人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)基礎(chǔ)知識(shí)專項(xiàng)講練 專題17.1 勾股定理（知識(shí)講解）

專題17.1勾股定理（知識(shí)講解）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.掌握勾股定理的內(nèi)容及證明方法，能夠熟練地運(yùn)用勾股定理由已知直角三角形中的兩條邊長(zhǎng)求出第三條邊長(zhǎng)．2.掌握勾股定理，能夠運(yùn)用勾股定理解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題，會(huì)運(yùn)用方程思想解決問(wèn)題．3.熟練應(yīng)用勾股定理解決直角三角形中的問(wèn)題，進(jìn)一步運(yùn)用方程思想解決問(wèn)題．【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、勾股定理直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.如果直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為，斜邊長(zhǎng)為，那么.特別說(shuō)明：（1）勾股定理揭示了一個(gè)直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系.（2）利用勾股定理，當(dāng)設(shè)定一條直角邊長(zhǎng)為未知數(shù)后，根據(jù)題目已知的線段長(zhǎng)可以建立方程求解，這樣就將數(shù)與形有機(jī)地結(jié)合起來(lái)，達(dá)到了解決問(wèn)題的目的.（3）理解勾股定理的一些變式：，，.要點(diǎn)二、勾股定理的證明方法一：將四個(gè)全等的直角三角形拼成如圖（1）所示的正方形.圖（1）中，所以.方法二：將四個(gè)全等的直角三角形拼成如圖（2）所示的正方形.圖（2）中，所以.方法三：如圖（3）所示，將兩個(gè)直角三角形拼成直角梯形.，所以.要點(diǎn)三、勾股定理的作用已知直角三角形的任意兩條邊長(zhǎng)，求第三邊；用于解決帶有平方關(guān)系的證明問(wèn)題；利用勾股定理，作出長(zhǎng)為的線段.要點(diǎn)四、勾股數(shù)滿足不定方程的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù)（又稱為高數(shù)或畢達(dá)哥拉斯數(shù)），顯然，以為三邊長(zhǎng)的三角形一定是直角三角形.熟悉下列勾股數(shù)，對(duì)解題會(huì)很有幫助：3、4、5；②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41……如果是勾股數(shù)，當(dāng)為正整數(shù)時(shí)，以為三角形的三邊長(zhǎng)，此三角形必為直角三角形.特別說(shuō)明：（1）（是自然數(shù)）是直角三角形的三條邊長(zhǎng)；（2）（是自然數(shù)）是直角三角形的三條邊長(zhǎng)；（3）（是自然數(shù)）是直角三角形的三條邊長(zhǎng)；【典型例題】類型一、勾股定理??解直角三角形??坐標(biāo)系中兩點(diǎn)之間距離 1．如圖，是的高，，，，求的長(zhǎng)．【答案】【分析】先利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)和勾股定理求出的長(zhǎng)，再證明，即可利用勾股定理求出的長(zhǎng)．解：∵是的高，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∴．【點(diǎn)撥】本題主要考查了勾股定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，二次根式的計(jì)算，正確求出的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式】如圖，在中，，，AE是BC邊上的中線，過(guò)點(diǎn)C作，垂足為F，過(guò)點(diǎn)B作BC的垂線交CF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D．求證：．若，求AE．【答案】(1)見(jiàn)分析 (2)【分析】（1）證明(AAS)，由全等三角形的性質(zhì)得出；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，得出，，結(jié)合題意得出，根據(jù)勾股定理求解即可．解：（1）∵，，∴，∴，又∵，且，∴在和中，，∴(AAS)，∴；（2）由（1）可得，∴，，∵AE是BC邊上的中線，∴，∴，在中，∴．【點(diǎn)撥】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，證明是解題的關(guān)鍵．2．閱讀下列一段文字：已知在平面內(nèi)兩點(diǎn)P1（x1，y1），P2（x2，y2），其兩點(diǎn)間的距離P1P2＝問(wèn)題解決：已知A（1，4），B（7，2）試求A，B兩點(diǎn)的距離；在x軸上找一點(diǎn)P（不求坐標(biāo)，畫出圖形即可），使PA+PB的長(zhǎng)度最短，求PA+PB的最短長(zhǎng)度．