人教版八年級數(shù)學(xué)下冊基礎(chǔ)知識專項講練 專題16.4 二次根式的乘除（知識講解）

專題16.4二次根式的乘除（知識講解）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1、掌握二次根式的乘除法法則和化簡二次根式的常用方法，熟練進(jìn)行二次根式的乘除運算.2、了解最簡二次根式的概念，能運用二次根式的有關(guān)性質(zhì)進(jìn)行化簡.【要點梳理】要點一、二次根式的乘法及積的算術(shù)平方根

1.乘法法則：（≥0，≥0）,即兩個二次根式相乘，根指數(shù)不變，只把被開方數(shù)相乘.

特別說明：(1).在運用二次根式的乘法法則進(jìn)行運算時，一定要注意：公式中a、b都必須是非負(fù)數(shù)；(在本章中，如果沒有特別說明，所有字母都表示非負(fù)數(shù))；(2).該法則可以推廣到多個二次根式相乘的運算：≥0，≥0，…..≥0）.(3).若二次根式相乘的結(jié)果能寫成的形式，則應(yīng)化簡，如.積的算術(shù)平方根:

（≥0，≥0）,即積的算術(shù)平方根等于積中各因式的算術(shù)平方根的積.

特別說明：(1)在這個性質(zhì)中，a、b可以是數(shù)，也可以是代數(shù)式，無論是數(shù)，還是代數(shù)式，都必須滿足≥0，≥0,才能用此式進(jìn)行計算或化簡，如果不滿足這個條件，等式右邊就沒有意義，等式也就不能成立了；(2)二次根式的化簡關(guān)鍵是將被開方數(shù)分解因數(shù)，把含有形式的a移到根號外面.知識點二、二次根式的除法及商的算術(shù)平方根

1.除法法則：（≥0，>0）,即兩個二次根式相除，根指數(shù)不變，把被開方數(shù)相除.。

特別說明：(1)在進(jìn)行二次根式的除法運算時，對于公式中被開方數(shù)a、b的取值范圍應(yīng)特別注意，≥0，>0，因為b在分母上，故b不能為0.

(2)運用二次根式的除法法則，可將分母中的根號去掉，二次根式的運算結(jié)果要盡量化簡，最后結(jié)果中分母不能帶根號.

2.商的算術(shù)平方根的性質(zhì):

（≥0，>0），即商的算術(shù)平方根等于被除式的算術(shù)平方根除以除式的算術(shù)平方根.

特別說明：運用此性質(zhì)也可以進(jìn)行二次根式的化簡，運用時仍要注意符號問題.

