2022-2023學(xué)年湖南省長沙市天心區(qū)長郡外國語實驗中學(xué)八年級（下）第一次月考數(shù)學(xué)試卷

第1頁（共1頁）2022-2023學(xué)年湖南省長沙市天心區(qū)長郡外國語實驗中學(xué)八年級（下）第一次月考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題共12小題，共36分）1．（3分）要使得式子有意義，則x的取值范圍是（）A．x＞2 B．x≥2 C．x＜2 D．x≤22．（3分）下列幾組數(shù)據(jù)能作為直角三角形的三邊長的是（）A．2，3，4 B．，， C．4，6，9 D．3，4，53．（3分）下列計算正確的是（）A．＝﹣2 B．4﹣3＝1 C．+＝ D．2＝4．（3分）矩形具有而一般平行四邊形不具有的性質(zhì)是（）A．兩組對邊分別相等 B．兩組對角分別相等 C．兩條對角線互相平分 D．兩條對角線相等5．（3分）如圖，已知△ABC中，∠C＝90°，DE是△ABC的中位線，AC＝4，則DE＝（）A． B． C．1 D．26．（3分）如圖，矩形OABC的邊OA長為2，邊AB長為1，OA在數(shù)軸上，以原點O為圓心，對角線OB的長為半徑畫弧，交正半軸于一點，則這個點表示的實數(shù)是（）A．2.5 B．2 C． D．7．（3分）如圖，長方形ABCD中，AB＝3cm，AD＝9cm，將此長方形折疊，使點B與點D重合，折痕為EF，則AE的長為（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm8．（3分）如圖，某超市為了吸引顧客，在超市門口離地高4.5m的墻上，裝有一個由傳感器控制的門鈴A，如①圖所示，人只要移至該門口4m及4m以內(nèi)時，門鈴就會自動發(fā)出語音“歡迎光臨”，如②圖所示，一個身高1.5m的學(xué)生走到D處，門鈴恰好自動響起，則該生頭頂C到門鈴A的距離為（）A．3米 B．4米 C．5米 D．6米9．（3分）已知x＝﹣2，y＝+2，則+的值為（）A．2 B．﹣4 C．4 D．﹣210．（3分）如圖，AB＝AC＝13，BP⊥CP，BP＝8，CP＝6，則四邊形ABPC的面積為（）A．48 B．60 C．36 D．7211．（3分）已知﹣1＜a＜0，化簡的結(jié)果為（）A．2a B．﹣2a C．﹣ D．12．（3分）如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC的垂直平分線分別與AD，AC，BC相交于點E，O，F(xiàn)．下列結(jié)論正確的個數(shù)有（）①四邊形AFCE為菱形；②△ABF≌△CDE；③當(dāng)F為BC中點時，∠ACD＝90°．A．0個 B．1個 C．2個 D．3個二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，共18分）13．（3分）已知x、y都是實數(shù)，且y＝++3．則xy＝．14．（3分）如圖，一架梯子AB長10米，底端離墻的距離BC為6米，當(dāng)梯子下滑到DE時，AD＝2米，則BE＝米．15．（3分）在平行四邊形ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，AE＝4，AF＝6，平行四邊形ABCD的周長為40，則平行四邊形ABCD的面積為．16．（3分）如圖所示，DE為△ABC的中位線，點F在DE上，且∠AFB＝90°，若AB＝4，BC＝10，則EF的長為．17．（3分）如圖所示的正方形圖案是用4個全等的直角三角形拼成的．已知正方形ABCD的面積為25，正方形EFGH的面積為1，若用x、y分別表示直角三角形的兩直角邊（x＞y），下列三個結(jié)論：①x2+y2＝25；②x﹣y＝1；③xy＝12；④x+y＝40．其中正確的是（填序號）．18．（3分）如圖，在△ABC中∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，P為邊BC上動點，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M為EF的中點，則PM的最小值為．三、解答題（本大題共8小題，共66分）19．（6分）計算：（1）；（2）．20．（6分）已知：，．（1）求ab．