中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)培優(yōu)專練專題十 圓的綜合問題（原卷版）

專題十圓的綜合問題一、非動(dòng)態(tài)問題例題1如圖，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0為直徑的SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0，過點(diǎn)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0的延長線于點(diǎn)SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0．(1)求證：SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的切線．(2)求證：SKIPIF1<0．(3)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的半徑長．練習(xí)題1．在△ABC中，∠ACB＝90°，以BC為直徑的⊙O交AB于點(diǎn)D．(1)如圖①，以點(diǎn)B為圓心，BC為半徑作圓弧交AB于點(diǎn)M，連結(jié)CM，若∠ABC＝66°，求∠ACM；(2)如圖②，過點(diǎn)D作⊙O的切線DE交AC于點(diǎn)E，求證：AE＝EC；(3)如圖③，在（1）（2）的條件下，若tanA＝SKIPIF1<0，求S△ADE：S△ACM的值．2．如圖1，在Rt△ABC中，SKIPIF1<0，以BC為直徑的SKIPIF1<0交斜邊AB于點(diǎn)M，若H是AC的中點(diǎn)，連接MH．(1)求證：MH為SKIPIF1<0的切線．(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的半徑．(3)如圖2，在（2）的條件下分別過點(diǎn)A、B作SKIPIF1<0的切線，兩切線交于點(diǎn)D，AD與SKIPIF1<0相切于點(diǎn)N，過N點(diǎn)作SKIPIF1<0，垂足為E，且交SKIPIF1<0于Q點(diǎn)，求線段AO、CN、NQ的長度．3．如圖，點(diǎn)P在y軸的正半軸上，SKIPIF1<0交x軸于B、C兩點(diǎn)，以AC為直角邊作等腰Rt△ACD，BD分別交y軸和SKIPIF1<0于E、F兩點(diǎn)，連接AC、FC，AC與BD相交于點(diǎn)G．(1)求證：SKIPIF1<0；(2)求證：SKIPIF1<0；(3)SKIPIF1<0______°；(4)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則△GDC的面積為______．4．如圖，四邊形SKIPIF1<0內(nèi)接于半圓SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是半圓SKIPIF1<0的直徑，SKIPIF1<0是半圓SKIPIF1<0的切線，SKIPIF1<0交SKIPIF1<0的延長線于點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0相交于點(diǎn)SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0并延長交SKIPIF1<0的延長線于點(diǎn)SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0．(1)求證：SKIPIF1<0．(2)探究SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的數(shù)量關(guān)系．(3)求SKIPIF1<0的值．5．【概念提出】圓心到弦的距離叫做該弦的弦心距．【數(shù)學(xué)理解】如圖①，在SKIPIF1<0中，AB是弦，SKIPIF1<0，垂足為P，則OP的長是弦AB的弦心距．(1)若SKIPIF1<0的半徑為5，OP的長為3，則AB的長為______．(2)若SKIPIF1<0的半徑確定，下列關(guān)于AB的長隨著OP的長的變化而變化的結(jié)論：①AB的長隨著OP的長的增大而增大；②AB的長隨著OP的長的增大而減??；③AB的長與OP的長無關(guān)．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是______．(3)【問題解決】若弦心距等于該弦長的一半，則這條弦所對(duì)的圓心角的度數(shù)為______°．(4)已知如圖②給定的線段EF和SKIPIF1<0，點(diǎn)Q是SKIPIF1<0內(nèi)一定點(diǎn)．過點(diǎn)Q作弦AB，滿足SKIPIF1<0，請(qǐng)問這樣的弦可以作______條．6．已知SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的外接圓，SKIPIF1<0．(1)如圖1，延長SKIPIF1<0至點(diǎn)SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0．①求證：SKIPIF1<0為直角三角形；②若SKIPIF1<0的半徑為4，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值；(2)如圖2，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0上的一點(diǎn)，且點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0位于SKIPIF1<0兩側(cè)，作SKIPIF1<0關(guān)于SKIPIF1<0對(duì)稱的圖形SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，試猜想SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三者之間的數(shù)量關(guān)系并給予證明．