2024年初中升學(xué)考試模擬測試湖南省衡陽市中考數(shù)學(xué)試卷

第1頁（共1頁）2023年湖南省衡陽市中考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題共12個小題，每小題3分，滿分36分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）1．（3分）中國是最早采用正負(fù)數(shù)表示相反意義的量、并進(jìn)行負(fù)數(shù)運算的國家，若收入500元記作+500元，則支出237元記作（）A．+237元 B．﹣237元 C．0元 D．﹣474元2．（3分）下列長度的各組線段能組成一個三角形的是（）A．1cm，2cm，3cm B．3cm，8cm，5cm C．4cm，5cm，10cm D．4cm，5cm，6cm3．（2023·衡陽）下面四種化學(xué)儀器的示意圖是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．4．（3分）作為中國非物質(zhì)文化遺產(chǎn)之一的紫砂壺，成型工藝特別，造型式樣豐富，陶器色澤古樸典雅，從一個方面鮮明地反映了中華民族造型審美意識．如圖是一把做工精湛的紫砂壺“景舟石瓢”，其左視圖的大致形狀是（）A． B． C． D．5．（3分）計算（x3）2的結(jié)果正確的是（）A．x6 B．x6 C．x5 D．x96．（3分）據(jù)共青團(tuán)中央2023年5月3日發(fā)布的中國共青團(tuán)團(tuán)內(nèi)統(tǒng)計公報，截至2022年12月底，全國共有共青團(tuán)員7358萬．?dāng)?shù)據(jù)7358萬用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．7.358×107 B．7.358×103 C．7.358×104 D．7.358×1067．（3分）對于二次根式的乘法運算，一般地，有?＝．該運算法則成立的條件是（）A．a(chǎn)＞0，b＞0 B．a(chǎn)＜0，b＜0 C．a(chǎn)≤0，b≤0 D．a(chǎn)≥0，b≥08．（3分）如圖，在四邊形ABCD中，已知AD∥BC．添加下列條件不能判定四邊形ABCD是平行四邊形的是（）A．AD＝BC B．AB∥DC C．AB＝DC D．∠A＝∠C9．（3分）《孫子算經(jīng)》中有“雞兔同籠”問題：“今有雞免同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雞免各幾何．”設(shè)有x只雞，y只兔，依題意，可列方程組為（）A． B． C． D．10．（3分）某射擊運動隊進(jìn)行了五次射擊測試，甲、乙兩名選手的測試成績?nèi)缦卤恚?、乙兩名選手成績的方差分別記為S甲2和S乙2．則S甲2和S乙2的大小關(guān)系是（）測試次數(shù)12345甲510938乙86867A．S甲2＞S乙2 B．S甲2＜S乙2 C．S甲2＝S乙2 D．無法確定11．（3分）我們可以用以下推理來證明“在一個三角形中，至少有一個內(nèi)角小于或等于60°”．假設(shè)三角形沒有一個內(nèi)角小于或等于60°，即三個內(nèi)角都大于60°．”，則三角形的三個內(nèi)角的和大于180°．這與“三角形的內(nèi)角和等于180°”這個定理矛盾，所以在一個三角形中，至少有一個內(nèi)角小于或等于60°．上述推理使用的證明方法是（）A．反證法 B．比較法 C．綜合法 D．分析法12．（3分）已知m＞n＞0，若關(guān)于x的方程x2+2x﹣3﹣m＝0的解為x1，x2（x1＜x2），關(guān)于x的方程x2+2x﹣3﹣n＝0的解為x3，x4（x3＜x4）．則下列結(jié)論正確的是（）A．x3＜x1＜x2＜x4 B．x1＜x3＜x4＜x2 C．x1＜x2＜x3＜x4 D．x3＜xx＜x1＜x2二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，滿分18分．）13．（3分）在平面直角坐標(biāo)系中，點P（﹣3，﹣2）所在象限是第象限．14．（3分）一個布袋中放著3個紅球和9個黑球，這兩種球除了顏色以外沒有任何其他區(qū)別．布袋中的球已經(jīng)攪勻，從布袋中任取1個球，取出紅球的概率是．15．（3分）已知x＝5，則代數(shù)式﹣的值為．16．（3分）已知關(guān)于x的方程x2+mx﹣20＝0的一個根是﹣4，則它的另一個根是．17．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6．