2024屆福建省泉州實(shí)驗(yàn)中學(xué)數(shù)學(xué)高二年級(jí)上冊(cè)期末經(jīng)典模擬試題含解析_第1頁(yè)
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文檔簡(jiǎn)介

2024屆福建省泉州實(shí)驗(yàn)中學(xué)數(shù)學(xué)高二上期末經(jīng)典模擬試題

考生須知:

1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色

字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。

2.請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。

3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。

一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

22

1.雙曲線工-匕=1的焦點(diǎn)到漸近線的距離為()

36

A.&B.0

3

C.&D.76

2.德國(guó)數(shù)學(xué)家米勒曾提出最大視角問(wèn)題,這一問(wèn)題一般的描述是:已知點(diǎn)4、5是NMON的ON邊上的兩個(gè)定點(diǎn),

C是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),當(dāng)C在何處時(shí),NACB最大?問(wèn)題的答案是:當(dāng)且僅當(dāng)一ABC的外接圓與邊OM相切于點(diǎn)

C時(shí),NACB最大.人們稱這一命題為米勒定理.已知點(diǎn)P、0的坐標(biāo)分別是(2,0),(4,0),R是y軸正半軸上的

一動(dòng)點(diǎn),當(dāng)/PR。最大時(shí),點(diǎn)R的縱坐標(biāo)為()

A.1B.V2

C.2拒D.2

3.已知一個(gè)乒乓球從加米高的高度自由落下,每次落下后反彈的高度是原來(lái)高度的左(0<大<1)倍,則當(dāng)它第8次著

地時(shí),經(jīng)過(guò)的總路程是()

2mk(l-k8)

B./+

AH-----------------吧5

1—k1—k

加左(1一左7)

C.m+―——!-----------

1—k1—k

1234

4.數(shù)列…的通項(xiàng)公式》是()

nn

A.--------B.--------

2n-l2^-3

nn

C.--------D.--------

2n+l2〃+3

V2y27T

5.已知雙曲線二=1(〃〉0)>0),過(guò)原點(diǎn)作一條傾斜角為1的直線分別交雙曲線左、右兩支于P、Q兩點(diǎn),

a

以線段P。為直徑的圓過(guò)右焦點(diǎn)R,則雙曲線的離心率為().

A.73+1B,V2+1

C.73D.V2

2

6.已知橢圓C:/+匕=1,則橢圓。的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為()

4

A.2B.4

C.2&D.8

7.直線xsin?!獃-1=0的傾斜角的取值范圍是()

C%]「3萬(wàn)

A.0,一。—,萬(wàn)

44

8.已知點(diǎn)C(2,l)與不重合的點(diǎn)A,5共線,若以A,8為圓心,2為半徑的兩圓均過(guò)點(diǎn)。(L2),則QAA5的取值范

圍為O

A.[V2,2]B,[-2,-72]

C.[-8,0)D.[—8,T

9.已知空間向量a=(加+1,加,一2),Z?=(-2,l,4),且a_L6,則加的值為()

A.--B.-10

3

10

C.10D.—

3

10.下列三個(gè)命題:①“若"+尸二。,貝1J。,全為0”的逆否命題是“若詼6全不為0,則/+廿彳?!保虎谌?/p>

事件A與事件5互斥,則尸(AB)=P(A)+P(B);③設(shè)命題p:若山是質(zhì)數(shù),則機(jī)一定是奇數(shù),那么f是真命

題;其中真命題的個(gè)數(shù)為()

A.3B.2

C.1D.0

11.已知圓。的方程為(x—ay+(y—6)2=4,圓。2的方程為/+(y-b+iy=1,其中a,beR.那么這兩個(gè)圓的

位置關(guān)系不可能為()

A.外離B.外切

C.內(nèi)含D.內(nèi)切

12.已知點(diǎn)F是雙曲線二=1的左焦點(diǎn),點(diǎn)E是該雙曲線的右頂點(diǎn),過(guò)F作垂直于x軸的直線與雙曲線交于G、

a

H兩點(diǎn),若△GHE是銳角三角形,則該雙曲線的離心率e的取值范圍是()

A.(1,+<?)B.(l,2)

C.(2,l+V2)D.(l,l+V2)

二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。

13.若a,c都為正實(shí)數(shù),a+b+c=l,且2a,b,2c成等比數(shù)列,則f的最小值為

14.已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2,E,F分別是邊A瓦CD的中點(diǎn),沿E尸將四邊形AEFD折起,使二面角A-EF-B

的大小為60,則AC兩點(diǎn)間的距離為

15.長(zhǎng)方體ABCD—A4G,中,AB=AD=2,A4=1,已知點(diǎn)A,G三點(diǎn)共線,且AC;?片方=0,則點(diǎn)

H到平面ABCD的距離為

16.甲口袋中裝有2個(gè)黑球和1個(gè)白球,乙口袋中裝有3個(gè)白球.現(xiàn)同時(shí)從甲、乙兩口袋中各任取一個(gè)球交換放入對(duì)

方口袋,共進(jìn)行了2次這樣的操作后,甲口袋中恰有2個(gè)黑球的概率為.

