2022-2023學(xué)年湖南省長沙某中學(xué)高二（上）入學(xué)數(shù)學(xué)試卷

2022-2023學(xué)年湖南省長沙一中高二（上）入學(xué)數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題目要求）

1.(5分)若集合例={沖后<4},N={x|3x》l},則MAN=(

11

A.{x|0Wx<2}B.{x|-<x<2]C.{x[3Wx<16}D.{x|-<x<16}

2.(5分)已知z=l-2i,且z+〃2+6=0,其中“，匕為實(shí)數(shù)，則)

A.〃=1,b=-2B.a=-1,b=2C.4=1，b=2D.a--1，b=-2

3.(5分)如圖，直線/的方程是()

A.V3x-y-V3=0B.V3x-2y-V3=0C.V3x-3y-1=0D.x-y/3y-1=0

4.（5分）有.2人從一座6層大樓的底層進(jìn)入電梯,假設(shè)每個(gè)人自第二層開始在每一層離開

電梯是等可能的，則該2人在不同層離開電梯的概率是（）

1145

A.B.C.D.

6556

5.(5分)在△ABC中，已知A5=2,AC=3,ZBAC=60°，AM,BN分別是BC,AC邊

上的中線，則薪?俞=()

5511

A.一B.一5C.一D.一5

2222

6.(5分)己知函數(shù)f(x)=r-x-1,則不等式/(x)>0的解集是()

A.(-1,1)B.(-oo,-1)U(1,+8)

C.（0,1）D.（-8,0）U（1,+8）

7.（5分）在等腰△ABC中，ZABC=\20Q,點(diǎn)。為底邊AC的中點(diǎn)，將△ABO沿B。折

起到△QB。的位置，使二面角D-BO-C的大小為120°,則異面直線DO與BC所成

角的余弦值為（）

V3V6V6

A.一B.一C.立D.一

4433

8.(5分)若不等式Ca-\x-b|)?sin(x+QWO,對工&0,2TT］恒成立，則sin(a+b)和sin

（〃-b）分別等于（）

V2y/2V2

A.—；—B-T-;

222JT

二、選擇題（本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)

符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分）

11

（多選）9.（5分）就＜。二則下列結(jié)論一定正確的是（）

A.ab<b1B.02Vb2

C.（1）a＞（1）bD.\a-b\＞\a+b\

（多選）10.（5分）今年5月25日工信部部長在“兩會(huì)部長通道”表示，中國每周大概增

加1萬多個(gè)5G基站，4月份增加5G用戶700多萬人，5G通信將成為社會(huì)發(fā)展的關(guān)鍵動(dòng)

力，如圖是某機(jī)構(gòu)對我國未來十年5G用戶規(guī)模的發(fā)展預(yù)測圖，閱讀如圖關(guān)于下列說法,

其中正確的是（）

2020-2029年中國5G用戶規(guī)模

A.2022年我國5G用戶規(guī)模年增長率最高

B.2025年我國5G用戶數(shù)規(guī)模最大

C.從2020年到2026年，我國的5G用戶規(guī)模增長兩年后，其年增長率逐年下降

D.這十年我國的5G用戶數(shù)規(guī)模，后5年的平均數(shù)與方差都分別大于前5年的平均數(shù)與

方差

（多選）11.（5分）在通用技術(shù)課上，某小組將一個(gè)直三棱柱ABC-AIBICI展開得到平面

圖如圖所示，ZABC=90°,AAi^AB,P為ABi的中點(diǎn)，。為AC的中點(diǎn)，則在原直三

棱柱ABC-AiBiCi中，下列說法正確的是（）

A.P,Q,C,B四點(diǎn)共面

B.A\CA.AB\

3

C.幾何體4-PQCB和直三棱柱ABC-48iCi的體積之比為

D.當(dāng)8。=夜48時(shí)，4c與平面A881所成的角為45°

（多選）12.（5分）已知?jiǎng)訄AC：（x-cosa）~+（_y-sina）2=1.aG[0,2n多則（）

A.圓C與圓7+y2=4相切

B.圓C與直線xsina+ycosa-1=0相切

C.圓C上一點(diǎn)M滿足西=（0,1）,則"的軌跡的長度為4TT

D.當(dāng)圓C與坐標(biāo)軸交于不同的三點(diǎn)時(shí)，這三點(diǎn)構(gòu)成的三角形面積的最大值為1

三、填空題（本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分）

13.（5分）已知向量工福夾角為45。，鬲=式，且鼠宕=2,若（高+1）遙，則入

14.（5分）軍事飛行人員是國家的特殊人才和寶貴資源，招收和培養(yǎng)飛行員歷來受到國家

的高度重視，某地區(qū)招收海軍飛行員，從符合條件的高三學(xué)生中隨機(jī)抽取8人，他們的

身高（單位：on）分別為168,171,172,173,175.175,179,180,則這8名高三學(xué)生

身高的第75百分位數(shù)為.