7．定義：兩個(gè)角對(duì)應(yīng)互余，且這兩個(gè)角的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形叫做余等三角形．如圖1，在△ABC和△DEF中，若∠A+∠E＝∠B+∠D＝90°，且AB＝DE，則△ABC和△DEF是余等三角形．(1)圖2，等腰直角△ABC，其中∠ACB＝90°，AC＝BC，點(diǎn)D是AB上任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)A，B重合），則圖中△________和△________是余等三角形，并求證：AD2+BD2＝2CD2．(2)圖3，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，⊙O的半徑為5，且AD2+BC2＝100，①求證：△ABC和△ADC是余等三角形．②圖4，連接BD交AC于點(diǎn)I，連接OI，E為AI上一點(diǎn)，連接EO并延長交BI于點(diǎn)F，若∠ADB＝67.5°，IE＝IF，設(shè)OI＝x，S△EIF＝y(tǒng)，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式．8．如圖1，在等腰SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點(diǎn)D是線段SKIPIF1<0上一點(diǎn)，以SKIPIF1<0為直徑作SKIPIF1<0，SKIPIF1<0經(jīng)過點(diǎn)A．(1)求證：SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的切線；(2)如圖2，過點(diǎn)A作SKIPIF1<0垂足為E，點(diǎn)F是SKIPIF1<0上任意一點(diǎn)，連結(jié)SKIPIF1<0．①如圖2，當(dāng)點(diǎn)F是SKIPIF1<0的中點(diǎn)時(shí)，求SKIPIF1<0的值；②如圖3，當(dāng)點(diǎn)F是SKIPIF1<0上的任意一點(diǎn)時(shí)，SKIPIF1<0的值是否發(fā)生變化？請(qǐng)說明理由．(3)在（2）的基礎(chǔ)上，若射線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的另一交點(diǎn)G，連結(jié)SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，直接寫出SKIPIF1<0的值．9．【證明體驗(yàn)】（1）如圖1，過圓上一點(diǎn)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0切線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是弦（不是直徑），若SKIPIF1<0是直徑，連接SKIPIF1<0，求證：SKIPIF1<0；（2）如圖2，若SKIPIF1<0不是直徑，SKIPIF1<0______SKIPIF1<0（填“＞”、“<”或“=”）；（3）如圖3，（1）、（2）的結(jié)論是否成立，說明理由；【歸納結(jié)論】（4）由以上證明可知：切線與弦的夾角等于它所夾的弧對(duì)的______；【結(jié)論應(yīng)用】（5）如圖4，SKIPIF1<0內(nèi)接圓于SKIPIF1<0，弦SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，過點(diǎn)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0的切線SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0的延長線于點(diǎn)SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求線段SKIPIF1<0的長．10．定義：有且僅有一組對(duì)角相等的凸四邊形叫做“準(zhǔn)平行四邊形”．例如：凸四邊形ABCD中，若∠A=∠C，∠B≠∠D，則稱四邊形ABCD為準(zhǔn)平行四邊形(1)如圖①，半圓O的直徑為BC，OA⊥OB，點(diǎn)E在過點(diǎn)A的切線上，且BE=BA，點(diǎn)D是SKIPIF1<0上的動(dòng)點(diǎn)（不在點(diǎn)A、C上），求證：四邊形AEBD為準(zhǔn)平行四邊形．(2)如圖②，準(zhǔn)平行四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠B≠∠D，若⊙O的半徑為5，AB=AD，則①準(zhǔn)平行四邊形ABCD的面積S是線段AC的長x的函數(shù)嗎？如果是，求出函數(shù)解析式；如果不是，請(qǐng)說明理由；②準(zhǔn)平行四邊形ABCD的面積S有最大值嗎？如果有求出最大值，如果沒有，說明理由．二、動(dòng)點(diǎn)問題例題2（2021·浙江溫州·三模）如圖，在⊙O中，AB是直徑，點(diǎn)D在圓內(nèi)，點(diǎn)C在圓上，CD⊥半徑OA于點(diǎn)E，延長AD交⊙O于F點(diǎn)，連結(jié)BF．當(dāng)點(diǎn)M從點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D時(shí)，點(diǎn)N恰好從點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A，且M，N同時(shí)到達(dá)點(diǎn)E．(1)請(qǐng)判斷四邊形ACBF的形狀，并說明理由．(2)連結(jié)AM并延長交⊙O于點(diǎn)G，連結(jié)OG，DN．記CM＝x，AN＝y(tǒng)，已知y＝12﹣SKIPIF1<0x．