【答案】(1)2 (2)P點(diǎn)作圖見(jiàn)分析，PA+PB的最短長(zhǎng)度為6【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)，直接運(yùn)用公式，從而求得結(jié)果；（2）作點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)x軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接B，求得B的長(zhǎng)，從而得出結(jié)果．（1）解：∵A（1，4），B（7，2）∴AB＝＝2；（2）如圖，作點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)（1，﹣4），連接B，交x軸于點(diǎn)P，則PA+PB的最小值是B的長(zhǎng)，∵B＝＝6，∴PA+PB的最小值＝6．【點(diǎn)撥】本題考查了通過(guò)閱讀使用坐標(biāo)系中兩點(diǎn)之間的距離公式，軸對(duì)稱的性質(zhì)等知識(shí)，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是熟練掌握“將軍飲馬”等模型．舉一反三：【變式】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，點(diǎn)在軸的正半軸上，且．（1）寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求的長(zhǎng)．【答案】（1）；（2）【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)在軸的正半軸上，且即可寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）過(guò)點(diǎn)作于，求得，進(jìn)而根據(jù)勾股定理即可求得的長(zhǎng)．解：（1）點(diǎn)在軸的正半軸上，且，，（2）過(guò)點(diǎn)作于，如圖，，，，．【點(diǎn)撥】本題考查了勾股定理在平面直角坐標(biāo)系中的應(yīng)用，掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．類型二、勾股定理??勾股數(shù)??勾股樹(shù)3．觀察下列勾股數(shù)：6，8，10；8，15，17；10，24，26；…；，，.根據(jù)你的發(fā)現(xiàn)，求出當(dāng)時(shí)，，的值.【答案】，.【分析】n=3時(shí)，a=2×3=6，b=32-1=8，c=32+1=10；n=4時(shí)，a=2×4=8，b=42-1=15，c=42+1=17…得出a=2n，b=n2-1，c=n2+1（n≥3，n為正整數(shù)），滿足勾股數(shù)．解：∵n=3時(shí),a=2×3=6,b=32?1=8,c=32+1=10，n=4時(shí),a=2×4=8,b=42?1=15,c=42+1=17，n=5時(shí),a=2×5=10,n=52?1=24,c=52+1=26，…∴勾股數(shù)a=2n,b=n2?1,c=n2+1(n?3,n為正整數(shù)).當(dāng)a=20時(shí),n=10,則b=102?1=99,c=102+1=101，故答案為，.【點(diǎn)撥】本題考查勾股數(shù)、規(guī)律和勾股定理，解題的關(guān)鍵是掌握勾股定理，由題意得到規(guī)律.舉一反三：【變式】觀察下列勾股數(shù)3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…；、、．根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，回答下列問(wèn)題：時(shí)，求、的值；(2)時(shí)，求、的值．【答案】(1)， (2)，【分析】（1）仔細(xì)觀察可發(fā)現(xiàn)給出的勾股數(shù)中，斜邊與較大的直角邊的差是1，根據(jù)這個(gè)規(guī)律及勾股定理公式可算出，的值；（2）根據(jù)第一問(wèn)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，代入到勾股定理公式中即可求得、．解：(1)觀察得給出的勾股數(shù)中，斜邊與較大直角邊的差是1，即∵，，∴，∴，∴．(2)通過(guò)觀察知，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，．【點(diǎn)撥】本題考查的是勾股定理及規(guī)律題綜合運(yùn)用，仔細(xì)觀察，熟練掌握勾股定理公式是解本題的關(guān)鍵．4．如圖,以直角三角形的三邊為邊分別向外作三個(gè)正方形,其中的兩個(gè)正方形面積為A=25平方厘米,C=169平方厘米,求B面積.【答案】144平方厘米.【分析】設(shè)正方形A，B，C的邊長(zhǎng)分別為a，b，c，由勾股定理得a2+b2=c2，然后根據(jù)a2=25，c2=169即可求出b2，也就是B的面積.解：設(shè)正方形A，B，C的邊長(zhǎng)分別為a，b，c，則a2+b2=c2，∵a2=25，c2=169，∴b2=169-25=144，∴B面積是144平方厘米.【點(diǎn)撥】此題考查了勾股定理以及正方形的面積公式．