高等數(shù)學（第三版）教案 第2章 導數(shù)、微分及其應用

2.1.1導數(shù)的概念

教學目標：

(1)研究曲線的切線問題，尋找求曲線上一點處切線的斜率的方法；

(2)學習導數(shù)的概念；

(3)分析曲線上一點處切線的斜率與導數(shù)之間的關(guān)系，學會求曲線上一點處的切線的

方程。

教學重點：

(I)導數(shù)的概念；

(2)曲線上一點處的切線的方程。

教學難點：

對導數(shù)的概念的理解。

授課時數(shù)：2課時

教學過程

________________________________________________________OT_______________________________________________________備注

引言教師

介紹本章學習的主要內(nèi)容。__________________________講__授____________________

知識回顧

設直線y=fcc+6的傾斜角為α點6(為,為)和點心(小,為)為直線上的任意兩引導

點，則當X∣≠X2時，直線的斜率為學生

回答

Z=tan1..>2-?l

x2~×?'5,

問題

在平面解析幾何中，我們將與圓只有一個交點的直線定義為圓的切線.如圖2教師

一1所示，直線L是過圓周上一點P的切線.講授

10,

-1^^2~~3~~X

ΓL

圖2—1圖2—2

但是對其他曲線，這樣的定義就不一定合適，例如，圖2—2中的直線雖然與曲線只

有一個交點，但是不能確定它們一定是曲線的切線.那么，對于一般曲線，如何定

義和研究過曲線上一點尸的切線呢？

新知識//結(jié)合

下面采用動態(tài)處理的方法定義一般曲線的切線.動畫

如圖2—3所示，選取曲線上的任意點。，做割演示

線QP；然后讓點。沿著曲線趨近于點P,判斷此時講授

割線斜率的極限是否存在，如果存在，就把以這個

極限值為斜率的直線定義為曲線在點P的切線.圖2—3

大家知道，二次函數(shù)y=f的圖像是拋物線。如圖2—4所示，點尸(1,1)為拋物

教師

線上的點.依據(jù)上面的切線定義，求拋物線在點P(Ll)處的切線.講授

設。(K?)為拋物線y=f上任意一點，在點與學

P(Ll)處，?r=x-l為自變量的改變量(或自變生回

量的增量)，Ay=χ2-1為函數(shù)的相應改變量(或答相

函數(shù)的增量).則割線QP的斜率為結(jié)合

AyX2-I

?xx-1

,

當點Q沿著拋物線趨近點P時，Δx→O,30

此時工→ι,割線。尸的極限位置為Pr

因為Iim—=Iim-——-=lim(x+l)=2.

?Λ→O?χΛ→I%—1Λ→I

故拋物線在點尸。,1)處切線的斜率為2.因此，切線PT的方程為

y-1=2(x-1),即y=2x-I.

一般地，設P(Xo,%)是曲線/O)上的一個定點，Q(X,y)是曲線/(x)上異于尸的

任意一點，則割線PQ的斜率為

tan。-y-%-""-"/)

tailψ-------------------,

X-X()X-XQ

其中。為割線PQ的傾斜角.當X→X。時，如果極限

XTM)X一殉

存在，那么，這個極限值就是曲線/(X)在點Xo處的切線PT的斜率.

做一做

采用同樣的思路來研究非勻速直線運動物體的瞬時速度.在教

師引

設一個物體做非勻速直線運動，其路程與時間的關(guān)系為S=SQ).求該物體在t時

0領(lǐng)下

刻的瞬時速度v"o).共同

完成

在“附近的一段時間間隔內(nèi)，即從而到心+加這段時間內(nèi)，物體走過的路程為

?5=s(fθ+?f)-s(?).

z

當加很小時.，我們把變速運動近似地看成是勻速運動.因此，可以用這段時間間40

隔的平均速度

-^?5^5(∕0+Δ∕)-5(∕0)

?r?r

近似地描述瞬時速度.由于速度是變化的，所以對任意的固定的4,它只是一個近

似值.但是，在加無限變小的過程中，平均速度3無限接近fo時刻的瞬時速度v(∕0).因

此，當4趨于零時，如果極限

.AS..5(?+Δ∕)-5(f)

1Iim—=Iim-------------0

?∕→oNΔ∕→OZ

存在，那么，這個極限值就是變速直線運動的瞬時速度Wr0).即

/,、??vs(?+Δ∕)-5√)

Myo)=Ilim—=rIim----................-0.