以點C為圓心，r為半徑作圓，當(dāng)所作的圓與斜邊AB所在的直線相切時，r的值為．18．（3分）如圖，用若干個全等的正五邊形排成圓環(huán)狀，圖中所示的是其中3個正五邊形的位置．要完成這一圓環(huán)排列，共需要正五邊形的個數(shù)是．三、解答題（本大題共8個小題，19～20題每題6分，21～24題每題8分，25題10分，26題12分，滿分66分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或驗算步驟．）19．（6分）計算：|﹣3|++（﹣2）×1．20．（6分）解不等式組：．21．（8分）2023年3月27日是第28個全國中小學(xué)生安全教育日，為提高學(xué)生安全防范意識和自我防護(hù)能力，某學(xué)校舉行了校園安全知識競賽活動．現(xiàn)從八、九年級中各隨機(jī)抽取15名學(xué)生的競賽成績（百分制）進(jìn)行整理、描述和分析（成績得分用x表示，80分及以上為優(yōu)秀，共分成四組，A：60≤x＜70；B：70≤x＜80；C：80≤x＜90；D：90≤x≤100），并給出下面部分信息：八年級抽取的學(xué)生競賽成績在C組中的數(shù)據(jù)為：84，84，88九年級抽取的學(xué)生競賽成績?yōu)椋?8，77，75，100，80，100，82，86，95，91，100，86，84，94，87．八、九年級抽取的學(xué)生競賽成績統(tǒng)計表年級平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)優(yōu)秀率八87a9860%九8786bc根據(jù)以上信息，解答下列問題：（1）填空：a＝，b＝，c＝；（2）該校八、九年級共500人參加了此次競賽活動，請你估計該校八、九年級參加此次競賽活動成績達(dá)到90分及以上的學(xué)生人數(shù)．22．（8分）如圖，正比例函數(shù)y＝x的圖象與反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象相交于點A．（1）求點A的坐標(biāo)．（2）分別以點O、A為圓心，大于OA一半的長為半徑作圓弧，兩弧相交于點B和點C，作直線BC，交x軸于點D．求線段OD的長．23．（8分）隨著科技的發(fā)展，無人機(jī)已廣泛應(yīng)用于生產(chǎn)生活，如代替人們在高空測量距離和高度，圓圓要測量教學(xué)樓AB的高度，借助無人機(jī)設(shè)計了如下測量方案：如圖，圓圓在離教學(xué)樓底部24米的C處，遙控?zé)o人機(jī)旋停在點C的正上方的點D處，測得教學(xué)樓AB的頂部B處的俯角為30°，CD長為49.6米．已知目高CE為1.6米．（1）求教學(xué)樓AB的高度．（2）若無人機(jī)保持現(xiàn)有高度沿平行于CA的方向，以4米/秒的速度繼續(xù)向前勻速飛行．求經(jīng)過多少秒時，無人機(jī)剛好離開圓圓的視線EB．24．（8分）如圖，AB是⊙O的直徑，AC是一條弦，D是弧AC的中點，DE⊥AB于點E，交AC于點F，交⊙O于點H，DB交AC于點G．（1）求證：AF＝DF．（2）若AF＝，sin∠ABD＝，求⊙O的半徑．25．（10分）[問題探究]（1）如圖1，在正方形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O．在線段AO上任取一點P（端點除外），連接PD、PB．①求證：PD＝PB；②將線段DP繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)，使點D落在BA的延長線上的點Q處．當(dāng)點P在線段AO上的位置發(fā)生變化時，∠DPQ的大小是否發(fā)生變化？請說明理由；③探究AQ與OP的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．[遷移探究]（2）如圖2，將正方形ABCD換成菱形ABCD，且∠ABC＝60°，其他條件不變．試探究AQ與CP的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．26．（12分）如圖，已知拋物線y＝ax2﹣2ax+3與x軸交于點A（﹣1，0）和點B，與y軸交于點C，連接AC，過B、C兩點作直線．（1）求a的值．（2）將直線BC向下平移m（m＞0）個單位長度，交拋物線于B′、C′兩點．在直線B′C′上方的拋物線上是否存在定點D，無論m取何值時，都是點D到直線B′C′的距離最大．若存在，請求出點D的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．（3）拋物線上是否存在點P，使∠PBC+∠ACO＝45°，若存在，請求出直線BP的解析式；若不存在，請說明理由．