①求出AE和BF的長度．②當(dāng)M從C到E的運(yùn)動(dòng)過程中，若直線OG與四邊形BFDN的某一邊所在的直線垂直時(shí)，求所有滿足條件的x的值．練習(xí)題1．（2021·浙江溫州·一模）如圖，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，E是線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，經(jīng)過A，D，E三點(diǎn)的⊙O交線段AC于點(diǎn)K，交線段CD于點(diǎn)H，連接DE交線段AC于點(diǎn)F．(1)求證：AE＝DH；(2)連接DK，當(dāng)DE平分∠ADK時(shí)，求線段DE的長；(3)連接HK，KE，在點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)線段DH，HK，KE中滿足某兩條線段相等時(shí)，求出所有滿足條件的AE的長．2．（2022·河北·石家莊外國語教育集團(tuán)一模）已知，在半圓O中，直徑AB=6，點(diǎn)C，D在半圓AB上運(yùn)動(dòng)，（點(diǎn)C，D可以與A，B兩點(diǎn)重合），弦CD=3．(1)如圖1，當(dāng)∠DAB=∠CBA時(shí)，求證：△CAB≌△DBA；(2)如圖2，若∠DAB=15°時(shí)，求圖中陰影部分（弦AD、直徑AB、弧BD圍成的圖形）的面積；(3)如圖3，取CD的中點(diǎn)M，點(diǎn)C從點(diǎn)A開始運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D與點(diǎn)B重合時(shí)結(jié)束，在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中：①點(diǎn)M到AB的距離的最小值是___________；②直接寫出點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)路徑長___________．3．（2022·湖南長沙·九年級(jí)期中）已知SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的外接圓，SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0是劣弧SKIPIF1<0上一點(diǎn)（不與點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0重合），連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)如圖1，若SKIPIF1<0是直徑，將SKIPIF1<0繞點(diǎn)SKIPIF1<0逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，求四邊形SKIPIF1<0的面積；(2)如圖2，若SKIPIF1<0，半徑為2，設(shè)線段SKIPIF1<0的長為SKIPIF1<0．四邊形SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0．①求SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的函數(shù)關(guān)系式；②若點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別在線段SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上運(yùn)動(dòng)（不含端點(diǎn)），經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)，點(diǎn)SKIPIF1<0運(yùn)動(dòng)到每一個(gè)確定的位置．SKIPIF1<0的周長有最小值SKIPIF1<0，隨著點(diǎn)SKIPIF1<0的運(yùn)動(dòng)，SKIPIF1<0的值會(huì)發(fā)生變化．求所有SKIPIF1<0值中的最大值，并求此時(shí)四邊形SKIPIF1<0的面積SKIPIF1<0．4．（2022·廣東·深圳中學(xué)一模）（1）【基礎(chǔ)鞏固】如圖1，△ABC內(nèi)接于⊙O，若∠C＝60°，弦SKIPIF1<0，則半徑r＝______；（2）【問題探究】如圖2，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，若∠ADC＝60°，AD＝DC，點(diǎn)B為弧AC上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A，點(diǎn)C重合）求證：AB＋BC＝BD（3）【解決問題】如圖3，一塊空地由三條直路（線段AD、AB、BC）和一條道路劣弧SKIPIF1<0圍成，已知SKIPIF1<0千米，∠DMC＝60°，SKIPIF1<0的半徑為1千米，市政府準(zhǔn)備將這塊空地規(guī)劃為一個(gè)公園，主入口在點(diǎn)M處，另外三個(gè)入口分別在點(diǎn)C、D、P處，其中點(diǎn)P在SKIPIF1<0上，并在公園中修四條慢跑道，即圖中的線段DM、MC、CP、PD，是否存在一種規(guī)劃方案，使得四條慢跑道總長度（即四邊形DMCP的周長）最大？若存在，求其最大值；若不存在，說明理由．5．