?∕→oZ?∕→oZ

新知識

以上兩個例子的具體意義雖然不同，但抽象出的數(shù)量關(guān)系卻相同一一研究函數(shù)

改變量與自變量改變量之比的極限.

教師

一般地，設函數(shù)y=∕(x)在點與處自變量的改變量為Δr=x-J?,對應函數(shù)的改變，廿四

—

量為4y=√(Xo+Δx)-∕(X0),若當Δx→0時

Hm包=Iim也讓回"

?λ?→o?r?r→o?x

60,

存在，則稱函數(shù)y=∕(x)在點布處可導，并將極限值叫做函數(shù)在點X。處的導數(shù)(瞬

時變化率).記作r(Xo)，M、r，孚或華,即

4項

axX=XOaxX-=XQ

y∣.=Iim包=Iim"%+>T(??).(2.1)

Λ~ΛOΛV→O??Δ,v→OAX

關(guān)于函數(shù)y=/(x)的導數(shù)有以下結(jié)論

(1)若Iim包=Iim.生±AX)二血.)不存在，則稱函數(shù)γ=F(X)在點?處不

Δr→0?χAr→0?χ

可導.

(2)函數(shù)/(x)在點兩處的導數(shù)的幾何意義是曲線f(x)在點X。處切線的斜率.

(3)若函數(shù)y=∕(x)在區(qū)間(”,b)內(nèi)的每一點處都可導，即對任意x∈(",

6),極限

Iima=Iim△匕-)二EG)

?χ?→o?r?x→oAx

都存在，則稱“函數(shù)y=∕(x)在區(qū)間(“工)內(nèi)可導”.這時，函數(shù)對于每一點χG(a,b),

都有一個確定的導數(shù)值與之對應，這就構(gòu)成了X的一個新函數(shù)，這個新函數(shù)叫做函

數(shù)y=∕(x)的導函數(shù)，記為尸(X),y',電或&f(χ).即

dxax

y'=Iim絲=Iim⑴(2.2)

Δx→0?rΔr→0?χ

(4)函數(shù)y=∕(x)在點XO處的導數(shù)就是導函數(shù)在點X=XO處的函數(shù)值，即

Γ(?)=∕,W∣,r=?■

今后，在不引起混淆的情況下，導函數(shù)和導數(shù)統(tǒng)稱為導數(shù).

利用定義求函數(shù)y=∕(x)的導數(shù)的步驟是：.

(1)寫出函數(shù)的改變量?y=∕U0+Δr)-∕(x0)；

⑵計算比值”=∕(x+?)-)(')；

?rAx

(3)計算極限y'=f?x)=Iim⑴.

Ar→OAX

知識鞏固

例1求函數(shù)y=C(C是常數(shù))的導數(shù).教師

講授

解(1)求函數(shù)的改變量?y=/(X+?x)-f(x)=C-C=O;

(2)算比值”=0,

Ar

(3)取極限y'=Iim包=IimO=0.

Δx→O?xΔx→O

即(C)'=0.

例2求函數(shù)y=χ2的導數(shù).在教

師引

解(1)求函數(shù)的改變量

領(lǐng)下

Ay=f(x+?x)-f(x)=(X+?x)2-X2=2x?x+(?x)2；

共同

算比值”=；

(2)2x?+(?)-完成

?x?x

(3)取極限y,=Iim—=Iim(2%÷?x)=2x.70,

Δx→O?XΔx→O

故(x2y=2x.

練習2?1.1學生

1.用定義求函數(shù)y=4在x=2處的導數(shù).課上

X完成

2.求拋物線y=χ2在點P(2,4)處的切線方程.85,

_________新知識：導數(shù)的概念；曲線上一點處的切線的方程。_____________9_0_，______

作業(yè)

1.通過復習導數(shù)的概念，加深對其內(nèi)涵的理解,并嘗試總結(jié)導數(shù)的思想及本質(zhì)；

2.完成習題冊作業(yè)2.1.2。__________________________________________________

2.1.2導數(shù)的運算法則

教學目標：

(1)記憶基本初等函數(shù)的導數(shù)公式及導數(shù)的運算法則，學會用公式、運算法則求函數(shù)

的導數(shù)；

(2)學會復合函數(shù)的求導法；

(3)學會隱函數(shù)的求導法。

教學重點：

求初等函數(shù)導數(shù)的方法。

教學難點：

復合函數(shù)的求導法。

授課時數(shù)：4課時.