2023年湖南省衡陽市中考數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本大題共12個小題，每小題3分，滿分36分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）1．（3分）中國是最早采用正負(fù)數(shù)表示相反意義的量、并進(jìn)行負(fù)數(shù)運算的國家，若收入500元記作+500元，則支出237元記作（）A．+237元 B．﹣237元 C．0元 D．﹣474元【分析】根據(jù)正數(shù)和負(fù)數(shù)表示相反意義的量，收入記為正，可得支出表示方法．【解答】解：收入500元記作+500元，則支出237元應(yīng)記作﹣237元，故選：B．【點評】本題考查了正數(shù)和負(fù)數(shù)，相反意義的量用正數(shù)和負(fù)數(shù)表示．2．（3分）下列長度的各組線段能組成一個三角形的是（）A．1cm，2cm，3cm B．3cm，8cm，5cm C．4cm，5cm，10cm D．4cm，5cm，6cm【分析】根據(jù)兩邊之和大于第三邊判斷即可．【解答】解：A、∵1+2＝3，∴長度為1cm，2cm，3cm的三條線段不能組成三角形，本選項不符合題意；B、∵3+5＝8，∴長度為3cm，8cm，5cm的三條線段不能組成三角形，本選項不符合題意；C、∵4+5＜10，∴長度為4cm，5cm，10cm的三條線段不能組成三角形，本選項不符合題意；D、∵4+5＞6，∴長度為4cm，5cm，6cm的三條線段能組成三角形，本選項符合題意；故選：D．【點評】本題考查的是三角形的三邊關(guān)系，熟記三角形兩邊之和大于第三邊是解題的關(guān)鍵．3．（2023·衡陽）下面四種化學(xué)儀器的示意圖是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸進(jìn)行分析即可．【解答】解：A、B，D選項中的圖形都不能找到一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對稱圖形；C選項中的圖形能找到一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對稱圖形；故選：C．【點評】本題考查了軸對稱圖形的概念，軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．4．（2023·衡陽）作為中國非物質(zhì)文化遺產(chǎn)之一的紫砂壺，成型工藝特別，造型式樣豐富，陶器色澤古樸典雅，從一個方面鮮明地反映了中華民族造型審美意識．如圖是一把做工精湛的紫砂壺“景舟石瓢”，其左視圖的大致形狀是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)從左邊看得到的圖形是左視圖，可得答案．【解答】解：從左邊看，紫砂壺的壺嘴在正中間，只有選項B符合題意．故選：B．【點評】本題考查了簡單組合體的三視圖，從左邊看得到的圖形是左視圖．5．（3分）計算（x3）2的結(jié)果正確的是（）A．x6 B．x6 C．x5 D．x9【分析】根據(jù)積的乘方和冪的乘方計算方法進(jìn)行計算即可．【解答】解：原式＝＝×x3×2＝x6．故選：B．【點評】本題主要考查積的乘方和冪的乘方的計算方法，是必考的知識點，一定要熟練掌握，并能靈活運用．6．（3分）據(jù)共青團(tuán)中央2023年5月3日發(fā)布的中國共青團(tuán)團(tuán)內(nèi)統(tǒng)計公報，截至2022年12月底，全國共有共青團(tuán)員7358萬．?dāng)?shù)據(jù)7358萬用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．7.358×107 B．7.358×103 C．7.358×104 D．7.358×106【分析】利用科學(xué)記數(shù)法的法則解答即可．【解答】解：7358萬＝73580000＝7.358×107，故選：A．【點評】本題主要考查了科學(xué)記數(shù)法，表示較大的數(shù)，熟練掌握科學(xué)記數(shù)法的法則是解題的關(guān)鍵．7．（3分）對于二次根式的乘法運算，一般地，有?＝．該運算法則成立的條件是（）A．a(chǎn)＞0，b＞0 B．a(chǎn)＜0，b＜0 C．a(chǎn)≤0，b≤0 D．a(chǎn)≥0，b≥0【分析】根據(jù)二次根式的乘法法則，即可解答．