（2）求a2+b2﹣2ab．21．（8分）在杭州西湖風(fēng)景游船處，如圖，在離水面高度為5m的岸上，有人用繩子拉船靠岸，開始時繩子BC的長為13m，此人以0.5m/s的速度收繩10s后船移動到點D的位置，問船向岸邊移動了多少m？（假設(shè)繩子是直的，結(jié)果保留根號）22．（8分）如圖，連接四邊形ABCD的對角線AC，已知∠B＝90°，BC＝1，AB＝，CD＝2，AD＝2．（1）求證：△ACD是直角三角形；（2）求四邊形ABCD的面積．23．（9分）如圖在四邊形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，對線AC，BD相交于點O，AC平分∠BAD，過點C作CE∥DB交AB的延長線于點E，連接OE．（1）求證：四邊形ABCD是菱形；（2）若∠DAB＝60°，且AB＝6，求OE的長．24．（9分）如圖，菱形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，E是AD的中點，點F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF．（1）判斷四邊形OEFG的形狀；（2）若AC＝8，BD＝6，求菱形ABCD的面積和EF的長．25．（10分）定義：若四邊形有一組對角互補(bǔ)，有一組鄰邊相等，且相等鄰邊的夾角為直角，像這樣的圖形定義為“郡外四邊形”．（1）如下：①平行四邊形；②矩形；③菱形；④正方形，一定是“郡外四邊形”的是：．（2）如圖點P是正方形ABCD對角線AC上一點，點O是線段AC中點，點E是射線BC上一點，且PE＝PB，連接PD．①如圖1，當(dāng)點P在線段AO上時，求證：四邊形PECD為“郡外四邊形”；②如圖2，當(dāng)點P在線段CO上時，試用等式來表示PB，BC，CE的數(shù)關(guān)系，并證明．26．（10分）在平面直角坐標(biāo)系中，O是原點，矩形ABCO的頂點A、C分別在x軸、y軸上，已知B點坐標(biāo)為（a，b），且a，b滿足a2﹣10a+25+＝0，若點M沿線段CB從C向B以每秒2cm的速度運(yùn)動至B，同時動點N沿線段AO從A向O以同樣的速度運(yùn)動，當(dāng)其中一個點停止時，另一個也停止運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為t秒，連接OM、BN．（1）如圖1，當(dāng)t為何值時，四邊形OMBN是菱形？（2）如圖2，將矩形OABC沿著AP折疊，點O的對應(yīng)點Q′恰好落在BC邊上，連接OQ′，①求Q′點坐標(biāo)；②求四邊形AOPQ′的面積．如圖3，點P是對角線OB上一動點，點Q是OA上一動點，求AP+PQ的最小值．參考答案與試題解析一、選擇題（本大題共12小題，共36分）1．（3分）要使得式子有意義，則x的取值范圍是（）A．x＞2 B．x≥2 C．x＜2 D．x≤2【解答】解：根據(jù)題意，得x﹣2≥0，解得x≥2．故選：B．2．（3分）下列幾組數(shù)據(jù)能作為直角三角形的三邊長的是（）A．2，3，4 B．，， C．4，6，9 D．3，4，5【解答】解A、∵22+32＝13，42＝16，∴22+32≠42，∴不能組成直角三角形，故A不符合題意；B、∵（）2+（）2＝7，（）2＝5，∴（）2+（）2≠（）2，∴不能組成直角三角形，故B不符合題意；C、∵42+62＝52，92＝81，∴42+62≠92，∴不能組成直角三角形，故C不符合題意；D、∵42+32＝25，52＝25，∴42+32＝52，∴能組成直角三角形，故D符合題意；故選：D．3．（3分）下列計算正確的是（）A．＝﹣2 B．4﹣3＝1 C．+＝ D．2＝【解答】解：A.＝2，故此選項不合題意；B.4﹣3＝，故此選項不合題意；C.+無法合并，故此選項不合題意；D.2＝2×＝，故此選項符合題意；故選：D．4．（3分）矩形具有而一般平行四邊形不具有的性質(zhì)是（）A．兩組對邊分別相等 B．兩組對角分別相等 C．兩條對角線互相平分 D．兩條對角線相等【解答】解：A、矩形、平行四邊形的對邊都是相等的，故本選項不符合；B、矩形、平行四邊形的對角都是相等的，故本選項不符合；C、矩形、平行四邊形的對角線都是互相平分的，故本選項不符合；D、矩形的對角線相等，平行四邊形的對角線不一定相等，故本選項符合；故選：D．