勾股定理最大的貢獻(xiàn)就是溝通“數(shù)”與“形”的關(guān)系，它的驗(yàn)證和利用都體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想，即把圖形的性質(zhì)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系的問(wèn)題來(lái)解決．能否由實(shí)際的問(wèn)題，聯(lián)想到用勾股定理的知識(shí)來(lái)求解是本題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式】如圖，已知所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大正方形的邊長(zhǎng)為．求A，B，C，D四個(gè)正方形的面積之和．若其中每個(gè)直角三角形的最短邊與最長(zhǎng)邊的長(zhǎng)度之比都為3：5，求正方形A，B，C，D的面積．【答案】(1) (2)正方形，，，的面積分別為：，，，【分析】（1）按照?qǐng)D形，根據(jù)勾股定理解答即可；（2）根據(jù)勾股定理，列方程解答即可．（1）解：如圖所示：依次設(shè)三個(gè)空白正方形為，，由勾股定理可得：正方形的面積正方形的面積正方形的面積，正方形的面積正方形的面積正方形的面積；正方形的面積正方形的面積正方形的面積，，，，四個(gè)正方形的面積之和正方形的面積，答：，，，四個(gè)正方形的面積之和為；（2）解：每個(gè)直角三角形的最短邊與最長(zhǎng)邊的長(zhǎng)度之比都為，設(shè)中間的直角三角形的較短的直角邊為，斜邊為，由題意得：，解得，較短的直角邊為，另一直角邊為，設(shè)的邊長(zhǎng)為，的邊長(zhǎng)為，則，解得：，的面積是：；的面積是：，又設(shè)的邊長(zhǎng)為，的邊長(zhǎng)為，則，解得：，的面積是；；的面積是：，答：正方形A，B，C，D的面積分別為：，，，．【點(diǎn)撥】本題考查了勾股定理在計(jì)算中的應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合并正確列式是解題的關(guān)鍵．類型三、勾股定理??面積問(wèn)題??網(wǎng)格問(wèn)題5．如圖，在△ABC中，，于點(diǎn)D，，，．請(qǐng)求出△ABC的面積和CD的長(zhǎng)．【答案】△ABC的面積為，CD的長(zhǎng)為cm【分析】根據(jù)直角三角形面積公式即可求解三角形的面積，再根據(jù)直角三角形面積的兩種計(jì)算方法求出斜邊上的高．解：∵∠ACB=90∴∵∴∴答：△ABC的面積為，CD的長(zhǎng)為cm．【點(diǎn)撥】本題考查直角三角形的性質(zhì)及其面積公式，解題的關(guān)鍵是熟知三角形面積不變．舉一反三：【變式】定義：如圖①．如果點(diǎn)D在的邊上且滿足．那么稱點(diǎn)D為的“理根點(diǎn)”，如圖②，在中，，如果點(diǎn)D是的“理想點(diǎn)”，連接．求的長(zhǎng)．【答案】.【分析】只要證明CD⊥AB即可解決問(wèn)題．解：如圖②中，∵點(diǎn)D是△ABC的“理想點(diǎn)”，∴∠ACD=∠B，∵，∴，∴，，在Rt△ABC中，，∴BC=，∵,．【點(diǎn)撥】本解考查了直角三角形判定和性質(zhì)，理解新定義是解本題的關(guān)鍵．6．方格紙中小正方形的頂點(diǎn)叫格點(diǎn)，點(diǎn)A和點(diǎn)B是格點(diǎn)，位置如圖．在圖1中確定格點(diǎn)C，使得是直角三角形，畫出一個(gè)這樣的，并直接寫出線段的長(zhǎng)．(2)在圖2中確定格點(diǎn)D，使得是等腰三角形，畫出一個(gè)這樣的．【答案】(1)見(jiàn)分析，5 (2)見(jiàn)分析【分析】（1）根據(jù)要求作出圖形，利用勾股定理求出即可；（2）利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問(wèn)題即可．（1）解：如圖1中，即為所求，；（2）解：如圖2中，即為所求．【點(diǎn)撥】本題考查作圖-應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，等腰三角形的判定，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問(wèn)題．舉一反三：【變式】如圖是由邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的網(wǎng)格，的三個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上．____________；請(qǐng)分別在圖1，圖2的正方形網(wǎng)格內(nèi)按下列要求畫一個(gè)格點(diǎn)三角形．①在圖1中，以為邊畫Rt（與不重合），使它與全等；②在圖2中，以為邊畫Rt，使它的一個(gè)銳角等于，且與不全等．【答案】(1)； (2)①見(jiàn)分析；②見(jiàn)分析．【分析】（1）根據(jù)勾股定理求出的長(zhǎng)即可；（2）①如圖1，根據(jù)三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等作圖即可；②由圖可知，為直角三角形，則求作必為直角三角形，只需證明所作的三角形與已知三角形對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)不相等且有一組對(duì)邊平行即可．