【解答】解：對于二次根式的乘法運算，一般地，有?＝．該運算法則成立的條件是a≥0，b≥0，故選：D．【點評】本題考查了二次根式的乘除法，熟練掌握二次根式的乘法法則是解題的關(guān)鍵．8．（3分）如圖，在四邊形ABCD中，已知AD∥BC．添加下列條件不能判定四邊形ABCD是平行四邊形的是（）A．AD＝BC B．AB∥DC C．AB＝DC D．∠A＝∠C【分析】由平行四邊形的判定方法，即可判斷．【解答】解：A、因為AD∥BC，AD＝BC，因此由一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，能判定四邊形ABCD是平行四邊形，故A不符合題意；B、因為AD∥BC，AB∥DC，因此由兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形，能判定四邊形ABCD是平行四邊形，故B不符合題意；C、AB＝DC，但AB和CD不一定平行，因此不能判定四邊形ABCD是平行四邊形，故C符合題意；D、因為AD∥BC得到∠ADB＝∠CBD，又∠A＝∠C，BD＝DB，因此△ABD≌△CDB（AAS），得到AD＝CB，能判定四邊形ABCD是平行四邊形，故D不符合題意；故選：C．【點評】本題考查平行四邊形的判定，關(guān)鍵是掌握平行四邊形的判定方法．9．（3分）《孫子算經(jīng)》中有“雞兔同籠”問題：“今有雞免同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雞免各幾何．”設(shè)有x只雞，y只兔，依題意，可列方程組為（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)今有雞免同籠，上有三十五頭，可以得到x+y＝35，再根據(jù)下有九十四足，可以得到2x+4y＝94，然后即可得到相應(yīng)的方程組．【解答】解：由題意可得，，故選：C．【點評】本題考查由實際問題抽象出二元一次方程組，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，列出相應(yīng)的方程組．10．（2023·衡陽）某射擊運動隊進(jìn)行了五次射擊測試，甲、乙兩名選手的測試成績?nèi)缦卤恚?、乙兩名選手成績的方差分別記為S甲2和S乙2．則S甲2和S乙2的大小關(guān)系是（）測試次數(shù)12345甲510938乙86867A．S甲2＞S乙2 B．S甲2＜S乙2 C．S甲2＝S乙2 D．無法確定【分析】直接根據(jù)圖表數(shù)據(jù)的波動大小進(jìn)行判斷即可．【解答】解：圖表數(shù)據(jù)可知，甲數(shù)據(jù)在3至10之間波動，偏離平均數(shù)數(shù)據(jù)較大；乙數(shù)據(jù)在6至8之間波動，偏離平均數(shù)數(shù)據(jù)較??；即甲的波動性較大，即方差大，∴S甲2＞S乙2，故選：A．【點評】本題考查方差的意義．方差是用來衡量一組數(shù)據(jù)波動大小的量，方差越大，表明這組數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)越大，即波動越大，數(shù)據(jù)越不穩(wěn)定；反之，方差越小，表明這組數(shù)據(jù)分布比較集中，各數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)越小，即波動越小，數(shù)據(jù)越穩(wěn)定．11．（3分）我們可以用以下推理來證明“在一個三角形中，至少有一個內(nèi)角小于或等于60°”．假設(shè)三角形沒有一個內(nèi)角小于或等于60°，即三個內(nèi)角都大于60°．”，則三角形的三個內(nèi)角的和大于180°．這與“三角形的內(nèi)角和等于180°”這個定理矛盾，所以在一個三角形中，至少有一個內(nèi)角小于或等于60°．上述推理使用的證明方法是（）A．反證法 B．比較法 C．綜合法 D．分析法【分析】根據(jù)反證法證明命題的方法判斷．【解答】解：證明“在一個三角形中，至少有一個內(nèi)角小于或等于60°”．假設(shè)三角形沒有一個內(nèi)角小于或等于60°，即三個內(nèi)角都大于60°．”，則三角形的三個內(nèi)角的和大于180°．這與“三角形的內(nèi)角和等于180°”這個定理矛盾，所以在一個三角形中，至少有一個內(nèi)角小于或等于60°，這種證明方法是反證法，故選：A．