5．（3分）如圖，已知△ABC中，∠C＝90°，DE是△ABC的中位線，AC＝4，則DE＝（）A． B． C．1 D．2【解答】解：∵DE是△ABC的中位線，AC＝4，∴DE＝AC＝2，故選：D．6．（3分）如圖，矩形OABC的邊OA長為2，邊AB長為1，OA在數(shù)軸上，以原點O為圓心，對角線OB的長為半徑畫弧，交正半軸于一點，則這個點表示的實數(shù)是（）A．2.5 B．2 C． D．【解答】解：由勾股定理可知，∵OB＝，∴這個點表示的實數(shù)是．故選：D．7．（3分）如圖，長方形ABCD中，AB＝3cm，AD＝9cm，將此長方形折疊，使點B與點D重合，折痕為EF，則AE的長為（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm【解答】解：∵長方形折疊點B與點D重合，∴BE＝ED，設(shè)AE＝xcm，則ED＝（9﹣x）cm，BE＝（9﹣x）cm，在Rt△ABE中，AB2+AE2＝BE2，即32+x2＝（9﹣x）2，解得x＝4，∴AE的長是4cm，故選：B．8．（3分）如圖，某超市為了吸引顧客，在超市門口離地高4.5m的墻上，裝有一個由傳感器控制的門鈴A，如①圖所示，人只要移至該門口4m及4m以內(nèi)時，門鈴就會自動發(fā)出語音“歡迎光臨”，如②圖所示，一個身高1.5m的學(xué)生走到D處，門鈴恰好自動響起，則該生頭頂C到門鈴A的距離為（）A．3米 B．4米 C．5米 D．6米【解答】解：由題意可知．BE＝CD＝1.5m，AE＝AB﹣BE＝4.5﹣1.5＝3m，CE＝4m，由勾股定理得AC＝＝＝5（m），故離門5米遠(yuǎn)的地方，門鈴恰好自動響起．故選：C．9．（3分）已知x＝﹣2，y＝+2，則+的值為（）A．2 B．﹣4 C．4 D．﹣2【解答】解：+＝，當(dāng)x＝﹣2，y＝+2時，x+y＝﹣2++2＝2，xy＝（﹣2）（+2）＝3﹣4＝﹣1，∴原式＝＝﹣2．故選：D．10．（3分）如圖，AB＝AC＝13，BP⊥CP，BP＝8，CP＝6，則四邊形ABPC的面積為（）A．48 B．60 C．36 D．72【解答】解：如圖，過點A作AD⊥BC于D，在Rt△BPC中，由勾股定理得，BC＝，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴AD是△ABC的中線，∴BD＝CD＝，在Rt△ABD中，由勾股定理得，AD＝＝＝12，∴S＝60，∵S＝24，∴四邊形ABPC的面積＝S△ABC﹣S△BPC＝60﹣24＝36，故選：C．11．（3分）已知﹣1＜a＜0，化簡的結(jié)果為（）A．2a B．﹣2a C．﹣ D．【解答】解：＝﹣＝||﹣||，當(dāng)﹣1＜a＜0時，原式＝a﹣+＝2a．故選：A．12．（3分）如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC的垂直平分線分別與AD，AC，BC相交于點E，O，F(xiàn)．下列結(jié)論正確的個數(shù)有（）①四邊形AFCE為菱形；②△ABF≌△CDE；③當(dāng)F為BC中點時，∠ACD＝90°．A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【解答】解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AD∥BC，AD＝BC，AB＝CD，∠B＝∠D，AB∥CD，∴∠EAC＝∠FCA，∵EF垂直平分AC，∴OA＝OC，EA＝EC，∴∠EAC＝∠ECA，∴∠FCA＝∠ECA，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF（ASA），∴OE＝OF，∴四邊形AFCE為平行四邊形，∵EF垂直平分AC，∴平行四邊形AFCE是菱形，①正確；∴AE＝CF，∴BF＝DE，在△ABF和△CDE中，，∴△ABF≌△CDE（SAS），②正確；∵四邊形AFCE是菱形，∴AF＝CF，∵F為BC的中點，∴BF＝CF，∴AF＝CF＝BC，∴∠BAC＝90°，∵AB∥CD，∴∠ACD＝∠BAC＝90°，③正確；正確的個數(shù)有3個，故選：D．二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，共18分）13．