解：（1）故答案為：（2）如圖1，即為所求，如圖2，即為所求，理由如下：由第一個(gè)圖可知，，∴，∵，，，∴為直角三角形，且，又∵，，，∴，∴為直角三角形，且，∴與不全等，∴即為所求．【點(diǎn)撥】本題考查了作圖—應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖：應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖主要把簡(jiǎn)單作圖放入實(shí)際問(wèn)題中．首先要理解題意，弄清楚題中對(duì)所作圖形的要求，結(jié)合對(duì)應(yīng)幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖的方法作圖．類型四、勾股定理??求線段的平方和（差）??證明線段的平方關(guān)系7．如圖，在等腰中，，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，連接，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段連接，．求證：；當(dāng)時(shí)，求的值．【答案】(1)見(jiàn)分析 (2)4【分析】（1）先根據(jù)條件證明出，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證明；（2）先根據(jù)前面的條件將線段轉(zhuǎn)換，再證明出是直角三角形，然后根據(jù)勾股定理即可求出最后答案．解：（1）證明：∵是等腰三角形，∴,又是由繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到，∴，，∵∴，∴，∴．（2）由（1）得，是等腰直角三角形，∵，∴，在等腰中，，∵，∴，∴，∴是直角三角形．又，∴，∴．【點(diǎn)撥】本題主要考查全等三角形的性質(zhì)與判定、勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)，運(yùn)用相關(guān)性質(zhì)證明三角形全等，再將線段進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解題關(guān)鍵．舉一反三：【變式】已知直角三角形的兩條直角邊的長(zhǎng)分別是和，求斜邊c的長(zhǎng)．【答案】【分析】利用勾股定理列式計(jì)算即可得解．解：由勾股定理得，斜邊．故斜邊c的長(zhǎng)是．【點(diǎn)撥】本題考查了二次根式的應(yīng)用，主要利用了勾股定理和二次根式的乘方，是基礎(chǔ)題．8．如圖，在中，∠ACB=90°，M為AB的中點(diǎn)，∠PMQ=90°，試判斷線段PQ，AP，BQ之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【答案】，理由見(jiàn)分析【分析】通過(guò)全等使PQ，AP，BQ集中在中，剛好滿足勾股定理解：如下圖:延長(zhǎng)QM至D，使得DM=QM，連接AD∵M(jìn)是DQ中點(diǎn)，∠PMQ=90°∴MD=MQ，PD=PQ又∵M(jìn)是AB中點(diǎn)∴MA=MB∵∴∵∴【點(diǎn)撥】本題考查了三角形全等的判定及性質(zhì)，垂直平分線的判定及性質(zhì)，勾股定理，根據(jù)題意作出輔助線是解題關(guān)鍵．舉一反三：【變式】如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，D為斜邊BC中點(diǎn)，DE⊥DF，求證：．【答案】證明見(jiàn)分析【分析】延長(zhǎng)ED到G，使DG＝DE，連接EF、FG、CG，證明△EDF≌△GDF（SAS），△BDE≌△CDG（SAS），根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出BE＝CG，∠B＝∠BCG，進(jìn)而可得ABCG，在Rt△FCG中，由勾股定理即可得證．解：證明：延長(zhǎng)ED到G，使DG＝DE，連接EF、FG、CG，如圖所示：在△EDF和△GDF中，∴△EDF≌△GDF（SAS），∴EF＝FG又∵D為斜邊BC中點(diǎn)∴BD＝DC在△BDE和△CDG中，，∴△BDE≌△CDG（SAS）∴BE＝CG，∠B＝∠BCG

∴ABCG∴∠GCA＝180°﹣∠A＝180°﹣90°＝90°在Rt△FCG中，由勾股定理得：∴．【點(diǎn)撥】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，證明∠GCA＝90°是解題的關(guān)鍵．類型五、勾股定理??勾股定理的證明??折疊問(wèn)題9．如圖，將兩個(gè)全等的直角三角形按照如下的位置擺放，使點(diǎn)A，，在同一條直線上，，，，．填空：______，根據(jù)三角形面積公式，可得的面積______；根據(jù)割補(bǔ)法，由梯形的面積減去陰影部分的面積，可得的面積______．求證：．【答案】(1)，， (2)見(jiàn)分析【分析】（1）根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)以及三角形的面積公式即可得到結(jié)論；（2）用兩種不同的方法表示梯形的面積，計(jì)算化簡(jiǎn)后，即可得出．