知識點三、最簡二次根式（1）被開方數(shù)不含有分母；（2）被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式.滿足這兩個條件的二次根式叫最簡二次根式.特別說明：二次根式化成最簡二次根式主要有以下兩種情況：（1)被開方數(shù)是分?jǐn)?shù)或分式；（2）含有能開方的因數(shù)或因式.【典型例題】類型一、最簡二次根式??判斷??化簡??求參數(shù)1．判斷下列各式中哪些是最簡二次根式，哪些不是？為什么？（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．【答案】（3）（4）是最簡二次根式，（1）（2）（5）（6）不是最簡二次根式【分析】檢查最簡二次根式的兩個條件是否同時滿足，同時滿足的就是最簡二次根式，否則就不是．解：（1）不是最簡二次根式，被開方數(shù)含能開得盡方的因式；（2）不是最簡二次根式，被開方數(shù)含分母．（3）是最簡二次根式，符合兩個條件；（4）是最簡二次根式，被符合兩個條件；（5）不是最簡二次根式，被開方數(shù)含分母．（6）不是最簡二次根式，被開方數(shù)含分母．【點撥】本題考查最簡二次根式的定義，最簡二次根式必須滿足兩個條件：被開方數(shù)不含分母；被開方數(shù)不含能開得盡方的因數(shù)或因式．舉一反三：【變式1】在下列各式中，哪些是最簡二次根式？哪些不是？對不是最簡二次根式的進(jìn)行化簡．（1），（2），（3），（4），（5）．【答案】（1）不是，；（2）不是，；（3）是；（4）不是，；（5）不是，.【分析】判定一個二次根式是不是最簡二次根式的方法，就是逐個檢查最簡二次根式的兩個條件是否同時滿足，同時滿足的就是最簡二次根式，否則就不是．解：（1），含有開得盡方的因數(shù)，因此不是最簡二次根式．（2），被開方數(shù)中含有分母，因此它不是最簡二次根式；（3），符合最簡二次根式兩個條件；（4），在二次根式的被開方數(shù)中，含有小數(shù)，不是最簡二次根式；（5），被開方數(shù)中含有分母，因此它不是最簡二次根式．【點撥】本題考查最簡二次根式的定義．解決此題的關(guān)鍵，是掌握最簡二次根式的定義，最簡二次根式必須滿足兩個條件：（1）被開方數(shù)不含分母；（2）被開方數(shù)不含能開得盡方的因數(shù)或因式．【變式2】把下列二次根式化成最簡二次根式：；(2)；(3)；【答案】(1)；(2)；(3)【分析】（1）把32寫成16×2，然后化簡；（2）先把小數(shù)寫成分?jǐn)?shù)，然后分子分母都乘以2，然后化簡；（3）分子分母都乘以3，然后化簡．解：（1）；（2）；（3）．【點撥】此題主要考查了二次根式的化簡，熟練掌握二次根式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．已知和是相等的最簡二次根式．求，的值；求的值．【答案】的值是，的值是；（2）．【分析】（1）根據(jù)題意，它們的被開方數(shù)相同，列出方程組求出a，b的值；（2）根據(jù)算術(shù)平方根的概念解答即可．解：（1）∵和是相等的最簡二次根式，∴．解得，，∴的值是，的值是；（2）．【點撥】考查最簡二次根式的定義，根據(jù)最簡二次根式的定義列出關(guān)于a，b的方程組是解題的關(guān)鍵.舉一反三：【變式1】若與最簡二次根式能合并，則m的值為（

）A．7 B．9 C．2 D．1【答案】D【分析】先將化簡為最簡二次根式，再根據(jù)最簡二次根式的定義即可得．解：，與最簡二次根式能合并，，解得，故選：D．【點撥】本題考查了最簡二次根式、二次根式的化簡，熟練掌握最簡二次根式的概念是解題關(guān)鍵．【變式2】若與是被開方數(shù)相同的最簡二次根式，求的值．【答案】【分析】根據(jù)最簡二次根式的定義列出a，b的方程求出，再代入計算求值【詳解】解：∵與是被開方數(shù)相同的最簡二次根式解得：∴符合題意【點撥】本題考查了最簡二次根式的概念：（1）被開方數(shù)不含分母；（2）被開方數(shù)中不含能開的盡的因數(shù)或因式，滿足上述兩個條件的二次根式，叫做最簡二次根式．本題求出a，b后還需檢驗，因為被開方數(shù)必須為非負(fù)數(shù)．類型二、二次根式乘法??運算 ??化簡3．計算：．【答案】【分析】根據(jù)平方差公式結(jié)合二次根式的乘法法則可以解答本題．解：【點撥】本題考查二次根式的乘法運算、平方差公式，解答本題的關(guān)鍵是明確二次根式乘法運算的計算方法．舉一反三：【變式1】計算：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)6；(2)10；(3)1；(4)【分析】（1）根據(jù)二次根式的乘法法則進(jìn)行計算，再化為最簡二次根式即可；（2）根據(jù)二次根式的乘法法則進(jìn)行計算，再化為最簡二次根式即可；（3）根據(jù)二次根式的乘法法則進(jìn)行計算即可；（4）根據(jù)二次根式的乘法法則進(jìn)行計算，再化為最簡二次根式即可．解（1）原式．（2）原式．（3）原式．（4）原式．【點撥】本題主要考查了二次根式的乘法法則，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次的乘法法則：．【變式2】設(shè)，則可以表示為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)二次根式的乘法計算法則求解即可．解：∵，∴，故選D．【點撥】本題主要考查了二次根式的乘法，熟知二次根式的乘法計算法則是解題的關(guān)鍵．類型三、二次根式除法??運算 ??化簡4．計算：（1）；