（3分）已知x、y都是實數(shù)，且y＝++3．則xy＝6．【解答】解：∵x﹣2≥0，2﹣x≥0，∴x＝2，∴y＝3，∴xy＝2×3＝6．故答案為：6．14．（3分）如圖，一架梯子AB長10米，底端離墻的距離BC為6米，當(dāng)梯子下滑到DE時，AD＝2米，則BE＝2米．【解答】解：在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理，可得：AC＝＝＝8（米），∴DC＝AC﹣AD＝8﹣2＝6（米），在Rt△DCE中，CE＝＝＝8（米），∴BE＝CE﹣BC＝8﹣6＝2（米），故答案為：2．15．（3分）在平行四邊形ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，AE＝4，AF＝6，平行四邊形ABCD的周長為40，則平行四邊形ABCD的面積為48．【解答】解：∵平行四邊形ABCD的周長為40，∴BC+CD＝20，設(shè)BC為x，∵S平行四邊形ABCD＝BC?AE＝CD?AF，∴4x＝（20﹣x）×6，解得x＝12，∴平行四邊形ABCD的面積為12×4＝48．故答案為48．16．（3分）如圖所示，DE為△ABC的中位線，點F在DE上，且∠AFB＝90°，若AB＝4，BC＝10，則EF的長為3．【解答】解：∵DE為△ABC的中位線，∴DE＝BC＝5，∵∠AFB＝90°，D是AB的中點，∴DF＝AB＝2，∴EF＝DE﹣DF＝3，故答案為：3．17．（3分）如圖所示的正方形圖案是用4個全等的直角三角形拼成的．已知正方形ABCD的面積為25，正方形EFGH的面積為1，若用x、y分別表示直角三角形的兩直角邊（x＞y），下列三個結(jié)論：①x2+y2＝25；②x﹣y＝1；③xy＝12；④x+y＝40．其中正確的是①②③（填序號）．【解答】解：由題意可得小正方形的邊長＝1，大正方形的邊長＝5，x2+y2＝斜邊2＝大正方形的面積＝25，故①正確；∵小正方形的邊長為1，∴x﹣y＝1，故②正確；∵小正方形的面積+四個直角三角形的面積等于大正方形的面積，∴1+2xy＝25，∴xy＝12，故③正確；（x+y）2＝x2+2xy+y2＝25+24＝49．x＞0，y＞0，∴x+y＝7，故④不正確．綜上可得①②③正確．故答案為：①②③．18．（3分）如圖，在△ABC中∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，P為邊BC上動點，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M為EF的中點，則PM的最小值為2.4．【解答】解：連接AP，如圖所示：∵∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，∴，∵PE⊥AB，PF⊥AC，∴四邊形AFPE是矩形，∴EF＝AP，EF與AP互相平分，∵M(jìn)是EF的中點，∴M為AP的中點，∴，根據(jù)直線外一點到直線上任一點的距離，垂線段最短，即AP⊥BC時，AP最短，同樣PM也最短，∴當(dāng)AP⊥BC時，由△ABC的面積計算公式（等積法）可得，，∴AP最短時，AP＝4.8，∴當(dāng)PM最短時，．故答案為：2.4．三、解答題（本大題共8小題，共66分）19．（6分）計算：（1）；（2）．【解答】解：（1）原式＝1+2+2﹣+16＝19+；（2）原式＝22﹣（）2+（）2﹣2×+（）2＝4﹣3+3﹣2+2＝6﹣2．20．（6分）已知：，．（1）求ab．（2）求a2+b2﹣2ab．【解答】解：（1）把a(bǔ)＝+2，b＝﹣2代入得：ab＝（+2）（﹣2）＝（）2﹣22＝5﹣4＝1；（2）當(dāng)a＝+2，b＝﹣2時，a2+b2﹣2ab＝（a﹣b）2＝[（+2）﹣（﹣2）]2＝42＝16．21．（8分）在杭州西湖風(fēng)景游船處，如圖，在離水面高度為5m的岸上，有人用繩子拉船靠岸，開始時繩子BC的長為13m，此人以0.5m/s的速度收繩10s后船移動到點D的位置，問船向岸邊移動了多少m？（假設(shè)繩子是直的，結(jié)果保留根號）【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，BC＝13m，AC＝5m，∴（m），∵此人以0.5m/s的速度收繩，10s后船移動到點D的位置，∴CD＝13﹣0.5×10＝8（m），∴（m），∴）（m）．