三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

1nv

17.(12分)已知函數(shù)/(x)=tzx-eX(aeR),g(x)=-

x

(1)當(dāng)。=1時(shí),求函數(shù)八%)的極值;

(2)若存在使不等式/(%)Wg(x)-e'成立,求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

18.(12分)已知銳角ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,C,且cos2A—6sinA+2=0.

(1)求A;

(2)若b+c=6^,求一ABC外接圓面積的最小值.

19.(12分)在等比數(shù)列{氏}中,

(1)Q]=2,q=——,求Si。;

(2),'loo=150,求生+。4+“6++”100的值.

20.(12分)已知函數(shù)〃x)=ln(x+l)+a?Zl(。wR)

(1)討論函數(shù)y=/(x)的單調(diào)性;

(2)若函數(shù)y=/(x)有兩個(gè)零點(diǎn)芭,斗,證明:%?Z+玉+々-1

21.(12分)已知函數(shù)/(%)=%3+3雙2+〃%+片在I=一1時(shí)有極值0.

(1)求函數(shù)/(%)的解析式;

⑵記g(x)=/(x)—2左+1,若函數(shù)g(x)有三個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)人的取值范圍.

22.(10分)某地從今年8月份開(kāi)始啟動(dòng)12-14歲人群新冠肺炎疫苗的接種工作,共有8千人需要接種疫苗.前4周的

累計(jì)接種人數(shù)統(tǒng)計(jì)如下表:

前X周1234

累計(jì)接種人數(shù)y(千人)2.5344.5

(1)求y關(guān)于x的線性回歸方程;

(2)根據(jù)(1)中所求的回歸方程,預(yù)計(jì)該地第幾周才能完成疫苗接種工作?

〃__

參考公式:回歸方程y=bx+a中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為6=1=1

n_

Yxi-nx9

Z=1

a-y-bx

參考答案

一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、D

【解析】根據(jù)題意,由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可得雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)以及漸近線方程,由點(diǎn)到直線的距離公式計(jì)算可得答

案.

22

【詳解】解:根據(jù)題意,雙曲線的方程為土-匕=1,

36

其焦點(diǎn)坐標(biāo)為(±3,0),其漸近線方程為y=即0x±y=O,

則其焦點(diǎn)到漸近線的距離d=工L=V6;

V1+2

故選D.

【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的幾何性質(zhì),關(guān)鍵是求出雙曲線的漸近線與焦點(diǎn)坐標(biāo).

2、C

【解析】由題意,借助米勒定理,可設(shè)出坐標(biāo),表示出PQR的外接圓方程,然后在求解點(diǎn)R的縱坐標(biāo).

【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)P、。的坐標(biāo)分別是(2,0),(4,0)是X軸正半軸上的兩個(gè)定點(diǎn),點(diǎn)衣是y軸正半軸上的一動(dòng)點(diǎn),

根據(jù)米勒定理,當(dāng).PQR的外接圓與y軸相切時(shí),/PRQ最大,由垂徑定理可知,弦PQ的垂直平分線必經(jīng)過(guò)PQR

的外接圓圓心,所以弦PQ的中點(diǎn)為(3,0),故弦PQ中點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為PQR的外接圓半徑,即廠=3,由垂徑定

理可得,圓心坐標(biāo)為(3,2夜),故一PQR的外接圓的方程為(x-3『+(y-2后『=9,所以點(diǎn)R的縱坐標(biāo)為(0,2&).

故選:C.

3、C

【解析】根據(jù)等比數(shù)列的求和公式求解即可.

【詳解】從第1次著地到第2次著地經(jīng)過(guò)的路程為2mk,第2次著地到第3次著地經(jīng)過(guò)的路程為2mk2,組成以2mk

為首項(xiàng),公比為女的等比數(shù)列,所以第1次著地到第8次著地經(jīng)過(guò)的路程為2"式(1—N),所以經(jīng)過(guò)的總路程是

1—k

2mk(l-k7]

m-\-------------

1—k

故答案為:C.