（1）解：，，，，，，，，的面積，由梯形的面積減去陰影部分的面積，可得的面積，故答案為：，，；（2）證明：，，，，，，，是等腰直角三角形，，，即，，．【點(diǎn)撥】本題考查了梯形，勾股定理的證明，用兩種不同的方法表示同一個(gè)圖形的面積是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式】將兩個(gè)全等的直角三角形按如圖所示的方式放置，三角形的長(zhǎng)直角邊記為a，短直角邊記為b，斜邊記為c．判斷與的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；連接，試通過(guò)各部分圖形面積之間的數(shù)量關(guān)系驗(yàn)證勾股定理．【答案】(1)，理由見(jiàn)分析； (2)見(jiàn)分析．【分析】（1）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，求出，可得，問(wèn)題得證；（2）連接，，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，，，然后根據(jù)梯形面積的不同表示方法得出等式，整理后即可驗(yàn)證勾股定理．（1）解：；理由：∵，∴，∴，∴，即；（2）解：連接，，∵，∴，，，∴，又∵，∴，整理得：．【點(diǎn)撥】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，整式的混合運(yùn)算，勾股定理等知識(shí)，掌握全等三角形對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊相等的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．10．如圖，將一個(gè)邊長(zhǎng)分別為4、8的長(zhǎng)方形紙片折疊，使C點(diǎn)與A點(diǎn)重合．證明：求的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)分析 (2)3【分析】（1）利用翻折變換的知識(shí)，可得到，，再利用平行線可得，可得，故有．（2）根據(jù)長(zhǎng)方形得到，，，根據(jù)折疊得到，，，從而表示出，在中，利用勾股定理列出方程，解之可得的長(zhǎng)．（1）解：證明：由折疊可知：，．由長(zhǎng)方形可知：，，；（2）由長(zhǎng)方形可知：，，，設(shè)，由折疊可知：，，，∴，在中，，即，解得：，∴故線段的長(zhǎng)是3．【點(diǎn)撥】本題考查了翻折變換，勾股定理，熟知折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等是解答此題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式】如圖，△ABC中，，，，為上一點(diǎn)，連接，將沿折疊，點(diǎn)C落在邊上的D點(diǎn)處，求的長(zhǎng)．【答案】的長(zhǎng)是3．【分析】先利用勾股定理求出的長(zhǎng)，再利用折疊的性質(zhì)得到角、邊的大小，在中，利用勾股定理求解即可．解：在中，由勾股定理可知：∴由折疊的性質(zhì)得：，，設(shè)，則，，∴在中，∴解得∴的長(zhǎng)是3．【點(diǎn)撥】此題考查了勾股定理，翻折變換（折疊問(wèn)題），解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)基礎(chǔ)性質(zhì)．類型十、勾股定理??作圖??矩形??折疊問(wèn)題??動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題11．（1）尺規(guī)作圖：將長(zhǎng)方形紙片沿所在直線折疊，使頂點(diǎn)D落在邊上的F點(diǎn)處，作出折疊后的圖形，并保留作圖痕跡．（2）已知，，求的面積．【答案】（1）見(jiàn)分析；（2）的面積是．【分析】（1）以A為圓心，長(zhǎng)為半徑作弧交于點(diǎn)F，作的角平分線交于點(diǎn)E，即為所求；（2）先求出和，用勾股定理可得的長(zhǎng)，設(shè)，由折疊的性質(zhì)可得，，在中，由勾股定理可得，從而可得答案．解：（1）如圖，即為所求．（2）解：在長(zhǎng)方形中，，，∴，由折疊的性質(zhì)可得，在中，；設(shè)，由折疊的性質(zhì)可得，，在長(zhǎng)方形中，，，∴，在中，，∴，解得，∴，∴，答：的面積是．【點(diǎn)撥】本題考查了作圖-復(fù)雜作圖，折疊的性質(zhì)、勾股定理、三角形面積的計(jì)算等知識(shí)，熟練掌握折疊的性質(zhì)與矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式】如圖，在長(zhǎng)方形中，，，將長(zhǎng)方形沿直線折疊（點(diǎn)是折痕和邊的交點(diǎn)），使點(diǎn)落在上的處．請(qǐng)你利用尺規(guī)作圖確定點(diǎn)和點(diǎn)．（保留作圖痕跡，不寫做法）將圖形補(bǔ)充完整，______．【答案】(1)見(jiàn)分析 (2)圖見(jiàn)分析，【分析】（1）以A為圓心，為半徑畫弧，交于點(diǎn)E，然后作出的平分線于交于點(diǎn)F，即可求解；（2）首先根據(jù)折疊的性質(zhì)得到，然后根據(jù)勾股定理求出，進(jìn)而得到，然后，則，利用勾股定理列方程求解即可．