教學過程

___________________a≡___________________備注

新知識

根據(jù)導數(shù)的定義，可以得到初等函數(shù)的導數(shù)及導數(shù)的運算法則，作為公式介紹教師

如下.講授

L基本初等函數(shù)的導數(shù)公式：

(I)(C)'=O(C是常數(shù))；⑵Hj=&fi;

20,

(3)(sinx)=cosx；(4)(COSX)=-sinx；

(5)(tanx)=sec2x；(6)(cotx)'=-csc2x；

(7)(SeCA?'=secx?tanx;(8)(CSCx)'=-cscx?cotx；

⑼Sj="Inn；(lθ)(e??=e?

(ll)(logrtxy=-；(12)(InXy=L

XInax

(13)(arcsinx)'=■?-(-1<x<1)；(14)(arccosx),=--,?(-1<x<I)；

√l-x2Jl-X2

(15)(arctanx)1=―(-∞<x<∞)；(16)(arccotx),=-----?(-∞<x<∞).

1+xl+x

2.導數(shù)的運算法則：

設〃="(x)和V=V(X)在X處都可導，貝IJ

(D(M±V),=√±√;(2)(C")'=CV(C為常數(shù))；

(3)(MV∫=u'v+uv'；(4)[3="二"".

利用上述導數(shù)公式和法則，可以求出函數(shù)的導數(shù)._______________________________

知識鞏固

例1求函數(shù)y=5f-J?+4sinx的導數(shù).教師

X講授

解了=512)+4(SinX)，

=5(2x)-卜一)+4(COSX)

=IOX+f+4cosx.

X

例2求函數(shù)y=A3lnx的導數(shù).

解V=')In?+X3(ln?)=3x2?nx+X2.

例3已知/(x)=χ3+4COSX+sin],求/'(工)及廣在教

師引

,2

解∕(X)=3X-4sinx,領(lǐng)下

所以∕,W=→2-4.共同

完成

例4求函數(shù)y=言的導數(shù).

M,(x+l)'(X-I)-(X+l)(x-l)'-2

解y=---------------------?-------------=---------755,

(X-1)~(X-I)

例5已知y=sinx?五，求y'兀.

X=—

2

解y'=(sinx)'?fx+sinx(?fx)'

=cosx??[x+sinx--xE

故

練習2.1.2.1學生

(1)y=2X3-lnx+5,求y'；課上

(2)y=√x+xex,求)''|0完成

70'

(3)y=^?,求)'(=一2

想一想師生

我們來計算函數(shù)y=sin2x的導數(shù).考慮到sin2x=2sinxcosx,所以共同

(sin2x)r=(2sinXCOSXy=2[(sinx)'CoSx+sinX(CoSx)r]完成

2.2

=2[cos-x-sinx]=2cos2x.

,

如果直接應用公式(SinX)'=cosx計算可以得到的(sin2x)'=cos2x.80

兩個計算結(jié)果為什么不一樣呢?___________________________________________

新知識

產(chǎn)生上面問題的原因是，函數(shù)y=sin2x不是正弦函數(shù)，是正弦函數(shù)y=sinv與教師

一次函數(shù)〃=2x的復合函數(shù)，所以計算sin2x的導數(shù)的時候，不能直接應用正弦函講授

數(shù)的導數(shù)公式.

計算復合函數(shù)的導數(shù)一般需要采用下面的方法(證明略).95,

設“=°(x)在冗處可導，y=/(〃)在對應的〃處可導，則復合函數(shù)y=∕[p(x)]

的導數(shù)為

y,=/'(")W(x),(2.3)

還可以記作y'x^y'uWx或變=電色.

dxdudr

知識鞏固

例6求下列函數(shù)的導數(shù)教師

講授

(1)y=sin2x；(2)y=(2x-l)∣°.

解(1)y=sin2x是由y=sin”和〃=2X復合而成，所以105,

y'—(sin2x)'-CoS2x?(2x)'=2cos2x；

(2)y=(2x-I)K)是由y=〃H)和〃=2x—1復合而成，所以

y=ιo(2X-ip?(2x-ιy=20QX-1)9.