15.（5分）寫出與圓?+/=1和（%-3）2+（y-4）2=16都相切的一條直線的方

程.

16.（5分）神舟十三號(hào)飛船于2022年4月16日首次實(shí)施快速返回技術(shù)成功著陸.若由搜

救地面指揮中心的提供信息可知：在東風(fēng)著陸場搜索區(qū)域內(nèi)，A處的返回艙垂直返回地

面.空中分隊(duì)和地面分隊(duì)分別在8處和C處，如圖為其示意圖，若A,B,C在同一水平

面上的投影分別為4,Bi，C,且在C點(diǎn)測得8的仰角為26.6°,在C點(diǎn)測得A的仰角

為45°,在8點(diǎn)測得A的仰角為26.6°,BBi=7km,ZB\A\C=nQ°.則CAi的長為

km（參考數(shù)據(jù)：tan26.6°?1）.

四、解答題（本大題共6個(gè)小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）

17.（10分）某公司在一次入職面試中，共設(shè)有3輪測試，每輪測試設(shè)有一道題目，面試者

能正確回答兩道題目的即可通過面試，累計(jì)答錯(cuò)兩道題目的即被淘汰.已知李明能正確

回答每一道題目的概率均為右且各輪題目能否正確回答互不影響.

（1）求李明不需要進(jìn)入第三輪測試的概率；

（2）求李明通過面試的概率.

18.（12分）如圖，矩形ADEF與梯形A8CC所在的平面互相垂直，AD1.CD,AB//CD,

AB=AD=2,CD=4,M為CE的中點(diǎn).

（I）求證：〃平面AOEF；

（II）求證：8C_L平面BDE.

19.（12分）已知直線/1的方程為x-2），+8=0,直線/2的方程為4x+3y-1=0.

（1）設(shè)直線與/2的交點(diǎn)為P，求過點(diǎn)P且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線/的方程；

（2）設(shè)直線/3的方程為ov+y+l=0,若直線/3與％/2不能構(gòu)成三角形，求實(shí)數(shù)“的取

值的集合.

20.（12分）如圖，己知長方形ABCD中，AB=2讓,AD=V2,例為DC的中點(diǎn)，將△4DW

沿AM折起，使得平面平面48cM

(I)求證：ADLBM

（H）若點(diǎn)E是線段上的一動(dòng)點(diǎn)，問點(diǎn)E在何位置時(shí)，二面角的余弦值

為『

21.（12分）已知aABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且?guī)?辰+易?應(yīng)?=

201-CB.

cosAcosB

（1）若一「=——，判斷aABC的形狀并說明理由；

ba

（2）若△ABC是銳角三角形，求sinC的取值范圍.

22.（12分）已知圓M：/+（y-2）2=1,點(diǎn)尸是直線/：x+2y=0上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)尸作

圓M的切線刑，PB,切點(diǎn)為A,B.

（1）當(dāng)切線外的長度為次時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（2）若△以M的外接圓為圓N,試問：當(dāng)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，圓N是否過定點(diǎn)？若存在，求出

所有的定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；

（3）求線段AB長度的最小值.

2022-2023學(xué)年湖南省長沙一中高二（上）入學(xué)數(shù)學(xué)試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題目要求）

1.（5分）若集合M={x|底<4},N={x|3xel},則MAN=（）

11

A.{x|0Wx<2}B.{.r|-<x<2}C.{x|3Wx<16}D.{x|-<x<16}

【解答】解：由經(jīng)<4,得0Wx<16,.?.M={X|H<4}={X|0WXV16},

11

由3x2l,得xN與,；.N={x|3x2l}={x|■侖外

11

MCN={x[0Wx<16}Cl{x\x>^}={x|-<X<16}.

33

故選：D.