【點評】本題考查的是反證法，反證法的一般步驟是：①假設(shè)命題的結(jié)論不成立；②從這個假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過推理論證，得出矛盾；③由矛盾判定假設(shè)不正確，從而肯定原命題的結(jié)論正確．12．（3分）已知m＞n＞0，若關(guān)于x的方程x2+2x﹣3﹣m＝0的解為x1，x2（x1＜x2），關(guān)于x的方程x2+2x﹣3﹣n＝0的解為x3，x4（x3＜x4）．則下列結(jié)論正確的是（）A．x3＜x1＜x2＜x4 B．x1＜x3＜x4＜x2 C．x1＜x2＜x3＜x4 D．x3＜xx＜x1＜x2【分析】畫出拋物線y＝x2+2x﹣3，直線y＝m，直線y＝n，根據(jù)一元二次方程與二次函數(shù)的關(guān)系的關(guān)系，觀察圖象可得答案．【解答】解：關(guān)于x的方程x2+2x﹣3﹣m＝0的解為拋物線y＝x2+2x﹣3與直線y＝m的交點的橫坐標(biāo)，關(guān)于x的方程x2+2x﹣3﹣n＝0的解為拋物線y＝x2+2x﹣3與直線y＝n的交點的橫坐標(biāo)，如圖：由圖可知，x1＜x3＜x4＜x2，故選：B．【點評】本題考查一元二次方程與二次函數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是畫出圖象，數(shù)形結(jié)合解決問題．二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，滿分18分．）13．（3分）在平面直角坐標(biāo)系中，點P（﹣3，﹣2）所在象限是第三象限．【分析】根據(jù)第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣），可得答案．【解答】解：點P（﹣3，﹣2）在第三象限，故答案為：三．【點評】此題主要考查了點的坐標(biāo)，關(guān)鍵是掌握四個象限內(nèi)點的坐標(biāo)符號．14．（2023·衡陽）一個布袋中放著3個紅球和9個黑球，這兩種球除了顏色以外沒有任何其他區(qū)別．布袋中的球已經(jīng)攪勻，從布袋中任取1個球，取出紅球的概率是．【分析】根據(jù)一個布袋中放著3個紅球和9個黑球，可以計算出從布袋中任取1個球，取出紅球的概率．【解答】解：∵一個布袋中放著3個紅球和9個黑球，∴從布袋中任取1個球，取出紅球的概率是＝，故答案為：．【點評】本題考查概率公式，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，求出相應(yīng)的概率．15．（3分）已知x＝5，則代數(shù)式﹣的值為．【分析】根據(jù)分式的減法法則把原式化簡，把x的值代入計算即可．【解答】解：原式＝﹣＝＝＝，當(dāng)x＝5時，原式＝＝，故答案為：．【點評】本題考查的是分式的化簡求值，掌握分式的減法法則是解題的關(guān)鍵．16．（3分）已知關(guān)于x的方程x2+mx﹣20＝0的一個根是﹣4，則它的另一個根是5．【分析】設(shè)方程的另一個解為t，則利用根與系數(shù)的關(guān)系得﹣4t＝﹣20，然后解一次方程即可．【解答】解：設(shè)方程的另一個解為t，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得﹣4t＝﹣20，解得t＝5，即方程的另一個根為5．故答案為：5．【點評】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根，則x1+x2＝﹣，x1x2＝．17．（2023·衡陽）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6．以點C為圓心，r為半徑作圓，當(dāng)所作的圓與斜邊AB所在的直線相切時，r的值為．【分析】設(shè)⊙C與AB所在的直線相切，切點為點D，連接CD，根據(jù)切線的性質(zhì)得AB⊥CD，再由勾股定理求得AB＝＝10，則AB?CD＝AC?BC＝S△AOB，所以×10CD＝×8×6，則r＝CD＝，于是得到問題的答案．【解答】解：設(shè)⊙C與AB所在的直線相切，切點為點D，連接CD，∵CD是⊙C的半徑，AB與⊙C相切于點D，∴AB⊥CD，∵∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，∴AB＝＝＝10，∵AB?CD＝AC?BC＝S△AOB，∴×10CD＝×8×6，解得CD＝，∴r＝CD＝，故答案為：．【點評】此題重點考查切線的性質(zhì)、勾股定理、根據(jù)面積等式求線段的長度等知識與方法，正確地作出所需要的輔助線是解題的關(guān)鍵．18．（2023·衡陽）如圖，用若干個全等的正五邊形排成圓環(huán)狀，圖中所示的是其中3個正五邊形的位置．