答：船向岸邊移動了）m．22．（8分）如圖，連接四邊形ABCD的對角線AC，已知∠B＝90°，BC＝1，AB＝，CD＝2，AD＝2．（1）求證：△ACD是直角三角形；（2）求四邊形ABCD的面積．【解答】（1）證明：∵∠B＝90°，BC＝1，AB＝，∴AC＝，∵CD＝2，AD＝2，∴AC2+CD2＝AD2，∴△ACD是直角三角形；（2）解：∵AB＝，BC＝1，∴S四邊形ABCD＝S△ABC+S△ACD＝．23．（9分）如圖在四邊形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，對線AC，BD相交于點O，AC平分∠BAD，過點C作CE∥DB交AB的延長線于點E，連接OE．（1）求證：四邊形ABCD是菱形；（2）若∠DAB＝60°，且AB＝6，求OE的長．【解答】（1）證明：∵AB∥DC，∴∠CAB＝∠ACD，∵AC平分∠BAD，∴∠CAB＝∠CAD，∴∠CAD＝∠ACD，∴DA＝DC，∵DA＝AB，∴AB＝DC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∵AB＝AD，∴四邊形ABCD是菱形；（2）解：由（1）得：四邊形ABCD是菱形，∵∠DAB＝60°，∴∠OAB＝30°，∠AOB＝90°，∵AB＝6，∴，∵，∴四邊形DBEC是平行四邊形，∴，∴；24．（9分）如圖，菱形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，E是AD的中點，點F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF．（1）判斷四邊形OEFG的形狀；（2）若AC＝8，BD＝6，求菱形ABCD的面積和EF的長．【解答】解：（1）四邊形OEFG是矩形．在菱形ABCD中，DO＝BO，又∵E是AD的中點，∴AE＝DE，OE∥AB，∴OE∥FG，又∵OG∥EF，∴四邊形OEFG是平行四邊形．∵EF⊥AB，∴∠EFG＝90°，∵四邊形OEFG是矩形．（2）菱形的面積＝．∵四邊形ABCD是菱形，∴，∴AB＝5．由（1）知，四邊形OEFG是矩形，∴EF＝OG，OG⊥AB．∴，∴，∴．25．（10分）定義：若四邊形有一組對角互補(bǔ)，有一組鄰邊相等，且相等鄰邊的夾角為直角，像這樣的圖形定義為“郡外四邊形”．（1）如下：①平行四邊形；②矩形；③菱形；④正方形，一定是“郡外四邊形”的是：④．（2）如圖點P是正方形ABCD對角線AC上一點，點O是線段AC中點，點E是射線BC上一點，且PE＝PB，連接PD．①如圖1，當(dāng)點P在線段AO上時，求證：四邊形PECD為“郡外四邊形”；②如圖2，當(dāng)點P在線段CO上時，試用等式來表示PB，BC，CE的數(shù)關(guān)系，并證明．【解答】（1）解：平行四邊形：相等鄰邊的夾角不是直角，故平行四邊形不是“郡外四邊形”；矩形：沒有一組鄰邊相等，故矩形不是“郡外四邊形”；菱形：相等鄰邊的夾角不是直角，故菱形不是“郡外四邊形”；正方形：有一組對角互補(bǔ)，有一組鄰邊相等，且相等鄰邊的夾角為直角，故正方形是“郡外四邊形”；故答案為：④；（2）證明：①∵四邊形ABCD是正方形，AC是對角線，∴BC＝DC，∠BCP＝∠DCP＝45°，∵PC＝PC，∴△BCP≌△DCP（SAS），∴PB＝PD，∠PBC＝∠PDC，∵PE＝PB，∴PD＝PE，∠PBC＝∠PEB，∴∠PEB＝∠PDC，∴∠PEC+∠PDC＝180°，由四邊形PECD內(nèi)角和為360°，∴∠DPE+∠DCE＝180°，∵∠DCE＝90°，∴∠DPE＝90°，∴PD⊥PE且PD＝PE，∴四邊形PECD為“郡外四邊形”；證明：②BC2+CE2＝2PB2；∵四邊形ABCD是正方形，AC是對角線，∴BA＝DA，∠BAP＝∠DAP＝45°，∵PA＝PA，∴△BAP≌△DAP（SAS），∴PB＝PD，∵PE＝PB，∴PD＝PE；（i）當(dāng)點E與點C重合時，點P恰好在AC中點處，此時，PD⊥PE，CE＝0，則由勾股定理有：2PB2＝BC2；（ii）當(dāng)點E在BC的延長線上時，如圖，∵△ADP≌△ABP，∴∠ABP＝∠ADP，∴∠CDP＝∠CBP，∵PE＝PB，∴∠CBP＝∠PEC，∴∠PEC＝∠PDC，∵