2.（5分）已知z=l-2i,且z+a+b=0,其中a,b為實(shí)數(shù)，則（）

A.a=l,b=-2B.a=-1,b=2C.a=l，b=2D.a=-1,b=-2

【解答】解：因?yàn)閦=l-2i,且z+應(yīng)+。=0,

所以（1-2z）+Q（1+2/）+b=（l+a+h）+（-2+2。）i=0,

1+Q+b=0

—2+2Q=0'

解得a=}tb=-2.

故選：A.

3.（5分）如圖，直線/的方程是（）

A.V3x-y-V3=0B.V3x-2y-V3=0C.V3x-3y-1=0D.x-^3y-1=0

【解答】解：設(shè)直線表達(dá)式為

由圖像可知直線的傾斜角為30°,即左=tan30°=等，

又因?yàn)閳D像過點(diǎn)（1,0）,

**.y=仔%—半，化簡得％—y/3y—1=0,

故選：D.

4.（5分）有2人從一座6層大樓的底層進(jìn)入電梯，假設(shè)每個(gè)人自第二層開始在每一層離開

電梯是等可能的，則該2人在不同層離開電梯的概率是（）

1145

A.—B.—C.一D.一

6556

【解答】解：由題意總的基本事件為：兩個(gè)人各有5種不同的下法，故共有25種結(jié)果,

而兩人在同一層下，共有5種結(jié)果，

51

.二兩個(gè)人在同一層離開電梯的概率是：—=-

255

4

所以個(gè)人在不同層離開的概率為：春

21-5-

故選：C.

5.(5分)在△ABC中，已知AB=2,AC=3,ZBAC=60a，AM,BN分別是BC,4c邊

上的中線，則京?藐=()

5511

A.IB.一弓C.一D.一5

2222

【解答】解：AB=2,AC=3,NBAC=60。，則|成|=2,|>4C|=3,AB-AC=3x2x

cos600=3,

AM,BN分別是BC,AC邊上的中線，則薪=+AC),BN=+BC)={-AB+

AC—AB^——2(-2.AB+AC),

則AM-BN=^AB+AC)-(-2AB+心=*(-2AB2-AB-AC+AC2}=i(-2x

1

4-3+9)=-右

故選：D.

M

AN

6.(5分)已知函數(shù)/(x)=2x-x-I,則不等式/(x)>0的解集是()

A.(-1,1)B.(-°°,-1)U(1,+8)

C.(0,1)D.(-8,0)U(1,+8)

【解答】解：不等式f（x）>0,即2x>x+\.

由于函數(shù)y=2'和直線y=x+l的圖象都經(jīng)過點(diǎn)（0,1）、

（1,2）,如圖所示:

不等式/（尤）>0的解集是（-8,0）U（1,+8）,

7.，點(diǎn)O為底邊AC的中點(diǎn)，將AABO沿80折

起到△08。的位置，使二面角。-80-C的大小為120°,則異面直線。。與BC所成

角的余弦值為（）

V3B.漁c.省D.漁

A.一

4433

【解答】解：由題設(shè)知：0A_LOB,即OO_LOB,OC1OB,

所以二面角。-BO-C的平面角NCO￡）=120°,

若E、F、G分別為OC、CD、OB中點(diǎn)，連接EF、FG、EG,

所以EFEG//BC,故異面直線。。與BC所成角，即為/FEG或其補(bǔ)角,

若EG=1,貝IJBC=2,OC=QD=?故EF=第，

又O￡>COC=O,OD,OCcffiCOD,故08_1面610。，

而OFu面COD,故OB±OF,

1"

在Rt^GO尸中，OG=^,。尸=芋故GF=1,

所以，在△FEG中，cosNFEG=EF2*嘉嚴(yán):=察

Zcr-cG4

8.(5分)若不等式(a-|x-b|)?sin(x+第W0,對x€[0,2ir]恒成立，貝ijsin(?+/?)和sin

（a-b）分別等于（）

V2V2V2V2

—；—B.—；——C.一二；一區(qū)

2222D.

【解答】解：當(dāng)年Wx4竿時(shí)，sin（x+QWO,

當(dāng)OWxW孚或一WxW21T時(shí)，sin(x+J)20,

444

當(dāng)OWxW苧或.時(shí)，a-\x-。|20,當(dāng)手工工工券時(shí)，〃-卜-"W0,

設(shè)/(%)=a-\x-Z?|,則/（x）在（-8,b）上單調(diào)遞增，在（b,+8）上單調(diào)遞減,

且/（元）的圖象關(guān)于直線x=b對稱,

37177r

")=y=o.