要完成這一圓環(huán)排列，共需要正五邊形的個數(shù)是10．【分析】先求出多邊形的每一個內(nèi)角為108°，可得到∠O＝36°，即可求解．【解答】解：∵多邊形是正五邊形，∴正五邊形的每一個內(nèi)角為：×180°×（5﹣2）＝108°，∴∠O＝180°﹣（180°﹣108°）×2＝36°，∴正五邊形的個數(shù)是360°÷36°＝10．故答案為：10．【點評】本題主要考查正多邊形與圓，多邊形內(nèi)角和問題，熟練掌握相關(guān)知識點是解題關(guān)鍵．三、解答題（本大題共8個小題，19～20題每題6分，21～24題每題8分，25題10分，26題12分，滿分66分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或驗算步驟．）19．（6分）計算：|﹣3|++（﹣2）×1．【分析】利用絕對值的意義，算術(shù)平方根的意義和有理數(shù)的乘法法則化簡運算即可．【解答】解：原式＝3+2+（﹣2）＝3+2﹣2＝3．【點評】本題主要考查了實數(shù)的運算，絕對值的意義，算術(shù)平方根的意義和有理數(shù)的乘法法則，熟練掌握上述法則與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．20．（6分）解不等式組：．【分析】按照解一元一次不等式組的步驟，進(jìn)行計算即可解答．【解答】解：，解不等式①得：x≤4，解不等式②得：x＞2，∴原不等式組的解集為：2＜x≤4．【點評】本題考查了解一元一次不等式組，熟練掌握解一元一次不等式組的步驟是解題的關(guān)鍵．21．（2023·衡陽）2023年3月27日是第28個全國中小學(xué)生安全教育日，為提高學(xué)生安全防范意識和自我防護(hù)能力，某學(xué)校舉行了校園安全知識競賽活動．現(xiàn)從八、九年級中各隨機(jī)抽取15名學(xué)生的競賽成績（百分制）進(jìn)行整理、描述和分析（成績得分用x表示，80分及以上為優(yōu)秀，共分成四組，A：60≤x＜70；B：70≤x＜80；C：80≤x＜90；D：90≤x≤100），并給出下面部分信息：八年級抽取的學(xué)生競賽成績在C組中的數(shù)據(jù)為：84，84，88九年級抽取的學(xué)生競賽成績?yōu)椋?8，77，75，100，80，100，82，86，95，91，100，86，84，94，87．八、九年級抽取的學(xué)生競賽成績統(tǒng)計表年級平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)優(yōu)秀率八87a9860%九8786bc根據(jù)以上信息，解答下列問題：（1）填空：a＝84，b＝100，c＝80%；（2）該校八、九年級共500人參加了此次競賽活動，請你估計該校八、九年級參加此次競賽活動成績達(dá)到90分及以上的學(xué)生人數(shù)．【分析】（1）根據(jù)中位數(shù)、眾數(shù)的意義，分別求出八年級的中位數(shù)，和九年級的眾數(shù)；（2）利用樣本估計總體即可．【解答】解：（1）八年級的競賽成績從小到大排列后，處在中間位置的一個數(shù)是84，因此中位數(shù)是84，即a＝84；九年級的競賽成績出現(xiàn)次數(shù)最多的是100，共出現(xiàn)3次，因此眾數(shù)是100，即b＝100；九年級的競賽成績中80分及以上的共有12人，因此優(yōu)秀率為×100%＝80%，即c＝80%；故答案為：84，100，80%；（2）500×＝200（人），答：估計該校八、九年級參加此次競賽活動成績達(dá)到90分及以上的學(xué)生人數(shù)約200人．【點評】本題考查了方差、平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)的意義和計算方法，掌握各個統(tǒng)計量的計算方法是正確計算的前提．22．（8分）如圖，正比例函數(shù)y＝x的圖象與反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象相交于點A．（1）求點A的坐標(biāo)．（2）分別以點O、A為圓心，大于OA一半的長為半徑作圓弧，兩弧相交于點B和點C，作直線BC，交x軸于點D．求線段OD的長．【分析】（1）將正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式聯(lián)立，組成方程組，解方程組即可求出點A的坐標(biāo)；（2）設(shè)點D的坐標(biāo)為（x，0）．