4、C

【解析】根據(jù)數(shù)列前幾項(xiàng),歸納猜想出數(shù)列{4}的通項(xiàng)公式.

【詳解】依題意,數(shù)列{%』的前幾項(xiàng)為:

22

a,=—=----------;

一52x2+1

33

372x3+1

n

則其通項(xiàng)公式a0=c,

2n+l

故選C.

【點(diǎn)睛】本小題主要考查歸納推理,考查數(shù)列通項(xiàng)公式的猜想,屬于基礎(chǔ)題.

5、A

【解析】設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為尸,連接尸尸、QF',求得目、|Qn利用雙曲線的定義可得出關(guān)于。、c的等式,

即可求得雙曲線的離心率.

【詳解】設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為尸',連接小'、QF',如下圖所示:

由題意可知,點(diǎn)。為PQ的中點(diǎn),也為郎'的中點(diǎn),且PFLQF,

TT

則四邊形PFQE'為矩形,故。尸,。尸',由已知可知NQOF=w,

由直角三角形的性質(zhì)可得|OQ|=|O耳=c,故/為等邊三角形,故|QE|=c,

所以,\QF'\=yl\FF'f-\QFf=V3c,

由雙曲線的定義可得2a=|。尸|—|Q盟=(6—l)c,所以,e=;=V[=6+l.

故選:A.

6、B

【解析】根據(jù)橢圓的方程求出。即得解.

【詳解】解:由題得橢圓的片=4,.1a=2,所以橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a=4.

故選:B

7、A

【解析】由直線方程求得直線斜率的范圍,再由斜率等于傾斜角的正切值可得直線的傾斜角的取值范圍.

【詳解1V直線xsina-y-l=O的斜率A;=sincre[-1,1],

設(shè)直線xsina-y-l=O的傾斜角為6(0,,6<萬(wàn)),貝!Jtan。e[—1,1],

解得0,yu乎,萬(wàn)].

L4jL4)

故選:A.

8、D

【解析】由題意可得A3力,),B(c,d)兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿足圓。:(x-Ip+(y-2)2=4,然后由圓的性質(zhì)可得當(dāng)AB±CD

時(shí),弦長(zhǎng)A3最小,當(dāng)A3過(guò)點(diǎn)。時(shí),弦長(zhǎng)A3最長(zhǎng),再根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算律求解即可

【詳解】設(shè)點(diǎn)A3,"),3(c,d),則以A,5為圓心,2為半徑的兩圓方程分別為

(x-tz)2+(y-A)?=4和(x-c)2+(y-d)2=4,

因?yàn)閮蓤A過(guò)(L2),

所以(1—a)2+(2—少)2=4和(1—c)2+(2—〃了=4,

所以A(a,b,),B(c,d)兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿足圓。:(x—I)?+(y-2)2=4,

因?yàn)辄c(diǎn)C(2,l)與不重合的點(diǎn)A,5共線,所以A3為圓。的一條弦,

所以當(dāng)弦長(zhǎng)A3最小時(shí),AB±CD,

因?yàn)閨CD|=&,半徑為2,所以弦長(zhǎng)A3的最小值為2,22-(、也『=2五,

當(dāng)AB過(guò)點(diǎn)。時(shí),弦長(zhǎng)AB最長(zhǎng)為4,

因?yàn)镈A.AB=_AD?A3=—[4£>八A^cosZDAB=_曰45『,

所以當(dāng)弦長(zhǎng)AB最小時(shí),DAAB的最大值為—(20『=-4,

1,

當(dāng)弦長(zhǎng)AB最大時(shí),DAAB的最小值為-弓x4=-8,

所以DA的取值范圍為,

故選:D

9、B

【解析】根據(jù)向量垂直得一2(加+1)+m—8=0,即可求出機(jī)的值.

【詳解】aLb,—2(m+l)+m-8=0=>m=-10.

故選:B.

10、B

【解析】寫出逆否命題可判斷①;根據(jù)互斥事件的概率定義可判斷②;根據(jù)寫出再判斷真假可判斷③.

【詳解】對(duì)于①,“儲(chǔ)+/=0,則“,?全為0”的逆否命題是“若a,6不全為0,則,故①錯(cuò)誤;

對(duì)于②,滿足互斥事件的概率求和的方法,所以②為真命題;

③命題P:若利是質(zhì)數(shù),則,〃一定是奇數(shù).2是質(zhì)數(shù),但2是偶數(shù),命題P是假命題,那么「“真命題

故選:B.