解：（1）如圖，點(diǎn)E、點(diǎn)F即為所求．（2）如圖，∵長(zhǎng)方形沿直線折疊（點(diǎn)是折痕和邊的交點(diǎn)），使點(diǎn)落在上的處，∴，∵在長(zhǎng)方形中，，∴∴∴設(shè)，則∵∴，即∴解得∴．【點(diǎn)撥】此題考查了尺規(guī)作圖，折疊的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意正確畫出圖形．12．如圖，在四邊形中，，，，若連接，沿翻折，則點(diǎn)A落在點(diǎn)M上．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)沿的路線運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B停止．求的長(zhǎng)度；當(dāng)線段的中垂線經(jīng)過(guò)點(diǎn)D時(shí)，求點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)路線的長(zhǎng)度；在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)路線的長(zhǎng)度為_(kāi)__________（直接寫出答案）【答案】(1) (2)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)路線的長(zhǎng)度為或時(shí)，的中垂線過(guò)點(diǎn)D； (3)5或8或或【分析】（1）證明出四邊形為正方形，利用勾股定理即可求解；（2）根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)來(lái)判斷，需要分兩種情況討論，當(dāng)時(shí)，即，為等腰三角形，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，，為等腰三角形，根據(jù)三線合一知的中垂線，過(guò)點(diǎn)D；（3）連接，根據(jù)已知分析可得滿足等腰三角形的多種情況：或，然后根據(jù)勾股定理進(jìn)行分析計(jì)算．（1）解：沿翻折，則點(diǎn)A落在點(diǎn)M上，，，，四邊形為正方形，，；（2）解：需要分兩種情況討論，當(dāng)時(shí)，即，為等腰三角形，根據(jù)三線合一知的中垂線，過(guò)點(diǎn)D，此時(shí)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)路線的長(zhǎng)度為，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，，為等腰三角形，根據(jù)三線合一知的中垂線，過(guò)點(diǎn)D，此時(shí)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)路線的長(zhǎng)度為，綜上所述：點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)路線的長(zhǎng)度為或時(shí)，的中垂線過(guò)點(diǎn)D；（3）解：根據(jù)已知得，，則四邊形是平行四邊形．又，根據(jù)勾股定理，得．①作的中垂線交于，則是等腰三角形，此時(shí)，，即點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)路線的長(zhǎng)度5；②當(dāng)時(shí)，是等腰三角形，即點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)路線的長(zhǎng)度8；③當(dāng)點(diǎn)在上，時(shí)，，即點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)路線的長(zhǎng)度；④當(dāng)點(diǎn)在上，時(shí)，，即點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)路線的長(zhǎng)度；故答案為：5或8或或.【點(diǎn)撥】此題主要考查梯形的性質(zhì)及等腰梯形的判定的理解及應(yīng)用、勾股定理，解題的關(guān)鍵是注意分類討論數(shù)學(xué)方法的運(yùn)用．舉一反三：【變式】在長(zhǎng)方形中，，，．如圖1，為邊上一點(diǎn)，將沿直線翻折至的位置，其中點(diǎn)是點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)落在邊上時(shí)，請(qǐng)你直接寫出的長(zhǎng)為．如圖2，點(diǎn)是邊上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交邊于點(diǎn)，將沿直線翻折得，連接，當(dāng)是以為腰的等腰三角形時(shí)，求的長(zhǎng)；如圖3，點(diǎn)是射線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將沿翻折，其中點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，當(dāng)，，三點(diǎn)在同一直線上時(shí)，請(qǐng)直接寫出的長(zhǎng)．