47T77rKTT37T3n57r人,乙n

???2匕=竿+竿，即方=竽，又f（7）a-|———1=0,故a—77.

44/

a+b=

號(hào)=2冗-*

.37r

"b二一彳；

IT_V2

Asin(a+b)=sin(一不)~T;

(一空)3nV2

sin(a-b)=sinsin—

42

故選：D.

二、選擇題（本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)

符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分）

11

（多選）9.（5分）若一VOV口則下列結(jié)論一定正確的是（）

ab

A.ab<?B.c^<b2

C.（1）a>（1）dD.\a-b\>\a+b\

11

【解答】解：二?一<0

ab

：.a<0<b,

：.ab<b2,（1）a>（1）b,故選項(xiàng)A,C正確；

當(dāng)a=-5,6=1時(shí)，，c^>b2,故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

又由a<0<b,得ab<0,

；.|a-臼2-心+蘇=-4ab>0,則|a-b\>\a+b^,即|a-b\>\a+b\,故選項(xiàng)D正確.

故選：ACD.

（多選）10.（5分）今年5月25日工信部部長在“兩會(huì)部長通道”表示，中國每周大概增

加1萬多個(gè)5G基站，4月份增加5G用戶700多萬人，5G通信將成為社會(huì)發(fā)展的關(guān)鍵動(dòng)

力，如圖是某機(jī)構(gòu)對我國未來十年5G用戶規(guī)模的發(fā)展預(yù)測圖，閱讀如圖關(guān)于下列說法,

其中正確的是（）

2020-2029年中國5G用戶規(guī)模

A.2022年我國5G用戶規(guī)模年增長率最高

B.2025年我國5G用戶數(shù)規(guī)模最大

C.從2020年到2026年，我國的5G用戶規(guī)模增長兩年后，其年增長率逐年下降

D.這十年我國的5G用戶數(shù)規(guī)模，后5年的平均數(shù)與方差都分別大于前5年的平均數(shù)與

方差

【解答】解：由某機(jī)構(gòu)對我國未來十年5G用戶規(guī)模的發(fā)展預(yù)測圖，知：

對于A,2022年我國5G用戶規(guī)模年增長率超過300.0%,達(dá)到最高，故A正確；

對于B,2029年我國5G用戶數(shù)達(dá)到137205.3萬人，規(guī)模最大，故8錯(cuò)誤；

對于C,從2020年到2026年，我國的5G用戶規(guī)模增長兩年后，其年增長率逐年下降,

故C正確；

對于O,這十年我國的5G用戶數(shù)規(guī)模，后5年的平均數(shù)大于前5年的平均數(shù)，

后5年的方差小于前5年的方差，故。錯(cuò)誤.

故選：AC.

（多選）11.（5分）在通用技術(shù)課上，某小組將一個(gè)直三棱柱A8C-4&C展開得到平面

圖如圖所示，ZABC=90°,AAi=AB,P為的中點(diǎn)，。為AC的中點(diǎn)，則在原直三

棱柱ABC-AiBi。中，下列說法正確的是（）

B.AiC.LABi

3

C.幾何體A-PQCB和直三棱柱ABC-AiBiCi的體積之比為g

D.當(dāng)BC=&4B時(shí)，4c與平面ABBi所成的角為45°

【解答】解：如圖，將展開的平面圖還原成立體圖形，

對4選項(xiàng)，連接4B,為的中點(diǎn)，

.?.P也為4B的中點(diǎn)，又。為A1C的中點(diǎn)，

C.PQ//BC,：.P,Q,C,B四點(diǎn)共面，故4選項(xiàng)正確；

對B選項(xiàng)，?.N3C=90°,棱柱ABC-4BC1為直三棱柱，

易得BCJ_平面ABBiAi,又ABiu平面ABBiAi，

...又ABiLBC,又A4i=AB,.?.四邊形ABBiAi為正方形，

：.AB\±A\B,又BCCAiB=B,

平面4BC,又AiCu平面AiBC,

...AiCLABi，選項(xiàng)正確；

對C選項(xiàng)，：P,0分別為48,4c的中點(diǎn)，

.3

,?S四邊形PQCB=/SAABC，

.33311

VA-PQCB-4匕-&BC=4%1-4BC=4X3以BC-41B1Q=4匕BC-AIBIQ，

二幾何體A-PQCB和直三棱柱ABC-A\B\C\的體積之比為,

4

故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

對。選項(xiàng)，當(dāng)BC=VL4B時(shí)，，

又M=AB,且AA」AB,：.A\B^V2AB,

：.BC=AiB,：.ZBA\C=45a,

又由B選項(xiàng)的分析知8cl.平面ABBIAI,

...N84C即為AC與平面A8B1所成的角，又NB4C=45°,

.?.AC與平面ABBi所成的角為45°.