（2）．【答案】（1）；（2）【分析】直接利用二次根式的除法運算法則及二次根式的性質(zhì)化簡求出即可．解：（1）原式；（2）原式．【點撥】此題主要考查了二次根式的性質(zhì)以及二次根式除法運算法則，正確掌握運算法則是解題關(guān)鍵．把反過來，就得到，利用它可以進(jìn)行二次根式的化簡．舉一反三：【變式1】把化去分母中的根號后得(

)A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)二次根式的乘除法運算法則進(jìn)行計算即可．解：．故選：D【點撥】本題主要考查了二次根式的乘除法運算．熟練掌握二次根式的乘除法運算法則是解題的關(guān)鍵．【變式2】在化簡時，有下列兩種不同的方法：方法1：原式．方法2：原式．這兩種方法都正確嗎？若有錯誤，說明理由．【答案】方法1是錯誤的，方法2是正確的，理由見解析【分析】根據(jù)分式的基本性質(zhì)可得方法1中當(dāng)時，違背了分式的基本性質(zhì)，即可求解．解：方法1是錯誤的，方法2是正確的．理由如下∶因為題中已知條件并沒有給出或隱含條件，而這里在約分以后將分子和分母同時乘以事實上，當(dāng)時，違背了分式的基本性質(zhì)，雖然結(jié)論是正確的，但運算過程是錯誤的，當(dāng)時，原式仍有意義，此時原式的值為0．所以方法1是錯誤的．【點撥】本題主要考查了二次根式的化簡，分式的除法，熟練掌握二次根式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．類型四、二次根式乘除法??混合運算??化簡求值5．（1）計算：；（2）計算：【答案】（1）8；（2）0【分析】（1）原式先計算乘方和二次根式乘法，然后再算加法即可得到答案；（2）原式先計算二次根式的除法，再合并即可得到答案．解：（1）計算：===8；（2）==0．【點撥】本題主要考查了二次根式的運算，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握二次根式相關(guān)的運算法則．舉一反三：【變式1】計算：；(2)；(3)．【答案】(1)；(2)1；(3)18【分析】（1）先把各二次根式化簡，再按照從左至右的順序進(jìn)行運算即可；（2）先把被開方數(shù)中的帶分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù)，再按照從左至右的順序進(jìn)行運算即可；（3）按照從左至右的運算順序進(jìn)行乘除運算即可．解（1）（2）＝1；（3）＝18．【點撥】本題考查的是二次根式的乘除混合運算，掌握“二次根式的乘除運算的運算法則與運算順序”是解本題的關(guān)鍵．【變式2】計算：(1)；(2)．【答案】(1)6；(2)【分析】（1）利用平方差公式運算即可；（2）先化為最簡二次根式，再利用二次根式的除法和乘法法則進(jìn)行計算即可．解（1）原式（2）原式【點撥】本題主要考查了最簡二次根式和二次根式的乘除運算，熟練掌握運算法則是解答本題的關(guān)鍵．中考真題專練1．（2022·貴州畢節(jié)·中考真題）先化簡，再求值：，其中．【答案】；【分析】先化簡分式，再代值求解即可；解：原式====，將代入得，原式=．【點撥】本題主要考查分式的化簡求值，掌握分式的運算法則是解題的關(guān)鍵．2．（2021·遼寧阜新·中考真題）先化簡，再求值：，其中．【答案】，【分析】分式算式中有加法和除法兩種運算，且有括號，按照運算順序，先算括號里的加法，再算除法，最后代入計算即可．原式當(dāng)時，原式．【點撥】本題是分式的化簡求值題，考查了二次根式的混合運算，二次根式的除法等知識，化簡時要注意