（2022·四川·綿陽市桑棗中學(xué)一模）在矩形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0從點(diǎn)SKIPIF1<0出發(fā)，沿SKIPIF1<0邊向點(diǎn)SKIPIF1<0以每秒SKIPIF1<0的速度移動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)SKIPIF1<0從點(diǎn)SKIPIF1<0出發(fā)沿SKIPIF1<0邊向點(diǎn)SKIPIF1<0以每秒SKIPIF1<0的速度移動(dòng)，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0兩點(diǎn)在分別到達(dá)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0兩點(diǎn)時(shí)就停止移動(dòng)，設(shè)兩點(diǎn)移動(dòng)的時(shí)間為t秒，解答下列問題：(1)如圖SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0為幾秒時(shí)，SKIPIF1<0的面積等于SKIPIF1<0？(2)如圖SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0為圓心，SKIPIF1<0為半徑作SKIPIF1<0在運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在這樣的SKIPIF1<0值，使SKIPIF1<0正好與四邊形SKIPIF1<0的一邊SKIPIF1<0或邊所在的直線SKIPIF1<0相切？若存在，求出SKIPIF1<0值；若不存在，請(qǐng)說明理由．6．（2022·廣東深圳·一模）在SKIPIF1<0中，弦SKIPIF1<0平分圓周角SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，過點(diǎn)SKIPIF1<0作DE//AB交SKIPIF1<0的延長線于點(diǎn)SKIPIF1<0．(1)求證：SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的切線；(2)若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0的直徑是SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的長．(3)SKIPIF1<0是弦SKIPIF1<0下方圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，過點(diǎn)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0，請(qǐng)?zhí)骄奎c(diǎn)SKIPIF1<0在運(yùn)動(dòng)的過程中，SKIPIF1<0的比值是否改變，若改變，請(qǐng)說明理由；若不變，請(qǐng)直接寫出比值．7．（2021·四川德陽·二模）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AO⊥BC于點(diǎn)O，OE⊥AB于點(diǎn)E，以點(diǎn)O為圓心，OE為半徑作半圓，交AO于點(diǎn)F．(1)求證：AC是⊙O的切線；(2)若點(diǎn)F是OA的中點(diǎn)，OE＝3，求圖中陰影部分的面積；(3)在（2）的條件下，點(diǎn)P是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)PE＋PF取最小值時(shí)，直接寫出BP的長．8．（2022·湖南永州·一模）如圖，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0為直徑的SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，過SKIPIF1<0點(diǎn)作SKIPIF1<0的切線SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0．(1)求證：SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的長；(3)在（2）的條件下,若SKIPIF1<0為線段SKIPIF1<0上一動(dòng)點(diǎn)，過SKIPIF1<0點(diǎn)作SKIPIF1<0的垂線交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0的延長線于SKIPIF1<0，求證：SKIPIF1<0是定值，并求出定值是多少？9．（2022·江蘇·南通市海門區(qū)東洲國際學(xué)校一模）[問題提出](1)如圖1，已知線段AB＝4，點(diǎn)C是一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)C到點(diǎn)B的距離為2，則線段AC長度的最大值是________；[問題探究](2)如圖2，以正方形ABCD的邊CD為直徑作半圓O，E為半圓O上一動(dòng)點(diǎn)，若正方形的邊長為2，求AE長度的最大值；[問題解決](3)如圖3，某植物園有一塊三角形花地ABC，經(jīng)測量，AC＝20SKIPIF1<0米，BC＝120米，∠ACB＝30°，BC下方有一塊空地（空地足夠大），為了增加綠化面積，管理員計(jì)劃在BC下方找一點(diǎn)P，將該花地?cái)U(kuò)建為四邊形ABPC，擴(kuò)建后沿AP修一條小路，以便游客觀賞．考慮植物園的整體布局，擴(kuò)建部分SKIPIF1<0BPC需滿足∠BPC＝60°．為容納更多游客，要求小路AP的長度盡可能長，問修建的觀賞小路AP的長度是否存在最大值？若存在，求出AP的最大長度；若不存在，請(qǐng)說明理由．10．（2021·江蘇南京·九年級(jí)期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，SKIPIF1<0，BC＝6，∠B＝45°，點(diǎn)E為CD上一動(dòng)點(diǎn)，經(jīng)過A、C、E三點(diǎn)的⊙O交BC于點(diǎn)F．(1)【操作與發(fā)現(xiàn)】當(dāng)E運(yùn)動(dòng)到SKIPIF1<0處，利用直尺與圓規(guī)作出點(diǎn)E與F．