故。選項(xiàng)正確.

故選:ABD.

(多選)12.(5分)已知?jiǎng)訄AC：(x-cosa)2+(y-sina)2=1,aG[0,2n),則()

A.圓C與圓)+/=4相切

B.圓C與直線xsina+ycosa-1=0相切

C.圓C上一點(diǎn)M滿足西=(0,1),則M的軌跡的長度為4TT

D.當(dāng)圓C與坐標(biāo)軸交于不同的三點(diǎn)時(shí)，這三點(diǎn)構(gòu)成的三角形面積的最大值為1

【解答】解：圓C的圓心為A(cosa,sina),半徑為1,圓/+)?=4的圓心為O(0,0),

半徑為2,

因?yàn)镃M=7cos2a+sin2a=1=2—1,所以兩圓內(nèi)切，A正確，

圓心A(cosa,sina)到直線xsina+ycosa-1=0的距離為d=同幾。^￡^^匕=/°”=

yjsina+cos2a

\sin2a—1|G[0,2],d不一定等于1,

故圓C與直線xsina+ycosa-1=0不一定相切，B錯(cuò)誤，

—

設(shè)M(x,y),則CM=(%—cosa,y-sina)=(0,1),

所以｛二灣譏a，所以-)2=],

所以點(diǎn)M的軌跡為以點(diǎn)(0,1)為圓心，1為半徑的圓，其周長為2mC錯(cuò)誤，

。選項(xiàng)，令x=0得：(0-cosa)2+(y-sina)2=1,解得：y=0或y=2sina,

令y=0得：(x-cosa)2+(0-sina)2=1,解得：x=0或x=2cosa,

所以圓C與坐標(biāo)軸交于不同的三點(diǎn),分別記為0(0,0),A(2cosa,0),B(0,2sina),

則這三點(diǎn)構(gòu)成的三角形面積S=\0A\'\0B\=\4sinacosa\=\sin2a\,

當(dāng)戊=/或。=苧時(shí)，三角形面積取得最大值，最大值為1,。正確.

故選：AD.

三、填空題(本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分)

13.(5分)已知向量總施夾角為45。，鬲=VL且27=2,若(亮+辦鹿，貝"人=

~2

【解答】解：?.響量次了的夾角為45。，向=魚，且:)=2,

|a|e|/)|cos45°=2,可得聞=2,

V(Aa+b)16,

二入之?b+=o可得：2A+22=0,

???入=-2,

故答案為：-2.

14.(5分)軍事飛行人員是國家的特殊人才和寶貴資源，招收和培養(yǎng)飛行員歷來受到國家

的高度重視，某地區(qū)招收海軍飛行員，從符合條件的高三學(xué)生中隨機(jī)抽取8人，他們的

身高(單位：cm)分別為168,171,172,173,175.175,179,180,則這8名高三學(xué)生

身高的第75百分位數(shù)為177.

【解答】解：因?yàn)?5%X8=6,所以第75百分位數(shù)是從低到高第6個(gè)和第7個(gè)數(shù)據(jù)的平

故答案為：77.

15.（5分）寫出與圓7+『=1和（x-3）2+（y-4）2=16都相切的一條直線的方程一

=-1（填3x+4y-5=0,7--24y-25=0都正確）.

【解答】解：圓/+>2=1的圓心坐標(biāo)為。（0,0）,半徑川=1,

圓（x-3）2+（y4）2=16的圓心坐標(biāo)為C（3,4）,半徑合=4,

???。0=n+底，，兩圓外切，由圖可知，與兩圓都相切的直線有三條.