11、C

【解析】求出圓心距的取值范圍,然后利用圓心距與半徑的和差關(guān)系判斷.

【詳解】由兩圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可得Q(。力),八=2,Q(02-1),々=1;

則|qQ|=J4+i2]=(_u,所以兩圓不可能內(nèi)含.

故選:C.

12、B

b2

【解析】根據(jù)△GHE是等腰三角形且為銳角三角形,得到|G司<|跖|,即幺<a+c,解得離心率范圍.

a

22r2(〃2、

【詳解】F(-c,0),當(dāng)x=-c時(shí),:一2=1,>=±幺,不妨取G-C—,H-c,——,

aba

△GHE是等腰三角形且為銳角三角形,則NGEb<:,BP|GF|<|EF|,

A2

一<a+c,即02<2Q2+QC,/一6一2<0,解得一lvev2,故l<e<2.

a

故選:B.

二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。

13、2及-2##-2+2亞

【解析】利用等比中項(xiàng)及條件可得&+&=1,進(jìn)而可得f=2a±;2',再利用基本不等式即得.

yjayja

【詳解】??F,b,。都為正實(shí)數(shù),2a,b,2c成等比數(shù)列,

1

/.b=4ac,b=2y/acf又a+Z?+c=l,

ci+2Jac+c=1,即(+y/c)—1,

??yfu+y[c—1,

...1-Z?a+c。+(1-G)2a+1-2y[a

-JaJa4a4a

=2&+J=—2220—2,當(dāng)且僅當(dāng)26=。,即。=,取等號(hào).

7a7a2

故答案為:2后-2.

14、75.

【解析】取3E的中點(diǎn)G,然后證明NAE3是二面角A—即—5的平面角,進(jìn)而證明AG_LGC,最后通過(guò)勾股定理

求得答案.

【詳解】如圖,取3E的中點(diǎn)G,連接AG,CG,由題意EBLASEFLBE,則NAEB是二面角A—E尸—5的平面

A/3

角,則NAEB=60°,又AE=BE=1,則/XABE是正三角形,于是AG,5E,AG=T

根據(jù)所,人£,£/,3£,4£仆5£=石可得:石尸,平面A5E,而AGu平面A8E,所以EELAG,而

AG上BE,BEcEF=E,則AG±平面BCFE,又GCu平面5c尸E,于是,AG_LGC,又GC2=BC2+BG2=—,

4

所以AC=VAG2+GC2=

故答案為:5

5

15、-

9

【解析】在長(zhǎng)方體A5CD-44GA中,以點(diǎn)A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,利用已知條件求出點(diǎn)”的坐標(biāo)作答.

【詳解】在長(zhǎng)方體A3CQ-46GA中,以點(diǎn)A為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則A(0,0,0),4(2,0,1),G(2,2,1),AC]=(2,2,1),

因點(diǎn)77,A,G三點(diǎn)共線,令==(2/2/),點(diǎn)HQt,2t,t),則=(2f—2,2/,f—1),

又貝!J2(2t—2)+4/+f—1=0,解得f=:,

故答案為:!

【解析】分兩類:兩次都互相交換白球的概率和第一次甲交出黑球收到白球,且第二次甲交出白球收到黑球的概率求

和可得答案.

【詳解】分兩類:①兩次都互相交換白球的概率為=

2<2O4

②第一次甲交出黑球收到白球,且第二次甲交出白球收到黑球的概率為QX鼻乂鼻=方

J\JDJ乙/

147

—I------——.

92727

7

故答案為:——,

27

三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17、(1)函數(shù)“X)在(-8,0)上遞增,在(0,+")上遞減,極大值為T,無(wú)極小值

(2)a<—

2e

【解析】(1)求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)求得單調(diào)區(qū)間,再根據(jù)極值的定義即可得解;

(2)若存在xe(0,-+W),使不等式/(x)Kg(%)—e,成立,問(wèn)題轉(zhuǎn)化為室],(》〉。),令可力=?,尤>0,

VX/maxX

利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最大值即可得出答案.

【小問(wèn)1詳解】

解:當(dāng)。=1時(shí),f[x)=x-&x,

則r(x)=l—e",

當(dāng)x<0時(shí),/(%)>0,當(dāng)x>0時(shí),f'(x)<0,

所以函數(shù)/(x)在(-。,0)上遞增,在(0,+。)上遞減,

所以函數(shù)/(%)的極大值為/(0)=-1,無(wú)極小值;

【小問(wèn)2詳解】

解:若存在x?0,”),使不等式/(x)<g(x)-e、成立,

則ax<---,(%>0)9即a?——,(尤>0),

xx

Inx

則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為。<|,(x〉0),

丁max

人7/、Inx八

令/z(x)=^-,x>0,

JV

x-2xlnxl-21nx

/z'(x)

X4X3

當(dāng)0<%〈血時(shí),”(%)>。,當(dāng)九,五時(shí),

所以函數(shù)/2⑺在(0,八)遞增,在(6,+可上遞減,

所以Mx)a=],

乙C

所以a<——.