【答案】(1)3 (2)或 (3)2或8【分析】（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，再由勾股定理，即可求解；（2）分兩種情況討論：當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)．先證明，可得，從而得到，可求出，當(dāng)時(shí)，設(shè)，則，根據(jù)，求出x，即可求解；（3）分兩種情況討論：當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，即可求解．（1）解：四邊形是長(zhǎng)方形，，由翻折變換的性質(zhì)可知，，，故答案為：3；（2）解：如圖，當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)．，，，，，，，，，，，，，，，；如圖，當(dāng)時(shí)，設(shè)，則，∵，∴，，．綜上所述，的長(zhǎng)為或；（3）解：如圖，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，四邊形是長(zhǎng)方形，，，，，，，，．如圖，當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，同法可證，，，，．綜上所述，滿足條件的的長(zhǎng)為2或8．【點(diǎn)撥】本題主要考查了勾股定理，圖形的折疊問(wèn)題，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握勾股定理，圖形的折疊的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．類型十一、勾股定理??弦圖問(wèn)題??無(wú)理數(shù)??構(gòu)造圖形解決問(wèn)題13．如圖，其中、、和是四個(gè)全等的直角三角形，四邊形和都是正方形，根據(jù)這個(gè)圖形的面積關(guān)系，可以證明勾股定理．設(shè)，，，取，．填空：正方形的面積為_(kāi)___________，四個(gè)直角三角形的面積和為_(kāi)____________．求的值．【答案】(1)16；384 (2)28【分析】（1）正方形的邊長(zhǎng)為：，則面積可求；四個(gè)直角三角形的面積和等于正方形與正方形面積之差，據(jù)此即可作答；（2）四個(gè)直角三角形的面積和又，，，可得，由（1）可知四個(gè)直角三角形的面積和為384，即有，根據(jù)，即可得，問(wèn)題即可得解．（1）解：設(shè)，，，取，．正方形面積為：，正方形面積為：，根據(jù)圖形可知：四個(gè)直角三角形的面積和等于正方形與正方形面積之差，即：，故答案為：16；384；（2）解：在（1）中，有：四個(gè)直角三角形的面積和又∵，，，∴，整理，可得：，由（1）可知四個(gè)直角三角形的面積和為384，∴，解得，∵，∴．∴（負(fù)值舍去），即值為28．【點(diǎn)撥】本題主要考查勾股定理的證明及應(yīng)用，理解圖形中四個(gè)三角形的面積和等于大正方形的面積與小正方形面積的差是解題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式】如圖1，將長(zhǎng)為，寬為的矩形分割成四個(gè)全等的直角三角形，拼成如圖2所示的“趙爽弦圖”，得到大小兩個(gè)正方形．用關(guān)于a的代數(shù)式表示圖2中小正方形的邊長(zhǎng)；已知圖2中小正方形面積為36，求大正方形的面積？【答案】(1) (2)90【分析】（1）用直角三角形較長(zhǎng)的直角邊減去較短的直角邊即可；（2）先根據(jù)小正方形的面積求出a的值，再根據(jù)正方形的面積＝邊長(zhǎng)的平方求解即可．（1）解：∵直角三角形較短的直角邊，較長(zhǎng)的直角邊，∴小正方形的邊長(zhǎng)；（2）解：小正方形的面積，∴或，∴，或（舍去），∴，∴大正方形的面積．【點(diǎn)撥】本題考查了以弦圖為背景的計(jì)算，整式的加減，利用平方根的定義解方程，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．14．勾股定理是人類早期發(fā)現(xiàn)并證明的重要數(shù)學(xué)定理之一，是用代數(shù)思想解決幾何問(wèn)題的最重要的工具之一，它不但因證明方法層出不窮吸引著人們，更因?yàn)閼?yīng)用廣泛而使人著迷．應(yīng)用場(chǎng)景1—在數(shù)軸上畫出表示無(wú)理數(shù)的點(diǎn)．如圖1，在數(shù)軸上找出表示3的點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)A作直線l垂直于OA，在l上取點(diǎn)B，使，以原點(diǎn)O為圓心，OB為半徑作弧，則弧與數(shù)軸的交點(diǎn)C表示的數(shù)是；應(yīng)用場(chǎng)景2—解決實(shí)際問(wèn)題．如圖2，秋千由靜止鉛錘位置AB推至AC處，它的繩索始終拉直，量得水平距離，求繩索的長(zhǎng)．【答案】(1) (2)繩索AC的長(zhǎng)為【分析】（1）根據(jù)勾股定理求出，根據(jù)實(shí)數(shù)與數(shù)軸解答即可．（2）設(shè)秋千的繩索長(zhǎng)為xm，根據(jù)題意可得，利用勾股定理可得，即可得到結(jié)論．