（保留作圖痕跡）(2)在（1）的條件下，證明SKIPIF1<0．(3)【探索與證明】點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到任何一個(gè)位置時(shí)，求證SKIPIF1<0．(4)【延伸與應(yīng)用】點(diǎn)E在運(yùn)動(dòng)的過程中，直接寫出EF的最小值______．三、動(dòng)圓問題例題3（2021·山東威?！ひ荒＃┤鐖D，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=6，點(diǎn)O在射線AC上（點(diǎn)O不與點(diǎn)A重合），過點(diǎn)O作OD⊥AB，垂足為D，以點(diǎn)O為圓心，OD為半徑畫半圓O，分別交射線AC于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，設(shè)OD=x．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)O為AC邊的中點(diǎn)時(shí)，則x=；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)O與點(diǎn)C重合時(shí)，連接DF，求弦DF的長；(3)若半圓O與BC無交點(diǎn)，則x的取值范圍是．練習(xí)題1．（2022·江蘇·常州市武進(jìn)區(qū)前黃實(shí)驗(yàn)學(xué)校一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形SKIPIF1<0的邊SKIPIF1<0落在SKIPIF1<0軸上，點(diǎn)SKIPIF1<0的坐標(biāo)為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，邊SKIPIF1<0與SKIPIF1<0軸交于點(diǎn)SKIPIF1<0．(1)直接寫出點(diǎn)A、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的坐標(biāo)；(2)在SKIPIF1<0軸上取點(diǎn)SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0經(jīng)過點(diǎn)SKIPIF1<0，與SKIPIF1<0軸交于點(diǎn)SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0．①當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，求直線SKIPIF1<0的函數(shù)表達(dá)式；②當(dāng)以線段SKIPIF1<0為直徑的圓與矩形SKIPIF1<0的邊所在直線相切時(shí)，求點(diǎn)SKIPIF1<0的坐標(biāo)．9．（2021·江蘇鎮(zhèn)江·一模）如圖1，SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，半徑為r的SKIPIF1<0經(jīng)過點(diǎn)A且與BC相切，切點(diǎn)M在線段BC上（包含點(diǎn)M與點(diǎn)B、C重合的情況）．(1)半徑r的最小值等于__________．(2)設(shè)BM=x，求半徑r關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；(3)當(dāng)BM=1時(shí)，請(qǐng)?jiān)趫D2中作點(diǎn)M及滿足條件的SKIPIF1<0．（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡，并用2B鉛筆或黑色水筆加黑加粗）10．（2022·浙江溫州·一模）如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AD，CD上，且∠ABE＝∠CBF，延長BE交CD的延長線于點(diǎn)G，H為BG中點(diǎn)，連結(jié)CH分別交BF，AD于點(diǎn)M，N．(1)求證：SKIPIF1<0．(2)當(dāng)FG＝9時(shí)．①求SKIPIF1<0的值．②在線段CH上取點(diǎn)P，以E為圓心，EP為半徑作SKIPIF1<0（如圖），當(dāng)SKIPIF1<0與四邊形ABMN某一邊所在直線相切時(shí)，求所有滿足條件的HP的長．11．（2022·江蘇鎮(zhèn)江·九年級(jí)期末）如圖：已知線段SKIPIF1<0，射線AS垂直于AM，點(diǎn)N在射線AS上，設(shè)SKIPIF1<0，點(diǎn)P在經(jīng)過點(diǎn)N且平行于AM的直線上運(yùn)動(dòng)，SKIPIF1<0的平分線交直線NP于點(diǎn)Q，過點(diǎn)Q作SKIPIF1<0，交線段AM于點(diǎn)B，連接PB交AQ于點(diǎn)C，以Q為圓心，QC為半徑作圓．(1)求證：PB與SKIPIF1<0相切；(2)已知SKIPIF1<0的半徑為3，當(dāng)AM所求直線與SKIPIF1<0相切時(shí)，求n的值及PA的長；(3)當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，若SKIPIF1<0與線段AM只有一個(gè)公共點(diǎn)，則SKIPIF1<0的半徑的取值范圍是______．四、圓的圖形變換問題例題4平面上，矩形ABCD與直徑為QP的半圓K如圖擺放，分別延長DA和QP交于點(diǎn)O，且∠DOQ＝60°，OQ＝OD＝3，OP＝2，OA＝AB＝1．讓線段OD及矩形ABCD位置固定，將線段OQ連帶著半圓K一起繞著點(diǎn)O按逆時(shí)針方向形如旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α（0°≤α≤60°）．發(fā)現(xiàn)（1）當(dāng)α＝0°，即初始位置時(shí)，點(diǎn)P____直線AB上．