4，QQ

的斜率為一本設(shè)直線人：產(chǎn)一江+b,即3x+4y-4-=0,

由LI-『4b|=l,解得6=q京（負(fù)值舍去），則/i：3x+4），-5=0；

4

由圖可知，fc:X--1;，2與，3關(guān)于直線1y=弓%對稱，

（X=—1A

聯(lián)立4,解得/2與/3的一個(gè)交點(diǎn)為（-1，一引，在/2上取一點(diǎn)（-1，0）,

（y=/3

r^=4xozl

該點(diǎn)關(guān)于尸江的對稱點(diǎn)為（xo,加），則『知35,解得對稱點(diǎn)為（五，一郢.

24

2一~774

4+3即O

=一-

7列/3:-7X25

+1L24(324y-

25

與圓/+）2=1和G-3）2+（y-4）2=]6都相切的一條直線的方程為:

x=-1（填3x+4y-5=0,lx-24），-25=0都正確）.

故答案為：x=-1（填3尤+4），-5=0,7x-24y-25=0都正確）.

16.（5分）神舟十三號(hào)飛船于2022年4月16日首次實(shí)施快速返回技術(shù)成功著陸.若由搜

救地面指揮中心的提供信息可知：在東風(fēng)著陸場搜索區(qū)域內(nèi)，A處的返回艙垂直返回地

面.空中分隊(duì)和地面分隊(duì)分別在8處和C處，如圖為其示意圖，若A,B,C在同一水平

面上的投影分別為4,Bi，C,且在C點(diǎn)測得8的仰角為26.6。，在C點(diǎn)測得4的仰角

為45°,在8點(diǎn)測得A的仰角為26.6°,BBi=7癡，/8i4C=120°.則C4的長為10

km(參考數(shù)據(jù)：tan26.6°?^).

【解答】解：如圖:

設(shè)AiC=x5?,過點(diǎn)8作A41的垂線，垂足為C,

由題意得NBCBi=26.6°,乙4c4=45°,乙48。=26.6°,貝ijA4=x,

：A4i_L平面4B1C,BBi_L平面4BC,

：.AA\//BB\,

又4C,AiBiu平面AiBiC,

：.AA\A.A\C,AAilA\B\,

因?yàn)锳A」8。，

'：BD//A\B\,

四邊形為平行四邊形，

:.AiD=BBi=7,

'.AD=AA\-A\D=x-7,

在Rt/XABD中BD=+絲an=+=2(x-7),

tanz.ABDtan26.60!“

2

：.B\A\=BD=2(x-7),

平面AiBiC,BiCu平面AiBiC,：.BB\LB\C,

-14,

,?當(dāng),-tanABCB1=tan26.6°J

在△Ai&C中,ZBiAiC=120°,

222222

/11B1+41C-E1C_[2(X-7)]+X-14_1

由余弦定理得cosl20°=

2AXBVAXC=2x2(x-7)x~2'

化簡得x2-10x=0,

...x=10或x=0(舍去).

CA\的長為Wkm.

故答案為：10.

四、解答題(本大題共6個(gè)小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)

17.(10分)某公司在一次入職面試中，共設(shè)有3輪測試，每輪測試設(shè)有一道題目，面試者

能正確回答兩道題目的即可通過面試，累計(jì)答錯(cuò)兩道題目的即被淘汰.已知李明能正確

2

回答每一道題目的概率均為￡且各輪題目能否正確回答互不影響.

(1)求李明不需要進(jìn)入第三輪測試的概率；

(2)求李明通過面試的概率.

【解答】解：共設(shè)有3輪測試，每輪測試設(shè)有一道題目，面試者能正確回答兩道題目的

即可通過面試，累計(jì)答錯(cuò)兩道題目的即被淘汰.

(1)設(shè)李明通過第一、二、三輪測試分別設(shè)為事件A,B,C,可知A,B,C相互獨(dú)立.

設(shè)李明不需要進(jìn)入第三輪測試為事件M,則M=AB+AB,

所以P(M)=P(AB+AB)=P{AB)+P(AB}=+P(A')P(B')=(j)2+(1-

7r5

|)2=I，,即李明不需要進(jìn)入第三輪測試的概率為g；

(2)設(shè)李明最終通過測試為事件N,則N=AB+ABC+ABC,

所以P(/V)=P(AB+ABC+ABQ=P(^AB)+P(ABC)+P(^ABC)=(|)2+(1-1)?

(|)2+(1-1)?(|)2=翁,故李明最終通過測試的概率為稱.