鏈接軟件

利用微軟高級計算器可以方便的求出復合函數(shù)的導數(shù).演示

計算例6(1)的操作為：利用操作面板在輸入窗格輸入色(sin(2x)),點擊輸

dxI10,

入得到結(jié)果.

說明點擊功能區(qū)中的求解步驟，則顯示出復合函數(shù)的計算過程.____________

練習2.1.2.2學生

求下列函數(shù)的導數(shù)并利用軟件進行驗證.課上

完成

(1)y=e~x+χyfx;(2)y=ln(l+x2);(3)γ=√l-2√.

125z

問題

130'

如果函數(shù)關(guān)系式以方程的形式給出如2/一丁=9,寫成一般函數(shù)形式需要進行

開平方運算，不能寫成唯一的一個解析式，如何求導數(shù)呢?______________________

新知識教師

以方程形式表示函數(shù)關(guān)系的函數(shù)叫做隱函數(shù)，以函數(shù)解析式表示函數(shù)關(guān)系的函講授

數(shù)叫做顯函數(shù).有些隱函數(shù)可以非常方便的轉(zhuǎn)化為顯函數(shù)，如2x-y+l=0轉(zhuǎn)化為

135'

y=2x+l;有些函數(shù)完成這種轉(zhuǎn)化則是非常困難的，如孫=2'+y3.

因此，求隱函數(shù)的導數(shù)時，一般采用方程兩端同時對自變量X求導的方法.需

要注意，當遇到含有函數(shù)y的項時，必須將y視為X的函數(shù)，應用復合函數(shù)求導法

則，這樣就得到一個含有)，'的等式，從而求得)，'.

知識鞏固

例7求由方程2χ2-y2=9所確定的隱函數(shù)y的導數(shù).教師

解方程兩邊同時對X求導，得講授

(2巧'-(燈=(9)、

注意到y(tǒng)是r的函數(shù)，得4x-2yy=0,

2X

整理得/=—.

y

例8求由方程孫-e=0所確定的隱函數(shù)y的導數(shù).在教

解方程兩邊同時對X求導，得師引

eyy,+x,y+xy'=0,領(lǐng)下

共同

即e'y'+y+H=0.

完成

整理得y=-一^―.

150,

x+e-y

說明可以看到，隱函數(shù)的導數(shù)中，可以含有因變量y.

鏈接軟件演示

微軟高級計算器不具備求隱函數(shù)導數(shù)的功能，可以采用軟件matIab進行計

算.計算例8的操作步驟為：I60,

輸入：

?Dy_dx=maple('implicitdiff(exp(y)+x*y-exp(1)=O,y,x)')

按回車鍵，顯示：

Dy_dx=-y/(exp(y)+x)

即/?-?.

_____________________________________x+e'

練習2.1.2.3學生

求下列各隱函數(shù)的導數(shù)：課上

完成

(1)4X2+y2=9i(2)xy=2r+y3；(3)xy-x2+ey=5.

175,

新知識：基本初等函數(shù)的導數(shù)公式及導數(shù)的運算法則，復合函數(shù)的求導法，隱函180,

__________數(shù)的求導法。_______________________________________________________

1.記憶基本初等函數(shù)的導數(shù)公式及導數(shù)的運算法則；梳理復合函數(shù)、隱函數(shù)的求

導方法；

2.完成習題冊作業(yè)2.1.2」、作業(yè)2.122、作業(yè)2.123。_____________________

2.1.3高階導數(shù)

教學目標：

學習高階導數(shù)的概念及計算。

教學重點：

高階導數(shù)的概念及計算。

教學難點：

高階導數(shù)的計算。

授課時數(shù)：1課時.

教學過程

_________________________W_________________________備注

做一做在教

連續(xù)計算函數(shù)y=e”的導數(shù)?師引

發(fā)現(xiàn)，第1次計算得y=2e2*,仍然是變量X的函數(shù)；再一次求導得(y)=4e2"領(lǐng)下

仍然是變量X的函數(shù)；…，顯然，導數(shù)的計算可以一直進行下去.完成

6'____

新知識

一般地，函數(shù)y=f(x)的導數(shù)＞'=/'(X)仍是X的函數(shù).如果它在X處仍可導，教師

那么把函數(shù)y=∕,(x)的導數(shù)叫做函數(shù)y=∕(x)在點X處的二階導數(shù)，記作y"或講授

,2

Jr(X)或駕，即

dx16，

r=(√y或/(X)=(尸(x)y或察=.圖?