根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出AD＝OD，依此列出方程（x﹣3）2+42＝x2，解方程即可．【解答】解：（1）解方程組（x＞0），得，∴點A的坐標(biāo)為（3，4）；（2）設(shè)點D的坐標(biāo)為（x，0）．由題意可知，BC是OA的垂直平分線，∴AD＝OD，∴（x﹣3）2+42＝x2，∴x＝，∴D（，0），OD＝．【點評】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題：求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點坐標(biāo)，把兩個函數(shù)關(guān)系式聯(lián)立成方程組求解，若方程組有解則兩者有交點，方程組無解，則兩者無交點．也考查了線段垂直平分線的性質(zhì)．23．（8分）隨著科技的發(fā)展，無人機(jī)已廣泛應(yīng)用于生產(chǎn)生活，如代替人們在高空測量距離和高度，圓圓要測量教學(xué)樓AB的高度，借助無人機(jī)設(shè)計了如下測量方案：如圖，圓圓在離教學(xué)樓底部24米的C處，遙控?zé)o人機(jī)旋停在點C的正上方的點D處，測得教學(xué)樓AB的頂部B處的俯角為30°，CD長為49.6米．已知目高CE為1.6米．（1）求教學(xué)樓AB的高度．（2）若無人機(jī)保持現(xiàn)有高度沿平行于CA的方向，以4米/秒的速度繼續(xù)向前勻速飛行．求經(jīng)過多少秒時，無人機(jī)剛好離開圓圓的視線EB．【分析】（1）過點B作BM⊥CD于點M，則∠DBM＝∠BDN＝30°，在Rt△BDM中，通過解直角三角形可得出BM的長度，再結(jié)合AB＝CM＝CD﹣DM，即可求出結(jié)論；（2）延長EB交DN于點G，則∠DGE＝∠MBE，在Rt△EMB中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出∠MBE＝30°，從而可得∠DEG＝60°，然后在Rt△EDG中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出DG的長，最后進(jìn)行計算即可解答．【解答】解：（1）過點B作BM⊥CD于點M，則∠DBM＝∠BDN＝30°，在Rt△BDM中，BM＝AC＝24米，∠DBM＝30°，∴DM＝BM?tan∠DBM＝24×＝24（米），∴AB＝CM＝CD﹣DM＝49.6﹣24＝25.6（米）．答：教學(xué)樓AB的高度為25.6米；（2）延長EB交DN于點G，則∠DGE＝∠MBE，在Rt△EMB中，BM＝AC＝24米，EM＝CM﹣CE＝24米，∴tan∠MBE＝＝＝，∴∠MBE＝30°＝∠DGE，∵∠EDG＝90°，∴∠DEG＝90°＝30°＝60°，在Rt△EDG中，ED＝CE﹣CE＝48米，∴DG＝ED?tan60°＝48（米），∴48÷4＝12（秒），∴經(jīng)過12秒時，無人機(jī)剛好離開了小明的視線．【點評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．24．（2023·衡陽）如圖，AB是⊙O的直徑，AC是一條弦，D是弧AC的中點，DE⊥AB于點E，交AC于點F，交⊙O于點H，DB交AC于點G．（1）求證：AF＝DF．（2）若AF＝，sin∠ABD＝，求⊙O的半徑．【分析】（1）由D是弧AC的中點，得出，再由垂徑定理得出，根據(jù)等弧所對圓周角相等得出∠ADH＝∠CAD，即可證明出結(jié)論．（2）證明出∠ADE＝∠B，得出tan∠ADE＝，設(shè)AE＝x，根據(jù)勾股定理求出x，再求出直徑即可．【解答】（1）證明：∵D是弧AC的中點，∴，∵AB⊥DH，且AB是⊙O的直徑，∴，∴，∴∠ADH＝∠CAD，∴AF＝DF．（2）解：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，∴∠DAB+∠B＝90°，∵∠DAE+∠ADE＝90°，∴∠ADE＝∠B，∴sin∠ADE＝，∴tan∠ADE＝，設(shè)AE＝x，則DE＝2x，∵DF＝AF＝，∴EF＝2x﹣，∵AE2+EF2＝AF2，∴x＝2，∴AD＝＝2，∴AB＝，∴AB＝10，∴⊙O的半徑為5．【點評】本題考查了圓的相關(guān)性質(zhì)的應(yīng)用，解直角三角形、勾股定理的計算是解題關(guān)鍵．25．（2023·衡陽）[問題探究]（1）如圖1，在正方形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O．