（填“在”或“不在”）求當(dāng)α是多少時(shí)，OQ經(jīng)過點(diǎn)B？（2）在OQ旋轉(zhuǎn)過程中．簡要說明α是多少時(shí)，點(diǎn)P，A間的距離最??？并指出這個(gè)最小值：（3）如圖，當(dāng)點(diǎn)P恰好落在BC邊上時(shí)．求α及S陰影．拓展如圖．當(dāng)線段OQ與CB邊交于點(diǎn)M，與BA邊交于點(diǎn)N時(shí)，設(shè)BM＝x（x＞0），用含x的代數(shù)式表示BN的長，并求x的取值范圍．探究當(dāng)半圓K與矩形ABCD的邊相切時(shí)，求sinα的值．練習(xí)題1．把一張圓形紙片按如圖方式折疊兩次后展開，圖中的虛線表示折痕，且折痕SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的半徑．2．如圖，已知SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的直徑，SKIPIF1<0為弦．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0交于點(diǎn)E，將SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0翻折后，點(diǎn)A與圓心O重合，延長SKIPIF1<0至P，使SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0的半徑；(2)求證：SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的切線；(3)點(diǎn)N為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，在SKIPIF1<0延長線上有一動(dòng)點(diǎn)M，連接SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點(diǎn)G．交SKIPIF1<0于點(diǎn)F（F與B、C不重合）．求SKIPIF1<0的值．3．如圖1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，O是AC的中點(diǎn)，以點(diǎn)O為圓心在AC的右側(cè)作半徑為3的半圓O，分別交AC于點(diǎn)D、E，交AB于點(diǎn)G、F．(1)思考：連接OF，若OF⊥AC，求AF的長度；(2)探究：如圖2，將線段CD連同半圓O繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)．①在旋轉(zhuǎn)過程中，求點(diǎn)O到AB距離的最小值；②若半圓O與Rt△ABC的直角邊相切，設(shè)切點(diǎn)為K，連接AK，求AK的長．4．如圖，點(diǎn)B在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)是﹣2，以原點(diǎn)O為圓心、OB的長為半徑作優(yōu)弧AB，使點(diǎn)A點(diǎn)的左上方，且tan∠AOB＝SKIPIF1<0，點(diǎn)C為OB的中點(diǎn)，點(diǎn)D在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)為4．(1)S扇形AOB＝；(2)點(diǎn)P是優(yōu)弧AB上任意一點(diǎn)，則∠PDB的最大值為；(3)在（2）的條件下，當(dāng)∠PDB最大，且∠AOP<180°時(shí)，固定△OPD的形狀和大小，以原點(diǎn)O為旋轉(zhuǎn)中心，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a（0°≤a≤360°），①連接CP，AD．在旋轉(zhuǎn)過程中，CP與AD有何數(shù)量關(guān)系，并說明理由；②直接寫出在旋轉(zhuǎn)過程中，點(diǎn)C到PD所在直線的距離d的取值范圍．5．如圖1，在正方形ABCD中，AB＝10，點(diǎn)O，E在邊CD上，且CE＝2，DO＝3，以點(diǎn)O為圓心，OE為半徑在其左側(cè)作半圓O，分別交AD于點(diǎn)G，交CD的延長線于點(diǎn)F．(1)AG＝；(2)如圖2，將半圓O繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜180°），點(diǎn)O的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為O′，點(diǎn)F的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為F′，設(shè)M為半圓O′上一點(diǎn)．①當(dāng)點(diǎn)F′落在AD邊上時(shí)，求點(diǎn)M與線段BC之間的最短距離；②當(dāng)半圓O′交BC于P，R兩點(diǎn)時(shí)，若SKIPIF1<0的長為SKIPIF1<0π，求此時(shí)半圓O′與正方形ABCD重疊部分的面積；③當(dāng)半圓O′與正方形ABCD的邊相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為N，直接寫出tan∠END的值．6．如圖，已知⊙O的半徑為2，AB為直徑，CD為弦，AB與CD交于點(diǎn)M，將弧CD沿著CD翻折后，點(diǎn)A與圓心O重合，延長OA至P，使AP=OA，鏈接PC．（1）求證：PC是⊙O的切線；（2）點(diǎn)G為弧ADB的中點(diǎn)，在PC延長線上有一動(dòng)點(diǎn)Q，連接QG交AB于點(diǎn)E，交弧BC于點(diǎn)F（F與B、C不重合）．問GE?GF是否為定值？如果是，求出該定值；如果不是，請(qǐng)說明理由．7．