類似地，二階導數(shù)的導數(shù)，叫做三階導數(shù)，…，一般地，(〃-1)階導數(shù)的導數(shù)，

叫做”階導數(shù).同時把/'(X)叫做y=f(χ)的一階導數(shù).函數(shù)y=∕(χ)的各階導數(shù)

分別記作

/1y”,日),…，利)；

w

或f'(x),f"{x},Ir(X),/⑷a),…,∕(χ)；

或變，蟲，也，也，…，山

dxdx~dx3dx4dx"

二階及二階以上的導數(shù)統(tǒng)稱為高階導數(shù).________________________________________

知識鞏固

例9求下列函數(shù)的二階導數(shù).教師

(1)y=2X3+3X2-9；(2)y=xsinx.講授

解⑴y'=6f+6x,yn=12%+6.

(2)y,=SinX+XCOSx,y"=cosx+cosx-XSinx=2cos%-xsinx.

在教

例10設/(X)=元2，求尸⑵.師引

,2領(lǐng)下

解f,(χ]=2x?nx+X,∕*(x)=21nx+3,∕*w(x)=-,

完成

故/"2)=1.

28,

鏈接軟件

利用微軟高級計算器可以方便的求出函數(shù)的二階導數(shù).演小

計算例9(2)利用操作面板在輸入窗格輸入工(XSinX),點擊輸入得到結(jié)果.34,

___________________________________________d√__________________________________

練習2.1.3學生

求下列函數(shù)的二階導數(shù)課上

完成

(1)y=2X2+%-5；(2)y=ln(l+x).

42'

__________新知識：高階導數(shù)__________________________________________________45'

作業(yè)

完成習題冊作業(yè)2.1.3。_________________________________________________

2.1.4微分

教學目標：

(1)學習函數(shù)微分的概念及計算；

(2)會利用微分計算由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導數(shù)。

教學重點：

函數(shù)微分的概念及計算；

教學難點：

函數(shù)微分的概念

授課時數(shù)：1課時.

教學過程

過程備注

知識回顧

設點P(a,f(a))為函數(shù)y=F(x)圖像上的點，則曲線在點P處切線的斜率為3'

f?a).

新知識

如圖圖2—5所示，過Q點作X軸的垂線，交曲線過P點的切線于人過P平

行于X軸的直線于G.可以看到結(jié)合

GQ=Ay=∕(α+?x)-/(α),GT=∕,(α)?x.動畫

當。點沿著曲線無限趨近于尸點時，7點也無限趨近于P點，同時無限演示

趨近于0.此時GT=∕,(a)?r無限趨近于?y.講授

10,

一般地，設函數(shù)y="x)在點Xo處有可導，則;(XO)??叫做函數(shù)y="x)在點

芍處的微分，記作dy∣mft，即

d,δ

y?x=x0=∕(?)^?(24)

此時稱函數(shù)y=∕(x)在點X。處可微.可見，函數(shù)的微分與曲和■有關(guān)?

知識鞏固在教

例U求函數(shù)y=/在χ=ι,?r=0.01時函數(shù)的增量及微分.師引

解?y=(1+0.01)2-I2=1.0201-1=0.0201.領(lǐng)下

完成

dyL=ι=∕,(x)?ΔxL≡ι=2×l×0.01=0.02.15,

Δx=0.01'ΔΛ=0.0I

新知識

教師

如果函數(shù)y="x)在區(qū)間I內(nèi)任意點X處可微，那么稱函數(shù)在區(qū)間I內(nèi)可微.記講授

作

dy=尸(X)?x.22,

特別地，由函數(shù)/(?=X可以得到dr=?x,于是，通常將函數(shù)y=〃x)的微分

記作

dy=∕'(x)d?r,

從而有^=∕,(A).

dxv7

這就是說，導數(shù)是函數(shù)的微分dy與自變量的微分dx之商.故導數(shù)又稱為微商.