解：（1）在中，OB＝＝＝，∴，∴點(diǎn)C表示的數(shù)是，故答案為：；（2）解：設(shè)秋千繩索AC的長(zhǎng)度為，由題意可得AC＝AB＝，∵，∴，在中，，∴，解得，即AC的長(zhǎng)度為，答：繩索AC的長(zhǎng)為．【點(diǎn)撥】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是正確理解題意，表示出AD，AC的長(zhǎng)，掌握直角三角形中兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．舉一反三：【變式】如圖所示，四邊形ABCD是張大爺?shù)囊粔K小菜地，已知AD⊥AB，AD⊥CD，AD＝，BC＝CD＝2，請(qǐng)幫張大爺計(jì)算一下這個(gè)四邊形菜地的周長(zhǎng)和面積．【答案】四邊形ABCD的周長(zhǎng)是，面積是【分析】作CE⊥AB于E，根據(jù)勾股定理求出BE即可求出周長(zhǎng)，再用梯形的面積公式求出面積即可．解：如圖，作CE⊥AB于E．∵AD⊥AB，AD⊥CD，∴∠A＝∠D＝∠AEC＝90°，∴四邊形AECD是矩形，∴AD＝CE＝，CD＝AE＝2，在Rt△BCE中，BE＝，∴AB＝AE+BE＝2+3，∴四邊形ABCD的周長(zhǎng)＝+2+2+2+3＝7+3，四邊形ABCD的面積＝．【點(diǎn)撥】題考查勾股定理的應(yīng)用、解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．類型十二、勾股定理??無(wú)理數(shù)??最值問(wèn)題15．如圖，在數(shù)軸上以1個(gè)單位長(zhǎng)度畫一個(gè)正方形，以原點(diǎn)為圓心，以正方形的對(duì)角線長(zhǎng)為半徑畫弧，與正半軸的交點(diǎn)為B，且點(diǎn)B表示的是一個(gè)無(wú)理數(shù)，因此我們得出一個(gè)結(jié)論．點(diǎn)B表示的數(shù)為_(kāi)________；得出的結(jié)論是：_________與數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的．若將圖中數(shù)軸上標(biāo)的A，C，D各點(diǎn)與所給的三個(gè)實(shí)數(shù)，3和對(duì)應(yīng)起來(lái)，則點(diǎn)A表示的實(shí)數(shù)為_(kāi)________，點(diǎn)C表示的實(shí)數(shù)為_(kāi)________，點(diǎn)D表示的實(shí)數(shù)為_(kāi)________．【答案】(1)，實(shí)數(shù) (2)，，3【分析】（1）根據(jù)勾股定理求得對(duì)角線的長(zhǎng)度，即可求解；（2）判斷出三個(gè)數(shù)的大小關(guān)系，結(jié)合A，C，D的位置即可求解．（1）解：應(yīng)用勾股定理得，正方形的對(duì)角線的長(zhǎng)度為：，為圓的半徑，則，所以數(shù)軸上的點(diǎn)B表示的數(shù)為：，它是無(wú)理數(shù)．得出的結(jié)論是實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的；故答案為：，實(shí)數(shù)；（2）解：根據(jù)數(shù)軸可得A表示負(fù)數(shù)，C和D表示正數(shù)，且D表示的數(shù)大于C表示的數(shù)，∴A表示，C表示的數(shù)是，D表示的數(shù)是3．故答案為：，，3．【點(diǎn)撥】此題考查了勾股定理，實(shí)數(shù)與數(shù)軸，解題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理以及數(shù)軸與實(shí)數(shù)的有關(guān)知識(shí)．舉一反三：【變式】如圖，數(shù)軸上點(diǎn)表示的數(shù)為，點(diǎn)表示的數(shù)為，，且，以點(diǎn)為圓心，為半徑作半圓，與數(shù)軸相交于點(diǎn)和點(diǎn)E，點(diǎn)表示的數(shù)記為，點(diǎn)表示的數(shù)記為．______，______；求的值；若，求的值．【答案】(1)， (2) (3)【分析】（1）根據(jù)勾股定理可求出的長(zhǎng)度，從而可求出與的值．（2）根據(jù)完全平方公式即可求出答案．（3）先求出的值，然后根據(jù)完全平方公式即可求出答案．（1）解：由題意可知：，，由勾股定理可知：，，，，，故答案為：，；（2）；（3）由題意可知：，．【點(diǎn)撥】本題考查了在數(shù)軸上表示實(shí)數(shù)，二次根式的運(yùn)算，完全平方公式，整式的運(yùn)算以及勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用勾股定理以及整式的運(yùn)算法則，本題屬于中等題型．16．探究一：如圖1，已知AB=BD，AB⊥BC，∠C=90°，E和F分別是BD和CD上的動(dòng)點(diǎn)，且BE=DF，△ABE與△BDF全等嗎？若全等，請(qǐng)說(shuō)明理由．探究二：如圖2，一只螞蟻從一個(gè)長(zhǎng)為6，寬為5，高為3的長(zhǎng)方形頂點(diǎn)A從表面爬行到另一個(gè)頂點(diǎn)B，請(qǐng)問(wèn)爬行的最短距離的平方的值是．探究三：如圖3，等邊三角形ADC中，邊長(zhǎng)為4，高為AF，AE=CD，求（BD+CE）2的最小值．【答案】