2e

18、(1)A=一

3

(2)9萬(wàn)

【解析】(1)利用二倍角公式將已知轉(zhuǎn)化為正弦函數(shù),解一元二次方程可得;

(2)由余弦定理和(1)可求。的最小值,再由正弦定理可得外接圓半徑的最小值,然后可解.

【小問(wèn)1詳解】

因?yàn)閏os2A-GsinA+2=0,所以一2sin?A-s/3sinA+3=0,

解得sinA=——或sinAu—G(舍去),

2

7T

又一ABC為銳角三角形,所以A=§.

【小問(wèn)2詳解】

因?yàn)閍2=b2+c2-2bccosA=b2+c2-be=(ZJ+C)2-3bc>"=27>

當(dāng)且僅當(dāng)h=c時(shí),等號(hào)成立,所以a23百.

ABC外接圓的半徑R=—^―=叵23,故—ABC外接圓面積的最小值為9萬(wàn).

2sinA3

,z、341

19、(1)---

256

(2)50

【解析】(1)直接利用等比數(shù)列的求和公式求解即可,

(2)由已知條件結(jié)合等比數(shù)的性質(zhì)可得Si。。=3(%+%++%>0),從而可求得答案,或直接利用等比數(shù)列的求和

公式化簡(jiǎn)求解

【小問(wèn)1詳解】

式1024)256

【小問(wèn)2詳解】

方法1:5*100=%+。2+%+%+…+〃99+%00

4+"100)+%+。4

=2(4+。+a1Go.

=3(/+%+,+4OO)=15O

***a?+%++,ioo=50.

方法2:

20、(1)函數(shù)y=/(x)的單調(diào)性見(jiàn)解析;

(2)證明見(jiàn)解析.

【解析】⑴求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)/'(x),按〃值分類討論判斷了'(%)的正負(fù)作答.

⑵將外,當(dāng)分別代入計(jì)算化簡(jiǎn)變形,再對(duì)所證不等式作等價(jià)變形,構(gòu)造函數(shù),借助函數(shù)導(dǎo)數(shù)推理作答.

【小問(wèn)1詳解】

已知函數(shù)尸/⑴的定義域?yàn)椋ㄒ?,包),八力=3+看=莖篙,

當(dāng)aNO時(shí),/'(力>0恒成立,所以“可在區(qū)間(—1,+8)上單調(diào)遞增;

當(dāng)a<0時(shí),由/'(x)<0,解得x>4r—1,由/''(九)>0,解得一1<%<金一1,

/(X)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-1,-y-1),單調(diào)遞減區(qū)間為(/-1,+8),

所以,當(dāng)。之0時(shí),“尤)在(—1,+?)上單調(diào)遞增,當(dāng)。<0時(shí),/(%)在(—1,、—1)上單調(diào)遞增,在上(?!?,+8)單

調(diào)遞減.

【小問(wèn)2詳解】

依題意,不妨設(shè)無(wú)1<9,則In(%+1)+a1%+1=0,ln(j;2+1)+a^x2+1=0,

于是得In(X]+1)+In+1)+a(qX]+1+J%+])=0,即In[(石+1)(/+1)]=-a(J%+1+J%+1),

亦有In(x,+1)—In(X]+1)+a(Jx,+1—J%+1)=0,即In(4+1)-In(為+1)=—a(J/+1—Jx1+1),

1噸(石+1)(%+1)]_Jx]+l+&2+l

因此,

ln(x2+l)-ln(x1+1)Jq+>J%+1,

44

要證明x1-x2+x1+x2>e-1,即證(%+1)-(x2+1)>e,

即證ln[(無(wú)i+1)(*2+DI=Un?+1)-In。+1)]->Ine4=4,

即證ln(4+1)-ln(+1)>*V"+1-'j+D,即證In生上1=21n

Jw+1+J玉+1西+1

2"1)3〉。

〃⑺=In%-=lnz+---2,W(t)=

t+1%+1?(?+1)'

則有M0在(L+8)上單調(diào)遞增,VZ>1,〃(。〉以1)=0,即In

-

所以石?%+再+%2>1.

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛

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