因此，對于由參數(shù)方程F=夕(;)\’所確定的函數(shù).有

y=ψ?t)

dy=ι∕∕'(t)dtψ?t)

drφ,(t)dtφ?t)

知識鞏固

例12求由參數(shù)方程卜=Jq所確定的函數(shù)的導數(shù).教師

講授

[y=t-f

解dy(r-∕3)?l-3r30,

dr-(↑-t2)'dt--It'

例13某一正方體金屬的邊長為2m,當金屬受熱邊長增加0.01m時，體積

的微分是多少？體積的改變量又是多少？

解設正方體的邊長為X,則其體積為V=體積的微分為

dV=(X3)'dx=3x2dx=3Λ2ΔX

將x=2,Ar=O.01代入上式，得在x=2,Ax=QOl處的微分

23

dV?x≈2=3×2×0.01=0.12(∕M)

?Λ?=0.01

在x=2,Δx=0.01處體積的改變量為

AKX=2=(2+0.01)3-23=0.012006

?Λ?=0.01

∣

由此可見，ΔVχ=2≈dV?x=2.

ΔΛ-=0.02AV=O.02

練習2?L4

1.求函數(shù)y=(2x+5)4在無=l,Δr=0.01時函數(shù)的增量及微分.學生

2.求下列函數(shù)的微分課上

9完成

(1)?=3X2--+5；(2)y=3x^2sinx：(3)y=cos(4-3x).

________________JC________________________________4_2__'________________________

小結(jié)

新知識：函數(shù)微分的概念及計算，由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導數(shù)。45,

福

1.利用圖2—5分析函數(shù)的增量與函數(shù)微分的區(qū)別；

2.完成習題冊作業(yè)2.1.4。________________________________________________

2.2.1函數(shù)單調(diào)性的判斷

教學目標：

(1)結(jié)合圖像，分析導數(shù)的符號與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系；

(2)理解駐點，不可導點的概念，掌握利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性的方法，會求函數(shù)的單

調(diào)區(qū)間。

教學重點：

函數(shù)單調(diào)性的判別與函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法。

教學難點：

導數(shù)符號與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系。

授課時數(shù)：2課時.

教學過程

_________________________M_________________________備注

觀察結(jié)合

設函數(shù)/(x)在閉區(qū)間［0,目上連續(xù)，在開區(qū)間(。,加內(nèi)可導.觀察函數(shù)圖像（圖動畫

2-6)可以看出，曲線上至少有一點C,使曲線在C點處μ演示

的切線平行于弦AB.由于f(b)一fS)恰好是弦他的斜率,講授

b-a

處的切線的斜率.故

8，

III

IlI_y

b-aOaξb

圖2—6_______

新知識

由此得到微分中值定理：教師

講授

如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間［4,以上連續(xù)，在開區(qū)間(。涉)內(nèi)可導，那么在(凡力內(nèi)

至少存在一點使/S)-/(4)=/'0(。-4)成立.即

b-a20,

設函數(shù)y=∕(x)在［4,目上連續(xù),開區(qū)間(4,6)內(nèi)可導，xl>々∈(α,6),且XlcX2,

由中值定理有

f(χ2)-/Ui)=.m)u2--?i)-其中Sa,一).

如果對任意xe(α,力，都有了'(x)>0(或/'(x)<0),則必有,紜)>0(或

∕,(<)<0),從而有/(x2)-∕(x∣)>0(或/(巧)一∕(xι)<O),那么可以判斷函數(shù)在

區(qū)間①力)內(nèi)為增函數(shù)(或減函數(shù)).

由此得到判斷函數(shù)單調(diào)性的方法：

設函數(shù)y="x)在［”,目上連續(xù)，在(a,A)內(nèi)可導.

(1)如果在(a,b)內(nèi)恒有尸(x)>0,那么函數(shù)y="x)在［α,句上單調(diào)增加;

(2)如果在(〃⑼內(nèi)恒有((x)<0,那么函數(shù)y=∕(x)在［〃,以上單調(diào)減少.

說明：

(1)如果將閉區(qū)間換成其他各種區(qū)間(包括無限區(qū)間)上述結(jié)論仍然成立.

(2)如果/'(X)在區(qū)間I內(nèi)的有限個點處為零，在其余各點處均為正(或負)，

那么，/(X)在區(qū)間I內(nèi)的仍舊是增(或減)函數(shù).

知識鞏固

例1判斷函數(shù)y=x3+2x在區(qū)間(1,3)內(nèi)的單調(diào)性.教師

解y'=3f+2.講授

因為在區(qū)間(1,3)內(nèi)，/>0.故函數(shù)在區(qū)間(1,3)內(nèi)為增函數(shù).

例2判斷函數(shù)y=x+cosx在區(qū)間［0,2π］上的單調(diào)性.在教

師引

解y'=1-sinX,