荷載作功為：xdxlyxqEI（a）yxQ（b）第46頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月例：圖示變截面桿的求Pcr解:當(dāng)x=0時，

y=0：x=l時，y=0設(shè)變形曲線為三角級數(shù)：⑴先取第一項作為近似的變形曲線xyl

P2I2I2I2第47頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月⑵再取前兩項作為近似的變形曲線系數(shù)行列式等于零得到特征方程：兩次計算結(jié)果相對差值不到1%，由此可知所得近似結(jié)果的精確程度。第48頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月§4-5剪力對臨界荷載的影響考慮剪力時壓桿的撓度為：y=yM+yQ

M引起撓度Q引起撓度⑴考慮彎矩和剪力影響的撓曲線微分方程：dxhl

PEIABQQdyQg考慮彎矩和剪力影響的撓曲線微分方程：彎矩引起的曲率：剪力引起的曲率計算：第49頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月β⑵兩端鉸支的等截面壓桿的臨界荷載：l

PEIABxyy22lEIPep=即歐拉臨界荷載。①修正系數(shù)β<1，故考慮剪力影響時，臨界荷載降低。三號鋼：②在實體桿中，剪力對臨界荷載影響很小，通常忽略不計。第50頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月§4-6組合壓桿的穩(wěn)定

P

Pdb大型結(jié)構(gòu)的壓桿常采用組合壓桿的形式。在不增大截面尺寸的前提下，使兩個型鋼離開一定的距離，獲得較大的I，增強穩(wěn)定性。

為了保證他們能正常工作，在型鋼的翼緣上用一些扣件將它們連起來?？奂Y條式：斜桿、橫桿與柱肢鉸接。綴板式：橫桿與柱肢剛接。第51頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月

組合壓桿的臨界荷載不僅與肢桿的橫截面面積有關(guān)，還與扣件的橫截面面積、排列形式和位置有關(guān)。組合壓桿的臨界荷載比截面和柔度相同的實體壓桿的臨界荷載要小，因為組合壓桿中的剪力