在線段AO上任取一點P（端點除外），連接PD、PB．①求證：PD＝PB；②將線段DP繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)，使點D落在BA的延長線上的點Q處．當(dāng)點P在線段AO上的位置發(fā)生變化時，∠DPQ的大小是否發(fā)生變化？請說明理由；③探究AQ與OP的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．[遷移探究]（2）如圖2，將正方形ABCD換成菱形ABCD，且∠ABC＝60°，其他條件不變．試探究AQ與CP的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【分析】（1）①根據(jù)正方形的性質(zhì)證明△DCP≌△BCP，即可得到結(jié)論；②作PM⊥AB，PN⊥AD，垂足分別為點M、N，如圖，可得PM＝PN，證明四邊形AMPN是矩形，推出∠MPN＝90°，證明Rt△DPN≌Rt△QPM（HL），得出∠DPN＝∠QPM，進(jìn)而可得結(jié)論；③作PE⊥AO交AB于點E，作EF⊥OB于點F，如圖，證明AQ＝BE，BE＝EF即可得出結(jié)論；．（2）先證明PQ＝PB，作PE∥BC交AB于點E，EG∥AC交BC于點G，如圖，則四邊形PEGC是平行四邊形，可得EG＝PC，△APE，△BEG都是等邊三角形，進(jìn)一步即可證得結(jié)論．【解答】（1）①證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴CD＝CB，∠DCA＝∠BCA＝45°∵CP＝CP，∴△DCP≌△BCP，∴PD＝PB；②解：∠DPQ的大小不發(fā)生變化，∠DPQ＝90°；理由：作PM⊥AB，PN⊥AD，垂足分別為點M、N，如圖，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠DAC＝∠BAC＝45°，∠DAB＝90°，∴四邊形AMPN是矩形，PM＝PN，∴∠MPN＝90°∵PD＝PQ，PM＝PN，∴Rt△DPN≌Rt△QPM（HL），∴∠DPN＝∠QPM，∴∠QPN+∠QPM＝90°∴∠QPN+∠DPN＝90°，即∠DPQ＝90°；③解：AQ＝OP；理由：作PE⊥AO交AB于點E，作EF⊥OB于點F，如圖，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BAC＝45°，∠AOB＝90°，∴∠AEP＝45°，四邊形OPEF是矩形，∴∠PAE＝∠PEA＝45°，EF＝OP，∴PA＝PE，∵PD＝PB，PD＝PQ，∴PQ＝PB，作PM⊥AE于點M，則QM＝BM，AM＝EM，∴AQ＝BE，∵∠EFB＝90°，∠EBF＝45°，∴BE＝EF，∴AQ＝OP；（2）解：AQ＝CP；理由：四邊形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，∴AB＝BC，AC⊥BD，DO＝BO，∴△ABC是等邊三角形，AC垂直平分BD，∴∠BAC＝60°，PD＝PB，∵PD＝PQ，∴PQ＝PB，作PE∥BC交AB于點E，EG∥AC交BC于點G，如圖，則四邊形PEGC是平行四邊形，∠GEB＝∠BAC＝60°，∠AEP＝∠ABC＝60°，∴EG＝PC，△APE，△BEG都是等邊三角形，∴BE＝EG＝PC，作PM⊥AB于點M，則QM＝MB，AM＝EM，∴QA＝BE，∴AQ＝CP．【點評】本題是四邊形綜合題，主要考查了正方形、菱形的性質(zhì)，矩形、平行四邊形、等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)以及解直角三角形等知識，熟練掌握相關(guān)圖形的判定和性質(zhì)、正確添加輔助線是解題的關(guān)鍵．26．（12分）如圖，已知拋物線y＝ax2﹣2ax+3與x軸交于點A（﹣1，0）和點B，與y軸交于點C，連接AC，過B、C兩點作直線．（1）求a的值．（2）將直線BC向下平移m（m＞0）個單位長度，交拋物線于B′、C′兩點．在直線B′C′上方的拋物線上是否存在定點D，無論m取何值時，都是點D到直線B′C′的距離最大．若存在，請求出點D的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．（3）拋物線上是否存在點P，使∠PBC+∠ACO＝45°，若存在，請求出直線BP的解析式；若不存在，請說明理由．【分析】（1）將點A（﹣1，0）代入y＝ax2﹣2ax+3，即可求得a＝﹣1；（2）利用待定系數(shù)法可得直線BC的解析式為y＝﹣x+3，由平移可得直線B′C′的解析式為y