如圖，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，延長SKIPIF1<0到點(diǎn)SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0，延長SKIPIF1<0到點(diǎn)SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0．以點(diǎn)SKIPIF1<0為圓心，分別以SKIPIF1<0、SKIPIF1<0為半徑作大小兩個(gè)半圓，連結(jié)SKIPIF1<0．（1）求證：SKIPIF1<0；（2）設(shè)小半圓與SKIPIF1<0相交于點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．①當(dāng)SKIPIF1<0取得最大值時(shí)，求其最大值以及SKIPIF1<0的長；②當(dāng)SKIPIF1<0恰好與小半圓相切時(shí)，求弧SKIPIF1<0的長．8．在扇形SKIPIF1<0中，半徑SKIPIF1<0，點(diǎn)P在OA上，連結(jié)PB，將SKIPIF1<0沿PB折疊得到SKIPIF1<0．（1）如圖1，若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所在的圓相切于點(diǎn)B．①求SKIPIF1<0的度數(shù)．②求AP的長．（2）如圖2，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0相交于點(diǎn)D，若點(diǎn)D為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，且SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的長．9．如圖，矩形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），點(diǎn)SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上一點(diǎn)（不與點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0重合），連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0關(guān)于SKIPIF1<0對(duì)稱，SKIPIF1<0是過點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的半圓SKIPIF1<0的切線，且SKIPIF1<0交射線SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0．（1）當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，半圓SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所圍成的封閉圖形的面積為___________；（2）當(dāng)SKIPIF1<0在矩形SKIPIF1<0內(nèi)部時(shí)，①判斷SKIPIF1<0與SKIPIF1<0是否相等，并說明理由；②若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的長；（3）當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，若點(diǎn)SKIPIF1<0落在矩形SKIPIF1<0的對(duì)稱軸上，求SKIPIF1<0的值及此時(shí)半圓SKIPIF1<0落在矩形SKIPIF1<0內(nèi)部的弧長．10．如圖1，在正方形ABCD中，SKIPIF1<0，點(diǎn)O、E在邊CD上，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，以點(diǎn)O為圓心，OE為半徑在其左側(cè)作半圓O，分別交AD于點(diǎn)G，交CD延長線于點(diǎn)F．（1）SKIPIF1<0________．（2）如圖2，將半圓O繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)SKIPIF1<0，點(diǎn)O的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為SKIPIF1<0，點(diǎn)F對(duì)應(yīng)點(diǎn)為SKIPIF1<0，當(dāng)半圓SKIPIF1<0交BC于P、R兩點(diǎn)時(shí)，若弧PR的長為SKIPIF1<0，求此時(shí)半圓SKIPIF1<0與正方形ABCD重疊部分的面積．（3）當(dāng)半圓SKIPIF1<0與正方形ABCD相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為N，直接寫出SKIPIF1<0的值．11．如圖⊙O中直徑AB＝2，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)C是AE上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將CB沿線段BC折疊交AB于點(diǎn)D．（1）如圖1，當(dāng)∠ABC＝20°時(shí)，求此時(shí)SKIPIF1<0的長．（2）如圖2，連結(jié)AC，當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)О重合時(shí)，求此時(shí)AC的長．（3）設(shè)AC＝x，DO＝y(tǒng)，請(qǐng)直接寫出y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式及自變量x的取值范圍．12．如圖，在平行四邊形ABCD中，AB＝10，AD＝15，SKIPIF1<0．