18.(12分)如圖，矩形AQEF與梯形ABCQ所在的平面互相垂直，ADLCD,AB//CD,

AB^AD=2,8=4,M為CE的中點(diǎn).

（I）求證：BM〃平面AOEF；

（II）求證：BC_L平面BDE.

【解答】證明：（I）取OE中點(diǎn)N,連結(jié)MMAN.

在△￡■￡>（:中，M,N分別為EC,EQ的中點(diǎn)，…（2分）

1

所以MN〃C￡）,且MN="。.

由已知AB〃C￡）,AB=1CD,

所以MN〃A8,且MN=AB.

所以四邊形A8MN為平行四邊形.…（4分）

所以BM//AN.

又因?yàn)锳Nu平面ADEF,且BMC平面ADEF,

所以8M〃平面AOEF.…（6分）

（II）在矩形ADE/中，ED1AD.

又因?yàn)槠矫鍭DE凡L平面ABCD,

且平面ADEFH平面ABCD=AD,

所以EQ_L平面ABCD

所以E￡>_LBC.???（9分）

在直角梯形4BCO中，AB=AD=2,CD=4,可得BC=2企.

在△8C￡>中，BD=BC=2A/2,CD=4,

因?yàn)锽J+BCAMC/A所以8C_LBO.

因?yàn)?￡>nOE=￡>,所以BC_L平面…（13分）

E

19.（12分）己知直線/i的方程為x-2y+8=0,直線/2的方程為4x+3y-1=0.

（1）設(shè)直線4與/2的交點(diǎn)為P，求過點(diǎn)。且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線/的方程；

（2）設(shè)直線b的方程為ax+y+l=0,若直線b與八，，2不能構(gòu)成三角形，求實(shí)數(shù)a的取

值的集合.

【解答】解：（1）?.?直線/1的方程為x-2y+8=0,直線/2的方程為4x+3y-1=0,

設(shè)直線/1與12的交點(diǎn)為P，過點(diǎn)P且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線/的方程為x-2），+8+入

（4x+3y-1）=0,

即（4A+1）x+（3A-2）/8-入=0,

則它在x軸上的截距為焉g,它在y軸上的截距為主5，

A—8A—8

由題意，——=——,求得入=8或入=-3.

4A+13A-2

當(dāng)入=8時(shí)，直線的方程為3x+2y=0；當(dāng)人=-3時(shí)，直線的方程為x+y-1=0.

綜上可得，直線/的方程為3x+2y=0或x+y-1=0.

（2）設(shè)直線/3的方程為以+尹1=0,；直線/3與/1,/2不能構(gòu)成三角形，

若直線/3與/1平行，則即〃=-；.

若直線h與b平行，則-。=—寺，；.。=

若直線Z1與12的交點(diǎn)P（-2,3）在直線h：ajc+y+l=0上，則-2a+3+1=0,求得a=2.

故實(shí)數(shù)”的取值的集合為{-}--2}.

20.（12分）如圖，已知長方形ABCC中，AB=142,AD=a,M為OC的中點(diǎn)，將△AQM

沿AM折起，使得平面AOM_L平面ABCM

（I）求證：AD1BM

（II）若點(diǎn)E是線段上的一動(dòng)點(diǎn)，問點(diǎn)E在何位置時(shí)，二面角E-AM-O的余弦值

【解答】⑴證明：長方形ABCO中，AB=2y[2,AD=V2,M為。C的中點(diǎn),

：.AM=BM=2,J.BMYAM.

?.?平面AOM_L平面A3CM,平面AOMC平面A8cM=AM,BMu平面A8CM

平面ADW

；AOu平面ADM/.AD1,BM；

(2)建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，設(shè)法=A防,

則平面AMD的一個(gè)法向量1=(0,0),ME=MD+XDB=(1-入，2入，1-入)，AM=

(-2,0,0),設(shè)平面AME的一個(gè)法向量為蔡=(x,y,z),則

'TT

m?AM=-2x=0

屆?選=(1-2)x+2Ay4-(1-A)z=0

92

取y=l,得x=0,Z=FJ,

2A

則m=(0,],----),

1-A

―)一、m-nV5._p.z]1

VcosOn,n>=_>->=??求得B4=個(gè)

|m||n|52

21.(12分)已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且6?成+易?辰1=

201-CB.

cosAcosB

(1)若一「=——，判斷△ABC的形狀并說明理由；

b