點(diǎn)P為AD邊上任意一點(diǎn)，連接PB，將PB繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段PQ．（1）當(dāng)∠DPQ＝10°時(shí)，求∠APB的大小．（2）當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，求點(diǎn)Q與點(diǎn)B間的距離（結(jié)果保留根號(hào)）．（3）若點(diǎn)Q恰好落在平行四邊形ABCD的邊所在直線上時(shí)，直接寫出PB旋轉(zhuǎn)到PQ時(shí)點(diǎn)B經(jīng)過的路徑的長（結(jié)果保留SKIPIF1<0）．13．如圖1，四邊形ABCD是正方形，且AB＝8，點(diǎn)O與B重合，以O(shè)為圓心，作半徑長為5的半圓O，交BC于E，交AB于F，交AB延長線于G點(diǎn)，M是半圓O上任一點(diǎn)；發(fā)現(xiàn)：AM的最大值為，S陰影＝．如圖2，將半圓O繞點(diǎn)F逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α（0°＜α＜180°）．思考：（1）若點(diǎn)C落在半圓O的直徑GF上，求圓心O到AB的距離；（2）若α＝90°，求半圓O落在正方形內(nèi)部的弧長；探究：在旋轉(zhuǎn)過程中，若半圓O與正方形的邊相切，求點(diǎn)A到切點(diǎn)的距離．【注：sin37°＝SKIPIF1<0，sin53°＝SKIPIF1<0，tan37°＝SKIPIF1<0】14．如圖，在矩形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點(diǎn)，以SKIPIF1<0為圓心，在SKIPIF1<0的下方作半徑為3的半圓SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）思考：連接SKIPIF1<0，交半圓SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的長；（2）探究：將線段SKIPIF1<0連帶半圓SKIPIF1<0繞點(diǎn)SKIPIF1<0順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到半圓SKIPIF1<0，設(shè)其直徑為SKIPIF1<0，旋轉(zhuǎn)角為SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）；①設(shè)SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，求SKIPIF1<0的取值范圍．②若半圓SKIPIF1<0與線段SKIPIF1<0相切，或半圓SKIPIF1<0與線段SKIPIF1<0相切，設(shè)切點(diǎn)為SKIPIF1<0，直接寫出SKIPIF1<0的長．（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，結(jié)果保留SKIPIF1<0）15．如圖1，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點(diǎn)，以點(diǎn)SKIPIF1<0為圓心在SKIPIF1<0的右側(cè)作半徑為3的半圓SKIPIF1<0，分別交SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0．思考：連接SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的長度；探究：如圖2，將線段SKIPIF1<0連同半圓SKIPIF1<0繞點(diǎn)SKIPIF1<0旋轉(zhuǎn)．（1）在旋轉(zhuǎn)過程中，求點(diǎn)SKIPIF1<0到SKIPIF1<0距離的最小值；（2）若半圓SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的直角邊相切，設(shè)切點(diǎn)為SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的長．16．如圖，在矩形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0為對(duì)角線SKIPIF1<0上的動(dòng)點(diǎn)（不與SKIPIF1<0、SKIPIF1<0重合），以點(diǎn)SKIPIF1<0為圓心在SKIPIF1<0下方作半徑為2的半圓SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0．（1）當(dāng)半圓SKIPIF1<0過點(diǎn)SKIPIF1<0時(shí)，求半圓SKIPIF1<0被SKIPIF1<0邊所截得的弓形的面積；（2）若SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，在半圓SKIPIF1<0移動(dòng)的過程中，求SKIPIF1<0的最小值；（3）當(dāng)半圓SKIPIF1<0與矩形SKIPIF1<0的邊相切時(shí)，求SKIPIF1<0的長．17．如圖1，扇形OAB的半徑為4，∠AOB＝90°，P是半徑OB上一動(dòng)點(diǎn)，Q是SKIPIF1<0上一動(dòng)點(diǎn)．（1）連接AQ、BQ、PQ，則∠AQB的度數(shù)為；（2）當(dāng)P是OB中點(diǎn)，且PQ∥OA時(shí)，求SKIPIF1<0的長；（3）如圖2，將扇形OAB沿PQ對(duì)折，使折疊后的SKIPIF1<0恰好與半徑OA相切于點(diǎn)C．若OP＝3，求點(diǎn)O到折痕PQ的距離．18．如圖1，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0為直徑的半圓SKIPIF1<0按如圖所示位置擺放，點(diǎn)SKIPIF1<0與點(diǎn)SKIPIF1<0重合，點(diǎn)SKIPIF1<0